በርኑሊ እኩልታ(Bernoulli Equation)

በርኑሊ እኩልታ(Bernoulli Equation)

\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ነው)} \tag{1}\]

በርኑሊ እኩልታ (1) በ$a=0$ ወይም $a=1$ ሲሆን መስመራዊ ነው፣ ከዚያ ውጭ ግን አልመስመራዊ ነው። ነገር ግን ከታች ባለው ሂደት በኩል ወደ መስመራዊ ሊቀየር ይችላል።

\[u(x)=[y(x)]^{1-a}\]

ብለን እናስቀምጥ፣ ከዚያም ዲፈረንሺዬት ካደረግን በኋላ ከ(1) ውስጥ $y’$ን በመተካት

\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]

እናገኛለን። በቀኝ በኩል $y^{1-a}=u$ ስለሆነ፣ የሚከተለውን መስመራዊ ተራ ዲፈረንሺያል እኩልታ እናገኛለን።

\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]

ምሳሌ፡ ሎጂስቲክ እኩልታ(Logistic Equation)

ሎጂስቲክ እኩልታ(የበርኑሊ እኩልታ ልዩ ቅርጽ)ን ፍቱ።

\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]

መፍትሔ

(3)ን በ(1) ቅርጽ ብንጽፈው

\[y'-Ay=-By^2\]

ይሆናል። $a=2$ ስለሆነ $u=y^{1-a}=y^{-1}$ ነው። ይህን $u$ ዲፈረንሺዬት ካደረግን በኋላ ከ(3) ውስጥ $y’$ን በመተካት

\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]

እናገኛለን። የመጨረሻው አካል $-Ay^{-1}=-Au$ ስለሆነ፣ የሚከተለውን መስመራዊ ተራ ዲፈረንሺያል እኩልታ እናገኛለን።

\[u'+Au=B\]

በያልተመሳሰለ መስመራዊ ተራ ዲፈረንሺያል እኩልታ የመፍትሔ ቀመር መሠረት፣ የሚከተለውን አጠቃላይ መፍትሔ ማግኘት እንችላለን።

\[u=ce^{-At}+B/A\]

$u=1/y$ ስለሆነ፣ ከዚህ በመነሳት የ(3) አጠቃላይ መፍትሔ

\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]

እናገኛለን።