የሬዲዮአክቲቭ ሚዛን ስሌት

TL;DR

በማንኛውም ጊዜ t ላይ ያለ ሬዲዮአክቲቪቲ

\[\begin{align*} \alpha (t) &= \lambda n(t) \\ &= \alpha_0 e^{-\lambda t} \\ &= \alpha_0 e^{-0.693t/T_{1/2}} \end{align*}\]

የመበስበስ ቋሚ፣ ግማሽ-ዕድሜ እና አማካይ ዕድሜ ግንኙነት

\[\begin{align*} T_{1/2}&=\frac {\ln 2}{\lambda} = \frac {0.693}{\lambda} \\ \\ \overline{t}&=\frac {1}{\lambda} \\ &=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \end{align*}\]

የመበስበስ ቋሚ(Decay Constant)

• አንድ ኑክሌየስ በአንድ የጊዜ ክፍል ውስጥ የሚበሰብስበት እድል
• ከጊዜ ጋር የማይለዋወጥ፣ በኑክሊድ ብቻ የሚወሰን ቋሚ
• በምልክት $\lambda$ ይወከላል

ሬዲዮአክቲቪቲ(Radioactivity)

በጊዜ $t$ ላይ ገና ያልተበሰበሱ ኑክሌይ ብዛትን $n(t)$ ብለን ከተወሰነ፣ በጊዜ $t$ እና $t+dt$ መካከል ባለው $dt$ ክፍተት ውስጥ በአማካይ $\lambda n(t)$ ኑክሌይ ይበሰብሳሉ። ይህን የመበስበስ ፍጥነት የዚያ ናሙና ሬዲዮአክቲቪቲ(radioactivity) ብለን እንጠራዋለን፣ በምልክት $\alpha$ ይወከላል። ስለዚህ በአንድ ጊዜ $t$ ላይ ያለው ሬዲዮአክቲቪቲ እንዲህ ነው።

\[\alpha (t)=\lambda n(t) \tag{1}\]

የሬዲዮአክቲቪቲ መለኪያ አሃዶች

ኩሪ(Curie, Ci)

• የቤክሬል አሃድ ከመጠቀሙ በፊት በተለምዶ የሚጠቀምበት አሃድ
• 1g የራዲየም-226 የሚይዘው ሬዲዮአክቲቪቲ
• በሰከንድ $3.7\times 10^{10}$ የኑክሌር መበስበሶች($3.7\times 10^{10}\text{Bq}$)

ቤክሬል(Becquerel, Bq)

• ዓለም አቀፍ መደበኛ(SI) አሃድ
• በሰከንድ 1 የኑክሌር መበስበስ
• $1 \text{Bq} = 2.703\times 10^{-11}\text{Ci} = 27\text{pCi}$

በጊዜ ላይ የሬዲዮአክቲቪቲ ለውጥ ስሌት

በጊዜ $dt$ ውስጥ $\lambda n(t)$ ኑክሌይ ስለሚበሰብሱ፣ በ$dt$ ውስጥ በናሙናው ውስጥ ሳይበሰብሱ የሚቀሩ ኑክሌይ ቅነሳ በሚከተለው መልኩ ሊገለጽ ይችላል።

\[-dn(t)=\lambda n(t)dt\]

ይህን ሲያጠናቅሉ

\[n(t)=n_0e^{-\lambda t} \tag{2}\]

ይሆናል። በሁለቱም ወገኖች $\lambda$ን በማባዛት ሬዲዮአክቲቪቲው

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-\lambda t} \tag{3}\]

ይሆናል።

ሬዲዮአክቲቪቲው በግማሽ-ዕድሜ(half-life) ውስጥ በግማሽ ይቀንሳል፣ ስለዚህ

\[\alpha (T_{1/2})=\alpha_0/2\]

ይህን ወደ ስሌት (3) ሲተኩሉ

\[\alpha_0/2=\alpha_0e^{-\lambda T_{1/2}}\]

ይሆናል። በሁለቱም ወገኖች ላይ ሎጋሪዝም በመውሰድ ለግማሽ-ዕድሜ $T_{1/2}$ ሲፈቱ

\[T_{1/2}=\frac {\ln 2}{\lambda}=\frac {0.693}{\lambda} \tag{4}\]

ይገኛል።

ከላይ ያለውን ስሌት ለ$\lambda$ በመፍታት ወደ ስሌት (3) ሲተኩሉ

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-0.693t/T_{1/2}} \tag{5}\]

ይሆናል።

ስሌት (5) ብዙ ጊዜ ከስሌት (3) ይልቅ በሬዲዮአክቲቭ መበስበስ ስሌት ላይ ለመጠቀም የቀለለ ነው፣ ምክንያቱም ከመበስበስ ቋሚ ይልቅ የግማሽ-ዕድሜ ዋጋ መሰጠት የበለጠ የተለመደ ስለሆነ ነው።

የሬዲዮአክቲቭ ኑክሌየስ አማካይ ዕድሜ(mean-life) $\overline{t}$ የመበስበስ ቋሚው ተቃራኒ ነው።

\[\overline{t}=1/\lambda\]

ከስሌት (3) መሠረት፣ በአንድ አማካይ ዕድሜ ውስጥ ሬዲዮአክቲቪቲው ወደ መጀመሪያ ዋጋው $1/e$ እንደሚወርድ ማወቅ ይቻላል። ከስሌት (4) መሠረት አማካይ ዕድሜና ግማሽ-ዕድሜ በሚከተለው ግንኙነት ይገናኛሉ።

\[\overline{t}=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \tag{6}\]

※ የአማካይ ዕድሜ $\overline{t}$ አመጣጥ

\[\begin{align*} \overline{t}&=\frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{\int_0^\infty t} = \frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{n_0} \\ &= \frac {\int_0^\infty n_0 \lambda te^{-\lambda t}}{n_0} \\ &= \int_0^\infty \lambda te^{-\lambda t} \\ &= \left[-te^{-\lambda t}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda t} \\ &=\left[-\frac {1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=\frac {1}{\lambda} \end{align*}\]

ምሳሌ: የሬዲዮአክቲቭ መበስበስ ሰንሰለት 1

አንድ ሬዲዮአክቲቭ ኑክሊድ በ $R$ atom/s ፍጥነት ይፈጠራል ብለን እንግምት። ይህ ኑክሌየስ እንደተፈጠረ ወዲያውኑ ሬዲዮአክቲቭ መበስበስ ይጀምራል። በማንኛውም ጊዜ t ላይ የዚህን ኑክሊድ ሬዲዮአክቲቪቲ አግኝ።

flowchart LR
	Start[?] -- R --> A[የሂሳብ ሞዴል]
	A -- α --> End[?]

1. ሞዴል ማቋቋም

\[\text{በጊዜ ላይ ያለ የኑክሊድ ለውጥ ፍጥነት} = \text{የመፍጠር ፍጥነት}-\text{የጥፋት ፍጥነት}\]

በሂሳብ ምልክት ሲገለጽ

\[dn/dt = -\lambda n + R\]

ነው።

2. አጠቃላይ መፍትሔ

ከ$n$ ጋር የተያያዙ ቃላትን ሁሉ ወደ ግራ ወገን እናስተላልፍ፣ ከዚያም በሁለቱም ወገኖች $e^{\lambda t}$ን እናባዛ።

\[\frac {dn}{dt} + \lambda n = R\] \[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt} + \lambda e^{\lambda t}n = Re^{\lambda t}\]

$\lambda e^{\lambda t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda t}$ ስለሆነ እንዲህ ማደራጀት ይቻላል።

\[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt}+\left(\frac {d}{dt} e^{\lambda t}\right)n = Re^{\lambda t}\]

በሁለቱም ወገኖች ላይ ሲያጠናቅሉ የሚከተለውን አጠቃላይ መፍትሔ ያገኛሉ።

\[e^{\lambda t}n=\frac {R}{\lambda}e^{\lambda t}+c\] \[n=ce^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}\]

3. ልዩ መፍትሔ

$t=0$ ላይ የዚህ ኑክሊድ ብዛት $n_0$ ነው ብለን ቋሚውን $c$ እናግኝ።

\[n(0)=c+\frac {R}{\lambda}=n_0\] \[c=n_0-\frac {R}{\lambda}\]

ስለዚህ ለተሰጠው ሁኔታ የሚስማማው ልዩ መፍትሔ የሚከተለው ነው።

\[n = n_0e^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}) \tag{7}\]

ነው። ከላይ ባለው ስሌት ሁለቱንም ወገኖች በ $\lambda$ በማባዛት የዚህን ኑክሊድ ሬዲዮአክቲቪቲ ማግኘት ይቻላል።

\[\alpha = \alpha_0e^{-\lambda t}+R(1-e^{-\lambda t}) \tag{8}\]

ማለትም፣ $t\to\infty$ ሲሆን $\alpha_{\text{max}}=R$, $n_{\text{max}}=R/\lambda$ ወደነዚህ እሴቶች ይቀርባሉ።

ምሳሌ: የሬዲዮአክቲቭ መበስበስ ሰንሰለት 2

ከታች ባለው የመበስበስ ሰንሰለት ውስጥ የሬዲዮአክቲቭ ኑክሊድ B ሬዲዮአክቲቪቲን አስላ።

flowchart LR
	A --> B
	B --> C

1. ሞዴል ማቋቋም

\[\text{የB ኑክሌይ ብዛት ለውጥ ፍጥነት}=\text{በA መበስበስ ምክንያት የመፍጠር ፍጥነት}-\text{የB ወደ C የመበስበስ ፍጥነት}\] \[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_A\]

ለ$n_A$ ስሌት (2) ሲተኩሉ ለ$n_B$ የሚከተለውን የልዩነት ስሌት ያገኛሉ።

\[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_{A0}e^{-\lambda_A t} \tag{9}\]

2. አጠቃላይ መፍትሔ

የልዩነት ስሌቱን ለመፍታት ከ$n_B$ ጋር የተያያዙ ቃላትን ሁሉ ወደ ግራ ወገን እናስተላልፍ፣ ከዚያም በሁለቱም ወገኖች $e^{\lambda_B t}$ን እናባዛ።

\[\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B n_B = n_{A0}\lambda_A e^{-\lambda_A t}\] \[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B e^{\lambda_B t}n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

$\lambda_B e^{\lambda_B t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda_b t}$ ስለሆነ እንዲህ ማደራጀት ይቻላል።

\[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \left(\frac {d}{dt} e^{\lambda_B t}\right)n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

በሁለቱም ወገኖች ላይ ሲያጠናቅሉ

\[e^{\lambda_B t}n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+c\]

ይሆናል። ሁለቱንም ወገኖች በ $e^{\lambda_B t}$ በመካፈል የሚከተለውን አጠቃላይ መፍትሔ ያገኛሉ።

\[n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{-\lambda_A t}+ce^{-\lambda_B t}\]

3. ልዩ መፍትሔ

$t=0$ ላይ የB ንጥረ ነገር ብዛት $n_{B0}$ ነው ብለን ቋሚውን $c$ እናግኝ።

\[n_B(0)=\frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}+c=n_{B0}\] \[c=n_{B0}-\frac{n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\]

ስለዚህ ለተሰጠው ሁኔታ የሚስማማው ልዩ መፍትሔ የሚከተለው ነው።

\[n_B = n_{B0}e^{-\lambda_B t} + \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{10}\] \[\therefore \alpha_B = \alpha_{B0} e^{-\lambda_B t} + \frac {\alpha_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{11}\]