የተለዋዋጮች መለያ ዘዴ(Separation of Variables)

የተለዋዋጮች መለያ ዘዴ(Separation of Variables)

ሊለያይ የሚችል ስሌት(separable equation): በአልጀብራዊ ማንቀሳቀሶች $g(y)y’=f(x)$ ቅርጽ ሊጻፍ የሚችል ስሌት።

ሊለያይ የሚችል ስሌት $g(y)y’=f(x)$ የሁለቱንም ወገኖች $x$ በተመለከተ ኢንተግሬት ካደረግን

\[\int g(y)y'dx = \int f(x)dx + c\]

እናገኛለን፣ $y’dx=dy$ ስለሆነም

\[\int g(y)dy = \int f(x)dx + c\]

እንዲህ በማለት ከ$y$ ጋር የተያያዘውን እና ከ$x$ ጋር የተያያዘውን ቃል በተለያዩ ወገኖች ማስቀመጥ እንችላለን። $f$ እና $g$ ቀጣይ ፋንክሽኖች ከሆኑ ከላይ ያሉትን ኢንተግራሎች በማስላት የተሰጠውን ዲፈረንሻል ስሌት አጠቃላይ መፍትሔ ማግኘት እንችላለን። ይህንን ዓይነት የመፍትሔ ዘዴ የተለዋዋጮች መለያ ዘዴ(separation of variables) ብለን እንጠራዋለን።

ሞዴሊንግ ምሳሌ: የሬዲዮካርቦን ዕድሜ መለኪያ(Radiocarbon Dating)

ኦትዚ(Oetzi) በኦየትስታል(Oetztal) አልፕስ ውስጥ በየሆሎሴን ዘመን ቆጠራ 11991 ዓመት የተገኘ የኒዎሊቲክ ዘመን ሙሚ ነው። በዚህ ሙሚ ውስጥ ያለው የካርቦን-14 ከካርቦን-12 ጋር ያለው መጠን ከሕያው ኦርጋኒዝም 52.5% ከሆነ፣ ኦትዚ በግምት መቼ ኖሮ ሞተ?

በአየር ማዕቀፍ ውስጥ እና በሕያዋን ኦርጋኒዝሞች ውስጥ የካርቦን-14 ከካርቦን-12 ጋር ያለው ሬሾ ቋሚ ነው። ኦርጋኒዝሙ ከሞተ በኋላ በመተንፈስ እና በምግብ መውሰድ የሚከሰተው የካርቦን-14 መውሰድ ይቆማል፣ ግን የካርቦን-14 መበስበስ ይቀጥላል፤ ስለዚህ የሬዲዮአክቲቭ ካርቦን ሬሾ ይቀንሳል። ስለዚህ የቅርስ ውስጥ ያለውን የሬዲዮአክቲቭ ካርቦን ሬሾ ከአየር ማዕቀፍ ውስጥ ካለው ሬሾ ጋር በማነጻጸር የቅርሱን ዕድሜ መገመት እንችላለን። የካርቦን-14 ግማሽ ሕይወት 5715 ዓመት ነው።

መፍትሔ

መደበኛ ዲፈረንሻል ስሌት $y’=ky$ ተለዋዋጮቹን ለይተን ኢንተግሬት ካደረግን

\[\frac {dy}{y}=k dt\] \[\log |y|=kt+c\] \[y=y_{0}e^{kt}\ (y_0=e^c)\]

ይሆናል። ቋሚውን $k$ ለመወሰን ግማሽ ሕይወቱን $H=5715$ እንጠቀማለን።

\[y_{0}e^{kH}=0.5y_0\] \[e^{kH}=0.5\] \[k=\frac {\log 0.5}{H}=-\frac {0.693}{5715}=-0.0001213.\]

በመጨረሻ ኦትዚ(Oetzi) የሞተበትን ጊዜ $t$ ለማግኘት 52.5% የሆነውን ሬሾ እንተካዋለን።

\[e^{kt}=e^{-.0.0001213t}=0.525\] \[t=\frac {\log 0.525}{-0.0001213}=5312.\] \[\therefore \text{በግምት ከ 5310 ዓመት በፊት፣ በሆሎሴን ዘመን ቆጠራ 6680 አካባቢ እንደሞተ ይገመታል}.\]

ሞዴሊንግ ምሳሌ: የቅልቅል ችግኝ(Mixing Problem)

መጀመሪያ ላይ በታንኩ ውስጥ 10kg ጨው የተሟሟበት 1000L ውሃ አለ። ጨው ውሃ በደቂቃ 10L ፍጥነት ወደ ታንኩ ይገባል፣ እና በዚህ ጨው ውሃ ውስጥ በአንድ ሊትር 0.2kg ጨው ተሟሟቷል። በታንኩ ውስጥ ያለው የተቀላቀለ ውህድ በደንብ ተነቃንቆ በአንድ ዓይነት እንዲቆይ ይደረጋል፣ እና ይህ ጨው ውሃ እንዲሁም በደቂቃ 10L ፍጥነት ይወጣል። በጊዜ $t$ ላይ በታንኩ ውስጥ ያለውን የጨው መጠን $y(t)$ አግኝ።

1. ሞዴል ማቀናበር

\[y'=\text{የመግቢያ ፍጥነት} - \text{የመውጫ ፍጥነት}.\]

የጨው የመግቢያ ፍጥነት በደቂቃ 2kg ነው። የጨው ውሃ የመውጫ መጠን በደቂቃ ከጠቅላላ የጨው ውሃ መጠን 0.01 ነው፣ ስለዚህ የጨው የመውጫ ፍጥነት በደቂቃ $0.01 y(t)$ ነው። ስለዚህ ሞዴሉ የሚከተለው መደበኛ ዲፈረንሻል ስሌት ነው።

\[y'=2-0.01y=-0.01(y-200)\]

2. የሞዴሉ መፍትሔ

ከላይ የተቋቋመው መደበኛ ዲፈረንሻል ስሌት ሊለያይ የሚችል ነው። ተለዋዋጮቹን ለይተን ኢንተግሬት ካደረግን እና በሁለቱም ወገኖች ላይ ኤክስፖነንሻል ፋንክሽን ካደረግን

\[\frac {dy}{y-200}=-0.01 dt\] \[\log |y-200| = -0.01t+c^*\] \[y-200=ce^{-0.01t}.\]

መጀመሪያ ላይ በታንኩ ውስጥ ያለው የጨው መጠን 10kg ስለሆነ የመጀመሪያ ሁኔታው $y(0)=10$ ነው። በላይ ባለው ስሌት ውስጥ $y=10,\ t=0$ ካስገባን $10-200=ce^0=c$ ስለሆነ $c=-190$ ነው።

\[\therefore y(t)=200-190e^{-0.01t}\]

ስለዚህ በተሰጠው ሁኔታ በታንኩ ውስጥ ያለው የጨው መጠን በኤክስፖነንሻል መልኩ ወደ 200kg እየቀረበ እንደሚደርስ እናውቃለን።

ሞዴሊንግ ምሳሌ: የኒውተን የመቀዝቀዝ ሕግ(Newton’s Law of Cooling)

በክረምት ወቅት የአንድ ቢሮ ሕንፃ ቀን ሰዓት ውስጥ ሙቀቱ 20℃ ላይ እንደሚጠበቅ እንበል። ማሞቂያው ከምሽቱ 10 ሰዓት ላይ ይጠፋል እና ከጠዋቱ 6 ሰዓት ላይ እንደገና ይነሳል። አንድ ቀን ከሌሊቱ 2 ሰዓት ላይ የሕንፃው ውስጣዊ ሙቀት 17.4℃ ነበር። ውጫዊ ሙቀት ከምሽቱ 10 ሰዓት ላይ 10℃ ነበር እና ከጠዋቱ 6 ሰዓት ላይ እስከ 4℃ ድረስ ወረደ። ከጠዋቱ 6 ሰዓት ላይ ማሞቂያው ሲነሳ የሕንፃው ውስጣዊ ሙቀት ስንት ዲግሪ ነበር?

የኒውተን የመቀዝቀዝ ሕግ(Newton’s law of cooling)
የአንድ ነገር ሙቀት $T$ በጊዜ ላይ ያለው የመቀየር ፍጥነት በዚያ ነገር እና በአካባቢው መካከል ባለው የሙቀት ልዩነት ጋር ይመጣጠናል

1. ሞዴል ማቀናበር

$T(t)$ የሕንፃው ውስጣዊ ሙቀት እንዲሆን እና $T_A$ ውጫዊ ሙቀት እንዲሆን እንውሰድ። ከዚያ በኒውተን የመቀዝቀዝ ሕግ መሠረት

\[\frac {dT}{dt}=k(T-T_A)\]

ይሆናል።

2. አጠቃላይ መፍትሔ

$T_A$ በ10℃ እና 4℃ መካከል እንደሚለዋወጥ ብቻ እናውቃለን እንጂ በትክክል ምን እሴት እንደሚወስድ አናውቅም፣ ስለዚህ ከላይ የተቋቋመውን ስሌት በቀጥታ መፍታት አንችልም። እንደዚህ ባለ ጊዜ ሁኔታውን ወደ ቀላል ችግኝ በማሳነስ መፍትሔን መሞከር ጠቃሚ ሊሆን ይችላል። የምናውቃቸው ሁለቱ እሴቶች አማካይ 7℃ ስለሆነ፣ ያልታወቀውን ፋንክሽን $T_A$ እንደ ቋሚ ፋንክሽን $T_A=7$ እንውሰድ። ሙሉ ትክክለኛ ባይሆንም፣ ማግኘት የምንፈልገውን ከጠዋቱ 6 ሰዓት ውስጣዊ ሙቀት $T$ የቅርብ ግምት እሴት እንደሚሰጥ መጠበቅ እንችላለን።

ለቋሚው $T_A=7$ ከላይ የተቋቋመው መደበኛ ዲፈረንሻል ስሌት ሊለያይ የሚችል ነው። ተለዋዋጮቹን ለይተን ኢንተግሬት ካደረግን እና ኤክስፖነንሻል ፋንክሽን ካደረግን አጠቃላይ መፍትሔውን እናገኛለን።

\[\frac {dT}{T-7}=k dt\] \[\log |T-7|=kt+c^*\] \[T(t)=7+ce^{kt} \quad(c=e^{c^*}).\]

3. ልዩ መፍትሔ

ከምሽቱ 10 ሰዓትን $t=0$ ብለን ከመረጥን የተሰጠው የመጀመሪያ ሁኔታ $T(0)=20$ ይሆናል። በዚህ ጊዜ የሚገኘውን ልዩ መፍትሔ $T_p$ ብለን እንጠራዋለን። በመተካት

\[T(0)=7+ce^0=20\] \[c=20-7=13\] \[T_p(t)=7+13e^{kt}.\]

4. $k$ መወሰን

ከሌሊቱ 2 ሰዓት ላይ የሕንፃው ውስጣዊ ሙቀት 17.4℃ ነበር፣ ስለዚህ $T(4)=17.4$ ነው። በአልጀብራ የ$k$ን እሴት ካገኘን እና በ$T_p(t)$ ውስጥ ካስገባነው

\[T_p(4)=7+13e^{4k}=17.4\] \[e^{4k}=0.8\] \[k=\frac {1}{4} \log 0.8=-0.056\] \[T_p(t)=7+13e^{-0.056t}.\]

5. መልስ እና ትርጓሜ

ከጠዋቱ 6 ሰዓት $t=8$ ስለሆነ

\[T_p(8)=7+13e^{-0.056\cdot8}=15.3\text{[℃]}.\]

ሞዴሊንግ ምሳሌ: የቶሪቼሊ ቲዎረም(Torricelli’s Theorem)

የታንኩ ዲያሜትር 2m እና የቀዳዳው ዲያሜትር 1cm ሲሆን፣ ቀዳዳውን በሚከፍቱበት ጊዜ የውሃው የመጀመሪያ ከፍታ 2.25m ነው። በማንኛውም ጊዜ የታንኩ ውሃ ከፍታን እና ታንኩ ባዶ ለመሆን የሚፈጅበትን ጊዜ አግኝ።

የቶሪቼሊ ቲዎረም(Torricelli’s theorem)
በስበት ኃይል ተጽዕኖ ስር የሚወጣ ውሃ ፍጥነት

\[v(t)=0.600\sqrt{2gh(t)}.\]

$h(t)$: በጊዜ $t$ ላይ ከቀዳዳው በላይ ያለው የውሃ ከፍታ
$g=980\text{cm/s²}$: በምድር ገጽ ላይ ያለው የስበት ፍጥነት

1. ሞዴል ማቀናበር

በአጭር ጊዜ $\Delta t$ ውስጥ የሚወጣው መጠን $\Delta V$ የሚከተለው ነው።

\[\Delta V = Av\Delta t \qquad (A: \text{የቀዳዳው ስፋት})\]

ይህ $\Delta V$ በታንኩ ውስጥ ያለው የውሃ መጠን ለውጥ $\Delta V^*$ ጋር እኩል መሆን አለበት። በተጨማሪም

\[\Delta V^* = -B\Delta h \qquad (B: \text{የታንኩ የቁርጥ ስፋት})\]

ነው፣ እዚህ $\Delta h(>0)$ ማለት የውሃ ከፍታ $h(t)$ የቀነሰበት መጠን ነው። $\Delta V$ እና $\Delta V^*$ን እኩል ብለን ካስቀመጥን

\[-B\Delta h = Av\Delta t\]

እናገኛለን። አሁን በቶሪቼሊ ቲዎረም መሠረት $v$ን በመጻፍ እና $\Delta t$ን ወደ 0 በማቅረብ የሚከተለውን እንደ 1ኛ ደረጃ መደበኛ ዲፈረንሻል ስሌት የሚገለጽ ሞዴል እናገኛለን።

\[\frac {\Delta h}{\Delta t} = -\frac {A}{B}v = -\frac{A}{B}0.600\sqrt{2gh(t)}\] \[\frac {dh}{dt} = \lim_{t\to0}\frac {\Delta h}{\Delta t} = -26.56\frac {A}{B}\sqrt{h}.\]

2. አጠቃላይ መፍትሔ

ይህ ዲፈረንሻል ስሌት ሊለያይ የሚችል ነው። ተለዋዋጮቹን ለይተን ኢንተግሬት ካደረግን

\[\frac {dh}{\sqrt{h}} = -26.56\frac{A}{B}dt\] \[2\sqrt{h} = c^* - 26.56\frac{A}{B}t\]

ይሆናል። የሁለቱንም ወገኖች በ2 ካካፈልን እና ካሬ ካደረግን $h=(c-13.28At/B)^2$ እናገኛለን። $13.28A/B=13.28 \cdot 0.5^2 \pi /100^2 \pi = 0.000332$ በመተካት አጠቃላይ መፍትሔውን

\[h(t)=(c-0.000332t)^2\]

እናገኛለን።

3. ልዩ መፍትሔ

የመጀመሪያ ሁኔታው $h(0)=225\text{cm}$ ነው። $t=0$ እና $h=225$ በመተካት ከአጠቃላይ መፍትሔው $c^2=225, c=15.00$ እናገኛለን፣ ስለዚህ ልዩ መፍትሔው

\[h_p(t)=(15.00-0.000332t)^2\]

ይሆናል።

4. ታንኩ እስኪባዶ ድረስ የሚፈጅበት ጊዜ

\[t = 15.00/0.000332 = 45181 \text{[s]} = 12.6 \text{[h]}.\]

ወደ ሊለያይ የሚችል ቅርጽ(separable form) መቀየር

ሊለያይ የማይችል መደበኛ ዲፈረንሻል ስሌት ለ$y$ አዲስ ያልታወቀ ፋንክሽን በማስገባት ወደ ሊለያይ የሚችል ቅርጽ ሊቀየር የሚችል ሁኔታም አለ።

\[y'=f\left(\frac {y}{x}\right).\]

እንደዚህ ያለ መደበኛ ዲፈረንሻል ስሌት ለመፍታት $y/x=u$ ብለን ካስቀመጥን

\[y=ux,\quad y'=u'x+u\]

ስለሆነ፣ ይህንን በ$y’=f(y/x)$ ውስጥ በመተካት $u’x=f(u)-u$ እናገኛለን። $f(u)-u\neq0$ ከሆነ

\[\frac {du}{f(u)-u}=\frac {dx}{x}\]

በማለት ሊለይ ይችላል።