ልጥፍ

የሃርሞኒክ ኦሲሌተር(The Harmonic Oscillator) ትንታኔያዊ መፍትሔ

በኳንተም መካኒክስ ውስጥ ለሃርሞኒክ ኦሲሌተር የሽሮዲንገር ስሌትን እንመሰርታለን፣ እና ትንታኔያዊ መፍትሔውን እንመለከታለን። መጠን-አልባ ተለዋዋጭ 𝜉ን በማስገባት ስሌቱን እንፈታለን፣ እና ማንኛውንም ኖርማላይዝ የተደረገ ቋሚ ሁኔታ በኤርሚት ፖሊኖሚያሎች እንገልጻለን።

ተለጠፈ
Preview Image
በ Yunseo Kim
እይታዎች 7 ደቂቃ ንባብ
የሃርሞኒክ ኦሲሌተር(The Harmonic Oscillator) ትንታኔያዊ መፍትሔ

TL;DR

  • አምፕሊቱዱ(amplitude) በበቂ ሁኔታ ትንሽ ከሆነ፣ ማንኛውም ንዝረት እንደ ቀላል ሃርሞኒክ ንዝረት(simple harmonic oscillation) ሊጠጋገም ይችላል፤ በዚህም ምክንያት ቀላል ሃርሞኒክ ንዝረት በፊዚክስ ውስጥ ጠቃሚ ትርጉም አለው
  • ሃርሞኒክ ኦሲሌተር: $V(x) = \cfrac{1}{2}kx^2 = \cfrac{1}{2}m\omega^2 x^2$
  • መጠን-አልባ ተለዋዋጭ $\xi$ እና በ $\cfrac{1}{2}\hbar\omega$ አሃድ የተገለጸ ኃይል $K$ ማስገባት:
    • $\xi \equiv \sqrt{\cfrac{m\omega}{\hbar}}x$
    • $K \equiv \cfrac{2E}{\hbar\omega}$
    • $ \cfrac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\xi^2-K \right)\psi $
  • $|\xi|^2 \to \infty$ ሲሆን በአካላዊ ሁኔታ የሚፈቀደው አሰምፕቶቲክ መፍትሔ(asymptotic solution) $\psi(\xi) \to Ae^{-\xi^2/2}$ ስለሆነ፣
\[\begin{gather*} \psi(\xi) = h(\xi)e^{-\xi^2/2} \quad \text{(ነገር ግን }\lim_{\xi\to\infty}h(\xi)=A\text{)}, \\ \frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h = 0 \end{gather*}\]
  • የላይኛውን ስሌት መፍትሔ በተከታታይ ቅርጽ $ h(\xi) = a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j$ እንደሚከተለው ብንገልጸው፣
\[a_{j+2} = \frac{(2j+1-K)}{(j+1)(j+2)}a_j\]
  • ይህ መፍትሔ ኖርማላይዝ ለመሆን ተከታታዩ $\sum a_j$ ውስን መሆን አለበት፤ ማለትም አንድ ‘ከፍተኛው’ $j$ እሴት $n\in \mathbb{N}$ መኖር አለበት እና $j>n$ ሲሆን $a_j=0$ መሆን አለበት፣ ስለዚህ
    • $ K = 2n + 1 $
    • $ E_n = \left(n+\cfrac{1}{2} \right)\hbar\omega, \quad n=0,1,2,\dots $
  • በአጠቃላይ $h_n(\xi)$ በ $\xi$ ላይ የ $n$ ኛ ደረጃ ፖሊኖሚያል ሲሆን፣ ከፊት ያለውን ኮፊሺየንት($a_0$ ወይም $a_1$) ሲያስወግዱ የቀረውን ኤርሚት ፖሊኖሚያሎች(Hermite polynomials) $H_n(\xi)$ ብለን እንጠራዋለን
\[h_n(\xi) = \begin{cases} a_0 H_n(\xi), & n=2k & (k=0,1,2,\dots) \\ a_1 H_n(\xi), & n=2k+1 & (k=0,1,2,\dots) \end{cases}\]
  • የሃርሞኒክ ኦሲሌተሩ ኖርማላይዝ የተደረጉ ቋሚ ሁኔታዎች:
\[\psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\]
  • የኳንተም ኦሲሌተሩ ባህሪያት
    • እንደ ኢገንፋንክሽን(eigenfunction) ጥንድ ፋንክሽኖች እና ነጠላ ፋንክሽኖች ተፈራርቀው ይታያሉ
    • በክላሲካል መካኒክስ መኖር የማይችል ክልል ውስጥም(ለተሰጠው $E$ ከክላሲካል አምፕሊቱድ የሚበልጥ $x$) የመገኘት እድሉ $0$ አይደለም፣ ዝቅተኛ እድል ቢሆንም ነጠላ ቅንጣቱ ሊኖር ይችላል
    • $n$ ነጠላ ለሆነ ሁሉም ቋሚ ሁኔታዎች ላይ ቅንጣቱን በመሃል የማግኘት እድል $0$ ነው
    • $n$ በበለጠ መጠን ሲጨምር ከክላሲካል ኦሲሌተር ጋር ይመሳሰላል

ቅድመ እውቀቶች

የሞዴሉ ቅንብር

በክላሲካል መካኒክስ ውስጥ የሃርሞኒክ ኦሲሌተርን እንዴት እንደሚገልጹ እና የሃርሞኒክ ኦሲሌተር ችግኝ ያለውን አስፈላጊነት በተመለከተ ቀደም ባለው ጽሑፍ ይመልከቱ።

በኳንተም መካኒክስ ውስጥ ያለ ሃርሞኒክ ኦሲሌተር

በኳንተም መካኒክስ ያለው የሃርሞኒክ ኦሲሌተር ችግኝ ፖቴንሺያሉ

\[V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \label{eqn: potential_omega}\tag{1}\]

የሆነበትን የሽሮዲንገር ስሌት መፍታት ነው። ለሃርሞኒክ ኦሲሌተር ከጊዜ ጋር የማይዛመድ የሽሮዲንገር ስሌት የሚከተለው ነው።

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi = E\psi \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

ይህን ችግኝ ለመፍታት ፍጹም የተለያዩ ሁለት አቀራረቦች አሉ። አንዱ የኃይል ተከታታይ ዘዴ(power series method)ን የሚጠቀም ትንታኔያዊ ዘዴ(analytic method) ሲሆን፣ ሌላው ደግሞ ላደር ኦፕሬተሮች(ladder operators)ን የሚጠቀም አልጀብራዊ ዘዴ(algebraic method) ነው። አልጀብራዊ ዘዴው ፈጣንና ቀላል ቢሆንም፣ የኃይል ተከታታይ በመጠቀም የሚሰጠውን ትንታኔያዊ መፍትሔም ማጥናት ያስፈልጋል። ከዚህ በፊት አልጀብራዊውን የመፍትሔ ዘዴ አይተናል፣ እዚህ ግን ትንታኔያዊውን የመፍትሔ ዘዴ እንመለከታለን።

የሽሮዲንገር ስሌቱን መለወጥ

መጠን-አልባው ተለዋዋጭ

\[\xi \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \label{eqn:xi}\tag{3}\]

እንደሚከተለው ከገባን፣ ከጊዜ ጋር የማይዛመደውን የሽሮዲንገር ስሌት ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) በቀላሉ እንዲህ ማድረግ እንችላለን።

\[\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\xi^2-K \right)\psi. \label{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}\tag{4}\]

እዚህ $K$ በ $\cfrac{1}{2}\hbar\omega$ አሃድ የተገለጸ ኃይል ነው።

\[K \equiv \frac{2E}{\hbar\omega}. \label{eqn:K}\tag{5}\]

አሁን ይህን እንደገና የተጻፈውን ስሌት ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}$) መፍታት ነው። በመጀመሪያ ለበጣም ትልቅ $\xi$ (ማለትም ለበጣም ትልቅ $x$) $\xi^2 \gg K$ ስለሆነ፣

\[\frac{d^2\psi}{d\xi^2} \approx \xi^2\psi \label{eqn:schrodinger_eqn_approx}\tag{6}\]

ይሆናል፣ እና ይህ የሚኖረው ግምታዊ መፍትሔ

\[\psi(\xi) \approx Ae^{-\xi^2/2} + Be^{\xi^2/2} \label{eqn:psi_approx}\tag{7}\]

ነው። ነገር ግን እዚህ $B$ ተርሙ $|x|\to \infty$ ሲሆን ይፈነዳል እና ኖርማላይዝ ማድረግ አይቻልም፤ ስለዚህ በአካላዊ ሁኔታ የሚፈቀደው አሰምፕቶቲክ መፍትሔ

\[\psi(\xi) \to Ae^{-\xi^2/2} \label{eqn:psi_asymp}\tag{8}\]

ነው። አሁን እዚህ ኤክስፖነንሻል ክፍሉን ለይተን

\[\psi(\xi) = h(\xi)e^{-\xi^2/2} \quad \text{(ነገር ግን }\lim_{\xi\to\infty}h(\xi)=A\text{)} \label{eqn:psi_and_h}\tag{9}\]

ብለን እንጻፍ።

ኤክስፖነንሻሉን $e^{-\xi^2/2}$ ለማግኘት በየአመጣጡ ሂደት ውስጥ የተጠቀምነው ግምታዊ ዘዴ የአሰምፕቶቲክ መፍትሔውን ቅርጽ ለማግኘት ብቻ ነበር፤ ነገር ግን በዚህ መንገድ ያገኘነው ስሌት ($\ref{eqn:psi_and_h}$) ግምታዊ ሳይሆን ትክክለኛ ስሌት ነው። እንደዚህ ያለ አሰምፕቶቲክ ቅርጽ ማለየት የዲፈረንሻል ስሌቶችን በኃይል ተከታታይ ቅርጽ ሲፈቱ የሚጠቀሙት መደበኛ የመጀመሪያ ደረጃ ነው።

ስሌት ($\ref{eqn:psi_and_h}$) ን በመድፈር $\cfrac{d\psi}{d\xi}$ እና $\cfrac{d^2\psi}{d\xi^2}$ ን ካገኘን፣

\[\begin{gather*} \frac{d\psi}{d\xi} = \left(\frac{dh}{d\xi}-\xi h \right)e^{-\xi^2/2}, \\ \frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(\xi^2-1)h \right)e^{-\xi^2/2} \end{gather*}\]

ስለሆነ የሽሮዲንገር ስሌቱ ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}$) አሁን

\[\frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h = 0 \label{eqn:schrodinger_eqn_with_h}\tag{10}\]

ይሆናል።

የኃይል ተከታታይ ዝርጋታ

በቴይለር ቲዎረም(Taylor’s theorem) መሠረት ማንኛውም ለስላሳ የሆነ ፋንክሽን በኃይል ተከታታይ ሊገለጽ ስለሚችል፣ የስሌት ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_h}$) መፍትሔን በ $\xi$ ላይ ያለ ተከታታይ

\[h(\xi) = a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j \label{eqn:h_series_exp}\tag{11}\]

ቅርጽ እንፈልግ። የዚህን ተከታታይ እያንዳንዱን ተርም ከደፈርን በኋላ የሚከተሉትን ሁለት ስሌቶች እናገኛለን።

\[\begin{gather*} \frac{dh}{d\xi} = a_1 + 2a_2\xi + 3a_3\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}ja_j\xi^{j-1}, \\ \frac{d^2 h}{d\xi^2} = 2a_2 + 2\cdot3a_3\xi + 3\cdot4a_4\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty} (j+1)(j+2)a_{j+2}\xi^j. \end{gather*}\]

እነዚህን ሁለት ስሌቶች ወደ የሽሮዲንገር ስሌቱ(ስሌት [$\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_h}$]) እንደገና ብናስገባ የሚከተለውን እናገኛለን።

\[\sum_{j=0}^{\infty}[(j+1)(j+2)a_{j+2} - 2ja_j + (K-1)a_j]\xi^j = 0. \label{eqn:schrodinger_eqn_power_series}\tag{12}\]

በኃይል ተከታታይ ዝርጋታ ልዩነት ምክንያት ለእያንዳንዱ የ $\xi$ ደረጃ ያለው ኮፊሺየንት $0$ መሆን አለበት፣ ስለዚህ

\[(j+1)(j+2)a_{j+2} - 2ja_j + (K-1)a_j = 0\] \[\therefore a_{j+2} = \frac{(2j+1-K)}{(j+1)(j+2)}a_j. \label{eqn:recursion_formula}\tag{13}\]

ይሆናል። ይህ የተደጋጋሚ ግንኙነት(recursion formula) ከየሽሮዲንገር ስሌቱ ጋር እኩል ነው። ሁለት የዘፈቀደ ቋሚዎች $a_0$ እና $a_1$ ከተሰጡ፣ የመፍትሔውን $h(\xi)$ ሁሉንም ተርሞች ኮፊሺየንቶች ማግኘት እንችላለን።

ነገር ግን በዚህ የተገኘው መፍትሔ ሁልጊዜ ኖርማላይዝ ሊደረግ ይችላል ማለት አይደለም። ተከታታዩ $\sum a_j$ ወሰን የሌለው ተከታታይ ከሆነ($\lim_{j\to\infty} a_j\neq0$ ከሆነ)፣ ለበጣም ትልቅ $j$ ከላይ ያለው የተደጋጋሚ ግንኙነት በግምት

\[a_{j+2} \approx \frac{2}{j}a_j\]

ይሆናል፣ እና ለዚህ ያለው ግምታዊ መፍትሔ

\[a_j \approx \frac{C}{(j/2)!} \quad \text{(}C\text{ የዘፈቀደ ቋሚ ነው)}\]

ነው። በዚህ ሁኔታ ከፍተኛ ደረጃ ተርሞች የሚቆጣጠሩባቸው ትልቅ $\xi$ እሴቶች ላይ

\[h(\xi) \approx C\sum\frac{1}{(j/2)!}\xi^j \approx C\sum\frac{1}{j!}\xi^{2j} \approx Ce^{\xi^2}\]

ዓይነት ቅርጽ ይኖረዋል፣ እንዲሁም $h(\xi)$ የ $Ce^{\xi^2}$ ቅርጽ ከሆነ በስሌት ($\ref{eqn:psi_and_h}$) ውስጥ ያለው $\psi(\xi)$ የ $Ce^{\xi^2/2}$ ቅርጽ ይወስዳል እና $\xi \to \infty$ ሲሆን ይፈነዳል። ይህ በስሌት ($\ref{eqn:psi_approx}$) ውስጥ $A=0, B\neq0$ የሆነውን ኖርማላይዝ ሊደረግ የማይችል መፍትሔ ይወክላል።

ስለዚህ ተከታታዩ $\sum a_j$ ውስን መሆን አለበት። አንድ ‘ከፍተኛው’ $j$ እሴት $n\in \mathbb{N}$ መኖር አለበት እና $j>n$ ሲሆን $a_j=0$ መሆን አለበት፤ ይህም እንዲሆን ለ $0$ ያልሆነ $a_n$ የ $a_{n+2}=0$ መሆን አለበት፣ ስለዚህ ከስሌት ($\ref{eqn:recursion_formula}$)

\[K = 2n + 1\]

መሆን አለበት። ይህን ወደ ስሌት ($\ref{eqn:K}$) ብንተካ፣ በአካላዊ ሁኔታ የሚፈቀዱ ኃይሎች

\[E_n = \left(n+\frac{1}{2} \right)\hbar\omega, \quad n=0,1,2,\dots \label{eqn:E_n}\tag{14}\]

እናገኛለን። በዚህም የሃርሞኒክ ኦሲሌተር ቋሚ ሁኔታዎች $\psi_n$ እና የኃይል ደረጃ $E_n$ በሚለው ክፍል ውስጥ ያለውን ስሌት (21) የኃይል መጠን-ተከፋፈል ሁኔታ ሙሉ በሙሉ በተለየ መንገድ ተጠቅመን እንደገና አግኝተናል።

ኤርሚት ፖሊኖሚያሎች (Hermite polynomials) $H_n(\xi)$ እና ቋሚ ሁኔታዎች $\psi_n(x)$

ኤርሚት ፖሊኖሚያሎች $H_n$

በአጠቃላይ $h_n(\xi)$ በ $\xi$ ላይ የ $n$ ኛ ደረጃ ፖሊኖሚያል ነው፣ እና $n$ ጥንድ ከሆነ ጥንድ ደረጃዎችን ብቻ፣ $n$ ነጠላ ከሆነ ደግሞ ነጠላ ደረጃዎችን ብቻ ያካትታል። እዚህ ከፊት ያለውን ኮፊሺየንት($a_0$ ወይም $a_1$) ካስወገድን የቀረውን ኤርሚት ፖሊኖሚያሎች(Hermite polynomials) $H_n(\xi)$ ብለን እንጠራዋለን።

\[h_n(\xi) = \begin{cases} a_0 H_n(\xi), & n=2k & (k=0,1,2,\dots) \\ a_1 H_n(\xi), & n=2k+1 & (k=0,1,2,\dots) \end{cases}\]

በባህላዊ መንገድ $H_n$ ውስጥ ያለው ከፍተኛ ደረጃ ተርም ኮፊሺየንት $2^n$ እንዲሆን ኮፊሺየንቱን በዘፈቀደ ይመርጣሉ።

የሚከተሉት የመጀመሪያ ጥቂት ኤርሚት ፖሊኖሚያሎች ናቸው።

\[\begin{align*} H_0 &= 1 \\ H_1 &= 2\xi \\ H_2 &= 4\xi^2 - 2 \\ H_3 &= 8\xi^3 - 12\xi \\ H_4 &= 16\xi^4 - 48\xi^2 + 12 \\ H_5 &= 32\xi^5 - 160\xi^3 + 120\xi \\ &\qquad\vdots \end{align*}\]

ቋሚ ሁኔታዎች $\psi_n(x)$

ለሃርሞኒክ ኦሲሌተር ያሉት ኖርማላይዝ የተደረጉ ቋሚ ሁኔታዎች እንደሚከተለው ናቸው።

\[\psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}.\]

ይህ በ የሃርሞኒክ ኦሲሌተር አልጀብራዊ መፍትሔ ውስጥ ያገኘነው ውጤት(ስሌት [27]) ጋር ይጣጣማል።

የሚከተለው ምስል ለመጀመሪያዎቹ 8 የ $n$ እሴቶች ቋሚ ሁኔታዎች $\psi_n(x)$ እና የፕሮባቢሊቲ ዴንሲቲ(probability density) $|\psi_n(x)|^2$ ን ያሳያል። የኳንተም ኦሲሌተሩ ኢገንፋንክሽኖች እንደ ጥንድ ፋንክሽን እና ነጠላ ፋንክሽን ተፈራርቀው እንደሚታዩ ማየት ይቻላል።

Wavefunction representations for the first eight bound eigenstates, n = 0 to 7. The horizontal axis shows the position x.

የምስል ምንጭ

Corresponding probability densities.

የምስል ምንጭ

  • ደራሲ: የዊኪሚዲያ ተጠቃሚ AllenMcC
  • ፈቃድ: Public Domain

የኳንተም ኦሲሌተሩ ከእርሱ ጋር የሚመሳሰለው ክላሲካል ኦሲሌተር በጣም የተለየ ሲሆን፣ ኃይሉ መጠን-ተከፋፈል መሆኑ ብቻ ሳይሆን የቦታ $x$ ፕሮባቢሊቲ ስርጭቱም እንግዳ የሆኑ ባህሪያትን ያሳያል።

  • በክላሲካል መካኒክስ መኖር የማይችል ክልል ውስጥም(ለተሰጠው $E$ ከክላሲካል አምፕሊቱድ የሚበልጥ $x$) የመገኘት እድሉ $0$ አይደለም፣ ዝቅተኛ እድል ቢሆንም ቅንጣቱ ሊኖር ይችላል
  • $n$ ነጠላ ለሆነ ሁሉም ቋሚ ሁኔታዎች ላይ ቅንጣቱን በመሃል የማግኘት እድል $0$ ነው

$n$ እየጨመረ ሲሄድ የኳንተም ኦሲሌተሩ ከክላሲካል ኦሲሌተሩ ጋር የሚመሳሰል ገጽታ ያሳያል። ከታች ያለው ምስል የቦታ $x$ ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ስርጭት(ተቋረጠ መስመር) እና $n=30$ ሲሆን ያለው የኳንተም ሁኔታ $|\psi_{30}|^2$(ቀጥታ መስመር) ን ያሳያል። የተንቀጠቀጡትን ክፍሎች ለስላሳ ካደረግናቸው ሁለቱ ግራፎች በግምት ተመሳሳይ ቅርጽ እንዳላቸው ማየት ይቻላል።

Quantum (solid) and classical (dashed) probability distributions of the n = 30 excited state of the quantum harmonic oscillator. The vertical dashed lines represent the classical turning points.

የምስል ምንጭ

  • ደራሲ: የዊኪሚዲያ ተጠቃሚ AkanoToE
  • ፈቃድ: Public Domain

የኳንተም ኦሲሌተር ፕሮባቢሊቲ ስርጭቶች መስተጋብራዊ ማሳያ

የሚከተለው እኔ ራሴ የጻፍኩት በ Plotly.js ላይ የተመሠረተ ምላሽ-ሰጪ ምስላዊ ማሳያ ነው። በስላይደሩ የ $n$ እሴትን እያስተካከሉ ለቦታ $x$ ያለውን ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ስርጭት እና $|\psi_n|^2$ ያለውን ቅርጽ ማየት ይችላሉ።

በተጨማሪም፣ በራስዎ ኮምፒውተር ላይ Python መጠቀም የሚችሉ ከሆነ እና Numpy, Plotly, Dash ቤተ-መጻሕፍት የተጫኑበት አካባቢ ካለ፣ በዚያው ሪፖዚቶሪ ውስጥ ያለውን /src/quantum_oscillator.py የ Python ስክሪፕት በማስኬድ ውጤቱን ማየት ይችላሉ።

Physics, Modern Physics
Quantum Mechanics Schrödinger Equation Wave Function Hermite Polynomials
ይህ ልጥፍ በ CC BY-NC 4.0 ፈቃድ ስር ነው።

© Yunseo Kim. አንዳንድ መብቶች የተጠበቁ ናቸው።

በ Jekyll የተገነባ፣ ከ Chirpy ገጽታ ጋር።