ቋሚ ኮኤፊሺዎንቶችን ያላቸው 2ኛ ደረጃ አንድ-ዓይነት መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌቶች
የባህሪ ስሌቱ ዲስክሪሚናንት ምልክት መሠረት በማድረግ፣ የቋሚ ኮኤፊሺዎንቶች አንድ-ዓይነት መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌት አጠቃላይ መፍትሄ በሦስት አጋጣሚዎች ምን ቅርጽ እንደሚኖረው እንመልከታለን።
ማጠቃለያ
- ቋሚ ኮኤፊሺዎንቶችን ያለው 2ኛ ደረጃ አንድ-ዓይነት መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌት: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
- የባህሪ ስሌት(characteristic equation): $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
- በየባህሪ ስሌቱ ዲስክሪሚናንት $a^2 - 4b$ ምልክት መሠረት የአጠቃላይ መፍትሄው ቅርጽ እንደሚከተለው በሶስት አጋጣሚዎች ሊከፈል ይችላል
አጋጣሚ የባህሪ ስሌቱ ሥሮች የተራ ልዩነት ስሌቱ መፍትሄዎች መሠረት የተራ ልዩነት ስሌቱ አጠቃላይ መፍትሄ I የተለያዩ እውነተኛ ሥሮች
$\lambda_1$, $\lambda_2$$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$ $y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$ II ድርብ እውነተኛ ሥር
$\lambda = -\cfrac{1}{2}a$$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$ $y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$ III የተዛማጅ ውስብስብ ሥሮች
$\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$,
$\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$,
$e^{-ax/2}\sin{\omega x}$$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$
ቅድመ ሁኔታዎች
- የቤርኑሊ(Bernoulli) ስሌት
- የ2ኛ ደረጃ አንድ-ዓይነት መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌቶች (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
- የኦይለር(Euler) ቀመር
የባህሪ ስሌት (characteristic equation)
ኮኤፊሺዎንቶቹ $a$ እና $b$ ቋሚ የሆኑበትን 2ኛ ደረጃ አንድ-ዓይነት መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌት
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]እንመልከት። ይህ አይነት ስሌት በመካኒካዊ እና ኤሌክትሪካዊ ንዝረቶች ውስጥ ጠቃሚ ተግባራዊነት አለው።
ከዚህ በፊት የቤርኑሊ(Bernoulli) ስሌት ውስጥ የሎጂስቲክ ስሌቱን አጠቃላይ መፍትሄ አግኝተናል፣ በዚያም መሠረት ቋሚ ኮኤፊሺዎንት $k$ ያለው 1ኛ ደረጃ መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌት
\[y^\prime + ky = 0\]መፍትሄው የኤክስፖነንሺያል ተግባር $y = ce^{-kx}$ ነው። (በዚያ ጽሑፍ ውስጥ ካለው ስሌት (4) ውስጥ $A=-k$, $B=0$ በሆነበት አጋጣሚ)
ስለዚህ፣ ከዚህ ጋር ተመሳሳይ ቅርጽ ላለው ስሌት ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) ውስጥም
\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]የሚለውን ቅርጽ ያለ መፍትሄ በመጀመሪያ ልንሞክር እንችላለን።
እርግጥ ይህ እስካሁን ድረስ ግምት ብቻ ነው፣ እና አጠቃላይ መፍትሄው በእርግጥ ይህን ቅርጽ ይይዛል ብሎ ማረጋገጥ አይቻልም። ነገር ግን ምንም ቢሆን መስመራዊ ገለልተኛ የሆኑ ሁለት መፍትሄዎችን ብቻ ካገኘን፣ የ2ኛ ደረጃ አንድ-ዓይነት መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌቶች ውስጥ እንዳየነው በየልዕለት መርህ መሠረት አጠቃላይ መፍትሄውን ማግኘት እንችላለን።
ትንሽ ቆይተን እንደምናየው፣ ሌላ ቅርጽ ያለ መፍትሄ ማግኘት የሚያስፈልግበት አጋጣሚም አለ።
ስሌት ($\ref{eqn:general_sol}$) እና የእርሱ ተዋረዶች
\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]ን ወደ ስሌት ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) በማስገባት
\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]እናገኛለን። ስለዚህ $\lambda$ የባህሪ ስሌቱ(characteristic equation)
\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]ሥር ከሆነ፣ የኤክስፖነንሺያል ተግባሩ ($\ref{eqn:general_sol}$) የተራ ልዩነት ስሌቱ ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) መፍትሄ ይሆናል። የኳድራቲክ ስሌቱ ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) ሥሮችን ከፈታን
\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a - \sqrt{a^2 - 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]እናገኛለን፣ ከዚህም ሁለቱ ተግባሮች
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]የስሌቱ ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) መፍትሄዎች ይሆናሉ።
የባህሪ ስሌት(characteristic equation) እና የረዳት ስሌት(auxiliary equation) የሚሉት ሁለት ቃላት ብዙ ጊዜ በመተካከል ይጠቀማሉ፣ ግን ሙሉ በሙሉ አንድ ትርጉም አላቸው። የቱንም ብትጠቀሙ ችግር የለውም።
አሁን በባህሪ ስሌቱ ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) ዲስክሪሚናንት $a^2 - 4b$ ምልክት መሠረት አጋጣሚዎቹን ሶስት ክፍሎች ማካፈል እንችላለን።
- $a^2 - 4b > 0$: ሁለት የተለያዩ እውነተኛ ሥሮች
- $a^2 - 4b = 0$: ድርብ እውነተኛ ሥር
- $a^2 - 4b < 0$: የተዛማጅ ውስብስብ ሥሮች
በባህሪ ስሌቱ ዲስክሪሚናንት ምልክት መሠረት የአጠቃላይ መፍትሄ ቅርጽ
I. ሁለት የተለያዩ እውነተኛ ሥሮች $\lambda_1$ እና $\lambda_2$
በዚህ አጋጣሚ በማንኛውም ክልል ላይ ያለው የስሌቱ ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) መፍትሄዎች መሠረት
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]ሲሆን፣ በዚህ መሠረት የሚገኘው አጠቃላይ መፍትሄ
\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]ነው።
II. ድርብ እውነተኛ ሥር $\lambda = -\cfrac{a}{2}$
$a^2 - 4b = 0$ ከሆነ የኳድራቲክ ስሌቱ ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) አንድ ብቻ ሥር $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$ ይኖረዋል፣ ስለዚህ ከእርሱ ልናገኘው የምንችለው $y = e^{\lambda x}$ ቅርጽ ያለ መፍትሄ
\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]አንድ ብቻ ነው። መሠረት ለማግኘት $y_1$ ጋር ገለልተኛ የሆነ ሌላ ቅርጽ ያለ ሁለተኛ መፍትሄ $y_2$ ማግኘት አለብን።
በእንደዚህ ያለ ሁኔታ ልንጠቀምበት የምንችለው ቀደም ሲል ያየነው የደረጃ መቀነስ ነው። ልናገኘው የምንፈልገውን ሁለተኛ መፍትሄ $y_2=uy_1$ ብለን ብናስቀምጥ፣
\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]እነዚህን ወደ ስሌት ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) በማስገባት
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]እናገኛለን። $u^{\prime\prime}$፣ $u^\prime$፣ $u$ ያላቸውን አባላት በየቡድናቸው ሰብስበን ካዘጋጀን
\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]ይሆናል። እዚህ $y_1$ የስሌቱ ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) መፍትሄ ስለሆነ በመጨረሻው ቅንፍ ውስጥ ያለው ንግግር $0$ ነው፣
\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]ስለሆነም በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ ያለው ንግግርም $0$ ነው። ስለዚህ $u^{\prime\prime}y_1 = 0$ ብቻ ይቀራል፣ ከዚህም $u^{\prime\prime}=0$ እንደሆነ እናገኛለን። ሁለት ጊዜ ኢንተግሬት ካደረግን $u = c_1x + c_2$ ይሆናል፣ እና የኢንተግሬሽን ቋሚዎቹ $c_1$ እና $c_2$ ማንኛውም እሴት ሊኖራቸው ስለሚችል ቀላሉን $c_1=1$, $c_2=0$ በመምረጥ $u=x$ ብለን ማስቀመጥ እንችላለን። ከዚያ $y_2 = uy_1 = xy_1$ ይሆናል፣ እና $y_1$ እና $y_2$ መስመራዊ ገለልተኛ ስለሆኑ ሁለቱም መሠረት ይፈጥራሉ። ስለዚህ የባህሪ ስሌቱ ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) ድርብ ሥር ሲኖረው በማንኛውም ክልል ላይ ያለው የስሌቱ ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) መፍትሄዎች መሠረት
\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]ሲሆን፣ ከእርሱ ጋር የሚዛመደው አጠቃላይ መፍትሄ
\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]ነው።
III. የተዛማጅ ውስብስብ ሥሮች $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ እና $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$
በዚህ አጋጣሚ $a^2 - 4b < 0$ እና $\sqrt{-1} = i$ ስለሆነ ከስሌት ($\ref{eqn:lambdas}$)
\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]እንደምናገኝ፣ እዚህ እውነተኛውን $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$ ብለን እንግለጽ።
$\omega$ ን ከላይ እንደተገለጸው ካቀረብን፣ የባህሪ ስሌቱ ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) ሥሮች የተዛማጅ ውስብስብ ሥሮች $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$ ይሆናሉ፣ እና ከእነርሱ ጋር የሚዛመዱ ሁለቱ የስሌቱ ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) ውስብስብ መፍትሄዎች
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]ን እናገኛለን። ነገር ግን በዚህ አጋጣሚም የማይምሳሌ እውነተኛ መፍትሄዎችን መሠረት እንደሚከተለው ማግኘት እንችላለን።
የኦይለር(Euler) ቀመር
\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]እና በላዩ ውስጥ $t$ ቦታ $-t$ በማስገባት የምናገኘው
\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]የሚለውን ሁለቱን ስሌቶች በየጎናቸው በመደመርና በመቀነስ የሚከተለውን እናገኛለን።
\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]እውነተኛ ክፍሉ $r$ እና ምናባዊ ክፍሉ $it$ የሆነ ውስብስብ ተለዋዋጭ $z = r + it$ ያለው ውስብስብ ኤክስፖነንሺያል ተግባር $e^z$ እውነተኛ ተግባሮቹን $e^r$, $\cos t$ እና $\sin t$ በመጠቀም እንደሚከተለው ልንገልጸው እንችላለን።
\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + i\sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]እዚህ $r=-\cfrac{1}{2}ax$, $t=\omega x$ ብለን ካስቀመጥን የሚከተለውን እንጽፋለን።
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]በየልዕለት መርህ መሠረት ከላይ ያሉት ውስብስብ መፍትሄዎች ድምርና በቋሚ ቁጥር መባዛት ደግሞ መፍትሄ ይሆናሉ። ስለዚህ ሁለቱን እኩልነቶች በየጎናቸው በመደመር ከዚያም በሁለቱም ጎኖች $\cfrac{1}{2}$ በመባዛት የመጀመሪያውን እውነተኛ መፍትሄ $y_1$ እንደሚከተለው እናገኛለን።
\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]በተመሳሳይ መንገድ ከመጀመሪያው እኩልነት ሁለተኛውን በየጎናቸው በመቀነስ ከዚያም በሁለቱም ጎኖች $\cfrac{1}{2i}$ በመባዛት ሁለተኛውን እውነተኛ መፍትሄ $y_2$ ማግኘት እንችላለን።
\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]$\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ ሲሆን ይህ ቋሚ አይደለም፣ ስለዚህ $y_1$ እና $y_2$ በሁሉም ክልሎች መስመራዊ ገለልተኛ ናቸው፤ በዚህም ምክንያት የስሌቱ ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) እውነተኛ መፍትሄዎች መሠረትን ይፈጥራሉ። ከዚህም የሚከተለውን አጠቃላይ መፍትሄ
\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(}A,\, B\text{ ማንኛውም ቋሚዎች ናቸው)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]እናገኛለን።