የ2ኛ ደረጃ አል-ሆሞጄንየስ መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌቶች (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)

TL;DR

• የ2ኛ ደረጃ አል-ሆሞጄንየስ መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌት $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$ ၏ አጠቃላይ መፍትሔ:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: የሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$ አጠቃላይ መፍትሔ $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: ለተዛማጁ አል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት የተለየ መፍትሔ
• የምላሽ ክፍሉ $y_p$ የሚወሰነው በግቤት $r(x)$ ብቻ ሲሆን፣ ለአንድ አይነት አል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት የመጀመሪያ ሁኔታዎች ቢለያዩም $y_p$ አይለወጥም። የአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ሁለት የተለዩ መፍትሔዎች ልዩነት ደግሞ ተዛማጁ ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት መፍትሔ ይሆናል።
• የአጠቃላይ መፍትሔ መኖር: የአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ኮኤፊሺየንቶች $p(x)$, $q(x)$ እና የግቤት ተግባር $r(x)$ ቀጣይ ከሆኑ አጠቃላይ መፍትሔ ሁልጊዜ ይኖራል
• የልዩ መፍትሔ አለመኖር: አጠቃላይ መፍትሔው ሁሉንም መፍትሔዎች ይይዛል (ማለትም ልዩ መፍትሔ የለም)

ቅድመ ዕውቀቶች

• የ2ኛ ደረጃ ሆሞጄንየስ መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌቶች
• ብሮንስኪያን(Wronskian), የመፍትሔ መኖር እና አንድነት

የ2ኛ ደረጃ አል-ሆሞጄንየስ መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌቶች አጠቃላይ መፍትሔ እና የተለየ መፍትሔ

የ2ኛ ደረጃ አል-ሆሞጄንየስ መስመራዊ ተራ ልዩነት ስሌት

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

እንመልከት። እዚህ $r(x) \not\equiv 0$ ነው። በክፍት ክልል $I$ ላይ የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) አጠቃላይ መፍትሔ ማለት ከዚህ አል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ጋር የሚዛመደው ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

የአጠቃላይ መፍትሔው $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ እና የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) የተለየ መፍትሔ $y_p$ ድምር

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

በሚለው ቅርጽ ነው። በተጨማሪም በክልል $I$ ላይ የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) የተለየ መፍትሔ ማለት በ$y_h$ ውስጥ ላሉ ማናቸውም ቋሚዎች $c_1$ እና $c_2$ ልዩ እሴቶችን በመመደብ ከስሌት ($\ref{eqn:general_sol}$) የሚገኘው መፍትሔ ነው።

በሌላ አነጋገር፣ በሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) ላይ በገለልተኛ ተለዋዋጭ $x$ ብቻ የሚወሰን ግቤት $r(x)$ ከተጨመረ፣ ከዚህ ጋር የሚዛመድ ክፍል $y_p$ በምላሹ ላይ ይጨመራል፤ ይህም የተጨመረው የምላሽ ክፍል $y_p$ ከመጀመሪያ ሁኔታዎች ጋር ግንኙነት ሳይኖረው በ$ r(x)$ ብቻ ይወሰናል። በኋላ እንደምናየው፣ የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) ማናቸውም ሁለት መፍትሔዎች $y_1$ እና $y_2$ ልዩነት ሲወሰድ (ማለትም ለሁለት የተለያዩ የመጀመሪያ ሁኔታዎች የሚሰጡ ሁለት የተለዩ መፍትሔዎች ልዩነት ሲወሰድ) ከመጀመሪያ ሁኔታዎች ነጻ የሆነው $y_p$ ክፍል ይጠፋል እና ${y_h}_1$ እና ${y_h}_2$ ልዩነት ብቻ ይቀራል፤ ይህም በየሱፐርፖዚሽን መርህ መሠረት የስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) መፍትሔ ይሆናል።

በአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት መፍትሔዎችና ከእሱ ጋር ተዛማጅ በሆነው ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት መፍትሔዎች መካከል ያለ ግንኙነት

ቲዎረም 1: በአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) መፍትሔዎችና በሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) መፍትሔዎች መካከል ያለ ግንኙነት
(a) በአንድ ክፍት ክልል $I$ ላይ የአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) መፍትሔ $y$ እና የሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) መፍትሔ $\tilde{y}$ ድምር በክልል $I$ ላይ የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) መፍትሔ ነው። በተለይም ስሌት ($\ref{eqn:general_sol}$) በክልል $I$ ላይ የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) መፍትሔ ነው።
(b) በክልል $I$ ላይ የአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) ሁለት መፍትሔዎች ልዩነት በክልል $I$ ላይ የሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) መፍትሔ ነው።

ማረጋገጫ

(a)

የስሌቶች ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) እና ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) የግራ በኩል ክፍልን $L[y]$ ብለን እንሰይም። እንግዲህ በክልል $I$ ላይ ለስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) ማንኛውም መፍትሔ $y$ እና ለስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) ማንኛውም መፍትሔ $\tilde{y}$ የሚከተለው ይሟላል።

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

በክልል $I$ ላይ ለስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) ማንኛውም ሁለት መፍትሔዎች $y$ እና $y^*$ የሚከተለው ይሟላል።

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

የአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት አጠቃላይ መፍትሔ ሁሉንም መፍትሔዎች ይይዛል

ለሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) አጠቃላይ መፍትሔው ሁሉንም መፍትሔዎች እንደሚይዝ እናውቃለን። ለአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) ደግሞ ይህ እንደሚሠራ እናሳይ።

ቲዎረም 2: የአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት አጠቃላይ መፍትሔ ሁሉንም መፍትሔዎች ይይዛል
የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) ኮኤፊሺየንቶች $p(x)$, $q(x)$ እና የግቤት ተግባር $r(x)$ በአንድ ክፍት ክልል $I$ ላይ ቀጣይ ከሆኑ፣ በክልል $I$ ላይ የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) ሁሉም መፍትሔዎች በክልል $I$ ላይ ያለው የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) አጠቃላይ መፍትሔ ($\ref{eqn:general_sol}$) ውስጥ ባለው $y_h$ የማንኛውም ቋሚዎች $c_1$ እና $c_2$ ላይ ተገቢ እሴቶችን በመመደብ ሊገኙ ይችላሉ።

ማረጋገጫ

$y^*$ በ$I$ ላይ የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) አንድ መፍትሔ ይሁን፣ $x_0$ ደግሞ በክልል $I$ ውስጥ ያለ አንድ $x$ ይሁን። ቀጣይ ተለዋዋጭ ኮኤፊሺየንቶች ያሉት የሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት አጠቃላይ መፍትሔ መኖር ቲዎረም መሠረት $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ አለ፣ እና በኋላ የምንማረው የመለኪያ ለውጥ ዘዴ(method of variation of parameters) በመጠቀም $y_p$ ደግሞ ስለሚኖር በክልል $I$ ላይ የስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) አጠቃላይ መፍትሔ ($\ref{eqn:general_sol}$) ይኖራል። አሁን ከዚህ በፊት በማረጋገጫው ያሳየነው ቲዎረም 1(b) መሠረት $Y = y^* - y_p$ በክልል $I$ ላይ የሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) መፍትሔ ነው፣ እና በ$x_0$ ላይ

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

ነው። የመነሻ እሴት ችግር መፍትሔ መኖርና አንድነት ቲዎረም መሠረት በክልል $I$ ላይ ለእነዚህ መነሻ ሁኔታዎች $y_h$ ውስጥ ላሉት $c_1$, $c_2$ ተገቢ እሴቶችን በመመደብ የሚገኝ የሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) የተለየ መፍትሔ $Y$ ብቻውን ይኖራል። $y^* = Y + y_p$ ስለሆነ፣ የአል-ሆሞጄንየስ ተራ ልዩነት ስሌት ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) ማንኛውም የተለየ መፍትሔ $y^*$ ከአጠቃላይ መፍትሔው ($\ref{eqn:general_sol}$) ሊገኝ እንደሚችል አሳይተናል። $\blacksquare$