የተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተን ፈተናዎች

TL;DR

• የአጠቃላይ አባል ፈተና($n$th-term test for divergence): $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{ተከታታይ ድምር }\sum a_n \text{ ይበተናል}$
• የጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተን: ጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር(geometric series) $\sum ar^{n-1}$ ከሆነ
  • $|r| < 1$ ከሆነ ይቀራረባል
  • $|r| \geq 1$ ከሆነ ይበተናል
• የ$p$-ተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተን: $p$-ተከታታይ ድምር($p$-series) $\sum \cfrac{1}{n^p}$ ከሆነ
  • $p>1$ ከሆነ ይቀራረባል
  • $p\leq 1$ ከሆነ ይበተናል
• የንጽጽር ፈተና(Comparison Test): $0 \leq a_n \leq b_n$ ሲሆን,
  • $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
  • $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
• የገደብ ንጽጽር ፈተና(Limit Comparison Test): ከሆነ $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ ውሱን አዎንታዊ ቁጥር ነው)}$ ሁለቱም ተከታታይ ድምሮች $\sum a_n$ እና $\sum b_n$ ወይ ሁለቱም ይቀራረባሉ ወይም ሁለቱም ይበተናሉ
• ለአዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ እና አዎንታዊ ቁጥር $\epsilon < 1$
  • ለሁሉም $n$ ላይ $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
  • ለሁሉም $n$ ላይ $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይበተናል
• የሥር ፈተና(Root Test): በአዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ውስጥ የገደብ እሴት $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$ ካለ,
  • $r<1$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
  • $r>1$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይበተናል
• የጥምርታ ፈተና(Ratio Test): ለአዎንታዊ ተከታታይ $(a_n)$ እና $0 < r < 1$
  • ለሁሉም $n$ ላይ $a_{n+1}/a_n \leq r$ ከሆነ, ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
  • ለሁሉም $n$ ላይ $a_{n+1}/a_n \geq 1$ ከሆነ, ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይበተናል
• በአዎንታዊ ተከታታይ $(a_n)$ ውስጥ የገደብ እሴት $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ እንዳለ ካሰብን,
  • $\rho < 1$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
  • $\rho > 1$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይበተናል
• የኢንተግራል ፈተና(Integral Test): ቀጣይ ተግባር $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ እየቀነሰ የሚሄድ ተግባር እና ሁልጊዜ $f(x)>0$ ሲሆን, ተከታታይ ድምር $\sum f(n)$ እንዲቀራረብ የሚያስፈልገውና የሚበቃው ሁኔታ ኢንተግራሉ $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$ መቀራረቡ ነው
• የተለዋዋጭ ምልክት ተከታታይ ድምር ፈተና(Alternating Series Test): የሚከተሉት ሁኔታዎች ከተሟሉ ተለዋዋጭ ምልክት ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
  1. ለሁሉም $n$ ላይ $a_n$ እና $a_{n+1}$ ምልክታቸው ይለያያል
  2. ለሁሉም $n$ ላይ $|a_n| \geq |a_{n+1}|$
  3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
• በፍጹም የሚቀራረብ ተከታታይ ድምር ይቀራረባል። ተገላቢጦሹ ግን አይሰራም።

Prerequisites

• ተከታታዮችና ተከታታይ ድምሮች

መግቢያ

ቀደም ሲል ተከታታዮችና ተከታታይ ድምሮች በሚለው ጽሑፍ ውስጥ የተከታታይ ድምር መቀራረብና መበተን ትርጉም ተመልክተናል። በዚህ ጽሑፍ ደግሞ የተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተንን ለመወሰን ሊጠቅሙ የሚችሉ የተለያዩ ዘዴዎችን እናጠቃልላለን። በአጠቃላይ የተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተንን መፈተን የተከታታይ ድምሩን ጠቅላላ ድምር በትክክል ከማግኘት ይልቅ እጅግ ቀላል ነው።

የአጠቃላይ አባል ፈተና

ለተከታታይ ድምር $\sum a_n$፣ $a_n$-ን የዚያ ተከታታይ ድምር አጠቃላይ አባል ብለን እንጠራዋለን።

በሚከተለው መረጃ መሰረት አንዳንድ ተከታታይ ድምሮች በግልጽ ሁኔታ እንደሚበተኑ በቀላሉ ማወቅ ይቻላል፤ ስለዚህ የአንድ ተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተን ሲፈተን በመጀመሪያ ይህን መመርመር ጊዜ እንዳይባክን የሚረዳ ጥሩ ዘዴ ነው።

የአጠቃላይ አባል ፈተና($n$th-term test for divergence)
ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ የሚቀራረብ ከሆነ,

\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]

ይሆናል። ማለትም,

\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{ተከታታይ ድምር }\sum a_n \text{ ይበተናል}\]

ነው።

ማረጋገጫ

የሚቀራረብ ማንኛውንም ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ጠቅላላ ድምሩን $l$ እንበል፤ እስከ መጀመሪያው $n$ አባል ድረስ ያለውን ከፊል ድምርም

\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

ብለን እንውሰድ፤ ከዚያ

\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]

ስለዚህ በበቂ ሁኔታ ትልቅ($>N$) $n$ ላይ

\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]

ይሆናል፤ ስለዚህ ከተከታታይ መቀራረብ ትርጉም ይመነጫል የሚለው

\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]

ማስጠንቀቂያ

የዚህ መረጃ ተገላቢጦሽ በአጠቃላይ እውነት አይደለም። ይህን የሚያሳይ የተለመደ ምሳሌ ሃርሞኒክ ተከታታይ ድምር(harmonic series) ነው።

ሃርሞኒክ ተከታታይ ድምር የእያንዳንዱ አባል የአሪትሜቲክ ተከታታይ ተገላቢጦሽ በሆነ ተከታታይ፣ ማለትም ሃርሞኒክ ተከታታይ(harmonic sequence) የሚገኝ ተከታታይ ድምር ነው። የታወቀው ሃርሞኒክ ተከታታይ ድምር

\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]

ነው። ይህ ተከታታይ ድምር እንደሚበተን እንዲህ ማሳየት ይቻላል።

\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]

እንዲህ ሆኖ ተከታታይ ድምር $H_n$ ቢበተንም፣ አጠቃላይ አባሉ $1/n$ ወደ $0$ እንደሚቀራረብ እናውቃለን።

$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ግዴታ ይበተናል፤ ነገር ግን $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ ብሎ ብቻ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል ብሎ ማሰብ አደገኛ ነው፤ በዚህ ሁኔታ ሌሎች ዘዴዎችን ተጠቅመን መቀራረብ/መበተንን መወሰን ያስፈልጋል።

ጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር

የመጀመሪያ አባሉ 1 እና የጋራ ጥምርታው $r$ የሆነ ጂኦሜትሪክ ተከታታይ የሚያመነጨው ጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር(geometric series)

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]

ከሁሉም በላይ አስፈላጊና መሠረታዊ ተከታታይ ድምሮች አንዱ ነው። በዚህ ጊዜ እኩልነቱ

\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]

ስለሆነ

\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]

እናገኛለን። በሌላ በኩል

\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]

ስለሆነ፣ ጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር ($\ref{eqn:geometric_series}$) እንዲቀራረብ የሚያስፈልገውና የሚበቃው ሁኔታ $|r| < 1$ መሆኑን እናውቃለን።

የጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተን
ጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር $\sum ar^{n-1}$ ከሆነ

• $|r| < 1$ ከሆነ ይቀራረባል
• $|r| \geq 1$ ከሆነ ይበተናል

ከዚህም

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]

እናገኛለን።

ጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር እና ግምታዊ እሴቶች

መለያ እኩልነቱ ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$) በ$|r| < 1$ ጊዜ $\cfrac{1}{1-r}$ የግምታዊ እሴት ለማግኘት ጠቃሚ ነው።

በዚህ ስሌት ውስጥ $r=-\epsilon$, $n=2$ ብለን ብንተካ,

\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]

እናገኛለን። ስለዚህ $0 < \epsilon < 1$ ከሆነ

\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]

እና

\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]

እንዲሆን እናገኛለን። ከዚህ በመነሳት፣ በበቂ ሁኔታ ትንሽ ለሆነ አዎንታዊ $\epsilon$ ላይ $\cfrac{1}{1 + \epsilon}$ በ $1 - \epsilon$ መግምት እንደሚቻል እናውቃለን።

የ$p$-ተከታታይ ድምር ፈተና ($p$-Series Test)

ለአዎንታዊ እውነተኛ ቁጥር $p$፣ የሚከተለውን ቅርጽ ያለው ተከታታይ ድምር $p$-ተከታታይ ድምር ይባላል።

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]

የ$p$-ተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተን
$p$-ተከታታይ ድምር $\sum \cfrac{1}{n^p}$ ከሆነ

• $p>1$ ከሆነ ይቀራረባል
• $p\leq 1$ ከሆነ ይበተናል

በ$p$-ተከታታይ ድምር ውስጥ $p=1$ ከሆነ ሃርሞኒክ ተከታታይ ድምር ይሆናል፣ እሱም እንደሚበተን ከዚህ ቀደም አይተናል።
$p=2$ በሚሆንበት ጊዜ ያለው $p$-ተከታታይ ድምር፣ ማለትም $\sum \cfrac{1}{n^2}$ ዋጋ ማግኘት ችግኝ፣ ይህ ተከታታይ ድምር እንደሚቀራረብ መጀመሪያ ያሳየው እና ለብዙ ትውልዶች ብዙ ታዋቂ የሂሳብ ሰዎችን ያፈራ ቤተሰብ መኖሪያ ቦታ ስም ተከትሎ “የባዝል(Basel) ችግኝ” ተብሎ ይጠራል። የዚህ ችግኝ መልስ $\cfrac{\pi^2}{6}$ መሆኑ ይታወቃል።

ከዚያም በላይ፣ በአጠቃላይ $p$-ተከታታይ ድምር ውስጥ $p>1$ የሆነውን ዜታ ፋንክሽን(zeta function) ይላሉ። ይህ ሌዎንሃርድ ኦይለር(Leonhard Euler) በየሆሎሲን ዘመን 11740 ዓመት ያስተዋወቀውና ከዚያ በኋላ በሪማን የተሰየመ ከልዩ ፋንክሽኖች አንዱ ሲሆን,

\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]

ብለን እንገልጻዋለን።

ይህ ከዚህ ጽሑፍ ዋና ርዕስ ጥቂት ቢርቅም፣ እውነቱን ከተናገርኩ እኔ የምህንድስና ተማሪ እንጂ የሂሳብ ሰው ስላልሆንኩ በደንብ አላውቀውም እና እዚህ አልመለከተውም፤ ነገር ግን ሌዎንሃርድ ኦይለር(Leonhard Euler) ዜታ ፋንክሽኑ በኦይለር ምርት(Euler Product) ተብሎ በሚጠራ የጠቅላላ ቁጥሮች(prime number) የማይጨረስ ምርት ቅርጽ ሊገለጽ እንደሚችል አሳይቶ ነበር፤ ከዚያ በኋላም ዜታ ፋንክሽኑ በአናሌቲክ ቁጥር ንድፈ ሐሳብ ስር ባሉ ብዙ መስኮች ውስጥ ማዕከላዊ ቦታ ይይዛል። የዜታ ፋንክሽኑን የግልጽ ቁጥሮች መግለጫ ወደ ውስብስብ ቁጥሮች የሚያራዝመው ሪማን ዜታ ፋንክሽን(Riemann zeta function) እና ከእሱ ጋር የተያያዘው አስፈላጊ ያልተፈታ ችግኝ ሪማን ግምት(Riemann hypothesis) ከእነዚህ መካከል ናቸው።

ወደ መጀመሪያው ርዕስ ብንመለስ፣ የ$p$-ተከታታይ ድምር ፈተናን ለማረጋገጥ ከዚህ በኋላ የምንመለከታቸው የንጽጽር ፈተና እና የኢንተግራል ፈተና ያስፈልጋሉ። ነገር ግን የ$p$-ተከታታይ ድምር መቀራረብ/መበተን ልክ እንደ ጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር በቀጥታ ከሚቀጥለው የንጽጽር ፈተና ውስጥ ጠቃሚ ስለሆነ በማሰብ አስቀድሞ አቀረብነው።

ማረጋገጫ

i) $p>1$ ሲሆን

ኢንተግራሉ

\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]

ይቀራረባል፤ ስለዚህ የኢንተግራል ፈተና መሰረት ተከታታይ ድምር $\sum \cfrac{1}{n^p}$ ደግሞ እንደሚቀራረብ እናውቃለን።

ii) $p\leq 1$ ሲሆን

በዚህ ሁኔታ

\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]

ነው። እዚህ ሃርሞኒክ ተከታታይ ድምር $\sum \cfrac{1}{n}$ እንደሚበተን እናውቃለን፤ ስለዚህ የንጽጽር ፈተና መሰረት $\sum \cfrac{1}{n^p}$ ደግሞ እንደሚበተን እናውቃለን።

መደምደሚያ

በ i), ii) መሰረት፣ $p$-ተከታታይ ድምር $\sum \cfrac{1}{n^p}$ በ$p>1$ ሲሆን ይቀራረባል፣ በ$p \leq 1$ ሲሆን ይበተናል። $\blacksquare$

የንጽጽር ፈተና

አጠቃላይ አባላቸው $0$ ወይም ከዚያ በላይ የሆኑ እውነተኛ ቁጥሮች ያላቸው ተከታታይ ድምሮች፣ ማለትም አዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምር(series of positive terms) መቀራረብ/መበተን ለመወሰን የያኮብ ቤርኑሊ(Jakob Bernoulli) የንጽጽር ፈተና(Comparison Test) ጠቃሚ ነው።

አዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ እየጨመረ የሚሄድ ተከታታይ ስለሆነ፣ ወደ ማይጨረስ በሚበተንበት ሁኔታ($\sum a_n = \infty$) ካልሆነ በስተቀር ግዴታ ይቀራረባል። ስለዚህ በአዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምር ውስጥ

\[\sum a_n < \infty\]

የሚል አገላለጽ ይቀራረባል ማለት ነው።

የንጽጽር ፈተና(Comparison Test)
$0 \leq a_n \leq b_n$ ሲሆን,

• $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
• $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$

በተለይም ከአዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምሮች መካከል $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$ ወዘተ እንደሚሆኑ ከዚህ በፊት ያየናቸው የጂኦሜትሪክ ተከታታይ ድምር $\sum ar^{n-1}$ ወይም $p$-ተከታታይ ድምር $\sum \cfrac{1}{n^p}$ ጋር ተመሳሳይ ቅርጽ ያላቸው ተከታታይ ድምሮችን ሲፈትኑ የንጽጽር ፈተናን በንቃት ማሞከር ጥሩ ነው።

ከዚህ በኋላ የምንመለከታቸው ሌሎች ብዙ የመቀራረብ/መበተን ፈተናዎች ሁሉ ከዚህ የንጽጽር ፈተና ሊመነጩ ይችላሉ፤ በዚህ አይነት አቅጣጫ ለመመልከት የንጽጽር ፈተናው ከሁሉም በላይ አስፈላጊ ነው ማለት ይቻላል።

የገደብ ንጽጽር ፈተና

ለአዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምሮች $\sum a_n$ እና $\sum b_n$፣ በሁለቱ ተከታታይ ድምሮች አጠቃላይ አባላት ጥምርታ $a_n/b_n$ ውስጥ በላይኛውና በታችኛው ክፍል ያሉ ዋና አባላት(dominant term) ተሰርዘው $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{ ውሱን አዎንታዊ ቁጥር ነው)}$ ይሆናል ብለን እንውሰድ። በዚህ ጊዜ ተከታታይ ድምር $\sum b_n$ ይቀራረባል ወይስ ይበተናል የሚለውን ካወቅን፣ የሚከተለውን የገደብ ንጽጽር ፈተና(Limit Comparison Test) መጠቀም እንችላለን።

የገደብ ንጽጽር ፈተና(Limit Comparison Test)
ከሆነ

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ ውሱን አዎንታዊ ቁጥር ነው)}\]

ሁለቱ ተከታታይ ድምሮች $\sum a_n$ እና $\sum b_n$ ወይ ሁለቱም ይቀራረባሉ ወይም ሁለቱም ይበተናሉ። ማለትም $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$ ነው።

የሥር ፈተና

መረጃ
ለአዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ እና አዎንታዊ $\epsilon < 1$

• ለሁሉም $n$ ላይ $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
• ለሁሉም $n$ ላይ $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይበተናል

ተከታይ መረጃ: የሥር ፈተና(Root Test)
በአዎንታዊ አባላት ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ውስጥ የገደብ እሴት

\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]

አለ እንበል። በዚህ ጊዜ

• $r<1$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
• $r>1$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይበተናል

በላይ ባለው ተከታይ መረጃ ውስጥ $r=1$ ከሆነ መቀራረብ/መበተንን መወሰን አይቻልም፣ ስለዚህ ሌላ ዘዴ መጠቀም ያስፈልጋል።

የጥምርታ ፈተና

የጥምርታ ፈተና(Ratio Test)
ለአዎንታዊ ተከታታይ $(a_n)$ እና $0 < r < 1$

• ለሁሉም $n$ ላይ $a_{n+1}/a_n \leq r$ ከሆነ, ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
• ለሁሉም $n$ ላይ $a_{n+1}/a_n \geq 1$ ከሆነ, ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይበተናል

ተከታይ መረጃ
በአዎንታዊ ተከታታይ $(a_n)$ ውስጥ የገደብ እሴት $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ አለ እንበል። በዚህ ጊዜ

• $\rho < 1$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል
• $\rho > 1$ ከሆነ ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይበተናል

የኢንተግራል ፈተና

የኢንተግራል ዘዴን በመጠቀም እየቀነሰ የሚሄድ አዎንታዊ ተከታታይ የሚፈጥረው ተከታታይ ድምር ይቀራረባል ወይስ ይበተናል የሚለውን መወሰን ይቻላል።

የኢንተግራል ፈተና(Integral Test)
ቀጣይ ተግባር $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ እየቀነሰ የሚሄድ ተግባር እና ሁልጊዜ $f(x)>0$ ሲሆን, ተከታታይ ድምር $\sum f(n)$ እንዲቀራረብ የሚያስፈልገውና የሚበቃው ሁኔታ ኢንተግራሉ

\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]

መቀራረቡ ነው።

ማረጋገጫ

ፋንክሽኑ $f(x)$ ቀጣይ እና እየቀነሰ የሚሄድ ሲሆን ምልክቱም ሁልጊዜ አዎንታዊ ስለሆነ፣ የሚከተለው እኩልነት

\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]

ይፀናል። ይህን እኩልነት $n=1$ ጀምሮ እስከ አጠቃላይ አባሉ ድረስ በየክፍሉ ብንደምር፣

\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]

የሚል እኩልነት እናገኛለን። አሁን የንጽጽር ፈተና ብንጠቀም የሚፈለገውን ውጤት እናገኛለን። $\blacksquare$

ተለዋዋጭ ምልክት ተከታታይ ድምር

አጠቃላይ አባሉ $0$ ያልሆነ እና የእያንዳንዱ አባል $a_n$ ምልክት ከሚቀጥለው አባል $a_{n+1}$ ምልክት የሚለያይ፣ ማለትም አዎንታዊና አሉታዊ አባላት በተራ የሚታዩበት ተከታታይ ድምር $\sum a_n$-ን ተለዋዋጭ ምልክት ተከታታይ ድምር(alternating series) ይላሉ።

ለተለዋዋጭ ምልክት ተከታታይ ድምር በጀርመን የሂሳብ ሰው ጎትፍሪድ ቪልሄልም ላይብኒትስ(Gottfried Wilhelm Leibniz) ያገኘውን የሚከተለውን መረጃ በመቀራረብ/መበተን ፈተና ላይ በጠቃሚ ሁኔታ መጠቀም ይቻላል።

የተለዋዋጭ ምልክት ተከታታይ ድምር ፈተና(Alternating Series Test)

1. ለሁሉም $n$ ላይ $a_n$ እና $a_{n+1}$ ምልክታቸው የተለያየ ከሆነ,
2. ለሁሉም $n$ ላይ $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ ከሆነ,
3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ ከሆነ,

ተለዋዋጭ ምልክት ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ ይቀራረባል።

በፍጹም የሚቀራረብ ተከታታይ ድምር

ለተከታታይ ድምር $\sum a_n$፣ ተከታታይ ድምር $\sum |a_n|$ የሚቀራረብ ከሆነ “ተከታታይ ድምር $\sum a_n$ በፍጹም ይቀራረባል(converge absolutely)” ብለን እንላለን።

በዚህ ጊዜ የሚከተለው መረጃ ይፀናል።

መረጃ
በፍጹም የሚቀራረብ ተከታታይ ድምር ይቀራረባል።

የላይኛው መረጃ ተገላቢጦሽ አይፀናም።
ተከታታይ ድምር የሚቀራረብ ነገር ግን በፍጹም የማይቀራረብ ከሆነ “በሁኔታ ይቀራረባል(converge conditionally)” ይባላል።

ማረጋገጫ

ለእውነተኛ ቁጥር $a$

\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]

ብለን ብንውሰድ,

\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]

እናገኛለን። ከዚያ $0 \leq a^\pm \leq |a|$ ስለሆነ፣ የንጽጽር ፈተና መሰረት ተከታታይ ድምር $\sum |a_n|$ የሚቀራረብ ከሆነ ተከታታይ ድምሮች $\sum a_n^+$ እና $\sum a_n^-$ ሁለቱም ይቀራረባሉ፤ ስለዚህ የሚቀራረቡ ተከታታይ ድምሮች መሠረታዊ ባህሪያት መሰረት

\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]

ደግሞ ይቀራረባል። $\blacksquare$