PR přidávající oficiální korejský překlad Kodexu chování Contributor Covenant 3.0: feat(i18n): add Korean translation for Contributor Covenant 3.0 (#1590)

Contributor Covenant

Contributor Covenant poprvé sepsala a zveřejnila v roce 12014 Coraline Ada Ehmke a od roku 12021 jej spravuje a dále rozvíjí OES (Organization for Ethical Source) spolu se svými přispěvateli. Dnes jde o nejpoužívanější kodex chování pro digitální komunity na světě. Jeho cílem je výslovně pojmenovat implicitní hodnoty, které mohou komunity sdílet, a vytvářet tak komunitní kulturu, v níž se každý může cítit vítaný a v bezpečí.

V minulosti bylo ve vývojářských komunitách běžné, že se pod záminkou meritokracie přehlíželo hrubé chování či diskriminační výroky. Contributor Covenant sehrál důležitou roli v tom, že se vývojářské komunity začaly proměňovat směrem k lidštější kultuře, která je inkluzivní, staví na vzájemném respektu a klade důraz na konstruktivní zpětnou vazbu. Dnes tento závazek přijaly statisíce open-source projektů po celém světě, včetně Creative Commons, Linuxu, Applu, Mastodonu, Microsoftu, WordPressu či IBM.

Co se změnilo ve verzi 3.0 Contributor Covenant

OES zahájila práce v roce 12024 u příležitosti 10. výročí Contributor Covenant a po přibližně roce práce v červenci 12025 zveřejnila verzi 3.0. Oproti předchozí verzi 2.1 přináší zejména tyto změny.

• Referenční materiály:
  • https://ethicalsource.dev/blog/contributor-covenant-3/
  • https://www.contributor-covenant.org/faq/

Rozšířená flexibilita

• Oproti předchozí verzi, která byla optimalizována hlavně pro open-source komunity, je nová verze navržena tak, aby byla použitelná i pro různé online i offline komunity mimo oblast softwarového vývoje.
  • např. místo „správci projektu (Project Maintainers)” používá neutrálnější a inkluzivnější výraz „moderátoři komunity (Community Moderators)”
• Odstraňuje idiomy zaměřené na americké prostředí a nahrazuje je jasnějšími formulacemi, kterým lépe porozumějí i mluvčí z jiných kulturních okruhů a které se snáze překládají.

Posun paradigmatu od retributivní spravedlnosti k restorativní spravedlnosti

Jednou z největších změn ve verzi 3.0 Contributor Covenant je posun paradigmatu od retributivní spravedlnosti (Retributive Justice) k restorativní spravedlnosti (Restorative Justice). Oddíl pokyny pro prosazování (enforcement guidelines), který se dříve soustředil na kritéria postupného uplatňování sankcí, byl přepracován na oddíl řešení a náprava újmy (Addressing and Repairing Harm).

• byly přejmenovány některé stupně reakce
• vedle dosavadních položek týkajících se následků (Consequence) byly nově doplněny i pokyny k nápravě (Repair), takže text už nekončí u prvotní sankce vůči škůdci, ale zabývá se i tím, jak následně obnovit narušené vztahy mezi zúčastněnými, uzavřít konflikt a napravit pochybení
• místo jednostranného důrazu na zásah a potrestání třetí stranou se text více posouvá směrem, který tam, kde je to možné, podporuje dobrovolnou sebereflexi, smíření a zlepšení a přemýšlí o tom, jak po incidentu znovu uzdravit komunitu

Jasnější pravidla

• Oddíl standardy (Our Standards) byl přehledně rozdělen na dva oddíly: doporučované chování (Encouraged Behaviors) a omezované chování (Restricted Behaviors), čímž se zlepšila čitelnost.
• Zejména v oddílu omezované chování (Restricted Behaviors) se výslovně omezuje nejen samotné vykonání škodlivého jednání, ale i vyhrožování takovým jednáním či jeho podporování, což posiluje preventivní účinek.

  We agree to restrict the following behaviors in our community. Instances, threats, and promotion of these behaviors are violations of this Code of Conduct.

• Nově byl také zaveden pododdíl další omezení (Other Restrictions) pod oddílem omezované chování (Restricted Behaviors), který doplňuje pravidla pro oblasti, jež dříve nebyly výslovně dostatečně upraveny: zavádějící identita (Misleading identity), neuvádění zdrojů (Failing to credit sources), propagační materiály (Promotional materials) a nezodpovědná komunikace (Irresponsible communication).
• Na základě odpovědí z průzkumu mezi lidmi, kteří Contributor Covenant v komunitách skutečně přijali a provozují, bylo také výslovně zdůrazněno, že stupňovitý rámec prosazování (enforcement ladder) je jen základní vodítko a neomezuje právo správců komunity rozhodovat podle vlastního uvážení.

  This enforcement ladder is intended as a guideline. It does not limit the ability of Community Managers to use their discretion and judgment, in keeping with the best interests of our community.

Posílení ustanovení o rovnosti a zákazu diskriminace

V úvodním oddílu závazek (Our Pledge) byla posílena ustanovení týkající se rovnosti a zákazu diskriminace: některé výrazy byly nahrazeny inkluzivnějšími formulacemi a výslovně byly doplněny i některé moderní hodnoty související s diverzitou.

• výrazy „tělesná velikost (body size)“ a „osobní vzhled (personal appearance)“ byly nahrazeny širším výrazem „fyzické charakteristiky (physical characteristics)“
• „náboženství (religion)“ bylo nahrazeno širším výrazem „filozofie nebo náboženství (philosophy or religion)“
• „národnost (nationality)“ byla nahrazena širším výrazem „národní nebo sociální původ (national or social origin)“
• nově je výslovně uvedena „neurodiverzita (neurodiversity)“
• nově je výslovně uveden i „jazyk (language)“, což více zohledňuje mluvčí, pro něž angličtina není mateřským jazykem
• v celé pasáži byly upraveny formulace týkající se rovnosti pohlaví a genderové diverzity

  v2.1
  sex characteristics, gender identity and expression, or sexual identity and orientation

  v3.0
  sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation

Co jsem zvažoval při tomto korejském překladu

Obecné překladatelské úvahy

Použití zdvořilého stylu

Při psaní závazku a kodexu chování v korejštině závisí volba mezi zdvořilým a prostým stylem na tom, jaké směřování text sleduje, jaká je kultura organizace a jaký postoj chce text vyjadřovat. Dříve převažoval prostý styl, který zdůrazňuje autoritu a pravidla, ale v poslední době se častěji objevuje i zdvořilý styl, aby vynikl horizontální a respektující charakter komunity.

Z dřívější diskuse je vidět, že už při překladu verze 2.0 do korejštiny se původně zvažoval zdvořilý styl, ale text byl nakonec přepsán do prostého stylu. Tuto dřívější debatu i její závěr respektuji, přesto jsem se tentokrát znovu rozhodl pro zdvořilý styl z těchto důvodů.

Kultura dnešních open-source komunit má v zásadě poměrně daleko k vynucování, tvrdosti a silně závaznému výkonu pravidel; spíše směřuje k vzájemnému respektu, dobrovolné účasti a přispívání. Ve verzi Contributor Covenant 3.0 se tato filozofie obzvlášť silně odráží v celém textu. S ohledem na klíčové hodnoty a filozofii, které chtěl originál v této aktualizaci vyjádřit, i na kulturu a trendy komunit jsem usoudil, že při převodu do korejštiny je vhodnější zdvořilý styl. Jako referenci jsem si vzal i příklady, jako jsou Korean Rust User Group, PyCon KR CoC a korejská verze kodexu chování komunity Kubernetes, které zdvořilý styl rovněž používají.

Vyhýbání se zbytečným pasivním formulacím

Na rozdíl od angličtiny, která často používá trpný rod, korejština obecně dává přednost aktivním formulacím před pasivními. Pokud se pasivum z anglického originálu mechanicky převede i do korejštiny, vzniká text, který působí nepřirozeně „překladově“ a může být nevhodný i po gramatické stránce.

Ani v korejštině se pasivním formulacím nelze vyhnout úplně, ale pokud to nezkresluje význam, snažil jsem se i tam, kde je originál v pasivu, použít v korejském překladu pokud možno aktivní vyjádření.

např.

• “Encouraged Behaviors”: “장려되는 행동”(X), “장려하는 행동”(O)
• “enforcement actions are carried out in private”: “집행 조치는 비공개로 진행된다“(X), “집행 조치는 비공개로 진행한다“(O)
• “its own established enforcement process”: “자체적으로 확립된 집행 절차”(X), “자체적으로 확립한 집행 절차”(O)
• “the following enforcement ladder may be used”: “다음의 단계적 집행 기준이 사용될 수 있습니다”(X), “다음의 단계적 집행 기준을 사용할 수 있습니다”(O)
• “are provided at”: “에서 제공됩니다“(X), “에서 제공합니다“(O)

Spíše než slovníkový a mechanický překlad slov zohlednit kontext jejich užití v textu

Protože jsou si angličtina a korejština jazykově poměrně vzdálené, samozřejmě mezi nimi neexistuje přesné přiřazení slova ke slovu v poměru jedna ku jedné. To platí i tehdy, když slovník uvádí „stejný význam“.

Například v následující pasáži bylo “intimate” podle kontextu použito ne ve významu “친밀한”, ale ve významu “성적인”.

Sexualization. Behaving in a way that would generally be considered inappropriately intimate in the context or purpose of the community.

Také v následujícím příkladu by slovníkový překlad “process” jako “처리할” působil neobratně. V kontextu textu bylo vhodnější převést jej jako “추스를”.

… give the community members involved time to process the incident.

(표준국어대사전 표제어 중)

추스르다「3」: 일이나 생각 따위를 수습하여 처리하다.

Na druhé straně existují i přejatá slova, pro která není snadné najít odpovídající domácí výraz. Například v případě “community” by bylo možné použít domácí korejský výraz “공동체”, ale usoudil jsem, že mezi významovým odstínem slova “community” v angličtině a odstínem slova “공동체” v korejštině je poměrně znatelný rozdíl. Pokud to bylo možné, snažil jsem se přejatá slova převádět do domácí slovní zásoby, ale tam, kde hrozilo větší zkreslení významu či tónu originálu, jsem ponechal výraz jako “커뮤니티”.

S ohledem na tyto okolnosti jsem nechtěl dělat jen slovníkovou a mechanickou záměnu jednotlivých slov, ale vybírat takové korejské formulace, které jsou nejblíže významu a kontextu originálu.

Dodržování dalších korejských jazykových norem

Snažil jsem se co nejpřesněji dodržovat korejské jazykové normy, jako jsou korejský pravopis a pravidla standardního jazyka.

Oddíl “서약(Our Pledge)”

Podnadpis

Pokud bychom “Our Pledge” přeložili doslova, vzniklo by “우리의 맹세”, ale protože stávající korejský překlad už použil podobu “서약” a z hlediska přirozenosti textu je to podle mě plně přijatelné, ponechal jsem i tentokrát “서약”.

Překlad termínu “caste”

Ve stávajícím korejském překladu verze 2.1 bylo toto slovo přeloženo přímo jako “카스트 제도”. Protože slovo caste může v odborném významu označovat i obecné, silně zafixované systémy stavovského pořádku v různých částech světa, nejde nutně o vyloženě chybný překlad. Pokud však takové podrobné pozadí není čtenáři dáno, většina Korejců si pod výrazem “카스트 제도” v běžném jazyce představí především „hinduistický stavovský systém v Indii odvozovaný například z Manuova zákoníku“. S ohledem na kontext originálu jsem jej proto přeložil jako “계급”. Domnívám se, že zde je rozumné chápat “caste” nikoli jako pojem omezený na konkrétní stát (Indii) nebo náboženství (hinduismus), ale jako označení všech typů a forem stavovského uspořádání a tříd, které z něj vyplývají.

Použití výrazu “성” místo “성별”

We are committed to fostering an environment that respects and promotes the dignity, rights, and contributions of all individuals, regardless of … sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation … or other status.

Když vezmeme v úvahu hodnoty a kontext, které originál chce vyjádřit, pak “sex”, “gender” a “sexual orientation” zde zjevně nemají znamenat rozlišování podle binárního dělení na muže a ženy. Proto jsem namísto výrazu “성별”, který tento binární význam nenápadně implikuje, použil slovo “성” a snažil se co nejvíce zachovat rozdíly, které v humanitních a společenských vědách nesou pojmy sex, gender a sexuality, a přeložil jsem je takto:

… 생물학적 또는 사회적 성, 성 정체성 또는 성 표현, 성적 지향…

Oddíly “장려하는 행동(Encouraged Behaviors)” a “제한하는 행동(Restricted Behaviors)”

Odstranění dvojtečky (:)

With these considerations in mind, we agree to behave mindfully toward each other and act in ways that center our shared values, including:

1. Respecting the purpose of our community, our activities, and our ways of gathering.
2. Engaging kindly and honestly with others. …

V angličtině je běžné, že se po jedné uzavřené větě použije dvojtečka a následuje výčet příkladů, ale v současné korejské normě se dvojtečka používá hlavně v heslovitých strukturách, například po nadpisu před výčtem položek nebo před vysvětlením. Pokud tedy text není od začátku psán v heslovitém stylu, působí následující podoba velmi nepřirozeně a snadno budí dojem, že jde o hrubý strojový překlad nebo překlad narychlo udělaný pomocí LLM. Osobně to byla i jedna z věcí, která mi u korejského překladu verze 2.1 dost vadila.

이러한 점을 유념하며, 우리는 서로를 사려 깊게 대하고 우리가 공유하는 다음 가치를 중심으로 행동할 것에 동의합니다:

1. 우리 공동체의 목적, 활동 및 모임 방식을 존중합니다.
2. 친절하고 정직하게 다른 사람들과 소통합니다. …

Proto jsem místo mechanického převedení dvojtečky z originálu nahradil tato místa tečkou (.), aby text odpovídal korejskému úzu a působil přirozeněji.

Překlad výrazu “that would generally be considered inappropriately”

Zde jsem “generally” nepřeložil doslovně jako “일반적으로”, ale s ohledem na kontext přirozeněji jako “대부분의 사람들에게”.

…대부분의 사람들이 부적절하다고 간주할 만한…

Překlad výrazu “act on”

Zpočátku jsem zvažoval, zda “act on” jednoduše nepřeložit jako “이용하다”, ale v kontextu tato pasáž spíše zakazuje veškeré jednání založené na osobních nebo soukromých údajích druhé osoby, bez ohledu na úmysl. Překlad jako “이용하다” mi proto připadal významově příliš úzký, a zvolil jsem následující podobu:

비밀 침해. 타인의 신상 관련 정보 또는 개인적인 정보를 당사자의 허락 없이 공유하거나, 그 정보를 바탕으로 행하는 모든 행위.

Oddíl “문제 신고(Reporting an Issue)”

• “this Code of Conduct reinforces encouraged behaviors and norms that …”: přeloženo jako “본 행동 강령은 …는 권장 행동 방식과 규범을 증진합니다”
• “in a timely manner”: přeloženo jako “적시에”
• “while prioritizing safety and confidentiality”: přeloženo jako “안전과 비밀 유지를 우선시한다는 전제 하에”
• “In order to honor these values”: přeloženo jako “이들 가치를 지키기 위해”

  (Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

  honor verb
  keep promise 3. honor something (formal) to do what you have agreed or promised to do

Oddíl “피해 대응 및 교정(Addressing and Repairing Harm)”

• “Addressing”: přeloženo jako “대응”
• “Repairing”: přeloženo jako “교정”

Překlad Event:, Consequence:, Repair:

Tohle byla část, nad níž jsem hodně váhal, protože do korejštiny se převáděla dost nešikovně. Kdyby se přeložily doslova jako “사건”, “결과”, “교정”, text by působil dost nepřirozeně.

Aby text zněl přirozeně a zároveň co nejvěrněji předal filozofii originálu, nakonec jsem po zralé úvaze zvolil následující řešení.

• “Event”: přeloženo jako “적용 상황”
• “Consequence”: přeloženo jako “대응 조치”
• “Repair”: zpočátku jsem zvažoval “회복 조치”, ale výraz “조치” v korejštině nese spíše tón zásahu prováděného druhou stranou než dobrovolné sebereflexe a zlepšení účastníka, a proto jsem jej zavrhl. Nakonec jsem zvolil “교정 노력”

Překlad výrazu “seeking clarification on expectations”

“expectations” by bylo možné doslovně přeložit jako “기대 사항” a význam by byl stále srozumitelný, ale pro plynulejší text jsem zvolil “준수 사항”.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

expectation noun
3. [countable, usually plural] a strong belief about the way something should happen or how somebody should behave

Také “seeking clarification” by bylo možné převést jako “해명(clarification) 요구(seeking)”, ale v kontextu položek Repair se zde popisuje žádoucí následné chování člověka, který problém způsobil. Kdyby se tedy clarification a seeking přeložily zvlášť jako “해명” a “요구”, význam by vyzněl podivně. Zde jsem za nejvhodnější považoval výklad, podle něhož jde o úsilí (seeking) o jasné ověření a pochopení (clarification) toho, co je třeba dodržovat (expectations), aby člověk reflektoval své chování a stejnou chybu neopakoval.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

seek verb
2. [transitive] to ask somebody for something; to try to obtain or achieve something

clarification noun
[uncountable, countable] (formal)
the act or process of making something clearer or easier to understand

• I am seeking clarification of the regulations.

Překlad výrazu “cooldown”

Slovníkově může znamenat ochlazení, zklidnění po cvičení nebo uklidnění a zde byl podle kontextu nejblíže význam „uklidnit se“. Nejvíc odpovídá korejskému významu slova ve smyslu „머리 좀 식혀라.“

Kdyby se ale “time-limited cooldown period” přeložilo jako “한시적 진정 기간”, znělo by to trochu kostrbatě, a proto jsem v korejském překladu použil pro “cooldown period” výraz “자숙 기간”.

Překlad výrazu “time to process the incident”

Jak už bylo uvedeno výše, přeložil jsem jej jako “해당 일을 추스를 시간”.

Překlad výrazů “suspension” a “ban”

Ve stávajícím korejském překladu verze 2.1 bylo “ban” přeloženo jako “제재”, ale “제재” je nadřazený pojem zahrnující všechna opatření, která lze vůči porušení přijmout, včetně nižších stupňů jako varování nebo dočasné omezení činnosti, takže jeho význam zůstává nejasný. Anglické “ban” má přitom poměrně jednoznačný význam zákazu či zastavení a výraz „trvalé zablokování (např. účtu)“ je v korejštině také zcela běžný a přirozený, takže jsem neviděl důvod se mu za každou cenu vyhýbat nějakým volnějším opisem.

Totéž platí pro “suspension”, které také jasně znamená „pozastavení“ či „dočasné zastavení“ a není nutné je zbytečně parafrázovat.

Proto jsem “Temporary Suspension” a “Permanent Ban” přeložil jako “일시적 정지” a “영구 정지”.

Překlad věty “This enforcement ladder is intended as a guideline.”

Výraz “enforcement ladder” jsem přeložil jako “단계적 집행 기준”. Tato věta je navíc použita v kontextu, kde se zdůrazňuje, že výše popsaný stupňovitý rámec prosazování je pouze jednou z možných opor a že zůstává zachováno právo komunitních správců rozhodovat podle vlastního uvážení. Proto jsem neurčitý člen “a” promítl do korejštiny jako “하나의”. Ve výsledku jsem tuto část formuloval takto:

이 단계적 집행 기준은 하나의 기준선으로 마련한 것입니다. 이는 커뮤니티의 최선의 이익에 부합하는 커뮤니티 관리자의 재량권과 판단 권한을 제한하지 않습니다.

Závěrem

Mnoho dokumentů a projektů veřejně prospěšné povahy se překládá do různých jazyků díky dobrovolníkům a přispěvatelům. Bohužel v případě korejštiny jsem nejednou zažil, že překlad buď vůbec neexistoval, protože se nenašel žádný přispěvatel, anebo sice existoval, ale působil tak mechanicky a nepřirozeně, že jsem si i jako Korejec řekl: „To si raději přečtu anglicky,“ a přepnul se na anglickou verzi stránky.

Když jsem se tentokrát rozhodl přispět korejským překladem, chtěl jsem, aby výsledný text působil natolik přirozeně a kvalitně, že by čtenář neměl pocit cizorodosti ani tehdy, kdyby si myslel, že jej korejský autor napsal od začátku korejsky. Snažil jsem se pochopit a přenést filozofii a jemné kontextové odstíny originálu, zvlášť to, co se ve verzi 3.0 oproti 2.1 změnilo a z jakých důvodů se autoři rozhodli právě pro takové formulace.

Povaha přirozeného jazyka je taková, že překlad nefunguje jako nějaká matematická funkce, která by ze stejného vstupu vždy dávala tentýž výstup. Různí překladatelé vytvoří mírně odlišné překlady, a to není jen otázka jejich schopností, ale i důsledek toho, že překlad — a tím spíš psaní — z podstaty nemá jedinou pevně danou správnou odpověď. V poslední době používám AI jako pomocníka téměř u všeho a i tento blogový příspěvek je napojený na LLM API, přes které se automaticky překládá a publikuje do více jazyků. Ale právě tuto práci jsem chtěl udělat opravdu poctivě a v nejlepší možné kvalitě, jaké jsem schopen. Opakovaně jsem ručně procházel každou formulaci a přemýšlel, jaké znění dokáže co nejméně zkresleně, a přitom přirozeně, zachytit význam originálu. Výsledek tak odráží můj subjektivní, ale maximálně promyšlený úsudek a interpretaci. V době, kdy AI používá každý, věřím, že alespoň u překladů tak důležitých dokumentů, jako jsou závazky a kodexy chování, musí mít překlad hodnotu právě tím, že nabídne něco navíc oproti výstupu, který vznikne pouhým hozením originálu do AI s pokynem „přelož to“. Alespoň k aktuálnímu stavu v březnu 12026 jsem přesvědčen, že v tomto překladu se podařilo plně zachovat jemné odstíny a kontext originálu, které strojový překlad ani LLM nedokážou zcela postihnout.

K datu 20. března 12026 existuje pro verzi 3.0 Contributor Covenant kromě anglického originálu a mnou odevzdaného korejského překladu dokončený překlad pouze do tří jazyků: bengálštiny, němčiny a pevninské čínštiny, a při pohledu na seznam otevřených PR je vidět, že existuje i mnoho jazyků, jejichž návrhy překladu už byly odeslány jako PR, ale kvůli nedostatku reviewerů zatím nebyly finálně schváleny. U řady jazyků navíc ještě není přeložena ani verze 3.0 a zůstávají teprve u verze 1.4. Pokud tento text z jakéhokoli důvodu čte někdo, jehož jazykem není korejština, rád bych jej povzbudil: způsob, jak přispět, není nijak složitý, takže pokud si o víkendu nebo jindy najdete třeba jen jeden den, může to být pro OES i pro mluvčí daného jazyka velká pomoc. I pro mě to byla první zkušenost s přispěním na podobném překladu i s tím, že jsem si celý kodex chování přečetl opravdu důkladně, a myslím, že to za těch několik hodin rozhodně stálo. Korea patří k zemím, kde je vzhledem k celkové populaci poměrně vysoký počet vývojářů aktivních v open-source komunitách, například na GitHubu. O to víc bych si přál, aby se na korejském překladu Kodexu chování Contributor Covenant 3.0, který jsem tentokrát přeložil a odeslal, podílelo na review i více dalších Korejců a aby byl pokud možno široce a užitečně přijímán a používán na různých místech.

Jak říká profesor Nathan Schneider v článku na blogu OES, Contributor Covenant funguje jako nezbytný základ pro budování odpovědných a transparentních komunit a ve skutečnosti přispívá k řešení konfliktů. Na GitHubu a jinde bývá zvykem prostě kliknout na tlačítko „Add a code of conduct“ a vložit předpřipravenou šablonu, jenže automaticky nabízená šablona na GitHubu z nějakého důvodu zůstala u verze 2.0 a dál se neaktualizuje. Verze 3.0 oproti starším verzím 2.0 a 2.1 přinesla velké změny a zlepšení, a tak bych doporučil zvážit přijetí nejnovější verze raději přes oficiální stránku. Samotný text ostatně není nijak dlouhý, takže by podle mě bylo ještě smysluplnější si jej při tom procesu aspoň jednou celý pozorně přečíst. Doufám, že Contributor Covenant 3.0 i korejský překlad, na němž jsem tentokrát pracoval, vzbudí velký zájem — a tímto končím.

Co jsou IR materiály?

IR je zkratka pro Investor Relations a jde o souhrnný pojem pro veškeré materiály a aktivity potřebné k tomu, aby firma investorům vysvětlila a odprezentovala svůj byznys, navázala s nimi vztah a získala investici. Pod „IR materiály“ se obvykle myslí materiály, kterými se firma investorům představuje za účelem získání investice.

Co by měly IR materiály obsahovat

Protože cílem IR materiálů je získat investici, je potřeba z pohledu investora přesvědčivě ukázat, proč má smysl do této firmy investovat. Proto by měly pokrývat byznys jako celek: shrnutí služby, tržní prostředí, popis produktu/služby, konkurenční prostředí, výsledky, obchodní model, plán budoucího růstu, složení týmu atd.

• Pitch deck:
  • cílem je stručně a úderně zanechat u širokého okruhu potenciálních investorů pozitivní první dojem
  • používá se při získávání investice v rané fázi
  • obvykle 10–15 slidů, stručné a převážně vizuální
• IR deck:
  • poskytuje hlubší finanční informace a dlouhodobou strategii
  • pro profesionální investory, kteří už začínají projevovat zájem a jsou před rozhodnutím
  • umožňuje investorům provést hlubší vyhodnocení a úsudek
  • obvykle 20–30 slidů, detailnější informace jako finanční plán, analýza trhu, složení týmu, analýza konkurence apod.

Mise/vize (Mission/Vision)

• Jaká je podstata hodnoty, kterou chce firma poskytovat?

Jde o část, kterou lze považovat za jádro identity firmy; je vhodné hned na začátku IR materiálů vyjádřit misi i vizi každou jednou větou — stručně, ale jednoznačně.

Shrnutí služby

Problém (Problem)

• Jaký problém na trhu chce služba řešit?
• Jak moc tento problém uživatele obtěžuje?
• Proč je tento problém důležitý?
• Existuje poptávka po řešení? Kdo je cílová skupina?

Řešení (Solution)

• Jak konkrétně vyřešíte výše uvedený problém?
• Jaké výhody získá zákazník a koncový uživatel oproti stávajícím způsobům?

Investoři často nejsou odborníci na danou oblast, proto je lepší službu vysvětlovat z pohledu běžného uživatele (ne vývojáře) a technické detaily řešit až dodatečně, pokud přijdou otázky.

Velikost trhu (Market Size)

Pokud velikost trhu stanovíte přímo v penězích, výsledek se může výrazně lišit podle metodiky a proměnných a poměrně snadno může vyvolat námitky. Bezpečnější a často efektivnější je prezentovat velikost trhu pomocí jiných metrik, jako je počet potenciálních uživatelů, počet/frekvence transakcí apod.

• TAM (Total Addressable Market, celkový trh): maximální teoreticky dosažitelná velikost trhu za idealizovaného předpokladu 100% podílu na světovém trhu (bez konkurence) při nabídce produktu/služby globálně
• SAM (Service Available Market, dostupný/platný trh): velikost trhu v rozsahu, na který firma reálně cílí a který je možné obsloužit s ohledem na geografická, infrastrukturní a regulatorní omezení
• SOM (Service Obtainable Market, dosažitelný trh / „výdělečný“ trh): velikost trhu, kterou lze v rané fázi skutečně získat i v rámci SAM, s ohledem na konkurenci, schopnosti firmy, marketingovou strategii atd.

Při odhadu velikosti trhu se často postupuje tak, že se u celkového či dostupného trhu uvedou konkrétní čísla s odkazem na nezávislé market-research zdroje, ale u „výdělečného“ trhu (SOM), který je pro startup prakticky nejdůležitější, se to vysvětlí stylem „když dosáhneme X % podílu, budeme mít tržby Y“. Upřímně, i já jsem v úplně prvním interním draftu IR materiálů při přípravě na startup postupoval tímto způsobem.

Problém je, že z pohledu investora je těžké takovému plánu věřit. Po uvedení služby na trh není snadné rychle získat podíl, a tvrzení typu „vezmeme si několik procent celého trhu“ bez jasného zdůvodnění bývá málo přesvědčivé.

Je důležité zároveň ukázat, že cílený celkový trh i dostupný trh jsou dostatečně velké, a především předložit logiku toho, jak vnímáte počáteční segment zákazníků (Immediate Market) a jak budete postupně přidávat další segmenty, abyste rozšiřovali dosažitelný (výdělečný) trh.

Načasování byznysu

• načasování je v byznysu velmi důležité
• musíte investorům vysvětlit, proč se tomuto byznysu může dařit právě teď a proč má smysl investovat právě teď
• je potřeba předložit důvody, proč je současnost vhodná k realizaci: technická proveditelnost, změny chování lidí, společenské trendy, změny prostředí apod.

Popis produktu/služby (Product)

• Jaké jsou hlavní vlastnosti a funkce produktu/služby?
• Jaký je konkrétní způsob fungování, příklady použití?

Obchodní model (Business Model)

• Jak budete vydělávat?
• Kdo platí? (protože koncový uživatel a platící zákazník se ne vždy shodují; je nutné jasně určit, kdo reálně generuje tržby)
• Za co budete účtovat? Jak nastavíte cenu?

Konkurenční prostředí (Competition)

• Kdo jsou hlavní konkurenti?
• V čem je z pohledu zákazníka vaše služba/produkt lepší a jaké má výhody oproti konkurenci?
• Jaké služby považujete za konkurenci a koho zvolíte jako hlavní cílovou skupinu?

Důkladná analýza konkurence vám umožní investorům účinně ukázat, že dobře chápete situaci na trhu.

Výsledky a strategie vstupu na trh (Go-to Market Strategy)

• Jaké jsou nejdůležitější klíčové metriky pro úspěch byznysu?
  • např. počet objednávek, měsíčně aktivní uživatelé (MAU), měsíční objem transakcí apod.
• Jaké výsledky jste dosáhli s důrazem na tyto metriky?
• Jaké jsou hlavní marketingové nástroje a kanály firmy?
• Jaké jsou nástroje a náklady na získávání nových zákazníků?
• *Jaká je celoživotní hodnota zákazníka (LTV)?

*Celoživotní hodnota zákazníka (Customer Lifetime Value, LTV): kvantifikace toho, jaký celkový zisk přinese jeden uživatel během celé doby používání služby

Je lepší vynechat vedlejší metriky, které nejsou klíčové.

Pokud jste ultra-raný startup bez tržeb

• stanovte a uveďte bod zvratu (break-even point) pro službu, kterou chcete poskytovat
• metriky související s výnosy nenadsazujte; nastavte je realisticky z konzervativního pohledu
• předložte výnosový scénář pro první rok, kdy začnou tržby vznikat, a doplňte plán tržeb na další roky, abyste ukázali, že lze stabilně růst
  • krátkodobá predikce na 1 rok
  • střednědobá predikce na 3 roky
  • dlouhodobá predikce na 5 let
• aktivně používejte grafy a tabulky pro rychlé pochopení obsahu
• zahrňte slide o validaci hypotéz a přesvědčivě vysvětlete, proč jsou klíčové metriky a výnosový scénář nastaveny právě takto — posílíte tím oporu argumentace
  • je potřeba si vybudovat robustní základ pro očekávaný výnosový scénář skrze opakované experimenty a validaci hypotéz

Složení týmu (The Team)

• místo představování všech členů se zaměřte na klíčové členy týmu včetně CEO/zakladatele, kteří plní zásadní role
• zkušenosti a dovednosti uveďte zhruba v rozsahu 2–3 položek a pro lepší čitelnost využijte loga apod.
• pokud máte investory či poradce, kteří sehráli/sestávají klíčovou roli, je dobré je uvést také

Plán budoucího růstu (Milestones)

• uveďte cíle podle času a jednotlivých fází
• obvykle se cíle stanovují do další investiční fáze (např. seed do Series A, Series A do Series B)
• uveďte požadovanou výši investice a plán použití prostředků
• časové úseky raději nedělejte příliš dlouhé (např. půl roku a více), ale rozdělujte je například po ~2 měsících

Finanční plán (Financials)

U IR decku by měl být součástí finanční plán.

• finanční plán na 3–5 let dopředu
• unit economics: příjmy a náklady na jednotku zákazníka
• burn rate: tempo čerpání hotovosti (poměr/rychlost výdajů startující firmy na založení, R&D a další náklady)
• celkové příjmy a náklady
• EBITDA nebo výkaz peněžních toků apod.

• dejte pozor, abyste nepředkládali příliš nerealistický finanční plán
• často dochází k nadhodnocování očekávaných tržeb a podhodnocování nákladů, proto buďte při odhadu tržeb obezřetní
• náklady se snažte odhadnout co nejpřesněji s ohledem na náklady na vývoj produktu/služby i provozní náklady

Co zdůraznit podle investiční fáze

Seed

• fáze vývoje MVP, ověření reakce trhu a validace obchodního modelu
• je potřeba silně zdůraznit výsledky počátečních hypotéz a validace obchodního modelu, výsledky experimentů s MVP a z nich plynoucí tržby

Pre-A

• fáze, kdy je potřeba prokázat růstový potenciál a zajistit další kapitál pro vývoj produktu, marketing, nábor atd.
• je nutné vysvětlit, jaké jsou klíčové metriky, jakými aktivitami rostete a jaký je potenciál dalšího růstu

Series A

• fáze, kdy firma začíná výrazně růst a zvyšuje valuaci
• v tomto bodě by validace hypotéz měla být dokončená, takže je nutné získat důvěru investorů kvantitativními výsledky byznysu

Několik tipů

• zejména prvních pět slidů připravte pečlivě, aby zanechaly pozitivní první dojem
• misi/vizi z prvního slidu je dobré zopakovat i na posledním slidu
• vše sdělujte ve stylu „nejdřív závěr, potom vysvětlení“ (deduktivně)
• předmětem investice je firma, proto by i v IR materiálech měl mít název firmy přednost před názvem služby
• potenciální investoři nemusí být z oboru; vysvětlujte proto co nejjednodušeji a při použití odborných termínů připojte vysvětlení
• nemíchejte problém trhu a řešení; oddělte je
• text používejte hlavně jako klíčová slova; u obrázků se vyhýbejte screenshotům a zvyšujte čitelnost
• uvádějte přesné a konkrétní číselné tabulky či grafy
• dejte pozor, abyste nevynechali představení týmu, požadovanou investici a plán použití prostředků
• je dobré uvést i strategii exitu (realizace návratnosti investice)
• alespoň stručně uveďte plán struktury podílů akcionářů (v jakém poměru)
• nedávejte do hlavního textu příliš mnoho materiálů; pokud je potřeba, oddělte je do příloh
• na poslední slide uveďte kontakty (e-mail, telefon, jméno)
• font je také velmi důležitý: použijte dobře čitelný font jako Pretendard a připravte to jako PDF, aby se nic nerozbíjelo

Referenční materiály

Firemní informační kanál KIND

https://kind.krx.co.kr/corpgeneral/irschedule.do?method=searchIRScheduleMain&gubun=iRMaterials

• firemní informační kanál provozovaný Korea Exchange (KRX)
• poskytuje informace o povinných zveřejněních firem kótovaných na KOSPI, KOSDAQ a KONEX
• lze zde najít IR materiály kótovaných firem a podívat se, jak jsou sestavené nedávno vytvořené IR materiály jiných společností

Co je kryptografie

Kryptografie (cryptography) je v podstatě poddisciplína vědy, jejímž cílem je bránit protokoly (protocol) proti nepřátelskému jednání.

Protokolem zde rozumíme seznam kroků, které musí jeden nebo více lidí dodržet, aby něčeho dosáhli. Například pokud chcete sdílet schránku mezi zařízeními, následující je protokol pro sdílení schránky.

1. Když na některém zařízení dojde ke změně schránky, zkopíruje se její obsah a nahraje se na server.
2. Server oznámí ostatním zařízením, že u sdílené schránky došlo ke změně.
3. Ostatní zařízení si stáhnou sdílený obsah schránky ze serveru.

To však není dobrý protokol, protože když obsah schránky nahrajete na server v otevřeném textu a stejně tak jej stáhnete, může někdo během komunikace — nebo i samotná strana serveru — obsah schránky odposlechnout. Úlohou kryptografie je bránit se s ohledem na existenci protivníka, který se snaží obsah schránky vyzvědět.

Symetrická kryptografie

Symetrické šifrování

Představme si situaci, kdy Alice musí poslat Bobovi dopis. Alice přikáže poslu (messenger), aby dopis odnesl a doručil, protože chce Bobovi předat důvěrné informace.
Alice však poslu plně nedůvěřuje a chce, aby předávaná zpráva zůstala tajná pro všechny kromě Boba — včetně posla, který dopis nese.

K takové situaci byl už dávno vynalezen kryptografický algoritmus zvaný algoritmus symetrického šifrování (symmetric encryption algorithm).

Primitivum (primitive)
Slovo primitivum (primitive) slovníkově znamená „primitivní“ či „primitivní věc“.
V kryptografii se však termín primitive používá často; zde označuje nejmenší jednotku funkce či algoritmu, z níž se kryptografický systém skládá.
Lze si to představit jako „základní stavební prvek“ nebo „základní logiku“.

Uvažujme nějaké primitivum, které poskytuje následující dvě funkce.

• ENCRYPT: přijme tajný klíč (secret key) (obvykle velké číslo) a zprávu (message) a jako výstup vrátí řetězec čísel jako zašifrovanou zprávu
• DECRYPT: inverzní funkce k ENCRYPT; při zadání stejného tajného klíče a zašifrované zprávy vrátí původní zprávu

Aby Alice s pomocí takového kryptografického primitiva skryla zprávu tak, aby ji posel ani žádná třetí strana nemohli přečíst, musí se Alice a Bob nejprve předem setkat a dohodnout se, jaký tajný klíč budou používat. Poté Alice použije funkci ENCRYPT a dohodnutým tajným klíčem zprávu zašifruje a tuto zašifrovanou zprávu pošle Bobovi prostřednictvím posla. Bob následně stejným tajným klíčem použije DECRYPT a získá původní zprávu.

Proces, kdy se pomocí tajného klíče objekt šifruje tak, že jej nelze na pohled odlišit od bezvýznamného šumu, je v kryptografii běžný způsob ochrany protokolů.

Symetrické šifrování patří do širší kategorie algoritmů zvané symetrická kryptografie (symmetric cryptography) nebo kryptografie s tajným klíčem (secret key cryptography); v některých případech může existovat i více než jeden klíč.

Kerckhoffsův princip

Dnes dokážeme komunikovat téměř v reálném čase prostřednictvím mnohem mocnějších prostředků než jsou papírové dopisy — pomocí počítačů a internetu. Jinými slovy to však znamená, že i „zlomyslný posel“ výrazně zesílil: může jím být nezabezpečená veřejná Wi‑Fi v kavárně, poskytovatel internetu (ISP), různé síťové prvky a servery, které tvoří internet a předávají zprávy, státní instituce, a dokonce i zařízení samotného uživatele, na němž algoritmus běží. Protivníci mohou pozorovat více zpráv v reálném čase a aniž by si toho kdo všiml, zprávy v řádu nanosekund pozměňovat, odposlouchávat či cenzurovat.

Z dlouhého procesu pokusů a omylů v kryptografii vzešlo jedno spolehlivé základní pravidlo pro dosažení bezpečnosti: primitiva se mají veřejně analyzovat. Opačný přístup lze nazvat bezpečností skrze utajení (security by obscurity); jeho limity jsou zřejmé a dnes se od něj upustilo.

Tento princip byl poprvé formulován v roce 11883 nizozemským lingvistou a kryptografem Augustem Kerckhoffsem (Auguste Kerckhoffs) a nazývá se Kerckhoffsův princip (Kerckhoffs’s principle). Tentýž princip vyjádřil americký matematik, informatik a kryptograf Claude Shannon — „otec teorie informace“ — slovy „protivník systém zná (The enemy knows the system)“, tj. „při návrhu systému musíme předpokládat, že jej protivník odhalí“. Toto se nazývá Shannonovo rčení (Shannon’s maxim).

Bezpečnost kryptosystému se má opírat pouze o tajnost klíče; o samotném kryptosystému se může vědět a nemělo by to být problém. Naopak by měl být aktivně zveřejňován, aby jej, jako v případě AES, mohlo ověřovat mnoho kryptoanalytiků (cryptanalyst). Tajemství je vždy ohroženo únikem, a tedy představuje potenciální bod selhání; z pohledu obránce je výhodnější, čím menší je část, která musí zůstat utajena. Udržet po dlouhou dobu v tajnosti celý velký a složitý systém, jakým je kryptosystém, je velmi obtížné, zatímco udržet v tajnosti pouze klíč je relativně snadné. Navíc i kdyby došlo k úniku tajemství, vyměnit pouze kompromitovaný klíč za nový je mnohem jednodušší než měnit celý kryptosystém.

Asymetrická kryptografie

Mnoho protokolů v praxi funguje na symetrické kryptografii, tento způsob však předpokládá, že se oba účastníci musí alespoň jednou na začátku setkat zvlášť, aby se dohodli na klíči. Proto vzniká problém, jak klíč předem určit a bezpečně sdílet; tomu se říká distribuce klíčů (key distribution). Problém distribuce klíčů byl dlouho obtížný a teprve koncem 70. let 11970 byl vyřešen vývojem kryptografických algoritmů zvaných asymetrická kryptografie (asymmetric cryptography) neboli kryptografie s veřejným klíčem (public key cryptography).

Mezi typická primitiva asymetrické kryptografie patří výměna klíčů (key exchange), asymetrické šifrování (asymmetric encryption) a digitální podpis (digital signature).

Výměna klíčů

Výměna klíčů zhruba funguje takto:

1. Alice a Bob se dohodnou, že budou společně používat nějakou sadu parametrů $G$
2. Alice a Bob si každý zvolí svůj soukromý klíč (private key) $a, b$
3. Alice a Bob zkombinují původně dohodnuté společné parametry $G$ se svými soukromými klíči $a$, $b$, spočítají veřejné klíče (public key) $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$ a tyto veřejně sdílí
4. Alice použije Bobův veřejný klíč $B = f(G,b)$ a svůj soukromý klíč $a$ a spočítá $f(B,a) = f(f(G,b),a)$; Bob obdobně použije Alicin veřejný klíč $A = f(G,a)$ a svůj soukromý klíč $b$ a spočítá $f(A,b) = f(f(G,a),b)$
5. Pokud použijeme vhodnou funkci $f$ s vlastností $f(f(G,a),b) = f(f(G,b),a)$, nakonec budou Alice a Bob sdílet stejné tajemství; třetí strana zná $G$ a veřejné klíče $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$, ale jen z toho nedokáže získat $f(A,b)$, a tajemství tedy zůstane zachováno

Takto sdílené tajemství se obvykle použije jako tajný klíč pro symetrické šifrování a následně se s jeho pomocí vyměňují další zprávy.

Prvním publikovaným a zároveň nejtypičtějším algoritmem pro výměnu klíčů je Diffieho–Hellmanův algoritmus výměny klíčů, pojmenovaný podle příjmení dvou autorů, Diffieho (Diffie) a Hellmana (Hellman).

Diffieho–Hellmanova výměna klíčů má však limity. Představme si situaci, kdy útočník během fáze výměny veřejných klíčů zachytí veřejné klíče $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$ a nahradí je svým $M = f(G,m)$, který pak předá Alici i Bobovi. V takovém případě Alice a útočník sdílejí falešné tajemství $f(M, a) = f(A, m)$ a Bob s útočníkem sdílejí jiné falešné tajemství $f(M, b) = f(B, m)$. Tím se útočník může vůči Alici vydávat za Boba a vůči Bobovi za Alici. Takové situaci se říká, že útočník typu man-in-the-middle (MITM) úspěšně zaútočil na protokol. Z tohoto důvodu výměna klíčů sama o sobě neřeší problém důvěry; jen zjednodušuje postup, když je účastníků mnoho.

Asymetrické šifrování

Po vynálezu Diffieho–Hellmanovy výměny klíčů rychle následovaly další objevy; jedním z nich je algoritmus RSA (RSA algorithm), pojmenovaný podle příjmení vynálezců Ronalda Rivesta (Ronald Rivest), Adiho Shamira (Adi Shamir) a Leonarda Adlemana (Leonard Adleman). RSA zahrnuje dvě primitiva: šifrování veřejným klíčem (asymetrické šifrování) a elektronický podpis; obě jsou součástí asymetrické kryptografie.

U asymetrického šifrování je základní cíl — šifrovat zprávu pro zajištění důvěrnosti — podobný jako u symetrického šifrování. Na rozdíl od symetrického šifrování, které používá stejný symetrický klíč jak pro šifrování, tak pro dešifrování, má asymetrické šifrování tyto vlastnosti:

• funguje se dvěma klíči: veřejným klíčem a soukromým klíčem
• kdokoli může šifrovat veřejným klíčem, ale dešifrovat může jen ten, kdo má soukromý klíč

1. Existuje otevřená schránka (veřejný klíč), do které může kdokoli vložit zprávu a zamknout ji, ale jakmile je jednou zamčená, lze ji otevřít pouze klíčem (soukromým klíčem), který má Bob
2. Alice vloží zprávu do schránky a zamkne ji (zašifruje) a poté ji předá Bobovi
3. Bob po obdržení zamčené schránky (zašifrované zprávy) otevře schránku svým klíčem (soukromým klíčem) a vyjme zprávu (dešifruje)

Elektronický podpis

RSA poskytuje nejen asymetrické šifrování, ale také elektronický podpis; toto podpisové primitivum výrazně pomohlo vybudovat důvěru mezi Alicí a Bobem. Při podepisování zprávy se používá vlastní soukromý klíč a při ověřování pravosti podpisu se používá podepsaná zpráva, podpis a veřejný klíč podepisujícího.

Využití kryptografie

Cílem kryptografie je chránit protokoly proti nepřátelskému jednání, a proto o užitečnosti kryptografie rozhoduje to, čeho chce daný protokol dosáhnout. Většina kryptografických primitiv a protokolů má jednu nebo více z následujících vlastností.

• důvěrnost (confidentiality): skrývá a chrání část informací před lidmi, kteří je nemají vidět
• autentizace (authentication): identifikace protistrany v komunikaci (např. ověření, že přijatou zprávu skutečně poslala Alice)

Ekosystém kryptografie

flowchart TD
    Alice[Výzkumník kryptografie]-- Vynález primitiva -->Primitive(Návrh nového primitiva)
    Alice-- Vynález protokolu -->Protocol(Návrh nového protokolu)
    Alice-. Vyhlášení soutěže .->C(Soutěž algoritmů)

    David[Soukromý sektor]-. Financování .->Alice
    David-. Vyhlášení soutěže .->C

    Eve[Státní instituce]-. Financování .->Alice
    Eve-. Vyhlášení soutěže .->C

    Primitive --> t1{"Lze implementovat?"}
    t1-- Ano -->Protocol
    t1-- Ne -->term1@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Protocol-- Účast v soutěži -->C
    Protocol-- Standardizace -->Standard(Standard)
    Protocol-- Patentová přihláška -->Patent(Vypršení patentu)
    Protocol-- Implementace -->Library(Knihovna)
    
    C-- Vítězství v soutěži -->Standard
    C-- Vyřazení -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Standard-- Implementace -->Library
    Standard-- Vyřazení -->term3@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Patent-- Vyřazení -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }
    Patent-- Standardizace -->Standard
    Patent-- Implementace -->Library

    Library-- Standardizace -->Standard
    Library-- Prolomení bezpečnosti -->term4@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

Předpoklady

• Vektory a lineární kombinace
• Vektorové prostory, podprostory a matice
• Lineární závislost a lineární nezávislost, báze a dimenze
• injektivní funkce, surjektivní funkce

Lineární transformace

Speciální funkci, která zachovává strukturu vektorového prostoru, nazýváme lineární transformací (linear transformation). Jde o důležitý pojem, který se velmi často objevuje napříč čistou matematikou, aplikovanou matematikou, společenskými vědami, přírodními vědami i inženýrstvím.

Definice
Nechť $\mathbb{V}$ a $\mathbb{W}$ jsou $F$-vektorové prostory. Funkci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ nazveme lineární transformací (linear transformation) z $\mathbb{V}$ do $\mathbb{W}$, pokud pro všechna $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ a $c \in F$ platí následující dvě podmínky.

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Tvrzení „$T$ je lineární transformace“ se zkráceně vyjadřuje také jako „$T$ je lineární (linear)“. Lineární transformace $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ splňuje následující čtyři vlastnosti.

1. $T$ je lineární $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ je lineární $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ je lineární $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ je lineární $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Při dokazování linearity nějaké funkce je obvykle výhodné použít 2. vlastnost.

Lineární algebra má široké a rozmanité využití také v geometrii, protože mnoho důležitých geometrických transformací je lineárních. Zejména tři hlavní geometrické transformace — rotace, symetrie a projekce — jsou lineárními transformacemi.

Následující dvě lineární transformace se objevují obzvlášť často.

Identita a nulová transformace
Pro $F$-vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• identita (identity transformation): funkce $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ definovaná tak, že pro všechna $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$
• nulová transformace (zero transformation): funkce $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ definovaná tak, že pro všechna $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$

Kromě toho spadá pod lineární transformace řada dalších pojmů.

Příklady lineárních transformací

• rotace
• symetrie
• projekce
• transpozice
• derivace diferencovatelné funkce
• integrál spojité funkce

Jádrový prostor a obraz

Definice jádrového prostoru a obrazu

Definice
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• nulový prostor (null space) neboli jádro (kernel): množina všech $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ takových, že $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$; značíme $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• obor hodnot (range) neboli obraz (image): podmnožina $\mathbb{W}$ tvořená všemi hodnotami funkce $T$; značíme $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, identitu $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ a nulovou transformaci $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ platí:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

Dále je to klíčový fakt, ke kterému se budeme opakovaně vracet: nulový prostor a obraz lineární transformace jsou podprostory.

Věta 1
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ jsou $\mathrm{N}(T)$ a $\mathrm{R}(T)$ podprostory prostorů $\mathbb{V}$, resp. $\mathbb{W}$.

Důkaz
Nulové vektory prostorů $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ označme $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$.

Jelikož $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, platí $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. Dále pro $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c \in F$ platí:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$, a tedy $\mathrm{N}(T)$ je podprostor $\mathbb{V}$.

Podobně, protože $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, máme $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$. A jelikož $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$, platí

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$, a tedy $\mathrm{R}(T)$ je podprostor $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

Na druhé straně, pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, známe-li bázi prostoru $\mathbb{V}$, $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, můžeme generující množinu obrazu $\mathrm{R}(T)$ najít následovně.

Věta 2
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ a bázi prostoru $\mathbb{V}$, $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, platí:

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Důkaz

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Protože $\mathrm{R}(T)$ je podprostor, podle Věty 2 v článku Vektorové prostory, podprostory a matice platí:

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

Dále:

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Jelikož $\beta$ je báze $\mathbb{V}$, platí:

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(kde } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

Protože $T$ je lineární:

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ platí zároveň $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ i $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$, tedy $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Tato věta platí i tehdy, když je báze $\beta$ nekonečná.

Dimenzní věta

Protože nulový prostor i obraz jsou velmi důležité podprostory, zavádí se pro jejich dimenzi speciální názvy.

Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ předpokládejme, že $\mathrm{N}(T)$ a $\mathrm{R}(T)$ jsou konečněrozměrné.

• dimenze nulového prostoru (nullity): dimenze $\mathrm{N}(T)$; značí se $\mathrm{nullity}(T)$
• hodnost (rank): dimenze $\mathrm{R}(T)$; značí se $\mathrm{rank}(T)$

U lineárních transformací platí: čím větší je dimenze nulového prostoru, tím menší je hodnost, a naopak.

Věta 3: dimenzní věta (dimension theorem)
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$ platí, že pokud je $\mathbb{V}$ konečněrozměrný, pak:

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Důkaz

Nechť $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$ a báze $\mathrm{N}(T)$ je $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$.

Podle Důsledku 6-1 z článku „Lineární závislost a lineární nezávislost, báze a dimenze“ lze $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ rozšířit na bázi $\mathbb{V}$, tj. získáme bázi $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$.

Nyní ukážeme, že $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ je bází $\mathrm{R}(T)$. Nejprve, protože pro $1 \leq i \leq k$ platí $T(\mathbf{v}_i) = 0$, dostaneme z Věty 2:

Tedy $S$ je generující množina $\mathrm{R}(T)$. Podle Důsledku 5-2 věty o nahrazení stačí ukázat, že $S$ je lineárně nezávislá, a tím bude $S$ bází $\mathrm{R}(T)$.

Nechť $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (kde $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$). Protože $T$ je lineární,

Proto:

Protože $\beta$ je báze $\mathbb{V}$, jediné řešení rovnice $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ je

a z toho plyne

Tedy $S$ je lineárně nezávislá a je bází $\mathrm{R}(T)$.

Lineární transformace a injekce, surjekce

U lineárních transformací souvisí injekce (injection) a surjekce (surjection) úzce s hodností a dimenzí nulového prostoru.

Věta 4
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ platí:

\[T\text{ je injektivní.} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Věta 5
Nechť mají konečněrozměrné vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ stejnou dimenzi. Pak jsou pro lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ následující čtyři tvrzení ekvivalentní.

1. $T$ je injektivní.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ je surjektivní.

Pomocí dimenzní věty, vlastností 1 a 3 lineární transformace a Věty 6 z článku „Lineární závislost a lineární nezávislost, báze a dimenze“ lze dokázat Větu 4 a Větu 5.

Tyto dvě věty jsou užitečné při rozhodování, zda je daná lineární transformace injektivní nebo surjektivní.

Pro nekonečněrozměrný vektorový prostor $\mathbb{V}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ neplatí, že injektivita a surjektivita jsou ekvivalentní.

Navíc, je-li nějaká lineární transformace injektivní, může být v některých situacích užitečná následující věta pro rozhodování, zda je daná podmnožina vektorového prostoru lineárně nezávislá.

Věta 6
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, injektivní lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ a podmnožinu $S \subseteq \mathbb{V}$ platí:

\[S\text{ je lineárně nezávislá.} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{ je lineárně nezávislá.}\]

Lineární transformace a báze

Důležitou vlastností lineárních transformací je, že jejich chování je určeno tím, jak působí na bázi.

Věta 7
Nechť $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ jsou $F$-vektorové prostory, $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ je báze $\mathbb{V}$ a $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$ jsou vektory. Pak existuje právě jedna lineární transformace $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ splňující:

\[i = 1, 2, \dots, n \text{ a } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

Důkaz
Pro $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ je následující vyjádření jako lineární kombinace jednoznačné:

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

Definujme lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ takto:

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

i) Pro $i = 1, 2, \dots, n$ platí $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii)

Předpokládejme, že jiná lineární transformace $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ splňuje pro $i = 1, 2, \dots, n$ rovněž $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$. Pak pro $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$ platí:

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

Z i), ii) plyne, že lineární transformace splňující $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ pro $i = 1, 2, \dots, n$ je jednoznačně dána předpisem:

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

$\blacksquare$

Důsledek 7-1
Nechť vektorový prostor $\mathbb{V}$ obsahuje konečnou bázi $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$. Pokud dvě lineární transformace $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ splňují pro $i = 1, 2, \dots, n$ rovnost $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$, pak $U = T$.
Tj. pokud se dvě lineární transformace shodují na bázi, jsou totožné.

Předpoklady

• Vektory a lineární kombinace
• Vektorové prostory, podprostory a matice

Lineární závislost a lineární nezávislost

Uvažujme nějaký vektorový prostor $\mathbb{V}$ a podprostor $\mathbb{W}$. Řekněme, že chceme najít co nejmenší konečnou podmnožinu $S$, která $\mathbb{W}$ generuje.

Je-li pro množinu $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ splněno $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$, jak rozhodnout, zda neexistuje vlastní podmnožina $S$, která stále generuje $\mathbb{W}$? Je to totéž jako rozhodnout, zda lze některý vektor vybraný ze $S$ vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů. Například nutná a postačující podmínka pro vyjádření $\mathbf{u}_4$ jako lineární kombinace zbývajících tří vektorů je existence skalárů $a_1, a_2, a_3$, které splňují

Protože je ale nepohodlné pokaždé pro $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ sestavovat soustavu lineárních rovnic a zjišťovat, zda má řešení, trochu výraz upravme:

Pokud je některý vektor z $S$ lineární kombinací ostatních, pak při vyjádření nulového vektoru jako lineární kombinace vektorů z $S$ existuje takové vyjádření, v němž je alespoň jeden z koeficientů $a_1, a_2, a_3, a_4$ nenulový. Obrácené tvrzení je rovněž pravdivé: existuje-li vyjádření nulového vektoru jako lineární kombinace prvků $S$ s tím, že alespoň jeden z koeficientů $a_1, a_2, a_3, a_4$ je nenulový, pak je některý vektor z $S$ lineární kombinací ostatních.

Zobecněním toho definujeme lineární závislost a lineární nezávislost následovně.

Definice
Pro podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$ říkáme, že množina $S$ (a její vektory) je lineárně závislá (linearly dependent), existují-li konečně mnohé navzájem různé vektory $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ a skaláry $a_1, a_2, \dots, a_n$, z nichž alespoň jeden je nenulový, takové, že $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$. V opačném případě je lineárně nezávislá (linearly independent).

Pro libovolné vektory $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ platí, že když $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$, pak $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$; tomu se říká triviální vyjádření nulového vektoru (trivial representation of $\mathbf{0}$).

Následující tři tvrzení o lineárně nezávislých množinách platí ve všech vektorových prostorech vždy. Zejména tvrzení 3 je, jak jsme viděli, velmi užitečné při rozhodování, zda je nějaká konečná množina lineárně nezávislá.

• Tvrzení 1: Prázdná množina je lineárně nezávislá. Aby byla množina lineárně závislá, nesmí být prázdná.
• Tvrzení 2: Množina tvořená jediným nenulovým vektorem je lineárně nezávislá.
• Tvrzení 3: Nutnou a postačující podmínkou, aby byla množina lineárně nezávislá, je, že jediným způsobem, jak vyjádřit $\mathbf{0}$ jako lineární kombinaci dané množiny, je triviální vyjádření.

Důležité jsou také následující věty.

Věta 1
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor a $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Je-li $S_1$ lineárně závislá, pak je lineárně závislá i $S_2$.

Důsledek 1-1
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor a $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Je-li $S_2$ lineárně nezávislá, pak je lineárně nezávislá i $S_1$.

Věta 2
Uvažujme vektorový prostor $\mathbb{V}$ a lineárně nezávislou podmnožinu $S$. Pro vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$, který nepatří do $S$, je nutná a postačující podmínka pro to, aby $S \cup \{\mathbf{v}\}$ byla lineárně závislá, že $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$.

Jinými slovy: pokud žádná vlastní podmnožina $S$ nedokáže generovat stejný prostor jako $S$, pak je $S$ lineárně nezávislá.

Báze a dimenze

Báze

Generující množina $S$ pro $\mathbb{W}$, která je lineárně nezávislá, má zvláštní vlastnost: každý vektor z $\mathbb{W}$ lze nutně vyjádřit jako lineární kombinaci prvků $S$ a toto vyjádření je jediné (Věta 3). Proto se lineárně nezávislá generující množina pro nějaký vektorový prostor speciálně definuje jako báze (basis).

Definice báze
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor a $\beta$ je jeho podmnožina. Pokud je $\beta$ lineárně nezávislá a generuje $\mathbb{V}$, pak se $\beta$ nazývá báze (basis) prostoru $\mathbb{V}$. Říkáme také, že vektory v $\beta$ tvoří bázi prostoru $\mathbb{V}$.

$\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$ a $\emptyset$ je lineárně nezávislá. Proto je $\emptyset$ bází bodového prostoru.

Zejména následující speciální báze pro $F^n$ se nazývá standardní báze (standard basis) prostoru $F^n$.

Definice standardní báze
Pro vektorový prostor $F^n$ uvažujme následující vektory.

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

Pak množina $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ je bází $F^n$ a nazývá se standardní báze (standard basis) prostoru $F^n$.

Věta 3
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor a $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$ jsou navzájem různé vektory. Nutnou a postačující podmínkou, aby množina $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ byla bází $\mathbb{V}$, je: „libovolný vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z $\beta$ a toto vyjádření je jediné“. Tj. pro jediné skalární $n$-tice $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ musí platit

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

Podle Věty 3, pokud $n$ navzájem různých vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ tvoří bázi vektorového prostoru $\mathbb{V}$, pak uvnitř tohoto prostoru je pro daný vektor $\mathbf{v}$ určena odpovídající skalární $n$-tice $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ a naopak, je-li dána skalární $n$-tice, lze získat odpovídající vektor $\mathbf{v}$. Později to znovu shrnu při studiu invertibility a izomorfismů, ale v tomto případě jsou vektorové prostory $\mathbb{V}$ a $F^n$ v podstatě totéž.

Věta 4
Je-li pro konečnou množinu $S$ splněno $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, pak existuje podmnožina $S$, která je bází $\mathbb{V}$. Tedy v tomto případě je báze $\mathbb{V}$ konečná.

Velká část vektorových prostorů spadá pod Větu 4, ale ne nutně všechny. Báze nemusí být konečná množina.

Dimenze

Věta 5: věta o nahrazení (replacement theorem)
Nechť $G$ je množina $n$ vektorů taková, že $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$. Pokud je $L$ podmnožina $\mathbb{V}$ tvořená $m$ lineárně nezávislými vektory, pak $m\leq n$. Dále existuje množina $H \subseteq G$ s $n-m$ prvky taková, že $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$.

Z toho získáme dvě velmi důležitá důsledková tvrzení.

Důsledek 5-1 věty o nahrazení
Předpokládejme, že vektorový prostor $\mathbb{V}$ obsahuje konečnou bázi. Pak každá báze $\mathbb{V}$ je konečná a všechny báze mají stejný počet vektorů.

Podle toho je počet vektorů tvořících bázi $\mathbb{V}$ neměnnou, podstatnou vlastností prostoru $\mathbb{V}$; této vlastnosti se říká dimenze (dimension).

Definice dimenze
Vektorový prostor, který má konečnou bázi, se nazývá konečněrozměrný (finite-dimensional). V tomto případě se počet prvků báze $n$ nazývá dimenze (dimension) daného vektorového prostoru a značí se $\dim(\mathbb{V})$. Vektorový prostor, který není konečněrozměrný, je nekonečněrozměrný (infinite-dimensional).

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

Dimenze vektorového prostoru se může lišit podle toho, nad jakým tělesem je uvažován.

• Nad tělesem komplexních čísel $\mathbb{C}$ má komplexní vektorový prostor dimenzi $1$ a bázi $\{1\}$.
• Nad tělesem reálných čísel $\mathbb{R}$ má komplexní vektorový prostor dimenzi $2$ a bázi $\{1,i\}$.

V konečněrozměrném vektorovém prostoru $\mathbb{V}$ nemůže být žádná podmnožina s více než $\dim(\mathbb{V})$ vektory lineárně nezávislá.

Důsledek 5-2 věty o nahrazení
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor dimenze $n$.

1. Každá konečná generující množina $\mathbb{V}$ musí obsahovat alespoň $n$ vektorů a generující množina $\mathbb{V}$ tvořená $n$ vektory je bází $\mathbb{V}$.
2. Lineárně nezávislá podmnožina $\mathbb{V}$ tvořená $n$ vektory je bází $\mathbb{V}$.
3. Každou lineárně nezávislou podmnožinu $\mathbb{V}$ lze rozšířit na bázi. Tj. je-li $L \subseteq \mathbb{V}$ lineárně nezávislá, pak existuje báze $\beta$ prostoru $\mathbb{V}$ taková, že $\beta \supseteq L$.

Dimenze podprostoru

Věta 6
Pro konečněrozměrný vektorový prostor $\mathbb{V}$ je každý jeho podprostor $\mathbb{W}$ konečněrozměrný a platí $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$. Zejména

\[\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.\]

Důsledek 6-1
Pro podprostor $\mathbb{W}$ konečněrozměrného vektorového prostoru $\mathbb{V}$ lze libovolnou bázi $\mathbb{W}$ rozšířit na bázi $\mathbb{V}$.

Podle Věty 6 může mít podprostor $\mathbb{R}^3$ dimenzi $0,1,2,3$.

• 0 rozměrů: bodový prostor $\{\mathbf{0}\}$ obsahující pouze počátek ($\mathbf{0}$)
• 1 rozměr: přímka procházející počátkem ($\mathbf{0}$)
• 2 rozměry: rovina obsahující počátek ($\mathbf{0}$)
• 3 rozměry: celý eukleidovský trojrozměrný prostor

TL;DR

• matice (matrix)
  • Prvek v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice $A$ značíme $A_{ij}$ nebo $a_{ij}$
  • diagonální prvek (diagonal entry): prvek $a_{ij}$ pro $i=j$
  • Prvky $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ nazýváme $i$-tý řádek (row) této matice
    • Každý řádek matice lze vyjádřit jako vektor z $F^n$
    • A navíc lze řádkový vektor z $F^n$ chápat jako další matici rozměru $1 \times n$
  • Prvky $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ nazýváme $j$-tý sloupec (column) této matice
    • Každý sloupec matice lze vyjádřit jako vektor z $F^m$
    • A navíc lze sloupcový vektor z $F^m$ chápat jako další matici rozměru $m \times 1$
  • nulová matice (zero matrix): matice, jejíž všechny prvky jsou $0$, značí se $O$
  • čtvercová matice (square matrix): matice se stejným počtem řádků a sloupců
  • Pro dvě matice $A, B$ typu $m \times n$ definujeme, že jsou stejné ($A=B$), pokud pro všechna $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ platí $A_{ij} = B_{ij}$ (tj. všechny odpovídající prvky se shodují)
  • transponovaná matice (transpose matrix): pro matici $A$ typu $m \times n$ je transpozice $A^T$ matice typu $n \times m$, která vznikne prohozením řádků a sloupců
  • symetrická matice (symmetric matrix): čtvercová matice $A$ splňující $A^T = A$
  • antisymetrická matice (skew-symmetric matrix): čtvercová matice $B$ splňující $B^T = -B$
  • trojúhelníková matice (triangular matrix)
    • horní trojúhelníková matice (upper triangular matrix): všechny prvky pod diagonálou jsou $0$ (tj. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), obvykle se značí $U$
    • dolní trojúhelníková matice (lower triangular matrix): všechny prvky nad diagonálou jsou $0$ (tj. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), obvykle se značí $L$
  • diagonální matice (diagonal matrix): čtvercová matice, jejíž všechny nediagonální prvky jsou $0$ (tj. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$ pro matici $n \times n$), obvykle se značí $D$
• Typické vektorové prostory
  • $n$-tice $F^n$:
    • množina všech uspořádaných $n$-tic s prvky z tělesa $F$
    • značí se $F^n$ a je to $F$-vektorový prostor
  • prostor matic (matrix space):
    • množina všech matic typu $m \times n$ s prvky z tělesa $F$
    • značí se $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ a je to vektorový prostor
  • prostor funkcí (function space):
    • pro neprázdnou množinu $S$ a těleso $F$ je to množina všech funkcí ze $S$ do $F$
    • značí se $\mathcal{F}(S,F)$ a je to vektorový prostor
• podprostor (subspace)
  • Je-li $\mathbb{W}$ podmnožina $F$-vektorového prostoru $\mathbb{V}$ a zároveň je $F$-vektorovým prostorem se stejnými operacemi sčítání a násobení skalárem, jaké jsou definovány na $\mathbb{V}$, pak $\mathbb{W}$ nazýváme podprostorem (subspace) prostoru $\mathbb{V}$
  • Pro každý vektorový prostor $\mathbb{V}$ jsou $\mathbb{V}$ samotný i $\{0\}$ podprostory; zejména $\{0\}$ se nazývá nulový podprostor (zero subspace)
  • Pokud nějaká podmnožina vektorového prostoru obsahuje nulový vektor a je uzavřená na lineární kombinace (tj. $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), pak je to podprostor

Prerequisites

• Vektory a lineární kombinace

Vektorový prostor

Jak jsme krátce viděli i v článku Vektory a lineární kombinace, definice vektoru a vektorového prostoru jako algebraické struktury je následující.

Definice
Vektorový prostor (vector space) neboli lineární prostor (linear space) $\mathbb{V}$ nad tělesem $F$ je množina vybavená dvěma operacemi, sčítáním a násobením skalárem, které splňují následujících 8 podmínek. Prvky tělesa $F$ nazýváme skaláry (scalar) a prvky vektorového prostoru $\mathbb{V}$ nazýváme vektory (vector).

• Součet (sum): pro dva prvky $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ je přiřazen jednoznačný prvek $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Tomuto $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ říkáme součet prvků $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$.
• Násobení skalárem (scalar multiplication): každému prvku $a \in F$ a každému prvku $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ je přiřazen jednoznačný prvek $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Tomuto $a\mathbf{x}$ říkáme skalární násobek (scalar multiple) vektoru $\mathbf{x}$.

1. Pro všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (komutativita sčítání)
2. Pro všechna $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ platí $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (asociativita sčítání)
3. Pro každé $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existuje $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ takové, že $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (nulový vektor, neutrální prvek pro sčítání)
4. Ke každému $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existuje $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ takové, že $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverzní prvek pro sčítání)
5. Pro každé $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (neutrální prvek pro násobení)
6. Pro všechna $a,b \in F$ a všechna $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (asociativita násobení skalárem)
7. Pro všechna $a \in F$ a všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributivita násobení skalárem vůči sčítání 1)
8. Pro všechna $a,b \in F$ a všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributivita násobení skalárem vůči sčítání 2)

Přesněji bychom měli psát „$F$-vektorový prostor $\mathbb{V}$“, ale při práci s vektorovými prostory obvykle těleso není zásadní a nehrozí-li záměna, těleso $F$ vynecháváme a píšeme jen „vektorový prostor $\mathbb{V}$“.

Prostor matic

Řádkové a sloupcové vektory

Množinu všech uspořádaných $n$-tic s prvky z tělesa $F$ značíme $F^n$. Pro $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$, $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$ definujeme součet a násobení skalárem následovně; pak je $F^n$ $F$-vektorový prostor.

Vektor z $F^n$ se při samostatném zápisu obvykle vyjadřuje spíše jako sloupcový vektor (column vector) než jako řádkový vektor (row vector) $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, tj.

Protože zápis sloupcovým vektorem zabírá hodně místa, někdy se používá transpozice a zapisuje se $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$.

Matice a prostor matic

Na druhé straně, $m \times n$ matice (matrix) s prvky z $F$ je obdélníkové uspořádání prvků následujícího tvaru; značí se kurzívními velkými písmeny ($A, B, C$ apod.).

• Prvek v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice $A$ značíme $A_{ij}$ nebo $a_{ij}$.
• Všechny $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) jsou prvky tělesa $F$.
• Prvek $a_{ij}$ pro $i=j$ nazýváme diagonální prvek (diagonal entry).
• Prvky $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ nazýváme $i$-tý řádek (row) této matice. Každý řádek matice lze vyjádřit jako vektor z $F^n$, a navíc lze řádkový vektor z $F^n$ vyjádřit jako další matici rozměru $1 \times n$.
• Prvky $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ nazýváme $j$-tý sloupec (column) této matice. Každý sloupec matice lze vyjádřit jako vektor z $F^m$, a navíc lze sloupcový vektor z $F^m$ vyjádřit jako další matici rozměru $m \times 1$.
• Matici typu $m \times n$, jejíž všechny prvky jsou $0$, nazýváme nulová matice (zero matrix) a značíme ji $O$.
• Matici se stejným počtem řádků a sloupců nazýváme čtvercová matice (square matrix).
• Pro dvě matice $A, B$ typu $m \times n$ definujeme, že jsou stejné ($A=B$), pokud pro všechna $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ platí $A_{ij} = B_{ij}$ (tj. všechny odpovídající prvky se shodují).

Množinu všech matic typu $m \times n$ s prvky z tělesa $F$ značíme $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$. Pro $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ a $c \in F$ definujeme součet a násobení skalárem takto; pak je $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ vektorový prostor a nazývá se prostor matic (matrix space).

Jde o přirozené rozšíření operací definovaných na $F^n$ a $F^m$.

Prostor funkcí

Pro neprázdnou množinu $S$ a těleso $F$ je $\mathcal{F}(S,F)$ množina všech funkcí ze $S$ do $F$. Řekneme, že dvě funkce $f, g$ jsou stejné ($f=g$), pokud pro všechna $s \in S$ platí $f(s) = g(s)$.

Pro $f,g \in \mathcal{F}(S,F)$, $c \in F$, $s \in S$ definujeme součet a násobení skalárem následovně; pak je $\mathcal{F}(S,F)$ vektorový prostor a nazývá se prostor funkcí (function space).

Podprostor

Definice
Je-li $\mathbb{W}$ podmnožina $F$-vektorového prostoru $\mathbb{V}$ a zároveň je $F$-vektorovým prostorem se stejnými operacemi sčítání a násobení skalárem, jaké jsou definovány na $\mathbb{V}$, pak $\mathbb{W}$ nazýváme podprostorem (subspace) prostoru $\mathbb{V}$.

Pro každý vektorový prostor $\mathbb{V}$ jsou $\mathbb{V}$ samotný i $\{0\}$ podprostory; zejména $\{0\}$ se nazývá nulový podprostor (zero subspace).

Zda je daná podmnožina podprostorem, lze ověřit pomocí následující věty.

Věta 1
Pro vektorový prostor $\mathbb{V}$ a jeho podmnožinu $\mathbb{W}$ je nutná a postačující podmínka pro to, aby $\mathbb{W}$ byla podprostorem $\mathbb{V}$, splnění následujících tří podmínek. Operace jsou stejné jako ty, které jsou definovány na $\mathbb{V}$.

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

Stručně: pokud množina obsahuje nulový vektor a je uzavřená na lineární kombinace (tj. $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), pak je to podprostor.

Dále platí následující tvrzení.

Věta 2

• Generovaný podprostor $\mathrm{span}(S)$ libovolné podmnožiny $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$ je podprostor $\mathbb{V}$, který obsahuje $S$.

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• Každý podprostor $\mathbb{V}$, který obsahuje $S$, musí nutně obsahovat i generovaný podprostor $S$.

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

Věta 3
Pro podprostory vektorového prostoru $\mathbb{V}$ platí, že libovolný průnik těchto podprostorů je opět podprostorem $\mathbb{V}$.

Transponovaná matice, symetrická matice, antisymetrická matice

Pro matici $A$ typu $m \times n$ je její transponovaná matice (transpose matrix) $A^T$ matice typu $n \times m$, která vznikne prohozením řádků a sloupců matice $A$.

Matici $A$ splňující $A^T = A$ nazýváme symetrická matice (symmetric matrix) a matici $B$ splňující $B^T = -B$ nazýváme antisymetrická matice (skew-symmetric matrix). Symetrická i antisymetrická matice musí být nutně čtvercové.

Dvě množiny $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ tvořené všemi symetrickými, resp. antisymetrickými maticemi z $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$ jsou podprostory $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$. Jinými slovy, $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ jsou uzavřené na součet a násobení skalárem.

Trojúhelníkové matice, diagonální matice

Tyto dva typy matic jsou také zvlášť důležité.

Nejprve sjednotíme následující dva typy matic pod označení trojúhelníková matice (triangular matrix).

• horní trojúhelníková matice (upper triangular matrix): všechny prvky pod diagonálou jsou $0$ (tj. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), obvykle se značí $U$
• dolní trojúhelníková matice (lower triangular matrix): všechny prvky nad diagonálou jsou $0$ (tj. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), obvykle se značí $L$

Čtvercovou matici, jejíž všechny nediagonální prvky jsou $0$, tj. matici $n \times n$ splňující $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$, nazýváme diagonální matice (diagonal matrix) a obvykle ji značíme $D$. Diagonální matice je současně horní i dolní trojúhelníková matice.

Množina horních trojúhelníkových matic, množina dolních trojúhelníkových matic i množina diagonálních matic jsou všechny podprostory $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$.

Předpoklady

• Vektory a lineární kombinace

Vnitřní součin

Definice vnitřního součinu (inner product) na obecném $F$-vektorovém prostoru je následující.

Definice vnitřního součinu (inner product) a prostoru s vnitřním součinem (inner product space)
Uvažujme $F$-vektorový prostor $\mathbb{V}$. Vnitřní součin (inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ na $\mathbb{V}$ definujeme jako funkci, která každé uspořádané dvojici libovolných vektorů $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$ z $\mathbb{V}$ přiřadí skalár z $F$ a splňuje následující podmínky.

Pro libovolné $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ a libovolné $c \in F$ platí

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ ($\overline{\mathbf{z}}$ je komplexně sdružené číslo k $\mathbf{z}$)
4. Pokud $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, pak $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ je kladné.

$F$-vektorový prostor $\mathbb{V}$ vybavený vnitřním součinem se nazývá prostor s vnitřním součinem (inner product space). Zejména pro $F=\mathbb{C}$ jde o komplexní prostor s vnitřním součinem (complex inner product space) a pro $F=\mathbb{R}$ o reálný prostor s vnitřním součinem (real inner product space).

Zvlášť důležitý je následující vnitřní součin, kterému se říká standardní vnitřní součin (standard inner product). Lze ověřit, že splňuje všechny čtyři výše uvedené podmínky.

Definice standardního vnitřního součinu (standard inner product)
Pro dva vektory $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ v $F^n$ definujeme standardní vnitřní součin (standard inner product) na $F^n$ takto:

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Je-li $F=\mathbb{R}$, pak komplexně sdružené číslo k reálnému číslu je ono samo, takže standardní vnitřní součin má tvar $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. V tomto speciálním případě se standardní vnitřní součin často značí místo $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ jako $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ a nazývá se skalární součin (dot product) nebo skalarový součin (scalar product).

Definice skalárního součinu (dot product) / skalarového součinu (scalar product)
Pro $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ v $\mathbb{R}^n$ definujeme skalární součin (dot product) neboli skalarový součin (scalar product) na $\mathbb{R}^n$ takto:

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Zde uvedený „skalarový součin (scalar product)“ je operace mezi vektory a liší se od operace „skalární násobení (scalar multiplication)“ mezi skalárem a vektorem, kterou jsme probírali v článku Vektory a lineární kombinace. Protože anglické výrazy jsou si podobné a navíc v terminologii Korejské matematické společnosti se korejský překlad dokonce shoduje, je třeba dávat pozor, aby nedošlo k záměně.

Abychom předešli nejasnostem, budeme dále pokud možno používat označení skalární součin (dot product).

V eukleidovském prostoru vnitřní součin (inner product) splývá se skalárním součinem (dot product), a proto se často (pokud to kontext dovolí) skalární součin zkráceně označuje jako vnitřní součin. Přísně vzato je však vnitřní součin obecnější pojem, který skalární součin zahrnuje.

flowchart TD
    A["Vnitřní součin (Inner Product)"] -->|zahrnuje| B["Standardní vnitřní součin (Standard Inner Product)"]
    B -->|"F = R (těleso reálných čísel)"| C["Skalární/skalarový součin (Dot/Scalar Product)"]

    %% zahrnutí (relační značení)
    C -. zahrnuto .-> B
    B -. zahrnuto .-> A

Délka / norma vektoru

Pro vektor $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ v $\mathbb{R}^n$ definujeme eukleidovskou délku vektoru $\mathbf{v}$ pomocí skalárního součinu takto:

Obecněji, v libovolném prostoru s vnitřním součinem definujeme délku (length) neboli normu (norm) vektoru takto:

V obecném prostoru s vnitřním součinem platí pro normu vektoru následující důležité vlastnosti.

Věta
Nechť $\mathbb{V}$ je $F$-prostor s vnitřním součinem, $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ jsou libovolné vektory a $c \in F$ je skalár. Pak platí:

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Platí obojí:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Cauchyho–Schwarzova nerovnost (Cauchy-Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (rovnost nastává tehdy, když je jeden z vektorů $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$ skalárním násobkem druhého)
4. Trojúhelníková nerovnost (triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (rovnost nastává tehdy, když je jeden z vektorů $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$ skalárním násobkem druhého a oba mají stejný směr)

Úhel mezi vektory a jednotkový vektor

Vektor délky $1$ se nazývá jednotkový vektor (unit vector). Dále, pro dva vektory $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ v $\mathbb{R}^n$ platí $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, a odtud lze určit úhel $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) mezi vektory $\mathbf{v}$ a $\mathbf{w}$.

Pokud $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, říkáme, že jsou dva vektory kolmé (perpendicular) neboli ortogonální (orthogonal).

Jsou-li vektory $\mathbf{v}$ a $\mathbf{w}$ kolmé, pak:

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

Zobecníme-li to na libovolný prostor s vnitřním součinem, dostaneme následující.

Definice
Uvažujme prostor s vnitřním součinem $\mathbb{V}$. Pro vektory $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ v $\mathbb{V}$ definujeme, že jsou ortogonální (orthogonal) neboli kolmé (perpendicular), jestliže $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$. Dále:

1. Pro podmnožinu $S$ prostoru $\mathbb{V}$: jsou-li každé dva různé vektory z $S$ navzájem ortogonální, nazývá se $S$ ortogonální množina (orthogonal set).
2. Vektor $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ s $\|\mathbf{x}\|=1$ se nazývá jednotkový vektor (unit vector).
3. Je-li podmnožina $S$ prostoru $\mathbb{V}$ ortogonální množinou a skládá se pouze z jednotkových vektorů, nazývá se $S$ ortonormální množina (orthonormal set).

Nutná a postačující podmínka pro to, aby množina $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ byla ortonormální, je $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Násobení vektoru nenulovým skalárem nemění jeho ortogonalitu.

Pro libovolný nenulový vektor $\mathbf{x}$ je $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ jednotkový vektor; proces, kdy nenulový vektor vynásobíme skalárem rovným převrácené hodnotě jeho délky a tím získáme jednotkový vektor, se nazývá normalizace (normalizing).

TL;DR

• Definice vektoru
  • Vektor v užším smyslu (eukleidovský vektor): fyzikální veličina, která má zároveň velikost i směr
  • Vektor v širším smyslu, v lineární algebře: prvek vektorového prostoru
• Způsoby reprezentace vektoru
  • Šipková reprezentace: velikost vektoru je dána délkou šipky a směr vektoru směrem šipky. Výhodou je snadná vizualizace a intuitivnost, nevýhodou však to, že je obtížné takto vyjadřovat vektory ve 4 a více dimenzích nebo neeukleidovské vektory.
  • Složková reprezentace: počátek vektoru se položí do počátku souřadného prostoru a vektor se vyjádří souřadnicemi koncového bodu.
• Základní operace s vektory
  • Součet: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • Násobení skalárem: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• Lineární kombinace vektorů
  • Pro konečně mnoho vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ a skalárů $a_1, a_2, \dots, a_n$ se vektor $\mathbf{v}$ splňující $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$ nazývá lineární kombinací (linear combination) vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$
  • Čísla $a_1, a_2, \dots, a_n$ se nazývají koeficienty (coefficient) této lineární kombinace
• Generovaný podprostor
  • Pro neprázdnou podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$ je $\mathrm{span}(S)$ množina všech lineárních kombinací vytvořených z vektorů v $S$
  • Definuje se $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$
  • Pro podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$, platí-li $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, říkáme, že $S$ generuje (generate nebo span) prostor $\mathbb{V}$

Prerequisites

• souřadná rovina / souřadný prostor
• těleso (field)

Co je to vektor?

Vektor v užším smyslu: eukleidovský vektor

Mnoho fyzikálních veličin, jako je síla, rychlost či zrychlení, má kromě velikosti také informaci o směru. Takové fyzikální veličiny, které mají velikost i směr, se nazývají vektory (vector).

Výše uvedená definice je definice vektoru, se kterou se setkáváme v klasické mechanice nebo na středoškolské úrovni matematiky. Takový vektor v užším smyslu, založený na fyzikální intuici a nesoucí geometrický význam „velikosti a směru orientované úsečky“, se přesněji nazývá eukleidovský vektor (Euclidean vector).

Vektor v širším smyslu: prvek vektorového prostoru

V lineární algebře se vektor definuje v širším smyslu než výše uvedený eukleidovský vektor, jako abstraktnější algebraická struktura, následovně.

Definice
Vektorový prostor (vector space) neboli lineární prostor (linear space) $\mathbb{V}$ nad tělesem $F$ je množina vybavená dvěma operacemi, sčítáním a násobením skalárem, které splňují následujících 8 podmínek. Prvky tělesa $F$ nazýváme skaláry (scalar) a prvky vektorového prostoru $\mathbb{V}$ nazýváme vektory (vector).

• Sčítání (sum): pro dva prvky $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ je přiřazena jednoznačná hodnota $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Tomuto $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ říkáme součet vektorů $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$.
• Násobení skalárem (scalar multiplication): každému prvku $a \in F$ a každému prvku $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ je přiřazena jednoznačná hodnota $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Tomuto $a\mathbf{x}$ říkáme skalární násobek (scalar multiple) vektoru $\mathbf{x}$.

1. Pro všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (komutativita sčítání)
2. Pro všechna $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ platí $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (asociativita sčítání)
3. Pro každé $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existuje $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ takové, že $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (nulový vektor, neutrální prvek pro sčítání)
4. Ke každému $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existuje $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ takové, že $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverzní prvek pro sčítání)
5. Pro každé $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (neutrální prvek pro násobení)
6. Pro všechna $a,b \in F$ a všechna $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (asociativita násobení skalárem)
7. Pro všechna $a \in F$ a všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributivita násobení skalárem vůči sčítání 1)
8. Pro všechna $a,b \in F$ a všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributivita násobení skalárem vůči sčítání 2)

Tato definice vektoru v lineární algebře je širší než dříve uvedený eukleidovský vektor a zahrnuje jej. Lze ověřit, že i eukleidovské vektory splňují všech osm výše uvedených vlastností.

Původ a vývoj vektorů úzce souvisí s řadou praktických problémů, které vyvstaly ve fyzice — například se snahou kvantitativně popsat sílu, pohyb těles, rotaci či pojmy jako pole. Potřeba matematicky vyjadřovat přírodní jevy vedla k tomu, že byl nejprve zaveden pojem vektoru jako eukleidovského vektoru. Následně matematika tyto fyzikální koncepty zobecnila a teoreticky zformulovala: ustavila formální struktury, jako jsou vektorové prostory, skalární součin, vektorový součin apod., čímž vznikla dnešní definice vektoru. Jinými slovy, vektor je pojem, který si vyžádala fyzika a zformulovala matematika; nejde tedy o výhradní produkt čisté matematiky, ale spíše o interdisciplinární výsledek, který se rozvíjel díky úzké výměně mezi matematikou a fyzikou.

Eukleidovské vektory, se kterými pracuje klasická mechanika, lze matematicky vyjádřit v obecnějším rámci. V současné fyzice se aktivně používají nejen eukleidovské vektory, ale i abstraktnější pojmy definované matematikou, jako jsou vektorové prostory či prostory funkcí, kterým se následně přiřazuje fyzikální význam. Proto není vhodné chápat dvě definice vektoru jednoduše jako „fyzikální definici“ a „matematickou definici“.

Vektorové prostory si podrobněji probereme později; nyní se zaměříme na eukleidovské vektory v užším smyslu, které lze geometricky vyjádřit v souřadném prostoru. Nejprve si ukážeme intuitivní příklady eukleidovských vektorů, protože to pomůže i při pozdějším zobecnění na jiné typy vektorů.

Způsoby reprezentace vektoru

Šipková reprezentace

Jde o nejběžnější způsob, který nejlépe zachovává geometrickou intuici. Velikost vektoru se vyjadřuje délkou šipky a směr vektoru směrem šipky.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikipedie Nguyenthephuc
• licence: CC BY-SA 3.0

Tato reprezentace je sice intuitivní, ale u vektorů ve 4 a více dimenzích má zjevná omezení. Navíc později budeme pracovat i s neeukleidovskými vektory, které jsou už z principu obtížně geometricky znázornitelné, takže je potřeba si zvyknout na složkovou reprezentaci popsanou níže.

Složková reprezentace

Vektor považujeme za stejný bez ohledu na to, kde je umístěn, pokud má stejnou velikost i směr. Proto, je-li dán souřadný prostor, můžeme počátek vektoru zafixovat do počátku tohoto prostoru; pak $n$-rozměrný vektor odpovídá libovolnému bodu v $n$-rozměrném prostoru a vektor lze vyjádřit souřadnicemi koncového bodu. Tomuto způsobu říkáme složková reprezentace vektoru.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia Acdx
• licence: CC BY-SA 3.0

Základní operace s vektory

Základní operace s vektory jsou dvě: součet a násobení skalárem. Všechny vektorové operace lze vyjádřit jako kombinaci těchto dvou základních operací.

Součet vektorů

Součet dvou vektorů je opět vektor a složky výsledného vektoru jsou rovny součtům odpovídajících složek obou vektorů.

Násobení vektoru skalárem

Vektor lze zvětšovat či zmenšovat; to se popisuje operací násobení skalárem, tj. vynásobením vektoru konstantou (skalárem). Výsledek násobení vektoru skalárem odpovídá vynásobení každé složky vektoru stejným skalárem.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikipedie Silly rabbit
• licence: CC BY-SA 3.0

Lineární kombinace vektorů

Stejně jako kalkulus začíná číslem $x$ a funkcí $f(x)$, lineární algebra začíná vektory $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ a lineárními kombinacemi $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$. A všechny lineární kombinace vektorů se skládají z kombinací dvou výše uvedených základních operací: součtu a násobení skalárem.

Pro konečně mnoho vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ a skalárů $a_1, a_2, \dots, a_n$ se vektor $\mathbf{v}$, který splňuje následující, nazývá lineární kombinací (linear combination) vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$.

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

V tomto případě se $a_1, a_2, \dots, a_n$ nazývají koeficienty (coefficient) této lineární kombinace.

Proč je ale lineární kombinace tak důležitá? Uvažujme následující situaci: $n$ vektorů v $m$-rozměrném prostoru tvoří $n$ sloupců matice typu $m \times n$.

Klíčové jsou zde následující dvě věci.

1. Vyjádřete všechny možné lineární kombinace $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots x_n\mathbf{v}_n$. Co tvoří?
2. Najděte čísla $x_1, x_2, \dots, x_n$, která vytvoří požadovaný výstupní vektor $Ax = b$.

Odpověď na druhou otázku si rozebereme později; zatím se soustřeďme na první. Pro zjednodušení uvažujme jako příklad případ dvou nenulových 2D vektorů ($m=2$) a dvou vektorů celkem ($n=2$).

Lineární kombinace $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

Vektor $\mathbf{v}$ v dvojrozměrném prostoru má dvě složky. Pro libovolný skalár $c$ platí, že vektor $c\mathbf{v}$ je rovnoběžný s původním vektorem $\mathbf{v}$ a tvoří nekonečně dlouhou přímku v rovině $xy$, která prochází počátkem.

Pokud druhý daný vektor $\mathbf{w}$ neleží na této přímce (tj. vektory $\mathbf{v}$ a $\mathbf{w}$ nejsou rovnoběžné), pak i $d\mathbf{w}$ tvoří další, druhou přímku. Když nyní tyto dvě přímky zkombinujeme, zjistíme, že lineární kombinace $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ tvoří rovinu obsahující počátek.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia Svjo
• licence: CC BY-SA 4.0

Generování

Takové lineární kombinace vektorů tedy vytvářejí (vyplňují) vektorový prostor; tomuto se říká generování (span) prostoru.

Definice
Pro neprázdnou podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$ se množina všech lineárních kombinací vytvořených z vektorů v $S$ nazývá generovaný podprostor (span) množiny $S$ a značí se $\mathrm{span}(S)$. Dále se definuje $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$.

Definice
Pro podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$, platí-li $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, říkáme, že $S$ generuje (generate nebo span) prostor $\mathbb{V}$.

Zatím jsme neprobírali pojmy jako podprostor či báze, ale když si vybavíte tento příklad, pomůže vám to pochopit pojem vektorového prostoru.

Zde si poznamenávám, co jsem se naučil v kurzu Kaggle Pandas.
Protože je toho poměrně hodně, rozdělil jsem to na dvě části.

• 1. část: Lekce 1–3
• 1. část: Lekce 4–6 (tento článek)

Lekce 4. Seskupování a řazení

Často je potřeba data rozdělit do skupin a provést nad nimi nějaké operace po skupinách, případně je seřadit podle určitého kritéria.

Analýza po skupinách

Pomocí metody groupby() lze seskupit řádky s totožnou hodnotou v daném sloupci a následně nad každou skupinou provést přehled nebo transformaci.

Už jsme si ukázali metodu value_counts(); stejnou funkcionalitu lze pomocí groupby() realizovat například takto:

1

reviews.groupby('taster_name').size()

1

reviews.groupby('taster_name').taster_name.count()

1

reviews.groupby('points').price.min()

1
2
3
4
5
6
7

points
80      5.0
81      5.0
       ... 
99     44.0
100    80.0
Name: price, Length: 21, dtype: float64

1

reviews.groupby(['country', 'province']).apply(lambda df: df.loc[df.points.idxmax()])

1

reviews.groupby(['country']).price.agg([len, min, max])

1
2

countries_reviewed = reviews.groupby(['country', 'province']).description.agg([len])
countries_reviewed

1
2

mi = countries_reviewed.index
type(mi)

1

pandas.core.indexes.multi.MultiIndex

1

countries_reviewed.reset_index()

1
2

countries_reviewed = countries_reviewed.reset_index()
countries_reviewed.sort_values(by='len')

1

countries_reviewed.sort_values(by='len', ascending=False)

1

countries_reviewed.sort_index()

1

countries_reviewed.sort_values(by=['country', 'len'])

1

reviews.price.dtype

1

dtype('float64')

1

reviews.dtypes

1
2
3
4
5
6

country        object
description    object
                ...  
variety        object
winery         object
Length: 13, dtype: object

1

reviews.points.astype('float64')

1
2
3
4
5
6

0         87.0
1         87.0
          ... 
129969    90.0
129970    90.0
Name: points, Length: 129971, dtype: float64

1

reviews.index.dtype

1

dtype('int64')

1

reviews[pd.isna(reviews.country)]

1

reviews.region_2.fillna("Unknown")

1

rok_2030_census.province.replace("Gyeonggibuk-do", "Pyeonghwanuri Special Self-Governing Province")

1

reviews.rename(columns={'points': 'score'})

1

reviews.rename(index={0: 'firstEntry', 1: 'secondEntry'})

1

reviews.rename_axis("wines", axis='index').rename_axis("fields", axis='columns')

1
2
3
4
5
6
7
8

>>> s1 = pd.Series(['a', 'b'])
>>> s2 = pd.Series(['c', 'd'])
>>> pd.concat([s1, s2])
0    a
1    b
0    c
1    d
dtype: object

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

>>> df1 = pd.DataFrame([['a', 1], ['b', 2]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df1
  letter  number
0      a       1
1      b       2
>>> df2 = pd.DataFrame([['c', 3], ['d', 4]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df2
  letter  number
0      c       3
1      d       4
>>> pd.concat([df1, df2])
  letter  number
0      a       1
1      b       2
0      c       3
1      d       4
>>> df4 = pd.DataFrame([['bird', 'polly'], ['monkey', 'george']],
...                    columns=['animal', 'name'])
>>> df4
   animal    name
0    bird   polly
1  monkey  george
>>> pd.concat([df1, df4], axis=1)
  letter  number  animal    name
0      a       1    bird   polly
1      b       2  monkey  george

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

>>> df = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2', 'K3', 'K4', 'K5'],
...                    'A': ['A0', 'A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5']})
>>> df
  key   A
0  K0  A0
1  K1  A1
2  K2  A2
3  K3  A3
4  K4  A4
5  K5  A5
>>> other = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2'],
...                       'B': ['B0', 'B1', 'B2']})
>>> other
  key   B
0  K0  B0
1  K1  B1
2  K2  B2
>>> df.join(other, lsuffix='_caller', rsuffix='_other')
  key_caller   A key_other    B
0         K0  A0        K0   B0
1         K1  A1        K1   B1
2         K2  A2        K2   B2
3         K3  A3       NaN  NaN
4         K4  A4       NaN  NaN
5         K5  A5       NaN  NaN

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

...(vynecháno)
                    ------------------------------------------------
      Jekyll 4.3.4   Please append `--trace` to the `serve` command 
                     for any additional information or backtrace. 
                    ------------------------------------------------
/Users/yunseo/.gem/ruby/3.2.2/gems/jekyll-polyglot-1.8.1/lib/jekyll/polyglot/
patches/jekyll/site.rb:234:in `relative_url_regex': target of repeat operator 
is not specified: /href="?\/((?:(?!*.gem)(?!*.gemspec)(?!tools)(?!README.md)(
?!LICENSE)(?!*.config.js)(?!rollup.config.js)(?!package*.json)(?!.sass-cache)
(?!.jekyll-cache)(?!gemfiles)(?!Gemfile)(?!Gemfile.lock)(?!node_modules)(?!ve
ndor\/bundle\/)(?!vendor\/cache\/)(?!vendor\/gems\/)(?!vendor\/ruby\/)(?!en\/
)(?!ko\/)(?!es\/)(?!pt-BR\/)(?!ja\/)(?!fr\/)(?!de\/)[^,'"\s\/?.]+\.?)*(?:\/[^
\]\[)("'\s]*)?)"/ (RegexpError)

...(zkráceno)

1
2
3
4
5
6
7
8
9

exclude:
  - "*.gem"
  - "*.gemspec"
  - docs
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - "*.config.js"
  - package*.json

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

    # a regex that matches relative urls in a html document
    # matches href="baseurl/foo/bar-baz" href="/cs/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    # a regex that matches absolute urls in a html document
    # matches href="http://baseurl/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

1
2
3
4
5
6
7
8
9

exclude: # Upraveno s ohledem na issue https://github.com/untra/polyglot/issues/204 .
  # - "*.gem"
  - jekyll-theme-chirpy.gemspec # - "*.gemspec"
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - purgecss.config.js # - "*.config.js"
  - rollup.config.js
  - package*.json

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

  <body>
    {% include sidebar.html lang=lang %}

    <div id="main-wrapper" class="d-flex justify-content-center">
      <div class="container d-flex flex-column px-xxl-5">
        
        (...vynecháno...)

        {% include_cached search-results.html lang=lang %}
      </div>

      <aside aria-label="Scroll to Top">
        <button id="back-to-top" type="button" class="btn btn-lg btn-box-shadow">
          <i class="fas fa-angle-up"></i>
        </button>
      </aside>
    </div>

    (...vynecháno...)

    {% include_cached search-loader.html lang=lang %}
  </body>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

<!-- The Search results -->

<div id="search-result-wrapper" class="d-flex justify-content-center d-none">
  <div class="col-11 content">
    <div id="search-hints">
      {% include_cached trending-tags.html %}
    </div>
    <div id="search-results" class="d-flex flex-wrap justify-content-center text-muted mt-3"></div>
  </div>
</div>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      <div class="post-meta d-flex flex-column flex-sm-row text-muted mt-1 mb-1">
        {categories}
        {tags}
      </div>
    </header>
    <p>{snippet}</p>
  </article>
{% endcapture %}

{% capture not_found %}<p class="mt-5">{{ site.data.locales[include.lang].search.no_results }}</p>{% endcapture %}

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ '/assets/js/data/search.json' | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',
      noResultsText: '{{ not_found }}',
      templateMiddleware: function(prop, value, template) {
        if (prop === 'categories') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div class="me-sm-4"><i class="far fa-folder fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }

        if (prop === 'tags') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div><i class="fa fa-tag fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }
      }
    });
  });
</script>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

---
layout: compress
swcache: true
---

[
  {% for post in site.posts %}
  {
    "title": {{ post.title | jsonify }},
    "url": {{ post.url | relative_url | jsonify }},
    "categories": {{ post.categories | join: ', ' | jsonify }},
    "tags": {{ post.tags | join: ', ' | jsonify }},
    "date": "{{ post.date }}",
    {% include no-linenos.html content=post.content %}
    {% assign _content = content | strip_html | strip_newlines %}
    "snippet": {{ _content | truncate: 200 | jsonify }},
    "content": {{ _content | jsonify }}
  }{% unless forloop.last %},{% endunless %}
  {% endfor %}
]

stateDiagram
  state "Changes" as CH
  state "Build start" as BLD
  state "Create search.json" as IDX
  state "Static Website" as DEP
  state "In Test" as TST
  state "Search Loader" as SCH
  state "Results" as R
    
  [*] --> CH: Make Changes
  CH --> BLD: Commit & Push origin
  BLD --> IDX: jekyll build
  IDX --> TST: Build Complete
  TST --> CH: Error Detected
  TST --> DEP: Deploy
  DEP --> SCH: Search Input
  SCH --> R: Return Results
  R --> [*]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      <h2><a {% static_href %}href="/{{ site.active_lang }}{url}"{% endstatic_href %}>{title}</a></h2>
      {% else %}
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      {% endif %}

(...vynecháno...)

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    {% assign search_path = '/assets/js/data/search.json' %}
    {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      {% assign search_path = '/' | append: site.active_lang | append: search_path %}
    {% endif %}
    
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ search_path | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',

(...zkráceno)