Základní pojmy modelování

Modelování (Modeling)

• model (model): matematická formulace (pomocí proměnných, funkcí, rovnic apod.) inženýrského problému, který chceme řešit
• matematické modelování (mathematical modeling) neboli modelování (modeling): proces sestavení modelu, jeho matematického vyřešení a interpretace výsledků

flowchart LR
	title([Modelování])
	A[Fyzikální systém] --> B[Matematický model]
	B[Matematický model] --> C[Matematické řešení]
	C[Matematické řešení] --> D[Fyzikální interpretace]

Protože mnoho fyzikálních veličin, jako je rychlost nebo zrychlení, jsou derivace, má model často tvar rovnice obsahující derivaci neznámé funkce, tj. diferenciální rovnice (differential equation).

Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) a parciální diferenciální rovnice (PDE)

Obyčejná diferenciální rovnice (ODE)

obyčejná diferenciální rovnice (ordinary differential equation; ODE): rovnice obsahující $n$-tou derivaci neznámé funkce

Příklady)

\[y' = \cos x\] \[y'' + 9y = e^{-2x}\] \[y'y''' - \frac{3}{2}y'^{2} = 0\]

Parciální diferenciální rovnice (PDE)

parciální diferenciální rovnice (partial differential equation; PDE): rovnice obsahující parciální derivace neznámé funkce se dvěma nebo více proměnnými

Příklad)

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

Řešení (Solution)

Je-li funkce $h(x)$ definovaná na nějakém otevřeném intervalu $(a, b)$ a je-li diferencovatelná, a pokud po dosazení $y\mapsto h$ a $y’\mapsto h’$ se daná obyčejná diferenciální rovnice stane identitou, pak funkci

\[y = h(x)\]

nazýváme řešením (solution) dané ODR na intervalu $(a, b)$ a křivku funkce $h$ nazýváme křivkou řešení (solution curve).

Příklady)

\[y'=\cos x \Leftrightarrow y=\sin x+c\] \[y'=0.2y \Leftrightarrow y=ce^{0.2t}\]

Takové řešení obsahující libovolnou konstantu $c$ se nazývá obecné řešení (general solution) obyčejné diferenciální rovnice.

Geometricky je obecné řešení ODR množina nekonečně mnoha křivek řešení; každé hodnotě konstanty $c$ odpovídá právě jedna křivka. Zvolením konkrétní hodnoty $c$ získáme partikulární řešení (particular solution) ODR.

Počáteční úloha (Initial Value Problem)

Abychom získali partikulární řešení daného problému, musíme určit hodnotu libovolné konstanty $c$. V mnoha případech ji lze určit pomocí počáteční podmínky (initial condition), např. $y(x_{0})=y_{0}$ nebo $y(t_{0})=y_{0}$ (i když nezávislá proměnná není čas nebo i když $t_{0}\neq0$, říká se tomu stále počáteční podmínka). ODR s počáteční podmínkou se nazývá počáteční úloha (initial value problem).

Příklad)

\[y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}\]

Příklad modelování: exponenciální rozpad radioaktivní látky

Je dáno, že množství radioaktivní látky je 0,5 g. Určete množství, které zůstane po čase $t$.

Podle experimentu se radioaktivní látka v každém okamžiku rozpadá rychlostí úměrnou množství látky, které v daném okamžiku zbývá, a proto se s časem zmenšuje.

1. Sestavení matematického modelu

Označme množství látky zbývající v čase $t$ jako $y(t)$. Protože $y’(t)$ je úměrné $y(t)$, dostaneme ODR 1. řádu

\[\frac {dy}{dt} = -ky\]

(konstanta $k>0$).

Dále známe počáteční podmínku $y(0)=0.5$. Matematický model tedy můžeme zapsat jako následující počáteční úlohu:

\[\frac {dy}{dt} = -ky, \qquad y(0)=0.5\]

2. Matematické řešení

Obecné řešení výše sestavené ODR je následující (viz metoda separace proměnných).

\[y(t)=ce^{-kt}\]

Protože $y(0)=c$, z počáteční podmínky dostaneme $y(0)=c=0.5$. Hledané partikulární řešení je tedy

\[y(t)=0.5e^{-kt} \quad(k>0).\]

3. Fyzikální interpretace řešení

Nalezené řešení udává množství radioaktivní látky v libovolném čase $t$. Množství radioaktivní látky začíná na počáteční hodnotě 0,5 (g) a s časem klesá; pro $t \to \infty$ je limita $y$ rovna $0$.