Bernoulliho rovnice (Bernoulli Equation)
Probereme Bernoulliho rovnici a postup řešení její speciální formy – logistické rovnice.
Bernoulliho rovnice (Bernoulli Equation)
\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ je libovolné reálné číslo)} \tag{1}\]Bernoulliho rovnice (1) je lineární pro $a=0$ nebo $a=1$ a v ostatních případech je nelineární. Lze ji však následujícím postupem převést na lineární.
Položme
\[u(x)=[y(x)]^{1-a}\]a po zderivování a dosazení $y’$ z (1) dostaneme
\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]Protože na pravé straně platí $y^{1-a}=u$, získáme následující lineární obyčejnou diferenciální rovnici
\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]Příklad: logistická rovnice (Logistic Equation)
Vyřešte logistickou rovnici (speciální tvar Bernoulliho rovnice).
\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]Řešení
Rovnici (3) přepišme do tvaru (1):
\[y'-Ay=-By^2\]Zde je $a=2$, tedy $u=y^{1-a}=y^{-1}$. Zderivujeme-li $u$ a dosadíme $y’$ z (3), dostaneme
\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]Poslední člen je $-Ay^{-1}=-Au$, takže získáme následující lineární obyčejnou diferenciální rovnici:
\[u'+Au=B\]Podle vzorce pro řešení v článku Nehomogenní lineární obyčejná diferenciální rovnice lze určit následující obecné řešení:
\[u=ce^{-At}+B/A\]Protože $u=1/y$, dostáváme z toho obecné řešení rovnice (3):
\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]Získali jsme tak řešení.