Exaktní diferenciální rovnice (Exact Differential Equation) a integrační faktor

TL;DR

flowchart TD
	ODE[Je dána nějaká obyčejná diferenciální rovnice, která může být exaktní]
	IsExact{Ověřit exaktnost}

	ODE --> IsExact

	Solve[Aplikovat postup řešení exaktní diferenciální rovnice]
	CheckR{Ověřit R a R*}

	IsExact -->|je exaktní| Solve
	IsExact -->|není exaktní| CheckR

	DetermineFactor[Najít integrační faktor]
	fail[Zkusit jinou metodu]

	CheckR -->|"existuje jednoproměnná funkce R(x) nebo R*(y)"| DetermineFactor
	CheckR --->|nelze najít jednoproměnný integrační faktor| fail
	DetermineFactor --> Solve

Exaktní diferenciální rovnice (Exact Differential Equation)

Diferenciální rovnice 1. řádu $M(x,y)+N(x,y)y’=0$ se dá zapsat jako

\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \tag{1}\]

Pokud

\[\exists u(x,y): \frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y) \land \frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y) \tag{2}\]

pak

\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=du \tag{3}\]

a v tom případě rovnici $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ nazýváme exaktní diferenciální rovnice (exact differential equation). Pak ji lze psát jako

\[du=0\]

a po integraci dostaneme obecné řešení přímo ve tvaru

\[u(x,y)=c \tag{4}\]

Test exaktnosti

V uzavřené oblasti v rovině $xy$, jejíž hranicí je uzavřená křivka neprotínající sama sebe, nechť jsou $M$ a $N$ i jejich první parciální derivace spojité. Podmínku (2) si znovu přepišme:

\[\begin{align*} \frac {\partial u}{\partial x}&=M(x,y) \tag{2a} \\ \frac {\partial u}{\partial y}&=N(x,y) \tag{2b} \end{align*}\]

Zparciálním derivováním dostaneme

\[\begin{align*} \frac {\partial M}{\partial y} &= \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \\ \frac {\partial N}{\partial x} &= \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \end{align*}\]

Protože předpokládáme spojitost, jsou tyto dvě druhé parciální derivace stejné, tedy

\[\therefore \frac {\partial M}{\partial y}=\frac {\partial N}{\partial x} \tag{5}\]

Podmínka (5) je tedy nutnou podmínkou, aby se rovnice (1) stala exaktní; (zde to nedokazujeme) ve skutečnosti je to i podmínka postačující. Jinými slovy: ověřením této podmínky lze rozhodnout, zda jde o exaktní diferenciální rovnici.

Řešení exaktní diferenciální rovnice

Z (2a) integrujme podle $x$ za předpokladu, že $y$ je konstanta:

\[u = \int M(x,y) dx + k(y) \tag{6}\]

Protože $y$ bereme jako konstantu, hraje zde $k(y)$ roli integrační konstanty. Nyní vezměme $x$ jako konstantu a (6) zderivujme podle $y$, čímž získáme $\partial u/\partial y$:

\[\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + \frac{dk}{dy}\]

Porovnáním s (2b) můžeme určit $dk/dy$:

\[\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + \frac{dk}{dy} = N(x,y)\] \[\frac{dk}{dy} = N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx\]

Nakonec tuto rovnici zintegrováním určíme $k(y)$ a dosazením do (6) získáme implicitní řešení $u(x,y)=c$.

\[k(y) = \int N(x,y)dy - \int \left(\frac{\partial}{\partial y}\int Mdx\right)dy + c^*\] \[\int M(x,y)dx + \int N(x,y)dy - \int \left(\frac{\partial}{\partial y}\int Mdx\right)dy = c\]

Důležitější než naučit se tento tvar obecného řešení jako „vzorec“ je rozumět tomu, jakými kroky se k němu dojde.

Integrační faktor (Integrating Factor)

Předpokládejme, že je dána nějaká neexaktní (inexact) obyčejná diferenciální rovnice:

\[P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 \quad \left( \frac {\partial P}{\partial y} \neq \frac {\partial Q}{\partial x} \right) \tag{7}\]

Jestliže

\[\exists F(x,y): \frac {\partial}{\partial y}(FP) = \frac {\partial}{\partial x}(FQ) \tag{8}\]

pak vynásobením rovnice (7) funkcí $F$ získáme následující exaktní diferenciální rovnici:

\[FP\ dx+FQ\ dy = 0 \tag{9}\]

Funkci $F(x,y)$ v tom případě nazýváme integrační faktor (integrating factor) rovnice (7).

Jak najít integrační faktor

Na (8) aplikujme pravidlo pro derivaci součinu a parciální derivace zapisujme dolním indexem:

\[F_y P + FP_y = F_x Q + FQ_x\]

V mnoha praktických případech existuje integrační faktor závislý jen na jedné proměnné. Nechť $F=F(x)$. Pak $F_y=0$ a $F_x=F’=dF/dx$, takže dostaneme

\[FP_y = F'Q + FQ_x\]

Po vydělení obou stran $FQ$ a úpravě členů vyjde

\[\begin{align*} \frac{1}{F} \frac{dF}{dx} &= \frac{P_y}{Q} - \frac{Q_x}{Q} \\ &= \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} \right) \end{align*} \tag{10}\]

Tedy platí:

Pro danou rovnici (7), je-li pravá strana $R$ ve (10) funkcí pouze proměnné $x$, pak má (7) integrační faktor $F=F(x)$.

\[F(x)=e^{\int R(x)dx}, \quad \text{kde }R=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} \right) \tag{11}\]

Podobně, jestliže $F^*=F^*(y)$, dostaneme místo (10)

\[\frac{1}{F^*} \frac{dF^*}{dy} = \frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \tag{12}\]

a tedy:

Pro danou rovnici (7), je-li pravá strana $R^*$ ve (12) funkcí pouze proměnné $y$, pak má (7) integrační faktor $F^*=F^*(y)$.

\[F^*(y)=e^{\int R^*(y)dy}, \quad \text{kde }R^*=\frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \tag{13}\]