Útlum neutronů (Neutron Attenuation) a střední volná dráha (Mean Free Path)

Útlum neutronů (Neutron Attenuation)

Uvažujme monoenergetický neutronový svazek o intenzitě $I_0$, který dopadá na terč o tloušťce $X$, a ve vzdálenosti za terčem je umístěn detektor neutronů. Předpokládejme, že jak terč, tak detektor jsou velmi malé, a že detektor má malý prostorový úhel, takže dokáže zachytit jen část neutronů vycházejících z terče. Pak budou všechny neutrony, které do terče narazí, buď pohlceny, nebo rozptýleny a odkloněny jiným směrem; do detektoru tedy vstupují pouze neutrony, které s terčem nereagovaly.

Označme $I(x)$ intenzitu neutronového svazku, která zůstává po průchodu vzdáleností $x$ uvnitř terče bez srážky. Když neutronový svazek prochází terčem o dostatečně malé tloušťce $\tau$, počet srážek na jednotku plochy je $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[neutrons/cm}^2\cdot\text{s]}$ (viz rovnice (1) a (8) v článku Interakce neutronů a reakční účinné průřezy). Proto je pokles intenzity neutronového svazku při postupu o $dx$ uvnitř terče dán:

\[-dI = \sigma_t IN dx = \Sigma_t I dx \tag{1}\]

Integrací dostaneme:

\[\frac{dI}{I} = -\Sigma_t dx\] \[I(x) = I_0e^{-\Sigma_t x} \tag{2}\]

Intenzita neutronového svazku tedy s rostoucí dráhou v terči exponenciálně klesá.

Střední volná dráha (Mean Free Path)

• průměrná vzdálenost, kterou neutron urazí od jedné srážky s jádrem do následující srážky s jiným jádrem
• tj. průměrná vzdálenost, kterou neutron urazí bez srážky
• značí se $\lambda$

$I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ vyjadřuje pravděpodobnost, že neutron při postupu o vzdálenost $x$ v prostředí nenarazí na jádro. Pravděpodobnost, že neutron dojde bez srážky až do vzdálenosti $x$ a poté se srazí v intervalu $dx$, tedy $p(x)dx$, je:

\[\begin{align*} p(x)dx &= \frac{I(x)}{I_0} \Sigma_t dx \\ &= e^{-\Sigma_t x}\times \Sigma_t dx \\ &= \Sigma_t e^{-\Sigma_t x}dx \end{align*}\]

Odtud lze střední volnou dráhu (mean free path) $\lambda$ určit následovně:

\[\begin{align*} \lambda &= \int_0^\infty xp(x)dx \\ &= \Sigma_t \int_0^\infty xe^{-\Sigma_t x}dx \\ &= \Sigma_t \left(\left[-\frac{1}{\Sigma_t}xe^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty +\int_0^\infty \frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right) \\ &= \left[-\frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty \\ &= 1/\Sigma_t \label{eqn:mean_free_pass}\tag{3} \end{align*}\]

Makroskopický účinný průřez homogenní směsi (Homogeneous Mixture)

Uvažujme směs, v níž jsou rovnoměrně promíchány dva nuklidy $X$ a $Y$. Nechť jsou atomové hustoty jednotlivých nuklidů $N_X$ a $N_Y$ v jednotkách $\text{atom/cm}^3$ a mikroskopické účinné průřezy pro jistou konkrétní reakci neutronu s těmito jádry jsou $\sigma_X$, $\sigma_Y$.

Protože pravděpodobnosti srážky neutronu na jednotku délky s jádry $X$ a $Y$ jsou $\Sigma_X=N_X\sigma_X$, $\Sigma_Y=N_Y\sigma_Y$ (viz Makroskopický účinný průřez), celková pravděpodobnost reakce na jednotku délky s oběma typy jader je:

\[\Sigma = \Sigma_X + \Sigma_Y = N_X\sigma_X + N_Y\sigma_Y \label{eqn:cross_section_of_mixture}\tag{4}\]

Ekvivalentní účinný průřez molekuly (Equivalent Cross-section)

Pokud se výše uvažovaná jádra vyskytují ve formě molekul, lze ekvivalentní účinný průřez (equivalent cross-section) dané molekuly definovat tak, že makroskopický účinný průřez směsi vypočtený ze vztahu ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) vydělíme počtem molekul na jednotku objemu.

Je-li v jednotkovém objemu $N$ molekul $X_mY_n$, pak $N_X=mN$, $N_Y=nN$ a ze vztahu ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) dostaneme účinný průřez této molekuly:

\[\sigma = \frac{\Sigma}{N}=m\sigma_X + n\sigma_Y \label{eqn:equivalent_cross_section}\tag{5}\]

Vztahy ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) a ($\ref{eqn:equivalent_cross_section}$) platí za předpokladu, že jádra $X$ a $Y$ reagují s neutrony vzájemně nezávisle; jsou použitelné pro všechny typy neutronových reakcí kromě elastického rozptylu. U elastického rozptylu neutronů na molekulách a pevných látkách (zejména v oblasti nízkých energií) tento předpoklad nelze použít, a proto je třeba rozptylový účinný průřez určit experimentálně.