Řešení lineární obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu

Lineární obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu

Pokud lze ODR 1. řádu algebraicky převést do tvaru

\[y'+p(x)y=r(x) \tag{1}\]

pak ji nazýváme lineární (linear); pokud to možné není, jde o nelineární (nonlinear) rovnici.

Tvar jako v (1) se nazývá standardní tvar (standard form) lineární ODR 1. řádu. Pokud je první člen dané lineární ODR 1. řádu ve tvaru $f(x)y’$, lze standardní tvar získat tak, že obě strany rovnice vydělíme $f(x)$.

V inženýrství se často $r(x)$ označuje jako vstup (input) a $y(x)$ jako výstup (output), případně jako odezva (response) na vstup (a počáteční podmínky).

Homogenní lineární ODR

Nechť $J$ je interval $a<x<b$, na němž chceme řešit rovnici (1). Pokud pro interval $J$ platí $r(x)\equiv 0$, pak

\[y'+p(x)y=0 \tag{2}\]

a takovou rovnici nazýváme homogenní (homogeneous). V tomto případě lze použít metodu separace proměnných.

\[\frac{dy}{y} = -p(x)dx\] \[\log |y| = -\int p(x)dx + c^*\] \[y(x) = ce^{-\int p(x)dx} \tag{3}\]

Pro $c=0$ dostaneme triviální řešení (trivial solution) $y(x)=0$.

Nehomogenní lineární ODR

Pokud na intervalu $J$ platí $r(x)\not\equiv 0$, nazývá se rovnice nehomogenní (nonhomogeneous). Je známo, že nehomogenní lineární ODR (1) má integrační faktor závislý pouze na $x$. Tento integrační faktor $F(x)$ lze získat buď ze vzorce (11) v části jak najít integrační faktor, nebo přímo následovně.

Vynásobíme-li rovnici (1) výrazem $F(x)$, dostaneme

\[Fy'+pFy=rF \tag{1*}\]

Pokud platí

\[pF=F'\]

pak levá strana (1*) je derivací $(Fy)’=F’y+Fy’$. Po separaci proměnných z $pF=F’$ dostaneme $dF/F=p\ dx$ a po integraci, značíme-li $h=\int p\ dx$, platí

\[\log |F|=h=\inf p\ dx\] \[F = e^h\]

Po dosazení do (1*) dostaneme

\[e^hy'+h'e^hy=e^hy'+(e^h)'=(e^hy)'=re^h\]

Integrací vyjde

\(e^hy=\int e^hr\ dx + c\) a po vydělení $e^h$ získáme hledaný vzorec pro řešení.

\[y(x)=e^{-h}\left(\int e^hr\ dx + c\right),\qquad h=\int p(x)\ dx \tag{4}\]

Zde integrační konstanta v $h$ nepředstavuje problém.

Protože v (4) je jedinou hodnotou jednoznačně závislou na dané počáteční podmínce konstanta $c$, můžeme (4) zapsat jako součet dvou členů

\[y(x)=e^{-h}\int e^hr\ dx + ce^{-h} \tag{4*}\]

a vyplývá z toho

\[\text{celkový výstup}=\text{odezva na vstup }r+\text{odezva na počáteční podmínky} \tag{5}\]

Příklad: obvod RL

Uvažujme obvod $RL$ složený z baterie s elektromotorickým napětím $E=48\textrm{V}$, rezistoru s odporem $R=11\mathrm{\Omega}$ a induktoru s indukčností $L=0.1\text{H}$. Nechť počáteční proud je 0. Sestavte model tohoto obvodu $RL$ a vzniklou ODR vyřešte pro proud $I(t)$.

Ohmův zákon (Ohm’s law)
Proud v obvodu $I$ způsobuje na rezistoru úbytek napětí (voltage drop) $RI$.

Faradayův zákon elektromagnetické indukce (Faraday’s law of electromagnetic induction)
Proud v obvodu $I$ způsobuje na induktoru úbytek napětí $LI’=L\ dI/dt$.

Kirchhoffův zákon napětí (Kirchhoff’s Voltage Law;KVL)
Elektromotorické napětí působící v uzavřeném obvodu se rovná součtu úbytků napětí na všech ostatních prvcích obvodu.

Řešení

Podle výše uvedených zákonů je model obvodu $RL$ dán rovnicí $LI’+RI=E(t)$ a ve standardním tvaru

\[I'+\frac{R}{L}I=\frac{E(t)}{L} \tag{6}\]

V rovnici (4) položíme $x=t, y=I, p=R/L, h=(R/L)t$ a tuto lineární ODR vyřešíme.

\[I=e^{-(R/L)t}\left(\int e^{(R/L)t} \frac{E(t)}{L}dt+c\right)\] \[I=e^{-(R/L)t}\left(\frac{E}{L}\frac{e^{(R/L)t}}{R/L}+c\right)=\frac{E}{R}+ce^{-(R/L)t} \tag{7}\]

Zde $R/L=11/0.1=110$ a $E(t)=48$, takže

\[I=\frac{48}{11}+ce^{-110t}\]

Z počáteční podmínky $I(0)=0$ dostaneme $I(0)=E/R+c=0$, tedy $c=-E/R$. Odtud získáme následující partikulární řešení.

\[I=\frac{E}{R}(1-e^{-(R/L)t}) \tag{8}\] \[\therefore I=\frac{48}{11}(1-e^{-110t})\]