Algebraické řešení harmonického oscilátoru (The Harmonic Oscillator)

TL;DR

• Pokud je amplituda dostatečně malá, lze libovolné kmitání aproximovat jako jednoduché harmonické kmitání (simple harmonic oscillation); proto má v fyzice zásadní význam
• Harmonický oscilátor: $V(x) = \cfrac{1}{2}kx^2 = \cfrac{1}{2}m\omega^2 x^2$
• Komutátor (commutator):
  • binární operace vyjadřující, jak moc se dva operátory „nevyměňují“ (commute)
  • $\left[\hat{A},\hat{B} \right] \equiv \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$
• Kanonická komutační relace (canonical commutation relation): $\left[\hat{x},\hat{p}\right] = i\hbar$
• Žebříčkové operátory (ladder operators):
  • $\hat{a}_\pm \equiv \cfrac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mp i\hat{p}+m\omega\hat{x})$
  • $\hat{a}_+$ se nazývá zvyšovací operátor (raising operator), $\hat{a}_-$ snižovací operátor (lowering operator)
  • pro libovolný stacionární stav lze energetickou hladinu zvyšovat nebo snižovat, takže stačí najít jedno řešení časově nezávislé Schrödingerovy rovnice a všechna ostatní z něj získáme

\[\hat{H}\psi = E\psi \quad \Rightarrow \quad \hat{H}\left(\hat{a}_{\pm}\psi \right)=(E \pm \hbar\omega)\left(\hat{a}_{\pm}\psi \right)\]

• Vlnová funkce a energetická hladina $n$-tého stacionárního stavu:
  • základní stav ($0$-tý stacionární stav):
    • $\psi_0(x) = \left(\cfrac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4}\exp\left(-\cfrac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)$
    • $E_0 = \cfrac{1}{2}\hbar\omega$
  • $n$-tý stacionární stav:
    • $\psi_n(x) = \cfrac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}_+)^n \psi_0(x)$
    • $E_n = \left(n + \cfrac{1}{2} \right)\hbar\omega$
• $\hat{a}_\mp$ je Hermitovsky sdružený (hermitian conjugate) a zároveň adjungovaný operátor (adjoint operator) k $\hat{a}_\pm$

\[\int_{-\infty}^{\infty} f^*(\hat{a}_\pm g)dx = \int_{-\infty}^{\infty} (\hat{a}_\mp f)^* g\ dx\]

• Z toho lze odvodit následující vlastnosti:
  • $\hat{a}_+\hat{a}_-\psi_n = n\psi_n$
  • $\hat{a}_-\hat{a}_+\psi_n = (n+1)\psi_n$
• Jak počítat střední hodnoty veličin obsahujících mocniny $\hat{x}$ a $\hat{p}$:
  1. pomocí definice žebříčkových operátorů vyjádřit $\hat{x}$ a $\hat{p}$ přes zvyšovací a snižovací operátor
     • $\hat{x} = \sqrt{\cfrac{\hbar}{2m\omega}}\left(\hat{a}_+ + \hat{a}_- \right)$
     • $\hat{p} = i\sqrt{\cfrac{\hbar m\omega}{2}}\left(\hat{a}_+ - \hat{a}_- \right)$
  2. vyjádřit hledanou veličinu pomocí výše uvedených vztahů pro $\hat{x}$ a $\hat{p}$
  3. využít, že $\left(\hat{a}_\pm \right)^m$ je úměrné $\psi_{n\pm m}$, které je s $\psi_n$ ortogonální, takže příspěvek je $0$
  4. dopočítat integrály s využitím vlastností žebříčkových operátorů

Předpoklady

• Metoda separace proměnných
• Schrödingerova rovnice a vlnová funkce
• Ehrenfestova věta
• Časově nezávislá Schrödingerova rovnice
• 1D nekonečná potenciálová jáma
• Hermitovsky sdružený (hermitian conjugate), adjungovaný operátor (adjoint operator)

Nastavení modelu

Harmonický oscilátor v klasické mechanice

Typickým příkladem klasického harmonického oscilátoru je pohyb tělesa o hmotnosti $m$ zavěšeného na pružině s tuhostí $k$ (tření zanedbáme). Tento pohyb se řídí Hookeovým zákonem (Hooke’s law)

\[F = -kx = m\frac{d^2x}{dt^2}\]

Řešením této rovnice je

\[x(t) = A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t)\]

kde

\[\omega \equiv \sqrt{\frac{k}{m}} \label{eqn: angular_freq}\tag{1}\]

je úhlová frekvence kmitání. Potenciální energie v závislosti na poloze $x$ má tvar

\[V(x)=\frac{1}{2}kx^2 \label{eqn: potential_k}\tag{2}\]

tj. paraboly.

V realitě neexistuje dokonale harmonický oscilátor. I v příkladu s pružinou: pokud ji natáhneme příliš, překročí se mez pružnosti a pružina se přetrhne nebo dojde k trvalé deformaci; a ve skutečnosti už před tímto bodem přestane přesně platit Hookeův zákon. Přesto je harmonický oscilátor ve fyzice důležitý, protože libovolný potenciál lze v okolí lokálního minima aproximovat parabolou. Provedeme-li Taylorův rozvoj potenciálu $V(x)$ v okolí bodu minima, dostaneme

\[V(x) = V(x_0) + V^\prime(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}V^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots\]

Protože přičtení libovolné konstanty k $V(x)$ nijak neovlivní sílu, odečteme $V(x_0)$. Jelikož $x_0$ je minimum, platí $V^\prime(x_0)=0$. A pokud předpokládáme, že $(x-x_0)$ je dostatečně malé, zanedbáme vyšší členy a získáme

\[V(x) \approx \frac{1}{2}V^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2\]

*. To odpovídá pohybu harmonického oscilátoru s efektivní tuhostí pružiny $k=V^{\prime\prime}(x_0)$ v okolí bodu $x_0$. Jinými slovy: je-li amplituda dostatečně malá, lze libovolné kmitání aproximovat jako jednoduché harmonické kmitání (simple harmonic oscillation).

* Protože předpokládáme, že $V(x)$ má v $x_0$ lokální minimum, platí zde $V^{\prime\prime}(x_0) \geq 0$. Ve velmi vzácných případech může nastat $V^{\prime\prime}(x_0)=0$ a takový pohyb nelze aproximovat jednoduchým harmonickým kmitáním.

Harmonický oscilátor v kvantové mechanice

Úloha kvantově-mechanického harmonického oscilátoru spočívá v řešení Schrödingerovy rovnice pro potenciál

\[V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \label{eqn: potential_omega}\tag{3}\]

Časově nezávislá Schrödingerova rovnice pro harmonický oscilátor má tvar

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi = E\psi \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{4}\]

K řešení této úlohy existují dvě zcela odlišné metody. Jedna je analytická metoda využívající mocninnou řadu (power series method), druhá je algebraická metoda využívající žebříčkové operátory (ladder operators). Algebraická metoda je rychlejší a jednodušší, ale i analytické řešení pomocí mocninných řad je potřeba studovat. Zde budeme probírat algebraický postup; analytický postup viz tento článek.

Komutátor a kanonická komutační relace

Rovnici ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) lze s využitím operátoru hybnosti $\hat{p}\equiv -i\hbar \cfrac{d}{dx}$ přepsat takto:

\[\frac{1}{2m}\left[\hat{p}^2 + (m\omega \hat{x})^2 \right]\psi = E\psi. \tag{5}\]

Nyní zaveďme hamiltonián (Hamiltonian)

\[\hat{H} = \frac{1}{2m}\left[\hat{p}^2 + (m\omega \hat{x})^2 \right] \label{eqn:hamiltonian}\tag{6}\]

a zkusme ho rozložit na součin.

Kdyby $p$ a $x$ byly čísla, mohli bychom napsat jednoduchý rozklad

\[p^2 + (m\omega x)^2 = (ip + m\omega x)(-ip + m\omega x)\]

Jenže zde jsou $\hat{p}$ a $\hat{x}$ operátory a pro operátory obecně neplatí komutativita (commutative property) (tj. $\hat{p}\hat{x}\neq \hat{x}\hat{p}$), takže to není tak přímočaré. Přesto nám to může sloužit jako vodítko, a proto začněme tím, že se podíváme na následující veličiny:

\[\hat{a}_\pm \equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mp i\hat{p}+m\omega\hat{x}). \label{eqn:ladder_operators}\tag{7}\]

Pro operátory $\hat{a_\pm}$ definované výše je

\[\begin{align*} \hat{a}_-\hat{a}_+ &= \frac{1}{2\hbar m\omega}(i\hat{p}+m\omega\hat{x})(-i\hat{p}+m\omega\hat{x}) \\ &= \frac{1}{2\hbar m\omega}\left[\hat{p}^2 + (m\omega x)^2 - im\omega(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\right] \end{align*} \label{eqn:a_m_times_a_p_without_commutator}\tag{8}\]

Zde se člen $(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})$ nazývá komutátor (commutator) operátorů $\hat{x}$ a $\hat{p}$ a vyjadřuje, jak moc se tyto dva operátory „nevyměňují“ (commute). Obecně se komutátor operátorů $\hat{A}$ a $\hat{B}$ zapisuje pomocí hranatých závorek takto:

\[\left[\hat{A},\hat{B} \right] \equiv \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}. \label{eqn:commutator}\tag{9}\]

S touto notací lze rovnici ($\ref{eqn:a_m_times_a_p_without_commutator}$) přepsat na

\[\hat{a}_-\hat{a}_+ = \frac{1}{2\hbar m\omega}\left[\hat{p}^2 + (m\omega x)^2 \right] - \frac{i}{2\hbar}\left[\hat{x},\hat{p} \right]. \label{eqn:a_m_times_a_p}\tag{10}\]

Nyní potřebujeme zjistit komutátor $\hat{x}$ a $\hat{p}$.

\[\begin{align*} \left[\hat{x},\hat{p} \right]f(x) &= \left[x(-i\hbar)\frac{d}{dx}(f) - (-i\hbar)\frac{d}{dx}(xf) \right] \\ &= -i\hbar \left[x\frac{df}{dx} - f - x\frac{df}{dx} \right] \\ &= i\hbar f(x) \end{align*}\tag{11}\]

Po vykrácení testovací funkce $f(x)$ dostaneme

\[\left[\hat{x},\hat{p}\right] = i\hbar. \label{eqn:canonical_commutation_rel}\tag{12}\]

Tomu se říká kanonická komutační relace (canonical commutation relation).

Žebříčkové operátory (ladder operators)

Díky kanonické komutační relaci se ($\ref{eqn:a_m_times_a_p}$) zjednoduší na

\[\hat{a}_-\hat{a}_+ = \frac{1}{\hbar\omega}\hat{H} + \frac{1}{2}, \tag{13}\]

tj.

\[\hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}_-\hat{a}_+ - \frac{1}{2} \right) \tag{14}\]

Pořadí $\hat{a}_-$ a $\hat{a}_+$ je přitom důležité. Pokud dáme $\hat{a}_+$ vlevo, dostaneme

\[\hat{a}_+\hat{a}_- = \frac{1}{\hbar\omega}\hat{H} - \frac{1}{2}, \tag{15}\]

a platí

\[\left[\hat{a}_-,\hat{a}_+ \right] = 1 \tag{16}\]

V tomto případě lze hamiltonián psát také jako

\[\hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}_+\hat{a}_- + \frac{1}{2} \right) \tag{17}\]

Proto lze časově nezávislou Schrödingerovu rovnici ($\hat{H}\psi=E\psi$) vyjádřit pomocí $\hat{a}_\pm$ takto:

\[\hbar\omega \left(\hat{a}_{\pm}\hat{a}_{\mp} \pm \frac{1}{2} \right)\psi = E\psi \label{eqn:schrodinger_eqn_with_ladder}\tag{18}\]

(„dvojité znaménko ve stejném pořadí“).

Nyní můžeme odvodit následující důležitou vlastnost:

\[\hat{H}\psi = E\psi \quad \Rightarrow \quad \hat{H}\left(\hat{a}_{\pm}\psi \right)=(E \pm \hbar\omega)\left(\hat{a}_{\pm}\psi \right).\]

Důkaz:

\[\begin{align*} \hat{H}(\hat{a}_{+}\psi) &= \hbar\omega \left(\hat{a}_{+}\hat{a}_{-}+\frac{1}{2} \right)(\hat{a}_{+}\psi) = \hbar\omega \left(\hat{a}_{+}\hat{a}_{-}\hat{a}_{+} + \frac{1}{2}\hat{a}_{+} \right)\psi \\ &= \hbar\omega\hat{a}_{+} \left(\hat{a}_{-}\hat{a}_{+} + \frac{1}{2} \right)\psi = \hat{a}_{+}\left[\hbar\omega \left(\hat{a}_{+}\hat{a}_{-}+1+\frac{1}{2} \right)\psi \right] \\ &= \hat{a}_{+}\left(\hat{H}+\hbar\omega \right)\psi = \hat{a}_{+}(E+\hbar\omega)\psi = (E+\hbar\omega)\left(\hat{a}_{+}\psi \right). \blacksquare \end{align*}\]

Podobně

\[\begin{align*} \hat{H}(\hat{a}_{-}\psi) &= \hbar\omega \left(\hat{a}_{-}\hat{a}_{+}-\frac{1}{2} \right)(\hat{a}_{-}\psi) = \hbar\omega \left(\hat{a}_{-}\hat{a}_{+}\hat{a}_{-} - \frac{1}{2}\hat{a}_{-} \right)\psi \\ &= \hbar\omega\hat{a}_{-} \left(\hat{a}_{+}\hat{a}_{-} - \frac{1}{2} \right)\psi = \hat{a}_{-}\left[\hbar\omega \left(\hat{a}_{-}\hat{a}_{+}-1-\frac{1}{2} \right)\psi \right] \\ &= \hat{a}_{-}\left(\hat{H}-\hbar\omega \right)\psi = \hat{a}_{-}(E-\hbar\omega)\psi = (E-\hbar\omega)\left(\hat{a}_{-}\psi \right). \blacksquare \end{align*}\]

Tedy: pokud najdeme jedno řešení časově nezávislé Schrödingerovy rovnice, můžeme najít všechna ostatní. Jelikož pro libovolný stacionární stav můžeme energetickou hladinu zvyšovat či snižovat, nazýváme $\hat{a}_\pm$ žebříčkové operátory (ladder operators); $\hat{a}_+$ je zvyšovací operátor (raising operator) a $\hat{a}_-$ snižovací operátor (lowering operator).

Stacionární stavy harmonického oscilátoru

Stacionární stav $\psi_n$ a energetická hladina $E_n$

Pokud budeme snižovací operátor aplikovat opakovaně, dříve či později bychom dostali stav se zápornou energií, který fyzikálně nemůže existovat. Matematicky platí, že je-li $\psi$ řešením Schrödingerovy rovnice, pak i $\hat{a}_-\psi$ je řešením, ale není zaručeno, že toto nové řešení bude vždy normované (tj. fyzikálně přípustné). Při opakované aplikaci snižovacího operátoru nakonec dostaneme triviální řešení $\psi=0$.

Proto pro stacionární stav $\psi$ harmonického oscilátoru existuje „nejnižší stupeň“ $\psi_0$, který splňuje

\[\hat{a}_-\psi_0 = 0 \tag{19}\]

(tj. neexistuje už nižší energetická hladina). Tento stav $\psi_0$ splňuje

\[\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\hbar\frac{d}{dx} + m\omega x \right)\psi_0 = 0\]

takže

\[\frac{d\psi_0}{dx} = -\frac{m\omega}{\hbar}x\psi_0\]

Jde o separovatelnou obyčejnou diferenciální rovnici, takže ji snadno vyřešíme:

\[\begin{gather*} \int \frac{d\psi_0}{\psi_0} = -\frac{m\omega}{\hbar}\int x\ dx \\ \ln\psi_0 = -\frac{m\omega}{2\hbar}x^2 + C \end{gather*}\] \[\therefore \psi_0(x) = Ae^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}.\]

Tuto funkci lze znormalizovat následovně:

\[1 = |A|^2 \int_\infty^\infty e^{-m\omega x^2/\hbar} dx = |A|^2\sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega}}.\]

Protože $A^2 = \sqrt{m\omega / \pi\hbar}$, dostáváme

\[\psi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}\]

Nyní tento výsledek dosadíme do Schrödingerovy rovnice ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_ladder}$) a využijeme $\hat{a}_-\psi_0=0$, čímž získáme

\[E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega \label{eqn:E_ground}\tag{20}\]

Počínaje tímto základním stavem (ground state) můžeme opakovaně aplikovat zvyšovací operátor a získáme excitované stavy (excited states), přičemž při každé aplikaci zvyšovacího operátoru energie vzroste o $\hbar\omega$.

\[\psi_n(x) = A_n(\hat{a}_+)^n \psi_0(x),\quad E_n = \left(n + \frac{1}{2} \right)\hbar\omega \label{eqn:psi_n_and_E_n}\tag{21}\]

kde $A_n$ je normalizační konstanta. Tímto způsobem po určení základního stavu a aplikaci zvyšovacího operátoru určíme všechny stacionární stavy harmonického oscilátoru i povolené energetické hladiny.

Normalizace

Normalizační konstantu lze rovněž určit algebraicky. Víme, že $\hat{a}_{\pm}\psi_n$ je úměrné $\psi_{n\pm 1}$, takže můžeme psát

\[\hat{a}_+\psi_n = c_n\psi_{n+1}, \quad \hat{a}_-\psi_n = d_n\psi_{n-1} \label{eqn:norm_const}\tag{22}\]

Nyní si všimněme, že pro libovolné integrovatelné funkce $f(x)$ a $g(x)$ platí

\[\int_{-\infty}^{\infty} f^*(\hat{a}_\pm g)dx = \int_{-\infty}^{\infty} (\hat{a}_\mp f)^* g\ dx. \label{eqn:hermitian_conjugate}\tag{23}\]

$\hat{a}_\mp$ je tedy Hermitovsky sdružený (hermitian conjugate) a zároveň adjungovaný operátor (adjoint operator) k $\hat{a}_\pm$.

Důkaz:

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\hat{a}_\pm g) dx &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}} \int_{-\infty}^{\infty} f^*\left(\mp \hbar\frac{d}{dx}+m\omega x \right)g\ dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\mp\hbar f^* \frac{d}{dx}g + m\omega x f^*g\right)dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\mp\hbar\int_{-\infty}^{\infty} f^*\frac{dg}{dx}\ dx + \int_{-\infty}^{\infty}m\omega x f^*g\ dx \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left[\mp\hbar\left(f^*g\bigg|^{\infty}_{-\infty} -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{df^*}{dx}g\ dx \right) + \int_{-\infty}^{\infty} m\omega x f^*g\ dx \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left( \pm\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \frac{df^*}{dx}g\ dx + \int_{-\infty}^{\infty} m\omega x f^*g\ dx \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}} \int_{-\infty}^{\infty} \left[\left(\pm\hbar\frac{d}{dx} + m\omega x \right)f^* \right] g\ dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}} \int_{-\infty}^{\infty} \left[\left(\pm\hbar\frac{d}{dx} + m\omega x \right)f \right]^* g\ dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} (\hat{a}_\mp f)^* g\ dx.\ \blacksquare \end{align*}\]

Tedy položíme-li $f=\hat{a}_\pm \psi_n$ a $g=\psi_n$, platí

\[\int_{-\infty}^{\infty} \left(\hat{a}_\pm \psi_n \right)^*\left(\hat{a}_\pm \psi_n \right)\ dx = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \hat{a}_\mp\hat{a}_\pm \psi_n \right)^* \psi_n\ dx\]

Z rovnic ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_ladder}$) a ($\ref{eqn:psi_n_and_E_n}$) plyne, že

\[\begin{gather*} \hat{a}_+\hat{a}_-\psi_n = \left(\frac{E}{\hbar\omega} - \frac{1}{2}\right)\psi_n = n\psi_n, \\ \hat{a}_-\hat{a}_+\psi_n = \left(\frac{E}{\hbar\omega} + \frac{1}{2}\right)\psi_n = (n+1)\psi_n \end{gather*} \label{eqn:norm_const_2}\tag{24}\]

a tedy z ($\ref{eqn:norm_const}$) a ($\ref{eqn:norm_const_2}$) dostaneme

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \left(\hat{a}_+\psi_n \right)^* \left(\hat{a}_+\psi_n \right) &= |c_n|^2 \int |\psi_{n+1}|^2 dx = (n+1)\int |\psi_n|^2 dx,\\ \int_{-\infty}^{\infty} \left(\hat{a}_-\psi_n \right)^* \left(\hat{a}_-\psi_n \right) &= |d_n|^2 \int |\psi_{n-1}|^2 dx = n\int |\psi_n|^2 dx. \end{align*} \label{eqn:norm_const_3}\tag{25}\]

Protože $\psi_n$ i $\psi_{n\pm1}$ jsou všechny normované, vychází $|c_n|^2=n+1,\ |d_n|^2=n$, a tedy

\[\hat{a}_+\psi_n = \sqrt{n+1}\psi_{n+1}, \quad \hat{a}_-\psi_n = \sqrt{n}\psi_{n-1} \label{eqn:norm_const_4}\tag{26}\]

Odtud získáme normovaný libovolný stacionární stav $\psi_n$ ve tvaru

\[\psi_n = \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\hat{a}_+ \right)^n \psi_0. \tag{27}\]

Tj. v ($\ref{eqn:psi_n_and_E_n}$) je normalizační konstanta $A_n=\cfrac{1}{\sqrt{n!}}$.

Ortogonalita stacionárních stavů

Stejně jako u 1D nekonečné potenciálové jámy jsou stacionární stavy harmonického oscilátoru ortogonální:

\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_m^*\psi_n\ dx = \delta_{mn}. \tag{28}\]

Důkaz

Lze jej dokázat pomocí dříve uvedených vztahů ($\ref{eqn:hermitian_conjugate}$), ($\ref{eqn:norm_const_2}$), ($\ref{eqn:norm_const_3}$). Ve vztahu ($\ref{eqn:hermitian_conjugate}$) položíme $f=\hat{a}_-\psi_m,\ g=\psi_n$ a využijeme, že

\[\int_{-\infty}^{\infty} \left(\hat{a}_-\psi_m \right)^*\left(\hat{a}_-\psi_n \right)\ dx = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\hat{a}_+\hat{a}_-\psi_m \right)^*\psi_n\ dx\]

Pak

\[\begin{align*} n\int_{-\infty}^{\infty} \psi_m^*\psi_n\ dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \psi_m^* \left(\hat{a}_+\hat{a}_- \right)\psi_n\ dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left(\hat{a}_-\psi_m \right)^* \left(\hat{a}_-\psi_n \right)\ dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left(\hat{a}_+\hat{a}_-\psi_m \right)^*\psi_n\ dx \\ &= m\int_{-\infty}^{\infty} \psi_m^*\psi_n\ dx. \end{align*}\] \[\therefore \ (m \neq n) \ \Rightarrow \ \int_{-\infty}^{\infty} \psi_m^*\psi_n\ dx = 0.\ \blacksquare\]

S využitím ortogonality můžeme (stejně jako v rovnici (19) u 1D nekonečné potenciálové jámy) při rozvoji $\Psi(x,0)$ do lineární kombinace stacionárních stavů $\sum c_n\psi_n(x)$ určit koeficienty $c_n$ pomocí Fourierovy metody:

\[c_n = \int \psi_n^*\Psi(x,0)\ dx.\]

Také zde platí, že $|c_n|^2$ je pravděpodobnost, že při měření energie získáme hodnotu $E_n$.

Střední hodnota potenciální energie $\langle V \rangle$ ve stacionárním stavu $\psi_n$

Pro výpočet $\langle V \rangle$ musíme spočítat integrál

\[\langle V \rangle = \left\langle \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \right\rangle = \frac{1}{2}m\omega^2\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n^*x^2\psi_n\ dx.\]

Při výpočtu integrálů tohoto typu, které obsahují mocniny $\hat{x}$ a $\hat{p}$, je užitečný následující postup.

Nejprve pomocí definice žebříčkových operátorů z rovnice ($\ref{eqn:ladder_operators}$) vyjádříme $\hat{x}$ a $\hat{p}$ pomocí zvyšovacího a snižovacího operátoru:

\[\hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\hat{a}_+ + \hat{a}_- \right); \quad \hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\left(\hat{a}_+ - \hat{a}_- \right).\]

Pak pomocí těchto vztahů vyjádříme veličinu, jejíž střední hodnotu chceme spočítat. Zde nás zajímá $x^2$, takže můžeme psát

\[x^2 = \frac{\hbar}{2m\omega}\left[\left(\hat{a}_+ \right)^2 + \left(\hat{a}_+\hat{a}_- \right) + \left(\hat{a}_-\hat{a}_+ \right) + \left(\hat{a}_- \right)^2 \right]\]

Odtud

\[\langle V \rangle = \frac{\hbar\omega}{4}\int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^* \left[\left(\hat{a}_+ \right)^2 + \left(\hat{a}_+\hat{a}_- \right) + \left(\hat{a}_-\hat{a}_+ \right) + \left(\hat{a}_- \right)^2 \right]\psi_n\ dx.\]

Protože $\left(\hat{a}_\pm \right)^2$ je úměrné $\psi_{n\pm2}$, je s $\psi_n$ ortogonální; tedy členy $\left(\hat{a}_+ \right)^2$ a $\left(\hat{a}_- \right)^2$ dávají $0$. Nakonec použijeme ($\ref{eqn:norm_const_2}$) na zbývající dva členy a dostaneme

\[\langle V \rangle = \frac{\hbar\omega}{4}\{n+(n+1)\} = \frac{1}{2}\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2} \right)\]

Z rovnice ($\ref{eqn:psi_n_and_E_n}$) pak vidíme, že střední hodnota potenciální energie je přesně polovina celkové energie a druhá polovina je (samozřejmě) kinetická energie $T$. To je charakteristická vlastnost harmonického oscilátoru.