Analytické řešení harmonického oscilátoru (The Harmonic Oscillator)

TL;DR

• Pokud je amplituda dostatečně malá, lze libovolné kmitání aproximovat jako jednoduché harmonické kmitání (simple harmonic oscillation); díky tomu má v fyzice zásadní význam
• Harmonický oscilátor: $V(x) = \cfrac{1}{2}kx^2 = \cfrac{1}{2}m\omega^2 x^2$
• Zavedeme bezrozměrnou proměnnou $\xi$ a energii $K$ vyjádřenou v jednotkách $\cfrac{1}{2}\hbar\omega$:
  • $\xi \equiv \sqrt{\cfrac{m\omega}{\hbar}}x$
  • $K \equiv \cfrac{2E}{\hbar\omega}$
  • $ \cfrac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\xi^2-K \right)\psi $
• Pro $|\xi|^2 \to \infty$ je fyzikálně přípustné asymptotické řešení $\psi(\xi) \to Ae^{-\xi^2/2}$, takže

\[\begin{gather*} \psi(\xi) = h(\xi)e^{-\xi^2/2} \quad \text{(kde }\lim_{\xi\to\infty}h(\xi)=A\text{)}, \\ \frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h = 0 \end{gather*}\]

• Vyjádříme-li řešení této rovnice ve tvaru řady $ h(\xi) = a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j$, dostaneme

\[a_{j+2} = \frac{(2j+1-K)}{(j+1)(j+2)}a_j\]

• Aby bylo řešení normovatelné, musí být řada $\sum a_j$ konečná; tj. existuje nějaké „největší“ $j$ s hodnotou $n\in \mathbb{N}$ tak, že pro $j>n$ je $a_j=0$, a tedy
  • $ K = 2n + 1 $
  • $ E_n = \left(n+\cfrac{1}{2} \right)\hbar\omega, \quad n=0,1,2,\dots $
• Obecně je $h_n(\xi)$ polynom $n$-tého stupně v $\xi$; po odfiltrování předního koeficientu ($a_0$ nebo $a_1$) se zbytek nazývá Hermitovy polynomy (Hermite polynomials) $H_n(\xi)$

\[h_n(\xi) = \begin{cases} a_0 H_n(\xi), & n=2k & (k=0,1,2,\dots) \\ a_1 H_n(\xi), & n=2k+1 & (k=0,1,2,\dots) \end{cases}\]

• Normované stacionární stavy harmonického oscilátoru:

\[\psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\]

• Vlastnosti kvantového oscilátoru
  • jako vlastní funkce se střídají sudé a liché funkce
  • i v oblastech klasicky zakázaných (tj. pro $x$ větší než klasická amplituda odpovídající dané energii $E$) není pravděpodobnost nalezení nulová; sice malá, ale částice se tam může nacházet
  • pro všechny stacionární stavy s lichým $n$ je pravděpodobnost nalezení částice v centru nulová
  • s rostoucím $n$ se chování blíží klasickému oscilátoru

Předpoklady

• Metoda separace proměnných
• Schrödingerova rovnice a vlnová funkce
• Ehrenfestova věta
• Časově nezávislá Schrödingerova rovnice
• 1D nekonečná potenciálová jáma
• Algebraické řešení harmonického oscilátoru

Nastavení modelu

Způsob popisu harmonického oscilátoru v klasické mechanice a význam této úlohy viz předchozí článek.

Harmonický oscilátor v kvantové mechanice

Úloha kvantově-mechanického harmonického oscilátoru spočívá v řešení Schrödingerovy rovnice pro potenciál

\[V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \label{eqn: potential_omega}\tag{1}\]

Časově nezávislá Schrödingerova rovnice pro harmonický oscilátor má tvar

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi = E\psi \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

K řešení tohoto problému existují dva zcela odlišné přístupy. Jeden je analytická metoda (analytic method) využívající mocninnou řadu (power series), druhý je algebraická metoda (algebraic method) využívající žebříčkové operátory (ladder operators). Algebraická metoda je rychlejší a jednodušší, ale i analytické řešení pomocí mocninných řad má smysl studovat. Algebraický postup jsme už probrali a zde se zaměříme na analytické řešení.

Úprava Schrödingerovy rovnice

Zaveďme bezrozměrnou proměnnou

\[\xi \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \label{eqn:xi}\tag{3}\]

Pak lze časově nezávislou Schrödingerovu rovnici ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) jednoduše přepsat do tvaru

\[\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\xi^2-K \right)\psi. \label{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}\tag{4}\]

kde $K$ je energie vyjádřená v jednotkách $\cfrac{1}{2}\hbar\omega$:

\[K \equiv \frac{2E}{\hbar\omega}. \label{eqn:K}\tag{5}\]

Nyní stačí vyřešit takto přepsanou rovnici ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}$). Nejprve si všimněme, že pro velmi velké $\xi$ (tj. pro velmi velké $x$) platí $\xi^2 \gg K$, takže

\[\frac{d^2\psi}{d\xi^2} \approx \xi^2\psi \label{eqn:schrodinger_eqn_approx}\tag{6}\]

a její přibližné řešení je

\[\psi(\xi) \approx Ae^{-\xi^2/2} + Be^{\xi^2/2} \label{eqn:psi_approx}\tag{7}\]

Jenže člen s $B$ diverguje pro $|x|\to \infty$, takže jej nelze normovat; fyzikálně přípustné asymptotické řešení je proto

\[\psi(\xi) \to Ae^{-\xi^2/2} \label{eqn:psi_asymp}\tag{8}\]

Nyní oddělme exponenciální část a pišme

\[\psi(\xi) = h(\xi)e^{-\xi^2/2} \quad \text{(kde }\lim_{\xi\to\infty}h(\xi)=A\text{)} \label{eqn:psi_and_h}\tag{9}\]

Exponenciální člen $e^{-\xi^2/2}$ jsme odhalili tak, že jsme v průběhu odvození použili aproximaci k nalezení tvaru asymptotického řešení; výsledný vztah ($\ref{eqn:psi_and_h}$) však není přibližný, ale přesný. Takové oddělení asymptotického tvaru je standardní první krok při řešení diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad.

Zderivujeme-li ($\ref{eqn:psi_and_h}$) a určíme $\cfrac{d\psi}{d\xi}$ a $\cfrac{d^2\psi}{d\xi^2}$, dostaneme

\[\begin{gather*} \frac{d\psi}{d\xi} = \left(\frac{dh}{d\xi}-\xi h \right)e^{-\xi^2/2}, \\ \frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(\xi^2-1)h \right)e^{-\xi^2/2} \end{gather*}\]

a tedy Schrödingerova rovnice ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}$) přejde na

\[\frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h = 0 \label{eqn:schrodinger_eqn_with_h}\tag{10}\]

Rozvoj do mocninné řady

Podle Taylorovy věty (Taylor’s theorem) lze libovolnou hladkou funkci vyjádřit jako mocninnou řadu, takže zkusme hledat řešení rovnice ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_h}$) ve tvaru řady v $\xi$:

\[h(\xi) = a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j \label{eqn:h_series_exp}\tag{11}\]

Zderivováním jednotlivých členů této řady dostaneme

\[\begin{gather*} \frac{dh}{d\xi} = a_1 + 2a_2\xi + 3a_3\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}ja_j\xi^{j-1}, \\ \frac{d^2 h}{d\xi^2} = 2a_2 + 2\cdot3a_3\xi + 3\cdot4a_4\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty} (j+1)(j+2)a_{j+2}\xi^j. \end{gather*}\]

Dosadíme-li tyto výrazy zpět do Schrödingerovy rovnice (rovnice [$\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_h}$]), získáme

\[\sum_{j=0}^{\infty}[(j+1)(j+2)a_{j+2} - 2ja_j + (K-1)a_j]\xi^j = 0. \label{eqn:schrodinger_eqn_power_series}\tag{12}\]

Z jednoznačnosti rozvoje do mocninné řady musí být koeficient u každé mocniny $\xi$ roven $0$, tedy

\[(j+1)(j+2)a_{j+2} - 2ja_j + (K-1)a_j = 0\] \[\therefore a_{j+2} = \frac{(2j+1-K)}{(j+1)(j+2)}a_j. \label{eqn:recursion_formula}\tag{13}\]

Tento rekurzní vztah (recursion formula) je ekvivalentní Schrödingerově rovnici. Jsou-li dány dvě libovolné konstanty $a_0$ a $a_1$, lze určit všechny koeficienty řešení $h(\xi)$.

Ne každé takto získané řešení však lze normovat. Pokud je řada $\sum a_j$ nekonečná (tj. $\lim_{j\to\infty} a_j\neq0$), pak pro velmi velké $j$ lze výše uvedený rekurzní vztah aproximovat jako

\[a_{j+2} \approx \frac{2}{j}a_j\]

a přibližné řešení je

\[a_j \approx \frac{C}{(j/2)!} \quad \text{(}C\text{ je libovolná konstanta)}\]

V takovém případě pro velké $\xi$, kde dominují vyšší členy, vychází

\[h(\xi) \approx C\sum\frac{1}{(j/2)!}\xi^j \approx C\sum\frac{1}{j!}\xi^{2j} \approx Ce^{\xi^2}\]

a pak je podle ($\ref{eqn:psi_and_h}$) $\psi(\xi)$ tvaru $Ce^{\xi^2/2}$, takže diverguje pro $\xi \to \infty$. To odpovídá nenormovatelnému řešení v ($\ref{eqn:psi_approx}$) s $A=0, B\neq0$.

Proto musí být řada $\sum a_j$ konečná. Musí existovat nějaké „největší“ $j$ s hodnotou $n\in \mathbb{N}$ tak, že pro $j>n$ je $a_j=0$. Aby k tomu došlo, musí pro nenulové $a_n$ platit $a_{n+2}=0$, a z ($\ref{eqn:recursion_formula}$) tedy plyne, že

\[K = 2n + 1\]

Dosadíme-li to do ($\ref{eqn:K}$), získáme fyzikálně přípustné energie

\[E_n = \left(n+\frac{1}{2} \right)\hbar\omega, \quad n=0,1,2,\dots \label{eqn:E_n}\tag{14}\]

Tím jsme úplně jinou metodou znovu odvodili kvantizační podmínku energie z rovnice (21) v části Algebraické řešení harmonického oscilátoru.

Hermitovy polynomy (Hermite polynomials) $H_n(\xi)$ a stacionární stavy $\psi_n(x)$

Hermitovy polynomy $H_n$

Obecně je $h_n(\xi)$ polynom $n$-tého stupně v $\xi$; pokud je $n$ sudé, obsahuje pouze sudé mocniny, a pokud je $n$ liché, obsahuje pouze liché mocniny. Po odfiltrování předního koeficientu ($a_0$ nebo $a_1$) se zbytek nazývá Hermitovy polynomy (Hermite polynomials) $H_n(\xi)$.

\[h_n(\xi) = \begin{cases} a_0 H_n(\xi), & n=2k & (k=0,1,2,\dots) \\ a_1 H_n(\xi), & n=2k+1 & (k=0,1,2,\dots) \end{cases}\]

Tradičně se koeficienty volí tak, aby koeficient u nejvyšší mocniny v $H_n$ byl $2^n$.

Následují první Hermitovy polynomy:

\[\begin{align*} H_0 &= 1 \\ H_1 &= 2\xi \\ H_2 &= 4\xi^2 - 2 \\ H_3 &= 8\xi^3 - 12\xi \\ H_4 &= 16\xi^4 - 48\xi^2 + 12 \\ H_5 &= 32\xi^5 - 160\xi^3 + 120\xi \\ &\qquad\vdots \end{align*}\]

Stacionární stavy $\psi_n(x)$

Normované stacionární stavy harmonického oscilátoru mají tvar

\[\psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}.\]

To souhlasí s výsledkem získaným v části Algebraické řešení harmonického oscilátoru (rovnice [27]).

Následující obrázek ukazuje stacionární stavy $\psi_n(x)$ a pravděpodobnostní hustoty $|\psi_n(x)|^2$ pro prvních osm hodnot $n$. Je vidět, že jako vlastní funkce kvantového oscilátoru se střídají sudé a liché funkce.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia AllenMcC
• licence: CC BY-SA 3.0

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia AllenMcC
• licence: Public Domain

Kvantový oscilátor se od odpovídajícího klasického oscilátoru výrazně liší: nejenže je energie kvantovaná, ale i pravděpodobnostní rozdělení polohy $x$ vykazuje podivuhodné vlastnosti.

• i v oblastech klasicky zakázaných (tj. pro $x$ větší než klasická amplituda odpovídající dané energii $E$) není pravděpodobnost nalezení nulová; sice malá, ale částice se tam může nacházet
• pro všechny stacionární stavy s lichým $n$ je pravděpodobnost nalezení částice v centru nulová

S rostoucím $n$ se kvantový oscilátor začíná chovat podobně jako oscilátor klasický. Následující obrázek ukazuje klasické pravděpodobnostní rozdělení polohy $x$ (čárkovaně) a kvantový stav $|\psi_{30}|^2$ pro $n=30$ (plná čára). Pokud „zubaté“ oscilace vhodně vyhladíme, oba grafy se zhruba shodují.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia AkanoToE
• licence: Public Domain

Interaktivní vizualizace pravděpodobnostních rozdělení kvantového oscilátoru

Následuje responzivní vizualizace založená na Plotly.js, kterou jsem sám vytvořil. Pomocí posuvníku lze měnit hodnotu $n$ a sledovat tvar klasického pravděpodobnostního rozdělení polohy $x$ a také $|\psi_n|^2$.

• Původní stránka vizualizace: https://www.yunseo.kim/physics-visualizations/quantum-harmonic-oscillator.html
• Zdrojový kód: repozitář yunseo-kim/physics-visualizations
• Licence: See here

Dále, pokud můžete na svém počítači používat Python a máte nainstalované knihovny Numpy, Plotly a Dash, můžete spustit Python skript /src/quantum_oscillator.py ve stejném repozitáři a zobrazit výsledky i takto.