Definice plazmatu a pojem teploty, a také Sahova rovnice (Saha equation)

TL;DR

• Plazma (plasma): kvazineutrální (quasineutral) plyn tvořený nabitými i neutrálními částicemi, který vykazuje kolektivní chování (collective behavior)
• „Kolektivní chování (collective behavior)” plazmatu:
  • Elektrická síla mezi dvěma oblastmi plazmatu $A$ a $B$ klesá se vzdáleností jako $1/r^2$
  • Avšak při daném prostorovém úhlu ($\Delta r/r$) roste objem oblasti plazmatu $B$, která může ovlivnit $A$, jako $r^3$
  • Proto mohou části plazmatu působit jedna na druhou smysluplnou silou i na velké vzdálenosti
• Sahova rovnice (Saha equation): vztah mezi stupněm ionizace plynu v tepelné rovnováze a jeho teplotou a tlakem

\[\frac{n_{i+1}n_e}{n_i} = \frac{2}{\lambda_{\text{th}}^3}\frac{g_{i+1}}{g_i}\exp{\left[-\frac{\epsilon_{i+1}-\epsilon_i}{k_B T}\right]}\]

• Pojem teploty v plazmové fyzice:
  • V plynu i plazmatu úzce souvisí průměrná kinetická energie na částici s teplotou; jde o vzájemně zaměnitelné fyzikální veličiny
  • V plazmové fyzice je zvykem vyjadřovat teplotu v energetických jednotkách $\mathrm{eV}$ jako hodnotu $kT$
    • $1\mathrm{eV}=11600\mathrm{K}$
  • Plazma může mít současně několik různých teplot; zejména elektronová teplota ($T_e$) a iontová teplota ($T_i$) se mohou v některých případech výrazně lišit
• Nízkoteplotní plazma vs. vysokoteplotní plazma:
  • Teplota plazmatu:
    • nízkoteplotní plazma: $T_e \text{(>10,000℃)} \gg T_i \approx T_g \text{(}\sim\text{100℃)}$ $\rightarrow$ nerovnovážné plazma (non-equilibrium plasma)
    • vysokoteplotní (tepelné) plazma: $T_e \approx T_i \approx T_g \text{(>10,000℃)}$ $\rightarrow$ rovnovážné plazma (equilibrium plasma)
  • Hustota plazmatu:
    • nízkoteplotní plazma: $n_g \gg n_i \approx n_e$ $\rightarrow$ malý stupeň ionizace, většina částic je neutrálních
    • vysokoteplotní (tepelné) plazma: $n_g \approx n_i \approx n_e $ $\rightarrow$ velký stupeň ionizace
  • Tepelná kapacita plazmatu:
    • nízkoteplotní plazma: elektronová teplota je vysoká, ale hustota nízká a většina částic jsou relativně chladné neutrály, takže tepelná kapacita je malá a plazma „nepálí”
    • vysokoteplotní (tepelné) plazma: elektrony, ionty i neutrály mají vysokou teplotu, tepelná kapacita je velká a plazma je horké

Prerequisites

• Subatomární částice a stavební prvky atomu
• Maxwellovo–Boltzmannovo rozdělení (statistická mechanika)
• Hmotnost a energie, částice a vlny
• Symetrie a zákony zachování (kvantová mechanika), degenerace (degeneracy)

Definice plazmatu

V textech, které vysvětlují plazma laikům, se plazma obvykle definuje následovně:

Zahřátím plynu na extrémně vysokou teplotu až do stavu, kdy se jeho atomy oddělí na elektrony a kladné ionty a dojde k ionizaci, získáme čtvrté skupenství hmoty po pevném, kapalném a plynném

Není to vyloženě špatně a stejně to uvádí i web Korea Institute of Fusion Energy. Jde také o populární definici, se kterou se snadno setkáte při vyhledávání „plazma“.

Jenže: i když je toto tvrzení obecně správné, nelze ho považovat za striktně přesnou definici. Plyn v běžných podmínkách okolního prostředí (pokojová teplota a atmosférický tlak) je sice ionizovaný jen v extrémně malé míře, ale přesto je částečně ionizovaný; a stejně mu plazma neříkáme. Pokud ve vodě rozpustíme iontovou sloučeninu, jako je chlorid sodný, rozpadne se na nabité ionty, ale ani takový roztok není plazma.
Jinými slovy: plazma je sice ionizovaný stav hmoty, ale ne vše, co je ionizované, je automaticky plazma.

Přesněji lze plazma definovat takto:

Plazma je kvazineutrální plyn složený z nabitých a neutrálních částic, který vykazuje kolektivní chování.
A plasma is a quasineutral gas of charged and neutral particles which exhibits collective behavior.

by Fransis F. Chen

Co přesně znamená „kvazineutralita (quasineutrality)“, si ukážeme později při probírání Debyeho stínění (Debye shielding). Tady se zaměřme na to, co znamená „kolektivní chování (collective behavior)“ plazmatu.

Kolektivní chování plazmatu

U neionizovaného plynu složeného z neutrálních částic je každá molekula elektricky neutrální, takže výsledná elektromagnetická síla je $0$ a gravitační vliv lze také zanedbat. Molekuly se pohybují nerušeně až do srážky s jinou molekulou a právě srážky určují jejich pohyb. I kdyby se část částic ionizovala a nesla náboj, podíl ionizovaných částic v celém plynu je velmi malý, takže elektrický vliv těchto nabitých částic se se vzdáleností tlumí jako $1/r^2$ a nedosahuje do velkých vzdáleností.

V plazmatu, které obsahuje velké množství nabitých částic, je však situace zcela jiná. Pohyb nabitých částic může vyvolat lokální akumulaci kladného nebo záporného náboje, a tím vznik elektrického pole. Pohyb náboje navíc vytváří elektrický proud a proud vytváří magnetické pole. Taková elektrická a magnetická pole mohou ovlivňovat i vzdálené částice bez nutnosti přímých srážek.

Podívejme se, jak se mění velikost elektrické síly působící mezi dvěma oblastmi plazmatu $A$ a $B$, které nesou malé množství náboje, v závislosti na vzdálenosti $r$. Elektrická síla (Coulomb force) podle Coulombova zákona mezi $A$ a $B$ klesá s rostoucí vzdáleností jako $1/r^2$. Pokud však při daném prostorovém úhlu ($\Delta r/r$) zůstává geometrie stejná, objem oblasti plazmatu $B$, která může ovlivnit $A$, roste jako $r^3$. Proto mohou části plazmatu působit jedna na druhou smysluplnou silou i na velké vzdálenosti. Elektrické síly působící na dálku umožňují plazmatu vykazovat velmi rozmanité druhy pohybu a jsou jedním z důvodů, proč existuje samostatný obor plazmová fyzika (plasma physics). „Kolektivní chování (collective behavior)“ znamená, že pohyb v určité oblasti není určen pouze lokálními podmínkami v této oblasti, ale je ovlivněn i stavem plazmatu ve vzdálených oblastech.

Sahova rovnice (Saha equation)

Sahova rovnice (Saha equation) je vztah mezi ionizačním stavem plynu v tepelné rovnováze a jeho teplotou a tlakem; zavedl ji indický astrofyzik Meghnad Saha.

\[\frac{n_{i+1}n_e}{n_i} = \frac{2}{\lambda_{\text{th}}^3}\frac{g_{i+1}}{g_i}\exp{\left[-\frac{\epsilon_{i+1}-\epsilon_i}{k_B T}\right]} \label{eqn:saha_eqn}\tag{1}\]

• $n_i$: hustota $i$-tého kladného iontu (kationtu, který ztratil $i$ elektronů)
• $g_i$: degenerace (degeneracy) stavů $i$-tého kationtu
• $\epsilon_i$: energie potřebná k odtržení $i$ elektronů z neutrálního atomu a vytvoření $i$-tého kationtu
  • $\epsilon_{i+1}-\epsilon_i$: ionizační energie $(i+1)$-tého stupně
• $n_e$: elektronová hustota
• $k_B$: Boltzmannova konstanta
• $\lambda_{\text{th}}$: tepelná de Broglieho vlnová délka (průměrná de Broglieho vlnová délka elektronu v plynu při dané teplotě)

\[\lambda_{\text{th}} \equiv \frac{h}{\sqrt{2\pi m_e k_B T}} \quad \text{ (}h\text{: Planckova konstanta)} \label{eqn:lambda_th}\tag{2}\]

• $m_e$: hmotnost elektronu
• $T$: teplota plynu

Pokud je důležitá pouze ionizace o jeden stupeň a vznik kationtů s nábojem $2+$ a vyšším lze zanedbat, můžeme položit $n_1=n_i=n_e$, $n_0=n_n$, $U_i = \epsilon = \epsilon_1$, $i=0$ a rovnici zjednodušit následovně:

\[\begin{align*} \frac{n_i^2}{n_n} &= \frac{2}{\lambda_{th}^3}\frac{g_1}{g_0}\exp{\left[-\frac{\epsilon}{k_B T} \right]} \label{eqn:saha_eqn_approx}\tag{3}\\ &= 2\left(\frac{2\pi m_e k_B T}{h^2}\right)^{3/2}\frac{g_1}{g_0}e^{-U_i/{k_B T}} \\ &= 2\frac{g_1}{g_0}\left(\frac{2\pi m_e k_B}{h^2}\right)^{3/2}T^{3/2}e^{-U_i/{k_B T}}. \label{eqn:saha_eqn_approx_2}\tag{4} \end{align*}\]

Míra ionizace vzduchu (dusíku) při pokojové teplotě a atmosférickém tlaku

Ve výše uvedeném vztahu se hodnota $2 \cfrac{g_1}{g_0}$ liší podle složení plynu, ale v mnoha případech je její řád (order of magnitude) přibližně $1$. Lze tedy zhruba aproximovat:

\[\frac{n_i^2}{n_n} \approx \left(\frac{2\pi m_e k_B}{h^2}\right)^{3/2} T^{3/2} e^{-U_i/{k_B T}}.\]

V soustavě SI mají základní konstanty $m_e$, $k_B$, $h$ hodnoty

• $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{kg}$
• $k_B \approx 1.38 \times 10^{-23} \mathrm{J/K}$
• $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}$

a po dosazení do rovnice dostaneme:

\[\frac{n_i^2}{n_n} \approx 2.4 \times 10^{21}\ T^{3/2} e^{-U_i/{k_B T}}. \label{eqn:fractional_ionization}\tag{5}\]

Z toho pro dusík v podmínkách pokojové teploty a atmosférického tlaku ($n_n \approx 3 \times 10^{25} \mathrm{m^{-3}}$, $T\approx 300\mathrm{K}$; $U_i \approx 14.5\mathrm{eV} \approx 2.32 \times 10^{-18}\mathrm{J}$) vyjde přibližná míra ionizace $n_i/(n_n + n_i) \approx n_i/n_n$:

\[\frac{n_i}{n_n} \approx 10^{-122}\]

Tedy extrémně nízká. To je důvod, proč na rozdíl od kosmického prostředí na zemském povrchu a v blízkosti hladiny moře přirozeně téměř nepřicházíme do styku s plazmatem.

Pojem teploty v plazmové fyzice

Rychlosti částic v plynu v tepelné rovnováze se obecně řídí Maxwellovým–Boltzmannovým rozdělením (Maxwell–Boltzmann distribution):

\[f(v) = \left(\frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v^2 \exp{\left(-\frac{mv^2}{2k_B T} \right)} \label{eqn:maxwell_boltzmann_dist}\tag{6}\]

Zdroj obrázku

• Autor: TikZ.net author Izaak Neutelings
• Licence: CC BY-SA 4.0

• nejpravděpodobnější rychlost (most probable speed): $v_p = \sqrt{\cfrac{2k_B T}{m}}$
• střední rychlost (mean speed): $\langle v \rangle = \sqrt{\cfrac{8k_B T}{\pi m}}$
• efektivní (RMS) rychlost (RMS speed): $v_{rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\cfrac{3k_B T}{m}}$

Průměrná kinetická energie na jednu částici při teplotě $T$ je $\cfrac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \cfrac{1}{2}mv_{rms}^2 = \cfrac{3}{2}k_B T$ (pro $3$ stupně volnosti) a je určena pouze teplotou. Protože v plynu i plazmatu průměrná kinetická energie na částici úzce souvisí s teplotou a jde o vzájemně zaměnitelné veličiny, je v plazmové fyzice zvykem vyjadřovat teplotu v energetických jednotkách $\mathrm{eV}$. Aby se předešlo záměně rozměrů, místo průměrné kinetické energie $\langle E_k \rangle$ se teplota zapisuje jako hodnota $kT$.

Teplota $T$ odpovídající $kT=1\mathrm{eV}$ je:

\[\begin{align*} T\mathrm{[K]} &= \frac{1.6 \times 10^{-19}\mathrm{[J]}}{1.38 \times 10^{-23}\mathrm{[J/K]}} \\ &= 11600\mathrm{[K]} \end{align*} \label{eqn:temp_conv_factor}\tag{7}\]

Takže v plazmové fyzice při vyjadřování teploty platí $1\mathrm{eV}=11600\mathrm{K}$.
Např.) plazma o teplotě $2\mathrm{eV}$ má $kT=2\mathrm{eV}$ a průměrná kinetická energie na částici je $\cfrac{3}{2}kT=3\mathrm{eV}$.

Plazma navíc může mít současně několik různých teplot. V plazmatu je četnost srážek ion–ion nebo elektron–elektron větší než četnost srážek mezi elektrony a ionty; proto mohou elektrony a ionty dosáhnout tepelné rovnováhy každé zvlášť, při odlišných teplotách (elektronová teplota $T_e$ a iontová teplota $T_i$), a mohou vytvářet samostatná Maxwellova–Boltzmannova rozdělení. V některých situacích se $T_e$ a $T_i$ mohou výrazně lišit. Dokonce i při působení vnějšího magnetického pole $\vec{B}$ může mít tentýž druh částic (např. ionty) různé teploty $T_\perp$ a $T_\parallel$, protože velikost Lorentzovy síly (Lorentz force) závisí na tom, zda je směr pohybu rovnoběžný, nebo kolmý k magnetickému poli.

Vztah mezi teplotou, tlakem a hustotou

Podle stavové rovnice ideálního plynu platí

\[PV = \left(\frac{N}{N_A}\right)RT = NkT \label{eqn:ideal_gas_law}\tag{8}\]

a z toho

\[\begin{gather*} P = \frac{NkT}{V} = nkT, \\ n = \frac{P}{kT} \end{gather*} \label{eqn:relation_between_T_P_n}\tag{9}\]

tedy hustota plazmatu je nepřímo úměrná teplotě ($kT$) a přímo úměrná tlaku ($P$).

Klasifikace plazmatu: nízkoteplotní plazma vs. vysokoteplotní plazma

Nízkoteplotní netepelné (studené) plazma	Nízkoteplotní tepelné (studené) plazma	Vysokoteplotní (horké) plazma
$T_i \approx T \approx 300 \mathrm{K}$ $T_i \ll T_e \leqslant 10^5 \mathrm{K}$	$T_i \approx T_e \approx T < 2 \times 10^4 \mathrm{K}$	$T_i \approx T_e > 10^6 \mathrm{K}$
Nízký tlak ($\sim 100\mathrm{Pa}$) doutnavý výboj a oblouk	Oblouky při $100\mathrm{kPa}$ ($1\mathrm{atm}$)	Kinetické plazma, fúzní plazma

Teplota plazmatu

Označme elektronovou teplotu $T_e$, iontovou teplotu $T_i$ a teplotu neutrálních částic $T_g$. Pak:

• nízkoteplotní plazma: $T_e \mathrm{(>10,000 K)} \gg T_i \approx T_g \mathrm{(\sim 100 K)}$ $\rightarrow$ nerovnovážné plazma (non-equilibrium plasma)
• vysokoteplotní (tepelné) plazma: $T_e \approx T_i \approx T_g \mathrm{(>10,000 K)}$ $\rightarrow$ rovnovážné plazma (equilibrium plasma)

Hustota plazmatu

Označme elektronovou hustotu $n_e$, iontovou hustotu $n_i$ a hustotu neutrálních částic $n_g$. Pak:

• nízkoteplotní plazma: $n_g \gg n_i \approx n_e$ $\rightarrow$ malý stupeň ionizace, většina částic je neutrálních
• vysokoteplotní (tepelné) plazma: $n_g \approx n_i \approx n_e $ $\rightarrow$ velký stupeň ionizace

Tepelná kapacita plazmatu (jak moc je „horké“?)

• nízkoteplotní plazma: elektronová teplota je vysoká, ale hustota nízká a většina částic jsou relativně chladné neutrály, takže tepelná kapacita je malá a plazma není „horké“
• vysokoteplotní (tepelné) plazma: elektrony, ionty i neutrály mají vysokou teplotu, takže tepelná kapacita je velká a plazma je horké