Ehrenfestova věta (Ehrenfest theorem)

TL;DR

• \[\hat x \equiv x,\ \hat p \equiv -i\hbar\nabla\]
• \[\langle Q(x,p) \rangle = \int \Psi^*[Q(x, -i\hbar\nabla)]\Psi dx\]
• \[\langle p \rangle = m\frac{d\langle x \rangle}{dt}\]
• \[\frac{d\langle p \rangle}{dt} = \left\langle -\frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle\]

Předpoklady

• spojité rozdělení pravděpodobnosti a hustota pravděpodobnosti
• Schrödingerova rovnice a vlnová funkce

Výpočet střední hodnoty z vlnové funkce

Střední hodnota polohy $x$

Střední hodnota (expectation value) polohy $x$ pro částici ve stavu $\Psi$ je

\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x|\Psi(x,t)|^2 dx \label{eqn:x_exp}\tag{1}\]

Platí, že když pro dostatečně velký počet částic ve stejném stavu $\Psi$ změříme polohu a zprůměrujeme výsledky, získáme $\langle x \rangle$ vypočtené výše uvedeným vztahem.

Pozor: „střední hodnota“ zde neznamená průměr z opakovaných měření na jedné částici, ale průměr výsledků měření nad ansámblem (ensemble) systémů ve stejném stavu. Pokud bychom stejnou částici měřili opakovaně v krátkých časových intervalech, při prvním měření dojde ke kolapsu vlnové funkce, takže v dalších měřeních budeme stále dostávat tutéž hodnotu.

Střední hodnota hybnosti $p$

Protože $\Psi$ závisí na čase, bude se s časem měnit i $\langle x \rangle$. Pak z rovnice (8) v příspěvku Schrödingerova rovnice a vlnová funkce a z výše uvedeného vztahu ($\ref{eqn:x_exp}$) plyne:

\[\begin{align*} \frac{d\langle x \rangle}{dt} &= \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 dx \\ &= \frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{\infty} x\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi \right)dx \label{eqn:dx/dt_1}\tag{2}\\ &= \frac{i\hbar}{2m}\left[x\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi \right)\Bigg|^{\infty}_{-\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi \right)dx \right]\\ &= -\frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi \right)dx \label{eqn:dx/dt_2}\tag{3}\\ &= -\frac{i\hbar}{2m}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx-\left(\Psi^*\Psi\biggr|^{\infty}_{-\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx \right) \right] \\ &= -\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx. \label{eqn:dx/dt_3}\tag{4} \end{align*}\]

V přechodu z ($\ref{eqn:dx/dt_1}$) na ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) a z ($\ref{eqn:dx/dt_2}$) na ($\ref{eqn:dx/dt_3}$) jsme dvakrát použili per partes; protože $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, okrajový člen (boundary term) jsme zanedbali.

Proto získáme střední hodnotu hybnosti následovně:

\[\langle p \rangle = m\frac{d\langle x \rangle}{dt} = -i\hbar\int\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)dx. \label{eqn:p_exp}\tag{5}\]

Střední hodnota libovolné veličiny $Q(x,p)$

Výrazy pro $\langle x \rangle$ a $\langle p \rangle$ lze přepsat do tvaru

\[\begin{gather*} \langle x \rangle = \int\Psi^*[x]\Psi dx \label{eqn:x_op}\tag{6},\\ \langle p \rangle = \int\Psi^*[-i\hbar(\partial/\partial x)]\Psi dx \label{eqn:p_op}\tag{7}. \end{gather*}\]

Operátor $\hat x \equiv x$ reprezentuje polohu a operátor $\hat p \equiv -i\hbar(\partial/\partial x)$ reprezentuje hybnost. V případě operátoru hybnosti $\hat p$ lze v rozšíření do 3D prostoru definovat $\hat p \equiv -i\hbar\nabla$.

Protože všechny klasické mechanické proměnné lze vyjádřit pomocí polohy a hybnosti, lze toto rozšířit na střední hodnotu libovolné fyzikální veličiny. Chceme-li spočítat střední hodnotu libovolné veličiny $Q(x,p)$, stačí všude nahradit $p$ výrazem $-i\hbar\nabla$, takto získaný operátor vložit mezi $\Psi^*$ a $\Psi$ a integrovat.

\[\langle Q(x,p) \rangle = \int \Psi^*[Q(x, -i\hbar\nabla)]\Psi dx. \label{eqn:Q_exp}\tag{8}\]

Například, protože kinetická energie je $T=\cfrac{p^2}{2m}$, platí

\[\langle T \rangle = \frac{\langle p^2 \rangle}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\int\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}dx \label{eqn:T_exp}\tag{9}\]

Z rovnice ($\ref{eqn:Q_exp}$) tedy můžeme počítat střední hodnotu libovolné fyzikální veličiny pro částici ve stavu $\Psi$.

Ehrenfestova věta (Ehrenfest theorem)

Výpočet $d\langle p \rangle/dt$

Zderivujme obě strany rovnice ($\ref{eqn:p_op}$) podle času $t$ a spočítejme časovou derivaci střední hodnoty hybnosti $\cfrac{d\langle p \rangle}{dt}$.

\[\begin{align*} \frac{d\langle p \rangle}{dt} &= -i\hbar\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*\frac{\partial}{\partial x}\Psi dx \tag{10}\\ &= -i\hbar\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x}\Psi dx + \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial t}dx \right) \tag{11} \\ &= -i\hbar\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x}\Psi dx - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial t}dx \right) \tag{12}\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}-i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x}\Psi dx + \int_{-\infty}^{\infty}i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial t}dx \label{eqn:dp/dt_1}\tag{13}\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\left[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}+V\Psi^*\right)\frac{\partial \Psi}{\partial x}+\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi \right)\right]dx \label{eqn:dp/dt_2}\tag{14}\\ &= -\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)dx + \int_{-\infty}^{\infty}V\frac{\partial}{\partial x}(\Psi^*\Psi)dx \label{eqn:dp/dt_3}\tag{15}\\ &= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\Biggr|^{\infty}_{-\infty} + V\Psi^*\Psi\biggr|^{\infty}_{-\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial V}{\partial x}\Psi^*\Psi dx \\ &= -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial V}{\partial x}\Psi^*\Psi dx \label{eqn:dp/dt_4}\tag{16}\\ &= -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle. \end{align*}\]

Do ($\ref{eqn:dp/dt_1}$) lze dosadit rovnice (6) a (7) z příspěvku Schrödingerova rovnice a vlnová funkce a získat tak ($\ref{eqn:dp/dt_2}$). V přechodu z ($\ref{eqn:dp/dt_3}$) na ($\ref{eqn:dp/dt_4}$) jsme použili per partes; stejně jako dříve, protože $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\Psi=0$, okrajový člen (boundary term) jsme zanedbali.

\[\therefore \frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle. \label{eqn:ehrenfest_theorem_2nd}\tag{17}\]

Vztah mezi Ehrenfestovou větou a Newtonovým 2. zákonem pohybu

Následující dvě rovnice, které jsme odvodili, se nazývají Ehrenfestova věta (Ehrenfest theorem).

\[\begin{gather*} \langle p \rangle = m\frac{d\langle x \rangle}{dt} \\ \frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle \end{gather*} \label{eqn:ehrenfest_theorem}\tag{18}\]

Ehrenfestova věta má tvar velmi podobný vztahu mezi potenciální energií a konzervativní silou v klasické mechanice: $F=\cfrac{dp}{dt}=-\nabla V$.
Když oba vztahy položíme vedle sebe a porovnáme je, dostaneme:

• \[\frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x} \right\rangle \text{ [Ehrenfest Theorem]}\]
• \[\frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} \text{ [Newton's Second Law of Motion]}\]

Když pravou stranu druhé rovnice Ehrenfestovy věty $\cfrac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \cfrac{\partial V(x)}{\partial x} \right\rangle$ (rovnice [$\ref{eqn:ehrenfest_theorem_2nd}$]) rozvineme v Taylorově řadě podle $x$ v okolí $\langle x \rangle$, získáme

\[\frac{\partial V(x)}{\partial x} = \frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle} + \frac{\partial^2 V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle^2}(x-\langle x \rangle) + \frac{\partial^3 V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle^3}(x-\langle x \rangle)^2 + \cdots\]

Pokud je zde $x-\langle x \rangle$ dostatečně malé, můžeme všechny vyšší členy kromě prvního zanedbat a aproximovat

\[\frac{\partial V(x)}{\partial x} \approx \frac{\partial V(\langle x \rangle)}{\partial \langle x \rangle}\]

Jinými slovy: pokud je vlnová funkce částice v prostoru velmi ostře lokalizovaná v blízkosti jednoho bodu (tj. rozptyl $|\Psi|^2$ vzhledem k $x$ je velmi malý), lze Ehrenfestovu větu aproximovat Newtonovým 2. zákonem pohybu klasické mechaniky. V makroskopickém měřítku lze prostorové rozprostření vlnové funkce zanedbat a polohu částice fakticky považovat za bod, takže Newtonův 2. zákon platí; v mikroskopickém měřítku však kvantové efekty zanedbat nelze, Newtonův 2. zákon už obecně neplatí a je třeba použít Ehrenfestovu větu.