Přenos energie při srážkách v plazmatu

TL;DR

• Při srážce se zachovává celková energie a hybnost
• Ionty, které ztratily všechny elektrony a zůstalo jen atomové jádro, a elektrony mají pouze kinetickou energii
• Neutrální atomy a ionty, které ztratily jen část elektronů, mají vnitřní energii; v závislosti na změně potenciální energie může docházet k excitaci (excitation), deexcitaci (deexcitation) nebo ionizaci (ionization)
• Klasifikace typů srážek podle změny kinetické energie před a po srážce:
  • pružná srážka (elastic collision): celková kinetická energie před a po srážce je konstantní
  • nepružná srážka (inelastic collision): během srážky dochází ke ztrátě kinetické energie
    • excitace (excitation)
    • ionizace (ionization)
  • superelastická srážka (superelastic collision): během srážky kinetická energie roste
    • deexcitace (deexcitation)
• Rychlost přenosu energie při pružných srážkách:
  • rychlost přenosu energie při jednotlivé srážce: $\zeta_L = \cfrac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\cos^2\theta_2$
  • průměrná rychlost přenosu energie na srážku: $\overline{\zeta_L} = \cfrac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\overline{\cos^2\theta_2} = \cfrac{2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}$
    • když $m_1 \approx m_2$: $\overline{\zeta_L} \approx \cfrac{1}{2}$, takže dochází k efektivnímu přenosu energie a rychle se dosáhne tepelné rovnováhy
    • když $m_1 \ll m_2$ nebo $m_1 \gg m_2$: $\overline{\zeta_L} \approx 10^{-5}\sim 10^{-4}$, takže účinnost přenosu energie je velmi nízká a tepelné rovnováhy se dosahuje obtížně. To je důvod, proč je ve slabě ionizovaném plazmatu $T_e \gg T_i \approx T_n$ a elektronová teplota se výrazně liší od teploty iontů i neutrálních atomů.
• Rychlost přenosu energie při nepružných srážkách:
  • maximální míra převodu do vnitřní energie při jedné srážce: $\zeta_L = \cfrac{\Delta U_\text{max}}{\cfrac{1}{2}m_1v_1^2} = \cfrac{m_2}{m_1+m_2}\cos^2\theta_2$
  • průměrná maximální míra převodu do vnitřní energie: $\overline{\zeta_L} = \cfrac{m_2}{m_1+m_2}\overline{\cos^2\theta_2} = \cfrac{m_2}{2(m_1+m_2)}$
    • když $m_1 \approx m_2$: $\overline{\zeta_L} \approx \cfrac{1}{4}$
    • když $m_1 \gg m_2$: $\overline{\zeta_L} \approx 10^{-5}\sim 10^{-4}$
    • když $m_1 \ll m_2$: $\overline{\zeta_L} = \cfrac{1}{2}$, takže lze nejefektivněji zvýšit vnitřní energii sráženého objektu (iontu nebo neutrálního atomu) a uvést jej do excitovaného stavu. To je důvod, proč snadno probíhá ionizace elektrony (vznik plazmatu), excitace (emise světla), disociace (dissociation) molekul (tvorba radikálů) apod.

Předpoklady

• Subatomární částice a stavební složky atomu

Srážky částic v plazmatu

• Při srážce se zachovává celková energie a hybnost
• Ionty, které ztratily všechny elektrony a zůstalo jen atomové jádro, a elektrony mají pouze kinetickou energii
• Neutrální atomy a ionty, které ztratily jen část elektronů, mají vnitřní energii; v závislosti na změně potenciální energie může docházet k excitaci (excitation), deexcitaci (deexcitation) nebo ionizaci (ionization)
• Klasifikace typů srážek podle změny kinetické energie před a po srážce:
  • pružná srážka (elastic collision): celková kinetická energie před a po srážce je konstantní
  • nepružná srážka (inelastic collision): během srážky dochází ke ztrátě kinetické energie
    • excitace (excitation)
    • ionizace (ionization)
  • superelastická srážka (superelastic collision): během srážky kinetická energie roste
    • deexcitace (deexcitation)

Přenos energie při pružných srážkách

Rychlost přenosu energie při jednotlivé srážce

U pružné srážky se zachovává hybnost i kinetická energie před a po srážce.

Sestavíme-li rovnice zachování hybnosti pro osy $x$ a $y$, dostaneme

\[\begin{gather*} m_1v_1 = m_1v_1^{\prime}\cos\theta_1 + m_2v_2^{\prime}\cos\theta_2, \label{eqn:momentum_conservation_x}\tag{1} \\ m_1v_1^{\prime}\sin\theta_1 = m_2v_2^{\prime}\sin\theta_2 \label{eqn:momentum_conservation_y}\tag{2} \end{gather*}\]

a dále ze zákona zachování energie

\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_1{v_1^{\prime}}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_2^{\prime}}^2\] \[v_1^2 = {v_1^{\prime}}^2 + \frac{m_2}{m_1}{v_2^{\prime}}^2 \label{eqn:energy_conservation}\tag{3}\]

Platí tedy.

Z rovnice ($\ref{eqn:momentum_conservation_x}$) plyne

\[m_1 v_1^{\prime} \cos \theta_1 = m_1v_1 - m_2v_2^{\prime} \cos \theta_2 \label{eqn:momentum_conservation_x_2}\tag{4}\]

a po umocnění obou stran rovnic ($\ref{eqn:momentum_conservation_y}$) a ($\ref{eqn:momentum_conservation_x_2}$) na druhou a jejich sečtení dostaneme

\[\begin{align*} (m_1v_1^{\prime})^2 &= (m_2 v_2^\prime \sin \theta_2)^2 + (m_1 v_1 - m_2 v_2^\prime \cos \theta_2)^2 \\ &= m_1^2 v_1^2 - 2 m_1 m_2 v_1 v_2^\prime \cos \theta_2 + m_2^2 {v_2^\prime}^2 \tag{5} \end{align*}\]

Nyní vydělíme obě strany $m_1^2$:

\[{v_1^{\prime}}^2 = v_1^2 - 2 \frac{m_2}{m_1} v_1 v_2^\prime \cos \theta_2 + \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 {v_2^\prime}^2 \label{eqn:momentum_conservation}\tag{6}\]

Dosadíme-li sem ($\ref{eqn:energy_conservation}$), lze to upravit takto:

\[\begin{gather*} \left( \frac{m_2}{m_1} \right) {v_2^\prime}^2 = 2 \left( \frac{m_2}{m_1} \right) v_1 v_2^\prime \cos \theta_2 - \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2 {v_2^\prime}^2 \\ 2v_1 \cos \theta_2 = \left(\frac{m_1 + m_2}{m_1} \right) v_2^\prime \\ v_2^{\prime} = \frac{2m_1v_1\cos\theta_2}{m_1 + m_2}. \label{eqn:v_2_prime}\tag{7} \end{gather*}\]

Odtud získáme rychlost přenosu energie $\zeta_L$ následovně:

\[\begin{align*} \therefore \zeta_L &= \frac{\cfrac{1}{2}m_2{v_2^\prime}^2}{\cfrac{1}{2}m_1v_1^2} = \frac{m_2}{m_1v_1^2} {\left(\frac{2m_1v_1\cos\theta_2}{m_1 + m_2} \right)}^2 \\ &= \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\cos^2\theta_2. \quad \blacksquare \label{eqn:elastic_E_transfer_rate}\tag{8} \end{align*}\]

Průměrná rychlost přenosu energie na srážku

Protože pro úhly od $0$ do $2\pi$ platí $\sin^2{\theta_2}+\cos^2{\theta_2}=1$ a $\overline{\sin^2{\theta_2}}=\overline{\cos^2{\theta_2}}$, dostáváme

\[\begin{align*} \overline{\cos^2{\theta_2}} &= \overline{(1-\sin^2{\theta_2})} = 1 - \overline{\sin^2{\theta_2}} \\ &= 1 - \overline{\cos^2{\theta_2}} \end{align*}\] \[\begin{gather*} 2 \cdot \overline{\cos^2{\theta_2}} = 1 \\ \overline{\cos^2{\theta_2}} = \frac{1}{2}. \end{gather*}\]

Dosazením do ($\ref{eqn:elastic_E_transfer_rate}$) dostaneme

\[\overline{\zeta_L} = \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\overline{\cos^2\theta_2} = \frac{2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}. \quad \blacksquare \label{eqn:elastic_E_mean_transfer_rate}\tag{9}\]

Když $m_1 \approx m_2$

Sem patří srážky elektron–elektron, ion–ion, neutrální atom–neutrální atom a ion–neutrální atom. V takovém případě

\[\overline{\zeta_L} = \frac{2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} \approx \frac{1}{2} \label{eqn:elastic_similar_m}\tag{10}\]

tj. dochází k efektivnímu přenosu energie a rychle se dosáhne tepelné rovnováhy.

Když $m_1 \ll m_2$ nebo $m_1 \gg m_2$

Sem patří srážky elektron–ion, elektron–neutrální atom, ion–elektron a neutrální atom–elektron. V takovém případě

\[\overline{\zeta_L} = \frac{2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} \approx \frac{2m_1}{m_2}\text{ (pro případ }m_1 \ll m_2 \text{)} \approx 10^{-5}\sim 10^{-4} \label{eqn:elastic_different_m}\tag{11}\]

takže účinnost přenosu energie je velmi nízká a tepelné rovnováhy se dosahuje obtížně. To je důvod, proč je ve slabě ionizovaném plazmatu $T_e \gg T_i \approx T_n$ a elektronová teplota se výrazně liší od teploty iontů i neutrálních atomů.

Přenos energie při nepružných srážkách

Maximální míra převodu do vnitřní energie při jedné srážce

Zachování hybnosti (rovnice [$\ref{eqn:momentum_conservation}$]) platí i zde stejně, ale protože jde o nepružnou srážku, kinetická energie se nezachovává. Kinetická energie ztracená při nepružné srážce se převede na vnitřní energii $\Delta U$, takže

\[\Delta U = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \left( \frac{1}{2} m_1 {v_1^{\prime}}^2 + \frac{1}{2} m_2 {v_2^{\prime}}^2 \right) \label{eqn:delta_U}\tag{12}\]

Dosadíme-li sem ($\ref{eqn:momentum_conservation}$) a upravíme, dostaneme

\(\begin{align*} \Delta U &= \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \left[ \frac{1}{2} m_1 \left( v_1^2 - 2 \frac{m_2}{m_1} v_1 v_2^{\prime} \cos \theta_2 + \left( \frac{m_2}{m_1} v_2^{\prime} \right)^2 \right) + \frac{1}{2} m_2 {v_2^{\prime}}^2 \right] \\ &= \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \left[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - m_2 v_1 v_2^{\prime} \cos \theta_2 + \frac{1}{2} \frac{m_2^2}{m_1} {v_2^{\prime}}^2 + \frac{1}{2} m_2 {v_2^{\prime}}^2 \right] \\ &= m_2 v_1 v_2^{\prime} \cos \theta_2 - \frac{1}{2}m_2{v_2^{\prime}}^2\left(\frac{m_1 + m_2}{m_1}\right) \label{eqn:delta_U_2}\tag{13} \end{align*}\).

Zderivujeme-li $\Delta U$ podle $v_2^\prime$ a najdeme extrém, kde je derivace rovna $0$, a maximum v tomto bodě, dostaneme

\[\cfrac{d \Delta U}{d v_2^{\prime}} = m_2 v_1 \cos \theta_2 - m_2 v_2^{\prime} \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1} \right) = 0 \tag{14}\] \[\begin{gather*} v_2^{\prime} \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1} \right) = v_1 \cos \theta_2 \\ v_2^\prime = \frac{m_1v_1\cos\theta_2}{m_1+m_2}. \end{gather*}\] \[\therefore v_2^{\prime} = \frac{m_1v_1\cos\theta_2}{m_1+m_2} \text{ když } \Delta U_\text{max} = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2 v_1^2 \cos^2\theta_2}{m_1 + m_2}. \label{eqn:delta_U_max}\tag{15}\]

Odtud plyne, že maximální možná míra převodu kinetické energie na vnitřní energii při jedné nepružné srážce je

\[\zeta_L = \frac{\Delta U_\text{max}}{\cfrac{1}{2}m_1v_1^2} = \frac{m_2}{m_1+m_2}\cos^2\theta_2. \quad \blacksquare \label{eqn:inelastic_E_transfer_rate}\tag{16}\]

Průměrná maximální míra převodu do vnitřní energie

Analogicky dosadíme do ($\ref{eqn:inelastic_E_transfer_rate}$) $\overline{\cos^2{\theta_2}} = \cfrac{1}{2}$ a dostaneme

\[\overline{\zeta_L} = \frac{m_2}{m_1+m_2}\overline{\cos^2\theta_2} = \frac{m_2}{2(m_1+m_2)}. \label{eqn:inelastic_E_mean_transfer_rate}\tag{17}\]

Když $m_1 \approx m_2$

Sem patří srážky ion–ion, ion–neutrální atom a neutrální atom–neutrální atom.

\[\overline{\zeta_L} = \frac{m_2}{2(m_1+m_2)} = \frac{1}{4}. \label{eqn:inelastic_similar_m}\tag{18}\]

Když $m_1 \gg m_2$

Sem patří srážky ion–elektron a neutrální atom–elektron.

\[\overline{\zeta_L} = \frac{m_2}{2(m_1+m_2)} \approx \frac{m_2}{2m_1} \approx 10^{-5}\sim 10^{-4}. \label{eqn:inelastic_ion_electron}\tag{19}\]

Když $m_1 \ll m_2$

Sem patří srážky elektron–ion a elektron–neutrální atom. Předchozí dva případy se příliš nelišily od chování u pružných srážek, ale tento třetí případ vykazuje důležitý rozdíl. V tomto případě

\[\overline{\zeta_L} = \frac{m_2}{2(m_1+m_2)} \approx \frac{m_2}{2m_2} = \frac{1}{2} \label{eqn:inelastic_electron_ion}\tag{20}\]

tj. lze nejefektivněji zvýšit vnitřní energii sráženého objektu (iontu nebo neutrálního atomu) a uvést jej do excitovaného stavu. Jak bude probráno později, je to důvod, proč snadno probíhá ionizace elektrony (vznik plazmatu), excitace (emise světla), disociace (dissociation) molekul (tvorba radikálů) apod.