Vnitřní součin a norma

Předpoklady

• Vektory a lineární kombinace

Vnitřní součin

Definice vnitřního součinu (inner product) na obecném $F$-vektorovém prostoru je následující.

Definice vnitřního součinu (inner product) a prostoru s vnitřním součinem (inner product space)
Uvažujme $F$-vektorový prostor $\mathbb{V}$. Vnitřní součin (inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ na $\mathbb{V}$ definujeme jako funkci, která každé uspořádané dvojici libovolných vektorů $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$ z $\mathbb{V}$ přiřadí skalár z $F$ a splňuje následující podmínky.

Pro libovolné $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ a libovolné $c \in F$ platí

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ ($\overline{\mathbf{z}}$ je komplexně sdružené číslo k $\mathbf{z}$)
4. Pokud $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, pak $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ je kladné.

$F$-vektorový prostor $\mathbb{V}$ vybavený vnitřním součinem se nazývá prostor s vnitřním součinem (inner product space). Zejména pro $F=\mathbb{C}$ jde o komplexní prostor s vnitřním součinem (complex inner product space) a pro $F=\mathbb{R}$ o reálný prostor s vnitřním součinem (real inner product space).

Zvlášť důležitý je následující vnitřní součin, kterému se říká standardní vnitřní součin (standard inner product). Lze ověřit, že splňuje všechny čtyři výše uvedené podmínky.

Definice standardního vnitřního součinu (standard inner product)
Pro dva vektory $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ v $F^n$ definujeme standardní vnitřní součin (standard inner product) na $F^n$ takto:

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Je-li $F=\mathbb{R}$, pak komplexně sdružené číslo k reálnému číslu je ono samo, takže standardní vnitřní součin má tvar $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. V tomto speciálním případě se standardní vnitřní součin často značí místo $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ jako $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ a nazývá se skalární součin (dot product) nebo skalarový součin (scalar product).

Definice skalárního součinu (dot product) / skalarového součinu (scalar product)
Pro $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ v $\mathbb{R}^n$ definujeme skalární součin (dot product) neboli skalarový součin (scalar product) na $\mathbb{R}^n$ takto:

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Zde uvedený „skalarový součin (scalar product)“ je operace mezi vektory a liší se od operace „skalární násobení (scalar multiplication)“ mezi skalárem a vektorem, kterou jsme probírali v článku Vektory a lineární kombinace. Protože anglické výrazy jsou si podobné a navíc v terminologii Korejské matematické společnosti se korejský překlad dokonce shoduje, je třeba dávat pozor, aby nedošlo k záměně.

Abychom předešli nejasnostem, budeme dále pokud možno používat označení skalární součin (dot product).

V eukleidovském prostoru vnitřní součin (inner product) splývá se skalárním součinem (dot product), a proto se často (pokud to kontext dovolí) skalární součin zkráceně označuje jako vnitřní součin. Přísně vzato je však vnitřní součin obecnější pojem, který skalární součin zahrnuje.

flowchart TD
    A["Vnitřní součin (Inner Product)"] -->|zahrnuje| B["Standardní vnitřní součin (Standard Inner Product)"]
    B -->|"F = R (těleso reálných čísel)"| C["Skalární/skalarový součin (Dot/Scalar Product)"]

    %% zahrnutí (relační značení)
    C -. zahrnuto .-> B
    B -. zahrnuto .-> A

Délka / norma vektoru

Pro vektor $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ v $\mathbb{R}^n$ definujeme eukleidovskou délku vektoru $\mathbf{v}$ pomocí skalárního součinu takto:

\[\| \mathbf{v} \| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \left[ \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \right]^{1/2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\]

Obecněji, v libovolném prostoru s vnitřním součinem definujeme délku (length) neboli normu (norm) vektoru takto:

\[\| \mathbf{x} \| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}\]

V obecném prostoru s vnitřním součinem platí pro normu vektoru následující důležité vlastnosti.

Věta
Nechť $\mathbb{V}$ je $F$-prostor s vnitřním součinem, $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ jsou libovolné vektory a $c \in F$ je skalár. Pak platí:

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Platí obojí:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Cauchyho–Schwarzova nerovnost (Cauchy-Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (rovnost nastává tehdy, když je jeden z vektorů $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$ skalárním násobkem druhého)
4. Trojúhelníková nerovnost (triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (rovnost nastává tehdy, když je jeden z vektorů $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$ skalárním násobkem druhého a oba mají stejný směr)

Úhel mezi vektory a jednotkový vektor

Vektor délky $1$ se nazývá jednotkový vektor (unit vector). Dále, pro dva vektory $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ v $\mathbb{R}^n$ platí $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, a odtud lze určit úhel $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) mezi vektory $\mathbf{v}$ a $\mathbf{w}$.

\[\theta = \arccos{\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\|}}\]

Pokud $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, říkáme, že jsou dva vektory kolmé (perpendicular) neboli ortogonální (orthogonal).

Jsou-li vektory $\mathbf{v}$ a $\mathbf{w}$ kolmé, pak:

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

Zobecníme-li to na libovolný prostor s vnitřním součinem, dostaneme následující.

Definice
Uvažujme prostor s vnitřním součinem $\mathbb{V}$. Pro vektory $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ v $\mathbb{V}$ definujeme, že jsou ortogonální (orthogonal) neboli kolmé (perpendicular), jestliže $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$. Dále:

1. Pro podmnožinu $S$ prostoru $\mathbb{V}$: jsou-li každé dva různé vektory z $S$ navzájem ortogonální, nazývá se $S$ ortogonální množina (orthogonal set).
2. Vektor $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ s $\|\mathbf{x}\|=1$ se nazývá jednotkový vektor (unit vector).
3. Je-li podmnožina $S$ prostoru $\mathbb{V}$ ortogonální množinou a skládá se pouze z jednotkových vektorů, nazývá se $S$ ortonormální množina (orthonormal set).

Nutná a postačující podmínka pro to, aby množina $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ byla ortonormální, je $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Násobení vektoru nenulovým skalárem nemění jeho ortogonalitu.

Pro libovolný nenulový vektor $\mathbf{x}$ je $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ jednotkový vektor; proces, kdy nenulový vektor vynásobíme skalárem rovným převrácené hodnotě jeho délky a tím získáme jednotkový vektor, se nazývá normalizace (normalizing).