Lineární závislost a lineární nezávislost, báze a dimenze

Předpoklady

• Vektory a lineární kombinace
• Vektorové prostory, podprostory a matice

Lineární závislost a lineární nezávislost

Uvažujme nějaký vektorový prostor $\mathbb{V}$ a podprostor $\mathbb{W}$. Řekněme, že chceme najít co nejmenší konečnou podmnožinu $S$, která $\mathbb{W}$ generuje.

Je-li pro množinu $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ splněno $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$, jak rozhodnout, zda neexistuje vlastní podmnožina $S$, která stále generuje $\mathbb{W}$? Je to totéž jako rozhodnout, zda lze některý vektor vybraný ze $S$ vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů. Například nutná a postačující podmínka pro vyjádření $\mathbf{u}_4$ jako lineární kombinace zbývajících tří vektorů je existence skalárů $a_1, a_2, a_3$, které splňují

\[\mathbf{u}_4 = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3\]

Protože je ale nepohodlné pokaždé pro $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ sestavovat soustavu lineárních rovnic a zjišťovat, zda má řešení, trochu výraz upravme:

\[a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \mathbf{0}\]

Pokud je některý vektor z $S$ lineární kombinací ostatních, pak při vyjádření nulového vektoru jako lineární kombinace vektorů z $S$ existuje takové vyjádření, v němž je alespoň jeden z koeficientů $a_1, a_2, a_3, a_4$ nenulový. Obrácené tvrzení je rovněž pravdivé: existuje-li vyjádření nulového vektoru jako lineární kombinace prvků $S$ s tím, že alespoň jeden z koeficientů $a_1, a_2, a_3, a_4$ je nenulový, pak je některý vektor z $S$ lineární kombinací ostatních.

Zobecněním toho definujeme lineární závislost a lineární nezávislost následovně.

Definice
Pro podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$ říkáme, že množina $S$ (a její vektory) je lineárně závislá (linearly dependent), existují-li konečně mnohé navzájem různé vektory $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ a skaláry $a_1, a_2, \dots, a_n$, z nichž alespoň jeden je nenulový, takové, že $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$. V opačném případě je lineárně nezávislá (linearly independent).

Pro libovolné vektory $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ platí, že když $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$, pak $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$; tomu se říká triviální vyjádření nulového vektoru (trivial representation of $\mathbf{0}$).

Následující tři tvrzení o lineárně nezávislých množinách platí ve všech vektorových prostorech vždy. Zejména tvrzení 3 je, jak jsme viděli, velmi užitečné při rozhodování, zda je nějaká konečná množina lineárně nezávislá.

• Tvrzení 1: Prázdná množina je lineárně nezávislá. Aby byla množina lineárně závislá, nesmí být prázdná.
• Tvrzení 2: Množina tvořená jediným nenulovým vektorem je lineárně nezávislá.
• Tvrzení 3: Nutnou a postačující podmínkou, aby byla množina lineárně nezávislá, je, že jediným způsobem, jak vyjádřit $\mathbf{0}$ jako lineární kombinaci dané množiny, je triviální vyjádření.

Důležité jsou také následující věty.

Věta 1
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor a $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Je-li $S_1$ lineárně závislá, pak je lineárně závislá i $S_2$.

Důsledek 1-1
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor a $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Je-li $S_2$ lineárně nezávislá, pak je lineárně nezávislá i $S_1$.

Věta 2
Uvažujme vektorový prostor $\mathbb{V}$ a lineárně nezávislou podmnožinu $S$. Pro vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$, který nepatří do $S$, je nutná a postačující podmínka pro to, aby $S \cup \{\mathbf{v}\}$ byla lineárně závislá, že $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$.

Jinými slovy: pokud žádná vlastní podmnožina $S$ nedokáže generovat stejný prostor jako $S$, pak je $S$ lineárně nezávislá.

Báze a dimenze

Báze

Generující množina $S$ pro $\mathbb{W}$, která je lineárně nezávislá, má zvláštní vlastnost: každý vektor z $\mathbb{W}$ lze nutně vyjádřit jako lineární kombinaci prvků $S$ a toto vyjádření je jediné (Věta 3). Proto se lineárně nezávislá generující množina pro nějaký vektorový prostor speciálně definuje jako báze (basis).

Definice báze
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor a $\beta$ je jeho podmnožina. Pokud je $\beta$ lineárně nezávislá a generuje $\mathbb{V}$, pak se $\beta$ nazývá báze (basis) prostoru $\mathbb{V}$. Říkáme také, že vektory v $\beta$ tvoří bázi prostoru $\mathbb{V}$.

$\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$ a $\emptyset$ je lineárně nezávislá. Proto je $\emptyset$ bází bodového prostoru.

Zejména následující speciální báze pro $F^n$ se nazývá standardní báze (standard basis) prostoru $F^n$.

Definice standardní báze
Pro vektorový prostor $F^n$ uvažujme následující vektory.

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

Pak množina $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ je bází $F^n$ a nazývá se standardní báze (standard basis) prostoru $F^n$.

Věta 3
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor a $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$ jsou navzájem různé vektory. Nutnou a postačující podmínkou, aby množina $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ byla bází $\mathbb{V}$, je: „libovolný vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z $\beta$ a toto vyjádření je jediné“. Tj. pro jediné skalární $n$-tice $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ musí platit

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

Podle Věty 3, pokud $n$ navzájem různých vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ tvoří bázi vektorového prostoru $\mathbb{V}$, pak uvnitř tohoto prostoru je pro daný vektor $\mathbf{v}$ určena odpovídající skalární $n$-tice $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ a naopak, je-li dána skalární $n$-tice, lze získat odpovídající vektor $\mathbf{v}$. Později to znovu shrnu při studiu invertibility a izomorfismů, ale v tomto případě jsou vektorové prostory $\mathbb{V}$ a $F^n$ v podstatě totéž.

Věta 4
Je-li pro konečnou množinu $S$ splněno $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, pak existuje podmnožina $S$, která je bází $\mathbb{V}$. Tedy v tomto případě je báze $\mathbb{V}$ konečná.

Velká část vektorových prostorů spadá pod Větu 4, ale ne nutně všechny. Báze nemusí být konečná množina.

Dimenze

Věta 5: věta o nahrazení (replacement theorem)
Nechť $G$ je množina $n$ vektorů taková, že $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$. Pokud je $L$ podmnožina $\mathbb{V}$ tvořená $m$ lineárně nezávislými vektory, pak $m\leq n$. Dále existuje množina $H \subseteq G$ s $n-m$ prvky taková, že $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$.

Z toho získáme dvě velmi důležitá důsledková tvrzení.

Důsledek 5-1 věty o nahrazení
Předpokládejme, že vektorový prostor $\mathbb{V}$ obsahuje konečnou bázi. Pak každá báze $\mathbb{V}$ je konečná a všechny báze mají stejný počet vektorů.

Podle toho je počet vektorů tvořících bázi $\mathbb{V}$ neměnnou, podstatnou vlastností prostoru $\mathbb{V}$; této vlastnosti se říká dimenze (dimension).

Definice dimenze
Vektorový prostor, který má konečnou bázi, se nazývá konečněrozměrný (finite-dimensional). V tomto případě se počet prvků báze $n$ nazývá dimenze (dimension) daného vektorového prostoru a značí se $\dim(\mathbb{V})$. Vektorový prostor, který není konečněrozměrný, je nekonečněrozměrný (infinite-dimensional).

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

Dimenze vektorového prostoru se může lišit podle toho, nad jakým tělesem je uvažován.

• Nad tělesem komplexních čísel $\mathbb{C}$ má komplexní vektorový prostor dimenzi $1$ a bázi $\{1\}$.
• Nad tělesem reálných čísel $\mathbb{R}$ má komplexní vektorový prostor dimenzi $2$ a bázi $\{1,i\}$.

V konečněrozměrném vektorovém prostoru $\mathbb{V}$ nemůže být žádná podmnožina s více než $\dim(\mathbb{V})$ vektory lineárně nezávislá.

Důsledek 5-2 věty o nahrazení
Nechť $\mathbb{V}$ je vektorový prostor dimenze $n$.

1. Každá konečná generující množina $\mathbb{V}$ musí obsahovat alespoň $n$ vektorů a generující množina $\mathbb{V}$ tvořená $n$ vektory je bází $\mathbb{V}$.
2. Lineárně nezávislá podmnožina $\mathbb{V}$ tvořená $n$ vektory je bází $\mathbb{V}$.
3. Každou lineárně nezávislou podmnožinu $\mathbb{V}$ lze rozšířit na bázi. Tj. je-li $L \subseteq \mathbb{V}$ lineárně nezávislá, pak existuje báze $\beta$ prostoru $\mathbb{V}$ taková, že $\beta \supseteq L$.

Dimenze podprostoru

Věta 6
Pro konečněrozměrný vektorový prostor $\mathbb{V}$ je každý jeho podprostor $\mathbb{W}$ konečněrozměrný a platí $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$. Zejména

\[\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.\]

Důsledek 6-1
Pro podprostor $\mathbb{W}$ konečněrozměrného vektorového prostoru $\mathbb{V}$ lze libovolnou bázi $\mathbb{W}$ rozšířit na bázi $\mathbb{V}$.

Podle Věty 6 může mít podprostor $\mathbb{R}^3$ dimenzi $0,1,2,3$.

• 0 rozměrů: bodový prostor $\{\mathbf{0}\}$ obsahující pouze počátek ($\mathbf{0}$)
• 1 rozměr: přímka procházející počátkem ($\mathbf{0}$)
• 2 rozměry: rovina obsahující počátek ($\mathbf{0}$)
• 3 rozměry: celý eukleidovský trojrozměrný prostor