Lineární transformace, jádrový prostor a obraz

Předpoklady

• Vektory a lineární kombinace
• Vektorové prostory, podprostory a matice
• Lineární závislost a lineární nezávislost, báze a dimenze
• injektivní funkce, surjektivní funkce

Lineární transformace

Speciální funkci, která zachovává strukturu vektorového prostoru, nazýváme lineární transformací (linear transformation). Jde o důležitý pojem, který se velmi často objevuje napříč čistou matematikou, aplikovanou matematikou, společenskými vědami, přírodními vědami i inženýrstvím.

Definice
Nechť $\mathbb{V}$ a $\mathbb{W}$ jsou $F$-vektorové prostory. Funkci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ nazveme lineární transformací (linear transformation) z $\mathbb{V}$ do $\mathbb{W}$, pokud pro všechna $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ a $c \in F$ platí následující dvě podmínky.

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Tvrzení „$T$ je lineární transformace“ se zkráceně vyjadřuje také jako „$T$ je lineární (linear)“. Lineární transformace $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ splňuje následující čtyři vlastnosti.

1. $T$ je lineární $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ je lineární $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ je lineární $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ je lineární $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Při dokazování linearity nějaké funkce je obvykle výhodné použít 2. vlastnost.

Lineární algebra má široké a rozmanité využití také v geometrii, protože mnoho důležitých geometrických transformací je lineárních. Zejména tři hlavní geometrické transformace — rotace, symetrie a projekce — jsou lineárními transformacemi.

Následující dvě lineární transformace se objevují obzvlášť často.

Identita a nulová transformace
Pro $F$-vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• identita (identity transformation): funkce $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ definovaná tak, že pro všechna $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$
• nulová transformace (zero transformation): funkce $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ definovaná tak, že pro všechna $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$

Kromě toho spadá pod lineární transformace řada dalších pojmů.

Příklady lineárních transformací

• rotace
• symetrie
• projekce
• transpozice
• derivace diferencovatelné funkce
• integrál spojité funkce

Jádrový prostor a obraz

Definice jádrového prostoru a obrazu

Definice
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• nulový prostor (null space) neboli jádro (kernel): množina všech $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ takových, že $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$; značíme $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• obor hodnot (range) neboli obraz (image): podmnožina $\mathbb{W}$ tvořená všemi hodnotami funkce $T$; značíme $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, identitu $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ a nulovou transformaci $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ platí:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

Dále je to klíčový fakt, ke kterému se budeme opakovaně vracet: nulový prostor a obraz lineární transformace jsou podprostory.

Věta 1
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ jsou $\mathrm{N}(T)$ a $\mathrm{R}(T)$ podprostory prostorů $\mathbb{V}$, resp. $\mathbb{W}$.

Důkaz
Nulové vektory prostorů $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ označme $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$.

Jelikož $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, platí $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. Dále pro $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c \in F$ platí:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$, a tedy $\mathrm{N}(T)$ je podprostor $\mathbb{V}$.

Podobně, protože $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, máme $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$. A jelikož $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$, platí

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$, a tedy $\mathrm{R}(T)$ je podprostor $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

Na druhé straně, pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, známe-li bázi prostoru $\mathbb{V}$, $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, můžeme generující množinu obrazu $\mathrm{R}(T)$ najít následovně.

Věta 2
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ a bázi prostoru $\mathbb{V}$, $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, platí:

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Důkaz

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Protože $\mathrm{R}(T)$ je podprostor, podle Věty 2 v článku Vektorové prostory, podprostory a matice platí:

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

Dále:

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Jelikož $\beta$ je báze $\mathbb{V}$, platí:

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(kde } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

Protože $T$ je lineární:

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ platí zároveň $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ i $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$, tedy $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Tato věta platí i tehdy, když je báze $\beta$ nekonečná.

Dimenzní věta

Protože nulový prostor i obraz jsou velmi důležité podprostory, zavádí se pro jejich dimenzi speciální názvy.

Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ předpokládejme, že $\mathrm{N}(T)$ a $\mathrm{R}(T)$ jsou konečněrozměrné.

• dimenze nulového prostoru (nullity): dimenze $\mathrm{N}(T)$; značí se $\mathrm{nullity}(T)$
• hodnost (rank): dimenze $\mathrm{R}(T)$; značí se $\mathrm{rank}(T)$

U lineárních transformací platí: čím větší je dimenze nulového prostoru, tím menší je hodnost, a naopak.

Věta 3: dimenzní věta (dimension theorem)
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$ platí, že pokud je $\mathbb{V}$ konečněrozměrný, pak:

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Důkaz

Nechť $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$ a báze $\mathrm{N}(T)$ je $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$.

Podle Důsledku 6-1 z článku „Lineární závislost a lineární nezávislost, báze a dimenze“ lze $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ rozšířit na bázi $\mathbb{V}$, tj. získáme bázi $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$.

Nyní ukážeme, že $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ je bází $\mathrm{R}(T)$. Nejprve, protože pro $1 \leq i \leq k$ platí $T(\mathbf{v}_i) = 0$, dostaneme z Věty 2:

\[\begin{align*} \mathrm{R}(T) &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(S). \end{align*}\]

Tedy $S$ je generující množina $\mathrm{R}(T)$. Podle Důsledku 5-2 věty o nahrazení stačí ukázat, že $S$ je lineárně nezávislá, a tím bude $S$ bází $\mathrm{R}(T)$.

Nechť $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (kde $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$). Protože $T$ je lineární,

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \Leftrightarrow T\left(\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \in \mathrm{N}(T).\]

Proto:

\[\begin{align*} &\exists c_1, c_2, \dots, c_k \in F, \\ &\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i \\ \Leftrightarrow &\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0. \end{align*}\]

Protože $\beta$ je báze $\mathbb{V}$, jediné řešení rovnice $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ je

\[c_1 = c_2 = \cdots = c_k = b_{k+1} = b_{k+2} = \cdots = b_n = 0\]

a z toho plyne

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad b_i = 0.\]

Tedy $S$ je lineárně nezávislá a je bází $\mathrm{R}(T)$.

\[\therefore \mathrm{rank}(T) = n - k = \dim{\mathbb{V}} - \mathrm{nullity}(T). \blacksquare\]

Lineární transformace a injekce, surjekce

U lineárních transformací souvisí injekce (injection) a surjekce (surjection) úzce s hodností a dimenzí nulového prostoru.

Věta 4
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ platí:

\[T\text{ je injektivní.} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Věta 5
Nechť mají konečněrozměrné vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ stejnou dimenzi. Pak jsou pro lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ následující čtyři tvrzení ekvivalentní.

1. $T$ je injektivní.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ je surjektivní.

Pomocí dimenzní věty, vlastností 1 a 3 lineární transformace a Věty 6 z článku „Lineární závislost a lineární nezávislost, báze a dimenze“ lze dokázat Větu 4 a Větu 5.

Tyto dvě věty jsou užitečné při rozhodování, zda je daná lineární transformace injektivní nebo surjektivní.

Pro nekonečněrozměrný vektorový prostor $\mathbb{V}$ a lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ neplatí, že injektivita a surjektivita jsou ekvivalentní.

Navíc, je-li nějaká lineární transformace injektivní, může být v některých situacích užitečná následující věta pro rozhodování, zda je daná podmnožina vektorového prostoru lineárně nezávislá.

Věta 6
Pro vektorové prostory $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, injektivní lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ a podmnožinu $S \subseteq \mathbb{V}$ platí:

\[S\text{ je lineárně nezávislá.} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{ je lineárně nezávislá.}\]

Lineární transformace a báze

Důležitou vlastností lineárních transformací je, že jejich chování je určeno tím, jak působí na bázi.

Věta 7
Nechť $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ jsou $F$-vektorové prostory, $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ je báze $\mathbb{V}$ a $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$ jsou vektory. Pak existuje právě jedna lineární transformace $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ splňující:

\[i = 1, 2, \dots, n \text{ a } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

Důkaz
Pro $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ je následující vyjádření jako lineární kombinace jednoznačné:

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

Definujme lineární transformaci $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ takto:

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

i) Pro $i = 1, 2, \dots, n$ platí $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii)

Předpokládejme, že jiná lineární transformace $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ splňuje pro $i = 1, 2, \dots, n$ rovněž $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$. Pak pro $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$ platí:

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

Z i), ii) plyne, že lineární transformace splňující $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ pro $i = 1, 2, \dots, n$ je jednoznačně dána předpisem:

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

$\blacksquare$

Důsledek 7-1
Nechť vektorový prostor $\mathbb{V}$ obsahuje konečnou bázi $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$. Pokud dvě lineární transformace $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ splňují pro $i = 1, 2, \dots, n$ rovnost $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$, pak $U = T$.
Tj. pokud se dvě lineární transformace shodují na bázi, jsou totožné.