Metoda neurčených koeficientů

TL;DR

• Oblast použití metody neurčených koeficientů:
  • má konstantní koeficienty $a$ a $b$
  • vstup $r(x)$ je tvořen exponenciální funkcí, mocninami $x$, $\cos$ nebo $\sin$, případně součty a součiny těchto funkcí
  • lineární ODR $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$
• Výběrová pravidla pro metodu neurčených koeficientů
  • (a) základní pravidlo (basic rule): Pokud je v rovnici ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) $r(x)$ jednou z funkcí v prvním sloupci tabulky, zvolíme $y_p$ ze stejného řádku a neznámé koeficienty určíme dosazením $y_p$ a jeho derivací do ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$).
  • (b) modifikační pravidlo (modification rule): Pokud zvolený člen $y_p$ je řešením odpovídající homogenní rovnice $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$, vynásobíme tento člen $x$ (nebo $x^2$, pokud odpovídá dvojnásobnému kořeni charakteristické rovnice homogenní ODR).
  • (c) pravidlo součtu (sum rule): Je-li $r(x)$ součtem funkcí z prvního sloupce tabulky, zvolíme $y_p$ jako součet odpovídajících funkcí z druhého sloupce.

člen v $r(x)$	volba pro $y_p(x)$
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Předpoklady

• Homogenní lineární ODR 2. řádu (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• Homogenní lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty
• Eulerova–Cauchyho rovnice
• Wronskián (Wronskian), existence a jednoznačnost řešení
• Nehomogenní lineární ODR 2. řádu (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)
• vektorový prostor, lineární obal (lineární algebra)

Metoda neurčených koeficientů

Uvažujme nehomogenní lineární ODR 2. řádu s $r(x) \not\equiv 0$

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

a odpovídající homogenní rovnici

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

Jak jsme již viděli v článku Nehomogenní lineární ODR 2. řádu (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order), pro vyřešení úlohy s počátečními podmínkami k nehomogenní lineární ODR ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) je potřeba nejprve vyřešit homogenní ODR ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), získat $y_h$, poté najít partikulární řešení $y_p$ rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) a dostat obecné řešení

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

Jak tedy $y_p$ najít? Obecnou metodou je metoda variace parametrů (method of variation of parameters), ale v některých případech lze použít výrazně jednodušší metodu neurčených koeficientů (method of undetermined coefficients). Ta je obzvlášť často využívaná v inženýrské praxi, protože se hodí pro kmitavé soustavy a modely elektrických obvodů RLC.

Metoda neurčených koeficientů je vhodná pro lineární ODR se stálými koeficienty $a$ a $b$, kde vstup $r(x)$ je tvořen exponenciální funkcí, mocninami $x$, $\cos$ nebo $\sin$, případně součty a součiny těchto funkcí:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}\tag{4}\]

Klíč je v tom, že takové $r(x)$ má derivace podobného tvaru. Pro použití metody neurčených koeficientů zvolíme $y_p$ podobného tvaru jako $r(x)$, avšak s neznámými koeficienty, které určíme dosazením $y_p$ a jeho derivací do dané ODR. Pravidla pro volbu vhodného $y_p$ pro prakticky důležité tvary $r(x)$ jsou následující.

Výběrová pravidla pro metodu neurčených koeficientů
(a) základní pravidlo (basic rule): Pokud je v rovnici ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) $r(x)$ jednou z funkcí v prvním sloupci tabulky, zvolíme $y_p$ ze stejného řádku a neznámé koeficienty určíme dosazením $y_p$ a jeho derivací do ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$).
(b) modifikační pravidlo (modification rule): Pokud zvolený člen $y_p$ je řešením odpovídající homogenní rovnice $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$, vynásobíme tento člen $x$ (nebo $x^2$, pokud odpovídá dvojnásobnému kořeni charakteristické rovnice homogenní ODR).
(c) pravidlo součtu (sum rule): Je-li $r(x)$ součtem funkcí z prvního sloupce tabulky, zvolíme $y_p$ jako součet odpovídajících funkcí z druhého sloupce.

člen v $r(x)$	volba pro $y_p(x)$
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Tato metoda je nejen jednoduchá, ale má i výhodu určité „samokontrolovatelnosti“. Pokud $y_p$ zvolíme špatně nebo zvolíme příliš málo členů, narazíme na rozpor; pokud naopak zvolíme členů příliš mnoho, koeficienty nadbytečných členů vyjdou jako $0$ a dostaneme správný výsledek. I když se při použití metody neurčených koeficientů něco pokazí, obvykle to během výpočtu přirozeně odhalíme, takže pokud podle výše uvedených pravidel zvolíte rozumné $y_p$, můžete metodu bez obav vyzkoušet.

Důkaz pravidla součtu

Uvažujme nehomogenní lineární ODR tvaru $r(x) = r_1(x) + r_2(x)$:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) + r_2(x)\]

Nyní uvažujme následující dvě rovnice se stejnou levou stranou a vstupy $r_1$, $r_2$:

\[\begin{gather*} y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) \\ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_2(x) \end{gather*}\]

Nechť mají řešení ${y_p}_1$, ${y_p}_2$. Označme levou stranu jako $L[y]$. Díky linearitě $L[y]$ pak pro $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$ platí následující, čímž je pravidlo součtu dokázáno:

\[L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare\]

Příklad: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$

Podle základního pravidla (a) položíme $y_p = Ce^{\gamma x}$ a dosadíme do dané rovnice $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$:

\[\gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k.\]

Případ, kdy $\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$

Neurčený koeficient $C$ lze určit následovně a dostaneme $y_p$:

\[C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b}\] \[y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}.\]

Případ, kdy $\gamma^2 + a\gamma + b = 0$

V tomto případě musíme použít modifikační pravidlo (b). Nejprve využijeme $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$ a určeme kořeny charakteristické rovnice homogenní ODR $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$.

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0\] \[\lambda^2 + a\lambda - \gamma(a + \gamma) = 0\] \[(\lambda + (a + \gamma))(\lambda - \gamma) = 0\] \[\lambda = \gamma, -a -\gamma.\]

Odtud získáme bázi řešení homogenní ODR:

\[y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x}\]

Případ, kdy $\gamma \neq -a-\gamma$

Protože zvolené $Ce^{\gamma x}$ odpovídá kořeni, který není dvojnásobný, použijeme podle modifikačního pravidla (b) násobení $x$ a položíme $y_p = Cxe^{\gamma x}$.

Dosadíme takto upravené $y_p$ zpět do dané rovnice $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$:

\[C(2\gamma + \gamma^2 x)e^{\gamma x} + aC(1 + \gamma x)e^{\gamma x} - \gamma(a + \gamma)Cxe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C \left[\left\{\gamma^2 + a\gamma -\gamma(a + \gamma)\right\}x + 2\gamma + a \right]e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a) = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}.\]

Případ, kdy $\gamma = -a-\gamma$

V tomto případě je $Ce^{\gamma x}$ dvojnásobným kořenem pro odpovídající homogenní ODR, takže podle modifikačního pravidla (b) násobíme $x^2$ a položíme $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$.

Dosadíme takto upravené $y_p$ zpět do dané rovnice $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$:

\[C(2 + 4\gamma x + \gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(-4\gamma x - 2\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2C = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}.\]

Rozšíření metody neurčených koeficientů: $r(x)$ jako součin funkcí

Uvažujme nehomogenní lineární ODR, kde $r(x) = k x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)$:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)\]

Ukážeme, že pokud je $r(x)$ součinem a součtem exponenciálních funkcí $e^{\alpha x}$, mocnin $x^m$, $\cos{\omega x}$ nebo $\sin{\omega x}$ (zde pro jednoduchost předpokládáme $\cos$, aniž bychom ztratili obecnost), tj. lze jej vyjádřit jako součet a součin funkcí z prvního sloupce předchozí tabulky, pak existuje partikulární řešení $y_p$ jako součet a součin odpovídajících funkcí z druhého sloupce téže tabulky.

Pro striktní důkaz je část textu napsána s využitím lineární algebry; takové pasáže jsou označeny * . Tyto části můžete přeskočit a pro přibližné pochopení stačí číst zbytek.

Definice vektorového prostoru $V$*

Pro $r(x)$ tvaru

\[\begin{align*} r(x) &= C_1x^{n_1}e^{\alpha_1 x} \times C_2x^{n_2}e^{\alpha_2 x}\cos(\omega x) \times \cdots \\ &= C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x) \end{align*}\]

lze zvolit vektorový prostor $V$ tak, aby $r(x) \in V$, například takto:

\[V = \mathrm{span}\left\{x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x), \; x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x) \bigm| k=0,1,\dots,n \right\}\]

Tvary derivací exponenciálních, polynomiálních a goniometrických funkcí

Tvary derivací základních funkcí uvedených v prvním sloupci tabulky jsou následující:

• exponenciální funkce: $\cfrac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
• polynomiální funkce: $\cfrac{d}{dx}x^m = mx^{m-1}$
• goniometrické funkce: $\cfrac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega\sin\omega x, \quad \cfrac{d}{dx}\sin\omega x = \omega\cos\omega x$

Derivace získané derivováním těchto funkcí lze opět vyjádřit jako součet funkcí stejného typu.

Proto, jsou-li $f$ a $g$ výše uvedené funkce nebo jejich součty, pak pro $r(x) = f(x)g(x)$ platí (pravidlo pro derivaci součinu):

\[\begin{align*} (fg)^{\prime} &= f^{\prime}g + fg^{\prime}, \\ (fg)^{\prime\prime} &= f^{\prime\prime}g + 2f^{\prime}g^{\prime} + fg^{\prime\prime} \end{align*}\]

a zde jsou $f$, $f^{\prime}$, $f^{\prime\prime}$ i $g$, $g^{\prime}$, $g^{\prime\prime}$ vždy součty či konstantní násobky exponenciálních, polynomiálních a goniometrických funkcí. Tedy také $r^{\prime}(x) = (fg)^{\prime}$ a $r^{\prime\prime}(x) = (fg)^{\prime\prime}$ lze stejně jako $r(x)$ vyjádřit jako součty a součiny těchto funkcí.

Invariance $V$ vůči derivačnímu operátoru $D$ a lineárnímu zobrazení $L$*

Jinými slovy, nejen $r(x)$ samotné, ale i $r^{\prime}(x)$ a $r^{\prime\prime}(x)$ jsou lineární kombinace členů tvaru $x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ a $x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x)$, takže

\[r(x) \in V \implies r^{\prime}(x) \in V,\ r^{\prime\prime}(x) \in V.\]

Zavedeme-li derivační operátor $D$ obecně pro všechny prvky $V$, dostaneme: vektorový prostor $V$ je uzavřený vůči derivaci $D$. Označíme-li levou stranu dané rovnice $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by$ jako $L[y]$, pak $V$ je invariantní vůči $L$ (invariant).

\[D^2(V)\subseteq V,\quad aD(V)\subseteq V,\quad b\,V\subseteq V \implies L(V)\subseteq V.\]

Protože $r(x) \in V$ a $V$ je invariantní vůči $L$, existuje další prvek $y_p \in V$ splňující $L[y_p] = r$:

\[\exists y_p \in V: L[y_p] = r\]

Ansatz

Proto, zvolíme-li vhodné $y_p$ s neurčenými koeficienty $A_0, A_1, \dots, A_n$ a $K$, $M$ tak, aby tvořilo součet všech možných členů součinového typu, můžeme podle základního pravidla (a) a modifikačního pravidla (b) určit neurčené koeficienty dosazením $y_p$ (nebo $xy_p$, $x^2y_p$) a jeho derivací do dané rovnice. Číslo $n$ se zvolí podle stupně $r(x)$ vzhledem k $x$.

\[y_p = e^{\alpha x}(A_nx^n + A_{n-1}x^{n-1} + \cdots + A_1x + A_0)(K\cos{\omega x} + M \sin{\omega x}).\]

$\blacksquare$

Pokud daný vstup $r(x)$ obsahuje více různých hodnot $\alpha_i$ a $\omega_j$, je potřeba zvolit $y_p$ tak, aby pro každou kombinaci $\alpha_i$, $\omega_j$ zahrnovalo všechny možné členy tvaru $x^{k}e^{\alpha_i x}\cos(\omega_j x)$ a $x^{k}e^{\alpha_i x}\sin(\omega_j x)$, bez výjimek.
Výhodou metody neurčených koeficientů je její jednoduchost; pokud se ansatz příliš zkomplikuje a tato výhoda se vytrácí, může být lepší použít (později probíranou) metodu variace parametrů.

Rozšíření metody neurčených koeficientů: Eulerova–Cauchyho rovnice

Metodu neurčených koeficientů lze použít nejen pro homogenní lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty, ale také pro Eulerovu–Cauchyho rovnici

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:euler_cauchy}\tag{5}\]

Substituce proměnné

Pokud provedeme substituci $x = e^t$ a převedeme na homogenní lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty,

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

a jak jsme si již ukázali, Eulerova–Cauchyho rovnice se dá přepsat na lineární ODR s konstantními koeficienty v proměnné $t$:

\[y^{\prime\prime} + (a-1)y^{\prime} + by = r(e^t). \label{eqn:substituted}\tag{6}\]

Nyní stačí na rovnici ($\ref{eqn:substituted}$) aplikovat stejným způsobem dříve probíranou metodu neurčených koeficientů, vyřešit ji pro $t$ a nakonec s využitím $t = \ln x$ získat řešení v proměnné $x$.

Případ, kdy je $r(x)$ mocnina $x$, přirozený logaritmus nebo součet/součin takových funkcí

Zejména pokud je vstup $r(x)$ tvořen mocninami $x$, přirozeným logaritmem nebo součty a součiny takových funkcí, lze podle následujících výběrových pravidel (pro Eulerovu–Cauchyho rovnici) přímo zvolit vhodné $y_p$.

Výběrová pravidla pro metodu neurčených koeficientů: Eulerova–Cauchyho rovnice
(a) základní pravidlo (basic rule): Pokud je v rovnici ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) $r(x)$ jednou z funkcí v prvním sloupci tabulky, zvolíme $y_p$ ze stejného řádku a neznámé koeficienty určíme dosazením $y_p$ a jeho derivací do ($\ref{eqn:euler_cauchy}$).
(b) modifikační pravidlo (modification rule): Pokud zvolený člen $y_p$ je řešením odpovídající homogenní rovnice $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$, vynásobíme tento člen $\ln{x}$ (nebo $(\ln{x})^2$, pokud odpovídá dvojnásobnému kořeni charakteristické rovnice homogenní ODR).
(c) pravidlo součtu (sum rule): Je-li $r(x)$ součtem funkcí z prvního sloupce tabulky, zvolíme $y_p$ jako součet odpovídajících funkcí z druhého sloupce.

člen v $r(x)$	volba pro $y_p(x)$
$kx^m\ (m=0,1,\cdots)$	$Ax^m$
$kx^m \ln{x}\ (m=0,1,\cdots)$	$x^m(B\ln x + C)$
$k(\ln{x})^s\ (s=0,1,\cdots)$	$D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s$
$kx^m (\ln{x})^s$ $(m=0,1,\cdots ;\; s=0,1,\cdots)$	$x^m \left( D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s \right)$

Tímto způsobem lze pro prakticky důležité tvary vstupu $r(x)$ najít stejné $y_p$ jako při použití substituce proměnné, ale rychleji a pohodlněji. Tato pravidla pro Eulerovu–Cauchyho rovnici lze odvodit tak, že v původních výběrových pravidlech nahradíme $x$ výrazem $\ln{x}$.