Nehomogenní lineární ODR druhého řádu (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)

TL;DR

• Obecné řešení nehomogenní lineární ODR 2. řádu $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: obecné řešení homogenní ODR $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, tj. $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: partikulární řešení dané nehomogenní ODR
• Složka odezvy $y_p$ je určena pouze vstupem $r(x)$; pro tutéž nehomogenní ODR se $y_p$ nemění ani při změně počátečních podmínek. Rozdíl dvou partikulárních řešení téže nehomogenní ODR je řešením odpovídající homogenní ODR.
• Existence obecného řešení: jsou-li koeficienty $p(x)$, $q(x)$ a vstupní funkce $r(x)$ spojité, pak obecné řešení vždy existuje
• Neexistence singulárního řešení: obecné řešení obsahuje všechna řešení rovnice (tj. singulární řešení neexistuje)

Předpoklady

• Homogenní lineární ODR druhého řádu (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• Wronskián, existence a jednoznačnost řešení

Obecné a partikulární řešení nehomogenní lineární ODR 2. řádu

Uvažujme nehomogenní lineární ODR druhého řádu

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

kde $r(x) \not\equiv 0$. Na otevřeném intervalu $I$ má obecné řešení rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) tvar součtu obecného řešení odpovídající homogenní rovnice

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

tj. $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$, a partikulárního řešení $y_p$ rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$):

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

Dále, partikulární řešení rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) na intervalu $I$ je řešení získané z ($\ref{eqn:general_sol}$) dosazením konkrétních hodnot za libovolné konstanty $c_1$ a $c_2$ v $y_h$.

Jinými slovy: pokud k homogenní ODR ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) přidáme vstup $r(x)$ závislý pouze na nezávislé proměnné $x$, pak se v odezvě objeví odpovídající člen $y_p$. Tento přidaný člen odezvy $y_p$ je, nezávisle na počátečních podmínkách, určen výhradně vstupem $r(x)$. Jak uvidíme dále, vezmeme-li rozdíl dvou libovolných řešení $y_1$ a $y_2$ rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) (tj. rozdíl dvou partikulárních řešení pro dvě různé počáteční podmínky), pak se část $y_p$ nezávislá na počátečních podmínkách vyruší a zůstane pouze rozdíl ${y_h}_1$ a ${y_h}_2$. Ten je podle principu superpozice řešením rovnice ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).

Vztah mezi řešeními nehomogenní ODR a řešeními odpovídající homogenní ODR

Věta 1: vztah mezi řešeními nehomogenní ODR ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) a homogenní ODR ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)
(a) Na libovolném otevřeném intervalu $I$ je součet řešení $y$ nehomogenní ODR ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) a řešení $\tilde{y}$ homogenní ODR ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) opět řešením rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) na $I$. Zejména výraz ($\ref{eqn:general_sol}$) je řešením rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) na $I$.
(b) Rozdíl dvou řešení nehomogenní ODR ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) na $I$ je řešením homogenní ODR ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) na $I$.

Důkaz

(a)

Levé strany rovnic ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) a ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) označme $L[y]$. Potom pro libovolné řešení $y$ rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) a libovolné řešení $\tilde{y}$ rovnice ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) na intervalu $I$ platí:

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

Pro libovolná dvě řešení $y$ a $y^*$ rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) na intervalu $I$ platí:

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

Obecné řešení nehomogenní ODR obsahuje všechna řešení

Pro homogenní ODR ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) již víme, že obecné řešení obsahuje všechna řešení. Ukažme, že totéž platí i pro nehomogenní ODR ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$).

Věta 2: obecné řešení nehomogenní ODR obsahuje všechna řešení
Jestliže jsou koeficienty $p(x)$, $q(x)$ a vstupní funkce $r(x)$ rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) spojité na nějakém otevřeném intervalu $I$, pak lze každé řešení rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) na $I$ získat z obecného řešení ($\ref{eqn:general_sol}$) vhodnou volbou hodnot konstant $c_1$ a $c_2$ v části $y_h$.

Důkaz

Nechť $y^*$ je nějaké řešení rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) na $I$ a nechť $x_0$ je nějaký bod z intervalu $I$. Podle věty o existenci obecného řešení homogenní ODR se spojitými proměnnými koeficienty existuje $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$; a protože (jak uvidíme později) existuje také $y_p$ díky metodě variace parametrů (method of variation of parameters), existuje na intervalu $I$ i obecné řešení ($\ref{eqn:general_sol}$) rovnice ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$). Nyní podle právě dokázané věty 1(b) je $Y = y^* - y_p$ řešením homogenní ODR ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) na $I$ a v bodě $x_0$ platí

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

Podle věty o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy existuje na intervalu $I$ právě jedno řešení $Y$ homogenní ODR ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), které lze získat z $y_h$ vhodnou volbou konstant $c_1$, $c_2$ tak, aby splňovalo výše uvedené počáteční podmínky. Protože $y^* = Y + y_p$, ukázali jsme, že libovolné partikulární řešení $y^*$ nehomogenní ODR ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) lze získat z obecného řešení ($\ref{eqn:general_sol}$). $\blacksquare$