Jaderné reakce a vazebná energie
Seznámíme se se zápisem jaderných reakcí a definicí Q-hodnoty (Q-value), pojmy hmotnostní defekt (mass defect) a vazebná energie (binding energy).
Jaderná reakce (Nuclear Reaction)
Základní zákony v jaderných reakcích
Jaderná reakce (nuclear reaction): reakce, při níž se srazí dvě různá atomová jádra nebo atomové jádro s nukleonem a vzniknou dva či více nových jaderných částic a/nebo gama záření
Předpokládejme, že dvě atomová jádra $a$, $b$ zareagují a jako produkty vzniknou atomová jádra nebo gama záření $c$, $d$. Tuto reakci vyjádříme následovně:
\[a + b \rightarrow c + d \tag{1} \label{nuclear_reaction}\]V jaderných reakcích platí následující čtyři základní zákony:
- Zákon zachování nukleonového čísla (conservation of nucleon): celkový počet nukleonů je před i po reakci stejný. Druh nukleonů se může měnit, takže počet protonů a neutronů se nezachovává každý zvlášť.
- Zákon zachování elektrického náboje (conservation of charge): celkový elektrický náboj částic je před i po reakci stejný.
- Zákon zachování hybnosti (conservation of momentum): celková hybnost částic je před i po reakci stejná.
- Zákon zachování energie (conservation of energy): celková energie včetně energie klidové hmotnosti je před i po reakci stejná.
Exotermická reakce (exothermic reaction) & endotermická reakce (endothermic reaction)
V jaderné reakci ve tvaru ($\ref{nuclear_reaction}$) je celková energie před reakcí součtem klidových hmotnostních energií a kinetických energií $a$ a $b$ a celková energie po reakci je součtem klidových hmotnostních energií a kinetických energií $c$ a $d$. Proto ze zákona zachování energie plyne:
\[E_a + E_b + M_a c^2 + M_b c^2 = E_c + E_d + M_c c^2 + M_d c^2.\]Po úpravě dostaneme:
\[(E_c + E_d) - (E_a + E_b) = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]c^2.\]Tedy rozdíl kinetických energií před a po jaderné reakci je roven rozdílu klidových hmotností před a po reakci. Pravá strana posledního vztahu se nazývá Q-hodnota (Q-value) jaderné reakce a definuje se takto:
\[Q = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]c^2 \ \text{MeV}.\tag{2} \label{Q_value}\]Q-hodnota se vždy uvádí v jednotkách MeV; protože klidová hmotnostní energie odpovídající 1 amu je obvykle 931 MeV, lze Q-hodnotu zapsat také:
\[Q = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]\cdot 931 \ \text{MeV}.\tag{3}\]- Exotermická reakce (exothermic reaction): jaderná reakce s $Q>0$; část hmotnosti se přemění na kinetickou energii, takže kinetická energie po reakci vzroste.
- Endotermická reakce (endothermic reaction): jaderná reakce s $Q<0$; část kinetické energie se přemění na hmotnost, takže kinetická energie po reakci klesne.
| Typ jaderné reakce | Q-hodnota | Změna hmotnosti před/po | Změna kinetické energie před/po |
|---|---|---|---|
| exotermická | $Q>0$ | $\Delta m<0$ (pokles) | $\Delta E>0$ (nárůst) |
| endotermická | $Q<0$ | $\Delta m>0$ (nárůst) | $\Delta E<0$ (pokles) |
Zjednodušený zápis jaderné reakce
Jadernou reakci ve tvaru ($\ref{nuclear_reaction}$) lze zjednodušeně zapsat:
\[a(b, c)d\]což znamená jadernou reakci, v níž do $a$ dopadá $b$, je vyzářeno $c$ a $a$ se přemění na $d$.
ex)
- $^{16} \text{O}(n,p)^{16}\text{N}$
- $^{14} \text{N}(n,p)^{14}\text{C}$
- $^{3} \text{H}(d,n)^{4}\text{He}$
- $p(n,\gamma)d$
Vazebná energie (Binding Energy)
Hmotnostní defekt (Mass Defect)
Hmotnost každého jádra je o něco menší než součet hmotností neutronů a protonů, které ho tvoří. Tento rozdíl se nazývá hmotnostní defekt (mass defect).
Označíme-li hmotnost jádra jako $M_A$, pak hmotnostní defekt $\Delta$ libovolného jádra lze spočítat:
\[\Delta = ZM_p + NM_n - M_A.\]Vyjádříme-li hmotnostní defekt $\Delta$ v jednotkách energie, získáme energii potřebnou k rozštěpení daného jádra na jeho nukleony. V tom smyslu, že jde o energii „držíci“ nukleony pohromadě, se tato energie nazývá vazebná energie (bindig energy). Naopak, vzniká-li atomové jádro z $A$ nukleonů, energetická hladina se o vazebnou energii $\Delta$ sníží, a v průběhu jaderné reakce se odpovídající energie vyzáří do okolí.
Průměrná vazebná energie na nukleon
Celková vazebná energie jádra s rostoucím hmotnostním číslem $A$ roste, avšak její sklon není konstantní.
Průměrná vazebná energie na nukleon $\Delta/A$ u malých hmotnostních čísel prudce roste, avšak u těžkých jader s $A\geq56$ podle obrázku klesá pozvolným sklonem.
Vztah mezi Q-hodnotou reakce a vazebnou energií
V jaderné reakci ($\ref{nuclear_reaction}$) je vazebná energie jádra $a$
\[\text{BE}(a) = Z_a M_p + N_a M_n - M_a\]a hmotnost $a$ je
\[M_a = Z_a M_p + N_a M_n - \text{BE}(a)\]Stejným způsobem pro jádra $b$, $c$, $d$ platí:
\[\begin{align*} M_b &= Z_b M_p + N_b M_n - \text{BE}(b) \\ M_c &= Z_c M_p + N_c M_n - \text{BE}(c) \\ M_d &= Z_d M_p + N_d M_n - \text{BE}(d) \\ \end{align*}\]Dále uvažujme, že
\[\begin{align*} Z_a + Z_b &= Z_c + Z_d\, , \\ N_a + N_b &= N_c + N_d \end{align*}\]a po dosazení výše uvedených vztahů do ($\ref{Q_value}$) dostaneme:
\[Q = [\text{BE}(c) + \text{BE}(d)] - [\text{BE}(a) + \text{BE}(b)]\]To znamená, že když se v důsledku jaderné reakce spojí dvě méně stabilní jádra a vznikne stabilnější jádro, vždy se uvolní energie.
Jaderná fúze (Nuclear Fusion) a jaderné štěpení (Nuclear Fission)
U jaderné reakce, v níž se deuterium s vazebnou energií $2.23\text{MeV}$ a tritium s vazebnou energií $8.48\text{MeV}$ spojí za vzniku $^4\text{He}$ s vazebnou energií $28.3\text{MeV}$ a uvolní se jeden neutron:
\[^2\text{H} + {^3\text{H}} \rightarrow {^4\text{He}} + n \tag{4} \label{nuclear_fusion}\]se energie odpovídající rozdílu vazebných energií $28.3-(2.23+8.48)=17.6\text{MeV}$ (tj. $3.52\text{MeV}$ na nukleon) uvolní ve formě kinetické energie jádra helia a neutronu.
Reakce, při níž se jako ve ($\ref{nuclear_fusion}$) spojí dvě lehká jádra s malým hmotnostním číslem a vytvoří těžší jádro s větším hmotnostním číslem než před reakcí, se nazývá jaderná fúze (nuclear fusion). Jde o zdroj energie Slunce i všech hvězd a jednou přijde den, kdy ji lidstvo bude schopno využívat přímo jako zdroj výkonu.
Na druhé straně, u jaderné reakce, v níž $^{235}\text{U}$ s vazebnou energií přibližně $1780\text{MeV}$ po pohlcení neutronu přejde na $^{92}\text{Kr}$ s vazebnou energií $783\text{MeV}$ a $^{141}\text{Ba}$ s vazebnou energií přibližně $1170\text{MeV}$ a uvolní tři neutrony:
\[{^{235}\text{U}} + n \rightarrow {^{92}\text{Kr}} + {^{141}\text{Ba}} + 3n \tag{5} \label{nuclear_fission}\]se uvolní energie odpovídající rozdílu vazebných energií $783+1170-1780=173\text{MeV}$ (tj. $0.733\text{MeV}$ na nukleon).
Reakce, při níž se jako ve ($\ref{nuclear_fission}$) těžké jádro rozdělí na lehčí jádra, se nazývá jaderné štěpení (nuclear fission) a od projevu 34. prezidenta USA Dwighta D. Eisenhowera „Mírové využití atomu (Atoms for Peace)“ a od sovětské jaderné elektrárny Obninsk se široce využívá jako zdroj elektrické energie.
Magická čísla
Pokud je počet neutronů nebo počet protonů v jádře roven 2, 6, 8, 14, 20, 28, 50, 82 nebo 126, má takové jádro tendenci být obzvlášť stabilní. Taková nukleonová čísla se nazývají magická čísla (magic number). Odpovídají počtu neutronů a protonů potřebných k zaplnění nukleonových slupek v jádře a jsou analogická zaplňování elektronových slupek mimo jádro.
Nuklidy odpovídající magickým číslům se v jaderném inženýrství někdy prakticky využívají. Typickým příkladem je zirkonium-90 s 50 neutrony ($^{90}_{40} \mathrm{Zr}$), které je stabilní a má vlastnost málo pohlcovat neutrony, takže se široce používá například jako materiál pokrytí (cladding) palivových proutků v aktivní zóně reaktoru.