Posloupnosti a řady

Posloupnosti

Posloupnost (sequence), se kterou se v kalkulu pracuje, obvykle znamená nekonečnou posloupnost. Jinými slovy, posloupnost je funkce definovaná na množině všech přirozených čísel (natural number)

\[\mathbb{N} := \{1,2,3,\dots\}\]

.* Pokud jsou hodnoty této funkce reálná čísla (real number), mluvíme o „reálné posloupnosti“, pokud jsou to komplexní čísla (complex number), o „komplexní posloupnosti“, pokud jsou to body (point), o „posloupnosti bodů“, pokud jsou to matice (matrix), o „posloupnosti matic“, pokud jsou to funkce (function), o „posloupnosti funkcí“, pokud jsou to množiny (set), o „posloupnosti množin“ atd. Všechna tato označení však lze zjednodušeně shrnout jako „posloupnost“.

Obvykle pro těleso reálných čísel (the field of real numbers) $\mathbb{R}$, u posloupnosti $\mathbf{a}: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ klademe

\[a_1 := \mathbf{a}(1), \quad a_2 := \mathbf{a}(2), \quad a_3 := \mathbf{a}(3)\]

apod. a tuto posloupnost zapisujeme jako

\[a_1,\, a_2,\, a_3,\, \dots\]

nebo

\[\begin{gather*} (a_1,a_2,a_3,\dots), \\ (a_n: n=1,2,3,\dots), \\ (a_n)_{n=1}^{\infty}, \qquad (a_n) \end{gather*}\]

atd.

*Při definování posloupnosti lze místo oboru přirozených čísel $\mathbb{N}$ vzít množinu celých čísel nezáporných

\[\mathbb{N}_0 := \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\]

nebo

\[\{2,3,4,\dots \}\]

apod. Například při studiu teorie mocninných řad je přirozenější, když je oborem definice $\mathbb{N}_0$.

Konvergence a divergence

Jestliže posloupnost $(a_n)$ konverguje k reálnému číslu $l$, píšeme

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l\]

a číslo $l$ se nazývá limita posloupnosti $(a_n)$.

Přísná definice pomocí epsilon-delta argumentu (epsilon-delta argument) je následující.

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l \overset{def}\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon)\]

Tj. pro libovolně malé kladné $\epsilon$ vždy existuje přirozené číslo $N$ takové, že pro $n>N$ platí $|a_n - l | < \epsilon$. To znamená, že pro dostatečně velká $n$ se rozdíl mezi $a_n$ a $l$ stává libovolně malým; posloupnost $(a_n)$ pak podle definice konverguje k reálnému číslu $l$.

Posloupnost, která nekonverguje, se nazývá divergentní. Konvergence či divergence posloupnosti se nezmění, i když změníme konečný počet jejích členů.

Pokud jednotlivé členy posloupnosti $(a_n)$ rostou bez omezení, píšeme

\[\lim_{n\to \infty} a_n = \infty\]

a říkáme, že diverguje k plus nekonečnu. Podobně, pokud členy posloupnosti $(a_n)$ klesají bez omezení, píšeme

\[\lim_{n\to \infty} a_n = -\infty\]

a říkáme, že diverguje k minus nekonečnu.

Základní vlastnosti konvergentních posloupností

Jestliže posloupnosti $(a_n)$ a $(b_n)$ obě konvergují (tj. mají limitu), potom posloupnosti $(a_n + b_n)$ a $(a_n \cdot b_n)$ také konvergují a platí

\[\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to \infty} a_n + \lim_{n\to \infty} b_n \label{eqn:props_of_conv_series_1}\tag{1}\] \[\lim_{n\to \infty} (a_n \cdot b_n) = \left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty} b_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_2}\tag{2}\]

Dále pro libovolné reálné číslo $t$ platí

\[\lim_{n\to \infty} (t a_n) = t\left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_3}\tag{3}\]

Tyto vlastnosti se nazývají základní vlastnosti konvergentních posloupností nebo také základní vlastnosti limity.

Základ přirozeného logaritmu $e$

Základ přirozeného logaritmu je definován jako

\[e := \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \approx 2.718\]

Jde o jednu z nejdůležitějších konstant v matematice.

Zvláštností je, že prakticky jen v Koreji se poměrně často používá výraz „přirozená konstanta“, avšak nejde o standardní termín. Korejská matematická společnost uvádí v oficiálním slovníku jako termín ‘základ přirozeného logaritmu’ a výraz „přirozená konstanta“ se v něm vůbec nevyskytuje. Dokonce ani ve standardním slovníku Národního institutu korejského jazyka nelze heslo „přirozená konstanta“ najít; ve slovníkovém výkladu k „přirozenému logaritmu“ se pouze uvádí „určité číslo, které se často značí e“.
Ani v anglicky mluvících zemích a v Japonsku pro to neexistuje přímý odpovídající termín; v angličtině se obvykle používá „the base of the natural logarithm“, zkráceně „natural base“, případně „Euler’s number“ nebo „the number $e$“.
Jelikož původ je nejasný, Korejská matematická společnost to nikdy neuznala jako oficiální termín a mimo Koreu se to prakticky nikde nepoužívá, není žádný důvod na takovém názvu trvat. Proto zde dál budu používat označení „základ přirozeného logaritmu“, případně prostě $e$.

Řady

Pro posloupnost

\[\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \dots)\]

nazveme řadou posloupnosti $\mathbf{a}$ jinou posloupnost tvořenou jejími částečnými součty

\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]

Řadu posloupnosti $(a_n)$ zapisujeme například jako

\[\begin{gather*} a_1 + a_2 + a_3 + \cdots, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \\ \sum_{n\geq 1} a_n, \qquad \sum_n a_n, \qquad \sum a_n \end{gather*}\]

atd.

Konvergence a divergence řad

Řada získaná z posloupnosti $(a_n)$,

\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]

konverguje k nějakému reálnému číslu $l$, jestliže

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = l\]

V tomto případě se limita $l$ nazývá součet řady $\sum a_n$. Symbol

\[\sum a_n\]

může podle kontextu označovat buď řadu, nebo její součet.

Řada, která nekonverguje, se nazývá divergentní.

Základní vlastnosti konvergentních řad

Ze základních vlastností konvergentních posloupností plyne následující: pro reálné číslo $t$ a dvě konvergentní řady $\sum a_n$, $\sum b_n$ platí

\[\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n, \qquad \sum ta_n = t\sum a_n \tag{4}\]

Konvergence řady není ovlivněna změnou konečného počtu členů. Tj. pro dvě posloupnosti $(a_n)$, $(b_n)$: pokud pro všechna $n$ až na konečně mnoho výjimek platí $a_n=b_n$, pak řada $\sum a_n$ konverguje právě tehdy, když konverguje řada $\sum b_n$.