Testování konvergence/divergence řady (Testing for Convergence or Divergence of a Series)

TL;DR

• Test n-tého členu (test divergence; $n$th-term test for divergence): $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{řada }\sum a_n \text{ diverguje}$
• Konvergence/divergence geometrické řady: geometrická řada $\sum ar^{n-1}$:
  • konverguje, pokud $|r| < 1$
  • diverguje, pokud $|r| \geq 1$
• Konvergence/divergence $p$-řady: $p$-řada $\sum \cfrac{1}{n^p}$:
  • konverguje, pokud $p>1$
  • diverguje, pokud $p\leq 1$
• Srovnávací test (Comparison Test): když $0 \leq a_n \leq b_n$, pak
  • $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
  • $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
• Limitní srovnávací test (Limit Comparison Test): pokud $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ je konečné kladné číslo)}$, pak obě řady $\sum a_n$ a $\sum b_n$ buď obě konvergují, nebo obě divergují
• Pro řadu s kladnými členy $\sum a_n$ a kladné $\epsilon < 1$ platí:
  • jestliže pro všechna $n$ platí $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$, pak řada $\sum a_n$ konverguje
  • jestliže pro všechna $n$ platí $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$, pak řada $\sum a_n$ diverguje
• Odmocninový test (Root Test): je-li u řady s kladnými členy $\sum a_n$ definována limita $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$, pak:
  • pokud $r<1$, řada $\sum a_n$ konverguje
  • pokud $r>1$, řada $\sum a_n$ diverguje
• Podílový test (Ratio Test): pro kladnou posloupnost $(a_n)$ a $0 < r < 1$:
  • jestliže pro všechna $n$ platí $a_{n+1}/a_n \leq r$, pak řada $\sum a_n$ konverguje
  • jestliže pro všechna $n$ platí $a_{n+1}/a_n \geq 1$, pak řada $\sum a_n$ diverguje
• Existuje-li u kladné posloupnosti $(a_n)$ limita $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$, pak:
  • pokud $\rho < 1$, řada $\sum a_n$ konverguje
  • pokud $\rho > 1$, řada $\sum a_n$ diverguje
• Integrální test (Integral Test): je-li spojitá funkce $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ klesající a pro všechna $x$ platí $f(x)>0$, pak řada $\sum f(n)$ konverguje právě tehdy, když konverguje integrál $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$
• Test střídavé řady (Alternating Series Test): střídavá řada $\sum a_n$ konverguje, pokud platí:
  1. pro všechna $n$ mají $a_n$ a $a_{n+1}$ opačné znaménko
  2. pro všechna $n$ platí $|a_n| \geq |a_{n+1}|$
  3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
• Absolutně konvergentní řada je konvergentní. Obráceně to neplatí.

Prerequisites

• Posloupnosti a řady

Úvod

V článku Posloupnosti a řady jsme si definovali konvergenci a divergenci řad. V tomto textu shrnu různé metody, které lze použít při testování konvergence/divergence řady. Obecně je testování konvergence/divergence řady mnohem snazší než přesné určení jejího součtu.

Test n-tého členu

Pro řadu $\sum a_n$ nazýváme $a_n$ jejím obecným členem.

Následující věta umožňuje snadno zjistit, že některé řady zjevně divergují; proto je rozumné při testování konvergence/divergence řady nejprve ověřit právě tuto podmínku, aby se předešlo zbytečné ztrátě času.

Test n-tého členu (test divergence; $n$th-term test for divergence)
Jestliže řada $\sum a_n$ konverguje, pak

\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]

Tedy:

\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{řada }\sum a_n \text{ diverguje}\]

.

Důkaz

Označme součet konvergentní řady $\sum a_n$ jako $l$ a její $n$-tý částečný součet jako

\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

Pak platí

\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]

Proto pro dostatečně velké ($>N$) $n$:

\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]

a tedy z definice konvergence posloupnosti:

\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]

Poznámka

Obrácení této věty obecně neplatí. Typickým příkladem je harmonická řada (harmonic series).

Harmonická řada je řada získaná z posloupnosti, jejíž členy jsou převrácené hodnoty členů aritmetické posloupnosti (tj. z harmonické posloupnosti). Klasickým příkladem je:

\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]

Tato řada diverguje, což lze ukázat následovně:

\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]

I když tedy řada $H_n$ diverguje, její obecný člen $1/n$ zjevně konverguje k nule.

Jestliže $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$, pak řada $\sum a_n$ nutně diverguje. Avšak z $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ ještě neplyne, že řada $\sum a_n$ konverguje — v takovém případě je třeba použít jiné metody testování konvergence/divergence.

Geometrická řada

Geometrická řada (geometric series) získaná z geometrické posloupnosti s prvním členem 1 a kvocientem $r$:

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]

je nejdůležitější a nejzákladnější řada. Z identity

\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]

dostaneme

\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]

Dále platí

\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]

a proto je nutnou a postačující podmínkou konvergence geometrické řady ($\ref{eqn:geometric_series}$) nerovnost $|r| < 1$.

Konvergence/divergence geometrické řady
Geometrická řada $\sum ar^{n-1}$:

• konverguje, pokud $|r| < 1$
• diverguje, pokud $|r| \geq 1$

Odtud plyne

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]

Geometrická řada a aproximace

Identita ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$) je pro $|r| < 1$ užitečná k získání aproximace hodnoty $\cfrac{1}{1-r}$.

Dosadíme-li do ní $r=-\epsilon$, $n=2$, dostaneme

\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]

Tedy pro $0 < \epsilon < 1$ platí

\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]

a proto

\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]

Z toho plyne, že pro dostatečně malé kladné $\epsilon$ lze $\cfrac{1}{1 + \epsilon}$ aproximovat výrazem $1 - \epsilon$.

Test $p$-řady ($p$-Series Test)

Pro kladné reálné $p$ nazýváme řadu tvaru

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]

$p$-řadou.

Konvergence/divergence $p$-řady
$p$-řada $\sum \cfrac{1}{n^p}$:

• konverguje, pokud $p>1$
• diverguje, pokud $p\leq 1$

Pro $p=1$ dostaneme harmonickou řadu, u níž jsme výše ukázali divergenci.
Pro $p=2$ se problém určení hodnoty $p$-řady $\sum \cfrac{1}{n^2}$ nazývá „bazilejský (Basel) problém“ podle místa spojeného s rodinou Bernoulliů, která dala světu několik slavných matematiků a která jako první prokázala konvergenci této řady. Je známo, že odpověď je $\cfrac{\pi^2}{6}$.

Obecněji se pro $p$-řadu s $p>1$ používá označení zeta funkce (zeta function). Jde o speciální funkci zavedenou Leonhardem Eulerem (Leonhard Euler) v roce 11740 holocenního kalendáře a později pojmenovanou Riemannem; definuje se jako

\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]

To už s tématem tohoto článku příliš nesouvisí a upřímně: jsem spíš „inženýrský typ“ než matematik, takže se tomu zde věnovat nebudu. Euler však ukázal, že zeta funkci lze vyjádřit také jako nekonečný součin přes prvočísla (prime number) — tzv. Eulerův součin (Euler Product) — a zeta funkce pak zaujímá klíčové místo v řadě oblastí analytické teorie čísel. Patří sem i Riemannova zeta funkce (Riemann zeta function), tj. rozšíření definičního oboru na komplexní čísla, a s ní související slavný nevyřešený problém Riemannova hypotéza (Riemann hypothesis).

Zpět k původnímu tématu: k důkazu testu $p$-řady budeme potřebovat níže uvedený srovnávací test a integrální test. Konvergenci/divergenci $p$-řady jsem však záměrně zařadil dopředu, protože se společně s geometrickou řadou hodí hned v srovnávacím testu, který následuje.

Důkaz

i) Pro $p>1$

Protože integrál

\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]

konverguje, plyne z integrálního testu, že konverguje i řada $\sum \cfrac{1}{n^p}$.

ii) Pro $p\leq 1$

V tomto případě platí

\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]

Protože víme, že harmonická řada $\sum \cfrac{1}{n}$ diverguje, dostaneme ze srovnávacího testu, že $\sum \cfrac{1}{n^p}$ také diverguje.

Závěr

Z i) a ii) plyne: $p$-řada $\sum \cfrac{1}{n^p}$ konverguje pro $p>1$ a diverguje pro $p \leq 1$. $\blacksquare$

Srovnávací test

Při testování konvergence/divergence řad s nezápornými reálnými členy, tj. řad s kladnými členy (series of positive terms), je užitečný srovnávací test (Comparison Test) Jakoba Bernoulliho (Jakob Bernoulli).

Řada s kladnými členy $\sum a_n$ má rostoucí částečné součty, takže pokud nediverguje do nekonečna ($\sum a_n = \infty$), musí konvergovat. Proto výraz typu

\[\sum a_n < \infty\]

znamená konverguje.

Srovnávací test (Comparison Test)
Když $0 \leq a_n \leq b_n$, pak:

• $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
• $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$

Zejména u řad s kladnými členy jako $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$ apod., které mají podobný tvar jako geometrická řada $\sum ar^{n-1}$ či $p$-řada $\sum \cfrac{1}{n^p}$, je vhodné srovnávací test aktivně vyzkoušet.

Všechny další testy konvergence/divergence uvedené níže lze odvodit právě ze srovnávacího testu; v tomto smyslu jej lze považovat za nejdůležitější.

Limitní srovnávací test

Pro dvě řady s kladnými členy $\sum a_n$ a $\sum b_n$ předpokládejme, že v podílu obecných členů $a_n/b_n$ se dominantní členy v čitateli a jmenovateli vyruší a že platí $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{ je konečné kladné číslo)}$. Známe-li konvergenci/divergenci řady $\sum b_n$, můžeme použít následující limitní srovnávací test (Limit Comparison Test).

Limitní srovnávací test (Limit Comparison Test)
Jestliže

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ je konečné kladné číslo)}\]

pak řady $\sum a_n$ a $\sum b_n$ buď obě konvergují, nebo obě divergují. Tj. $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$.

Odmocninový test

Věta
Pro řadu s kladnými členy $\sum a_n$ a kladné $\epsilon < 1$ platí:

• jestliže pro všechna $n$ platí $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$, pak řada $\sum a_n$ konverguje
• jestliže pro všechna $n$ platí $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$, pak řada $\sum a_n$ diverguje

Důsledek: odmocninový test (Root Test)
Nechť u řady s kladnými členy $\sum a_n$ existuje limita

\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]

Pak:

• pokud $r<1$, řada $\sum a_n$ konverguje
• pokud $r>1$, řada $\sum a_n$ diverguje

Pokud je v uvedeném důsledku $r=1$, nelze rozhodnout o konvergenci/divergenci, a je třeba použít jiné metody.

Podílový test

Podílový test (Ratio Test)
Pro kladnou posloupnost $(a_n)$ a $0 < r < 1$:

• jestliže pro všechna $n$ platí $a_{n+1}/a_n \leq r$, pak řada $\sum a_n$ konverguje
• jestliže pro všechna $n$ platí $a_{n+1}/a_n \geq 1$, pak řada $\sum a_n$ diverguje

Důsledek
Nechť u kladné posloupnosti $(a_n)$ existuje limita $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$. Pak:

• pokud $\rho < 1$, řada $\sum a_n$ konverguje
• pokud $\rho > 1$, řada $\sum a_n$ diverguje

Integrální test

Pomocí integrálu lze testovat konvergenci/divergenci řad složených z klesající kladné posloupnosti.

Integrální test (Integral Test)
Nechť je spojitá funkce $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ klesající a pro všechna $x$ platí $f(x)>0$. Pak řada $\sum f(n)$ konverguje právě tehdy, když konverguje integrál

\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]

.

Důkaz

Protože $f(x)$ je spojitá, klesající a všude kladná, platí nerovnost

\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]

Sečteme-li tyto nerovnosti pro $n=1$ až po obecné $n$, dostaneme

\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]

Aplikací srovnávacího testu získáme požadovaný výsledek. $\blacksquare$

Střídavé řady

Řadu $\sum a_n$, v níž je obecný člen nenulový a znaménko každého členu $a_n$ je opačné než znaménko následujícího členu $a_{n+1}$ (tj. kladné a záporné členy se střídají), nazýváme střídavou řadou (alternating series).

Pro střídavé řady lze pro testování konvergence/divergence užitečně využít následující větu, kterou objevil německý matematik Gottfried Wilhelm Leibniz (Gottfried Wilhelm Leibniz).

Test střídavé řady (Alternating Series Test)
Jestliže:

1. pro všechna $n$ mají $a_n$ a $a_{n+1}$ opačné znaménko,
2. pro všechna $n$ platí $|a_n| \geq |a_{n+1}|$,
3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,

pak střídavá řada $\sum a_n$ konverguje.

Absolutně konvergentní řady

Pro řadu $\sum a_n$ říkáme, že konverguje absolutně (converge absolutely), jestliže konverguje řada $\sum |a_n|$.

Pak platí následující věta.

Věta
Absolutně konvergentní řada je konvergentní.

Obrácení předchozí věty neplatí.
Pokud řada konverguje, ale není absolutně konvergentní, říkáme, že konverguje podmíněně (converge conditionally).

Důkaz

Pro reálné $a$ definujme

\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]

Pak platí

\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]

Protože $0 \leq a^\pm \leq |a|$, plyne ze srovnávacího testu, že pokud řada $\sum |a_n|$ konverguje, pak konvergují i řady $\sum a_n^+$ a $\sum a_n^-$. Následně ze základních vlastností konvergentních řad dostaneme

\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]

a tedy $\sum a_n$ konverguje. $\blacksquare$