Volná částice (The Free Particle)

TL;DR

• Volná částice: $V(x)=0$, bez okrajových podmínek (libovolná energie)
• Separované řešení $\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)}$ při kvadratické integraci diverguje do nekonečna, a tedy jej nelze normalizovat; to naznačuje:
  • volná částice nemůže existovat jako stacionární stav
  • volná částice nemůže mít energii přesně definovanou jedinou hodnotou (existuje energetická neurčitost)
• Přesto je obecné řešení časově závislé Schrödingerovy rovnice lineární kombinací separovaných řešení, takže separované řešení má stále významný matematický smysl. V tomto případě však neexistují omezující podmínky, takže obecné řešení není součtem ($\sum$) přes diskrétní proměnnou $n$, ale integrálem ($\int$) přes spojitou proměnnou $k$.
• Obecné řešení Schrödingerovy rovnice:

\[\begin{gather*} \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk, \\ \text{kde }\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \end{gather*}\]

• Vztah mezi neurčitostí polohy a neurčitostí hybnosti:
  • když se zmenšuje neurčitost polohy, roste neurčitost hybnosti; a naopak, když se zmenšuje neurčitost hybnosti, roste neurčitost polohy
  • tj. v kvantové mechanice není možné znát současně přesně polohu i hybnost volné částice
• Fázová a grupová rychlost vlnové funkce $\Psi(x,t)$:
  • fázová rychlost: $v_\text{phase} = \cfrac{\omega}{k} = \cfrac{\hbar k}{2m}$
  • grupová rychlost: $v_\text{group} = \cfrac{d\omega}{dk} = \cfrac{\hbar k}{m}$
• Fyzikální význam grupové rychlosti a srovnání s klasickou mechanikou:
  • fyzikálně grupová rychlost přímo odpovídá rychlosti pohybu dané částice
  • pokud předpokládáme, že $\phi(k)$ je velmi špičatá kolem nějaké hodnoty $k_0$ (tj. neurčitost hybnosti je dostatečně malá),

\[v_\text{group} = v_\text{classical} = \sqrt{\cfrac{2E}{m}}\]

Prerequisites

• Eulerův vzorec
• Fourierova transformace (Fourier transform) a Plancherelova věta (Plancherel’s theorem)
• Schrödingerova rovnice a vlnová funkce
• Časově nezávislá Schrödingerova rovnice
• Jednorozměrná nekonečná čtvercová jáma

Nastavení modelu

Podívejme se na nejjednodušší případ, volnou částici ($V(x)=0$). Klasicky je to pouze rovnoměrný přímočarý pohyb, ale v kvantové mechanice je tato úloha zajímavější.
Časově nezávislá Schrödingerova rovnice pro volnou částici má tvar

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi \tag{1}\]

tj.

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi \text{, kde }k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

To je stejné jako „uvnitř“ nekonečné čtvercové jámy s potenciálem $0$ až po tuto část. Jenže tentokrát zapíšeme obecné řešení v exponenciálním tvaru

\[\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}. \tag{3}\]

Zápisy $Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ a $C\cos{kx}+D\sin{kx}$ jsou ekvivalentní způsoby, jak popsat tutéž funkci proměnné $x$. Z Eulerova vzorce $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$ plyne

\[\begin{align*} Ae^{ikx}+Be^{-ikx} &= A[\cos{kx}+i\sin{kx}] + B[\cos{(-kx)}+i\sin{(-kx)}] \\ &= A(\cos{kx}+i\sin{kx}) + B(\cos{kx}-i\sin{kx}) \\ &= (A+B)\cos{kx} + i(A-B)\sin{kx}. \end{align*}\]

Tedy při volbě $C=A+B$, $D=i(A-B)$ dostaneme

\[Ae^{ikx} + Be^{-ikx} = C\cos{kx}+D\sin{kx}. \blacksquare\]

Naopak lze $A$ a $B$ vyjádřit pomocí $C$ a $D$ jako $A=\cfrac{C-iD}{2}$, $B=\cfrac{C+iD}{2}$.

V kvantové mechanice pro $V=0$ exponenciální funkce popisují postupující vlny, a při práci s volnou částicí jsou nejpohodlnější. Naopak funkce sinus a kosinus se snadno interpretují jako stojaté vlny a v případě nekonečné čtvercové jámy se objevují přirozeně.

Na rozdíl od nekonečné čtvercové jámy zde neexistují žádné okrajové podmínky, které by omezovaly $k$ a $E$. Volná částice tedy může mít libovolnou kladnou energii.

Separované řešení a fázová rychlost

Pokud k $\psi(x)$ připojíme časovou závislost $e^{-iEt/\hbar}$, dostaneme

\[\Psi(x,t) = Ae^{ik\left(x-\frac{\hbar k}{2m}t \right)} + Be^{-ik\left(x+\frac{\hbar k}{2m}t \right)} \label{eqn:Psi_seperated_solution}\tag{4}\]

Obecně platí, že libovolná funkce proměnných $x$ a $t$, která závisí na speciálním tvaru $(x\pm vt)$, popisuje vlnu, jejíž tvar se nemění a která se pohybuje rychlostí $v$ ve směru $\mp x$. Proto první člen v ($\ref{eqn:Psi_seperated_solution}$) popisuje vlnu postupující doprava a druhý člen vlnu se stejnou vlnovou délkou i rychlostí šíření, ale s jinou amplitudou, která postupuje doleva. Protože se liší pouze znaménkem před $k$, lze psát

\[\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)} \tag{5}\]

a směr šíření vlny podle znaménka $k$ je

\[k \equiv \pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\quad \begin{cases} k>0 \Rightarrow & \text{pohyb doprava}, \\ k<0 \Rightarrow & \text{pohyb doleva}. \end{cases} \tag{6}\]

„Stacionární stav“ volné částice je zjevně postupující vlnou*, s vlnovou délkou $\lambda = 2\pi/|k|$, a podle de Broglieho vztahu (de Broglie formula)

\[p = \frac{2\pi\hbar}{\lambda} = \hbar k \label{eqn:de_broglie_formula}\tag{7}\]

má hybnost $p$.

*Že je to „stacionární stav“, a přitom postupující vlna, je fyzikálně zjevný rozpor. Důvod uvidíme hned.

Rychlost této vlny je

\[v_{\text{phase}} = \left|\frac{\omega}{k}\right| = \frac{\hbar|k|}{2m} = \sqrt{\frac{E}{2m}}. \label{eqn:phase_velocity}\tag{8}\]

(kde $\omega$ je koeficient u $t$, tj. $\cfrac{\hbar k^2}{2m}$).

Tuto vlnovou funkci však nelze normalizovat, protože její kvadratický integrál diverguje do nekonečna:

\[\int_{-\infty}^{\infty}\Psi_k^*\Psi_k dx = |A|^2\int_{-\infty}^{\infty}dx = \infty. \tag{9}\]

Tedy v případě volné částice separované řešení nepředstavuje fyzikálně realizovatelný stav. Volná částice nemůže existovat jako stacionární stav ani nemůže mít nějakou konkrétní hodnotu energie. Ostatně i intuitivně: pokud nejsou na obou koncích žádné okrajové podmínky, je ještě divnější očekávat vznik stojaté vlny.

Nalezení obecného řešení časově závislé Schrödingerovy rovnice $\Psi(x,t)$

Přesto má toto separované řešení stále důležitý význam: nezávisle na fyzikální interpretaci má totiž matematický význam, že obecné řešení časově závislé Schrödingerovy rovnice je lineární kombinací separovaných řešení. Jelikož zde ale nejsou žádná omezení, má obecné řešení místo součtu ($\sum$) přes diskrétní proměnnou $n$ tvar integrálu ($\int$) přes spojitou proměnnou $k$.

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk. \label{eqn:Psi_general_solution}\tag{10}\]

Zde $\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\phi(k)dk$ hraje stejnou roli jako $c_n$ ve vzorci (21) v příspěvku „Časově nezávislá Schrödingerova rovnice“.

Tuto vlnovou funkci lze pro vhodné $\phi(k)$ normalizovat, ale nutně musí mít nenulový rozsah v $k$, a tedy i rozsah energií a rychlostí. Tomu se říká vlnový balík (wave packet).

Sinusová vlna je prostorově rozprostřená do nekonečna, a proto ji nelze normalizovat. Když ale takové vlny složíme (superponujeme) ve větším počtu, interference je zlokalizuje a výslednou funkci lze normalizovat.

Určení $\phi(k)$ pomocí Plancherelovy věty (Plancherel theorem)

Jelikož známe tvar $\Psi(x,t)$ (rovnice [$\ref{eqn:Psi_general_solution}$]), stačí už jen určit $\phi(k)$ tak, aby byla splněna počáteční podmínka

\[\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk \label{eqn:Psi_at_t_0}\tag{11}\]

To je typická úloha Fourierovy analýzy (Fourier analysis) a odpověď dává Plancherelova věta (Plancherel’s theorem):

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}dk \Longleftrightarrow F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx. \label{eqn:plancherel_theorem}\tag{12}\]

$F(k)$ se nazývá Fourierova transformace (Fourier transform) funkce $f(x)$ a $f(x)$ se nazývá inverzní Fourierova transformace (inverse Fourier transform) funkce $F(k)$. Z ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$) je snadno vidět, že se liší pouze znaménkem v exponentu. Samozřejmě existuje omezující podmínka, že jsou dovoleny jen funkce, pro které integrál existuje.

Nutná a postačující podmínka pro existenci $f(x)$ je, aby $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx$ bylo konečné. V tom případě je konečné i $\int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2dk$ a platí

\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2 dk\]

Podle některých autorů se „Plancherelovou větou“ nenazývá rovnice ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$), ale právě vztah výše (takto je to uvedeno i na Wikipedii).

V našem případě musí být $\Psi(x,0)$ z fyzikálních důvodů normalizovatelná, takže integrál určitě existuje. Kvantově-mechanické řešení pro volnou částici je tedy rovnice ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$), kde

\[\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \label{eqn:phi}\tag{13}\]

V praxi však téměř nikdy nelze analyticky vypočítat integrál v ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$). Obvykle se hodnoty získávají numericky na počítači.

Výpočet grupové rychlosti vlnového balíku a fyzikální interpretace

Vlnový balík je v podstatě superpozice velkého množství sinusových vln, jejichž amplitudy určuje $\phi$. Tj. uvnitř „obalu (envelope)“ vlnového balíku jsou „vlnky (ripples)“.

Oznámení o licenci obrázku a zdroji originálu

• zdrojový kód pro generování obrázku (Python3): yunseo-kim/physics-visualizations
• zdrojový kód pro generování obrázku (gnuplot): yunseo-kim/physics-visualizations
• licence: Mozilla Public License 2.0
• původní autor: Ph.D. Youjun Hu
• původní oznámení licence: MIT License

Fyzikálně rychlosti částice neodpovídá rychlost jednotlivých „vlnkových“ složek (tj. fázová rychlost, phase velocity) vypočtená dříve ve ($\ref{eqn:phase_velocity}$), ale rychlost vnějšího obalu, tj. grupová rychlost, group velocity.

Vztah mezi neurčitostí polohy a neurčitostí hybnosti

Podívejme se zvlášť jen na integrand $\int\phi(k)e^{ikx}dk$ ve ($\ref{eqn:Psi_at_t_0}$) a na integrand $\int\Psi(x,0)e^{-ikx}dx$ ve ($\ref{eqn:phi}$), abychom kvalitativně pochopili vztah mezi neurčitostí polohy a neurčitostí hybnosti.

Když je neurčitost polohy malá

Když je $\Psi$ v prostoru poloh rozložena v velmi úzké oblasti $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ kolem nějaké hodnoty $x_0$ a mimo tuto oblast je blízká nule (neurčitost polohy je malá), pak $e^{-ikx} \approx e^{-ikx_0}$ je vůči $x$ téměř konstantní, a proto

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,0)e^{-ikx}dx &\approx \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)e^{-ikx_0}dx \\ &= e^{-ikx_0}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \\ &= e^{-ipx_0/\hbar}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \quad (\because \text{eqn. }\ref{eqn:de_broglie_formula}) \end{align*}\tag{14}\]

Určitý integrál je vůči $p$ konstantní, takže díky členu $e^{-ipx_0/\hbar}$ nabývá $\phi$ v prostoru hybností tvaru sinusové vlny v proměnné $p$, tj. je rozprostřena přes široký interval hybností (neurčitost hybnosti je velká).

Když je neurčitost hybnosti malá

Analogicky, když je v prostoru hybností $\phi$ soustředěna do velmi úzké oblasti $[p_0-\delta, p_0+\delta]$ kolem nějaké hodnoty $p_0$ a mimo ni je blízká nule (neurčitost hybnosti je malá), pak z ($\ref{eqn:de_broglie_formula}$) plyne $e^{ikx}=e^{ipx/\hbar} \approx e^{ip_0x/\hbar}$ (tj. vůči $p$ je to téměř konstanta) a protože $dk=\frac{1}{\hbar}dp$, dostáváme

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk &= \frac{1}{\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)e^{ip_0x/\hbar}dp \\ &= \frac{1}{\hbar}e^{ip_0x/\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)dp \end{align*}\tag{15}\]

Díky členu $e^{ip_0x/\hbar}$ má $\Psi$ v prostoru poloh tvar sinusové vlny v proměnné $x$, tj. je rozprostřena přes široký interval poloh (neurčitost polohy je velká).

Závěr

Když se zmenšuje neurčitost polohy, roste neurčitost hybnosti; a naopak, když se zmenšuje neurčitost hybnosti, roste neurčitost polohy. Proto v kvantové mechanice není možné znát současně přesně polohu i hybnost volné částice.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel anglické Wikipedie Maschen
• licence: public domain

Ve skutečnosti se to díky principu neurčitosti (uncertainty principle) netýká jen volné částice, ale všech případů. Princip neurčitosti proberu později v samostatném příspěvku.

Grupová rychlost vlnového balíku

Když obecné řešení ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$) přepíšeme stejně jako ve ($\ref{eqn:phase_velocity}$) pomocí $\omega \equiv \cfrac{\hbar k^2}{2m}$, dostaneme

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\omega t)}dk \tag{16}\]

Vztah typu $\omega = \cfrac{\hbar k^2}{2m}$, kde je $\omega$ vyjádřeno jako funkce $k$, se nazývá disperzní relace (dispersion relation). Následující úvaha platí obecně pro všechny vlnové balíky bez ohledu na konkrétní disperzní relaci.

Předpokládejme nyní, že $\phi(k)$ je velmi špičatá kolem vhodné hodnoty $k_0$. (I kdyby byla v $k$ rozprostřena široce, takový vlnový balík se velmi rychle „rozpadá“ a mění tvar: složky s různými $k$ se pohybují různými rychlostmi, takže celek přestává mít smysl jako dobře definovaná „grupa“ s jednou rychlostí. Jinými slovy, neurčitost hybnosti roste.)
Protože mimo okolí $k_0$ lze integrand zanedbat, můžeme v tomto okolí rozvinout $\omega(k)$ do Taylorovy řady; při ponechání jen lineárního členu dostaneme

\[\omega(k) \approx \omega_0 + \omega_0^\prime(k-k_0)\]

Zavedeme substituci $s=k-k_0$ a integrujeme kolem $k_0$:

\[\begin{align*} \Psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{i[(k_0+s)x-(\omega_0+\omega_0^\prime s)t]}ds \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0x-\omega_0t)}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{is(x-\omega_0^\prime t)}ds. \end{align*}\tag{17}\]

Přední člen $e^{i(k_0x-\omega_0t)}$ odpovídá sinusové vlně („vlnky“) pohybující se rychlostí $\omega_0/k_0$, zatímco integrální člen, který určuje amplitudu této sinusové vlny („obal“), se díky $e^{is(x-\omega_0^\prime t)}$ pohybuje rychlostí $\omega_0^\prime$. Tedy fázová rychlost v bodě $k=k_0$ je

\[v_\text{phase} = \frac{\omega_0}{k_0} = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} \tag{18}\]

což znovu potvrzuje hodnotu z ($\ref{eqn:phase_velocity}$), a grupová rychlost je

\[v_\text{group} = \omega_0^\prime = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} \label{eqn:group_velocity}\tag{19}\]

tedy dvojnásobek fázové rychlosti.

Srovnání s klasickou mechanikou

Protože víme, že na makroskopických škálách platí klasická mechanika, výsledky získané z kvantové mechaniky se musí v limitě dostatečně malé kvantové neurčitosti aproximovat klasickým výsledkem. V případě volné částice, kterou zde řešíme, platí při našem předpokladu, že $\phi(k)$ je velmi špičatá kolem vhodné hodnoty $k_0$ (tj. neurčitost hybnosti je dostatečně malá), že grupová rychlost $v_\text{group}$ odpovídající rychlosti částice v kvantové mechanice musí být pro stejné $k$ a odpovídající energii $E$ rovna klasické rychlosti $v_\text{classical}$.

Dosadíme-li do právě získané grupové rychlosti (rovnice [$\ref{eqn:group_velocity}$]) vztah $k\equiv \cfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ z ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$), dostaneme

\[v_\text{quantum} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{20}\]

a v klasické mechanice je rychlost volné částice s kinetickou energií $E$ rovněž

\[v_\text{classical} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{21}\]

Tedy $v_\text{quantum}=v_\text{classical}$, a tím ověřujeme, že výsledek získaný aplikací kvantové mechaniky je fyzikálně konzistentní.