Jednorozměrná nekonečná čtvercová jáma (The 1D Infinite Square Well)

TL;DR

• Úloha jednorozměrné nekonečné čtvercové jámy: \(V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a,\\ \infty, & \text{jinak} \end{cases}\)
• Okrajové podmínky: $ \psi(0) = \psi(a) = 0 $
• Energetické hladiny $n$-tého stacionárního stavu: $E_n = \cfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$

• Řešení časově nezávislé Schrödingerovy rovnice uvnitř jámy:

  \[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\]
• Fyzikální interpretace jednotlivých stacionárních stavů $\psi_n$:
  • tvar stojaté vlny na struně délky $a$
  • základní stav (ground state): stacionární stav $\psi_1$ s nejnižší energií
  • excitované stavy (excited states): zbývající stavy s $n\geq 2$, jejichž energie roste úměrně $n^2$
• Čtyři důležité matematické vlastnosti $\psi_n$:
  1. Pokud má potenciál $V(x)$ symetrii, pak se vzhledem ke středu jámy střídají sudé a liché funkce
  2. S rostoucí energií má každý následující stav o jeden uzel (node) více

  3. Platí ortonormalita (orthonormality)

     \[\begin{gather*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=\delta_{mn} \\ \delta_{mn} = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ 1, & m=n \end{cases} \end{gather*}\]

  4. Platí úplnost (completeness)

     \[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sum_{n=1}^{\infty} c_n\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\]

• Obecné řešení Schrödingerovy rovnice (lineární kombinace stacionárních stavů):

  \[\begin{gather*} \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t}, \\ \text{kde koeficienty }c_n = \sqrt{\frac{2}{a}}\int_0^a \sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}\Psi(x,0) dx. \end{gather*}\]

Prerequisites

• spojité rozdělení pravděpodobnosti a hustota pravděpodobnosti
• ortogonalita a normalizace (lineární algebra)
• Fourierovy řady a úplnost (lineární algebra)
• Schrödingerova rovnice a vlnová funkce
• Ehrenfestova věta
• Časově nezávislá Schrödingerova rovnice

Zadané podmínky pro potenciál

Je-li potenciál

\[V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a,\\ \infty, & \text{jinak} \end{cases} \tag{1}\]

pak je částice uvnitř tohoto potenciálu v oblasti $0<x<a$ volná částice a na obou koncích ($x=0$ a $x=a$) na ni působí nekonečně velká síla, takže nemůže uniknout. V klasickém modelu se to interpretuje jako nekonečný vratný pohyb tam a zpět, při němž se opakují dokonale pružné srážky a nepůsobí žádné neuchovávající síly. Ačkoli je takový potenciál krajně umělý a jednoduchý, právě proto může při pozdějším studiu kvantové mechaniky sloužit jako užitečný referenční příklad při zkoumání jiných fyzikálních situací, a je tedy třeba jej pečlivě projít.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia Benjamin ESHAM
• licence: CC BY-SA 3.0

Nastavení modelu a okrajových podmínek

Mimo jámu je pravděpodobnost nalezení částice $0$, takže $\psi(x)=0$. Uvnitř jámy je $V(x)=0$, a proto časově nezávislá Schrödingerova rovnice má tvar

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

tj.

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi,\text{ kde } k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \tag{3}\]

Zde předpokládáme $E\geq 0$.

To je rovnice popisující klasický jednoduchý harmonický oscilátor (simple harmonic oscillator) a její obecné řešení je

\[\psi(x) = A\sin{kx} + B\cos{kx} \label{eqn:psi_general_solution}\tag{4}\]

kde $A$ a $B$ jsou libovolné konstanty. Při hledání konkrétního řešení odpovídajícího zadání se tyto konstanty typicky určují pomocí okrajových podmínek. V případě $\psi(x)$ bývá okrajovou podmínkou obvykle spojitost jak $\psi$, tak $d\psi/dx$, avšak v místech, kde jde potenciál do nekonečna, je spojitá pouze $\psi$.

Nalezení řešení časově nezávislé Schrödingerovy rovnice

Protože $\psi(x)$ je spojitá,

\[\psi(0) = \psi(a) = 0 \label{eqn:boundary_conditions}\tag{5}\]

a musí navazovat na řešení vně jámy. Z rovnice ($\ref{eqn:psi_general_solution}$) pro $x=0$ dostaneme

\[\psi(0) = A\sin{0} + B\cos{0} = B\]

takže po dosazení ($\ref{eqn:boundary_conditions}$) musí platit $B=0$.

\[\therefore \psi(x)=A\sin{kx} \label{eqn:psi_without_B}. \tag{6}\]

Pak $\psi(a)=A\sin{ka}$, a aby byla splněna podmínka $\psi(a)=0$ z ($\ref{eqn:boundary_conditions}$), musí být buď $A=0$ (triviální řešení), nebo $\sin{ka}=0$. Tedy

\[ka = 0,\, \pm\pi,\, \pm 2\pi,\, \pm 3\pi,\, \dots \tag{7}\]

Stejně jako předtím je $k=0$ triviální řešení, protože vede na $\psi(x)=0$, které nelze normalizovat, a proto to není řešení, které v této úloze hledáme. Dále platí $\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$, takže záporné znaménko lze absorbovat do konstanty $A$ v ($\ref{eqn:psi_without_B}$); proto neztrácíme obecnost, budeme-li uvažovat pouze případ $ka>0$. Možná řešení pro $k$ jsou tedy

\[k_n = \frac{n\pi}{a},\ n\in\mathbb{N} \tag{8}\]

Pak $\psi_n=A\sin{k_n x}$ a $\cfrac{d^2\psi}{dx^2}=-Ak^2\sin{kx}$, takže po dosazení do ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) vyjdou přípustné hodnoty $E$ takto:

\[A\frac{\hbar^2}{2m}k_n^2\sin{k_n x} = AE_n\sin{k_n x}\] \[E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}. \tag{9}\]

V ostrém kontrastu s klasickým případem kvantová částice v nekonečné čtvercové jámě nemůže mít libovolnou energii, ale musí nabývat jedné z povolených hodnot.

Okrajové podmínky aplikované na řešení časově nezávislé Schrödingerovy rovnice vedou ke kvantování energie.

Nyní můžeme $\psi$ znormalizovat a určit $A$.

Původně se normalizuje $\Psi(x,t)$, ale podle rovnice (11) v příspěvku Časově nezávislá Schrödingerova rovnice to odpovídá normalizaci $\psi(x)$.

\[\int_0^a |A|^2 \sin^2(kx)dx = |A|^2\frac{a}{2} = 1\] \[\therefore |A|^2 = \frac{2}{a}.\]

Tím je striktně určena pouze velikost $A$, ale fáze $A$ nemá žádný fyzikální význam, takže můžeme jednoduše vzít kladnou reálnou odmocninu jako $A$. Řešení uvnitř jámy tedy je

\[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \label{eqn:psi_n}\tag{10}\]

Fyzikální interpretace jednotlivých stacionárních stavů $\psi_n$

Z časově nezávislé Schrödingerovy rovnice jsme, jak ukazuje ($\ref{eqn:psi_n}$), získali nekonečně mnoho řešení pro každou energetickou hladinu $n$. Když prvních několik z nich vykreslíme, dostaneme obrázek níže.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia Papa November
• licence: CC BY-SA 3.0

Tyto stavy mají tvar stojaté vlny na struně délky $a$. Stav $\psi_1$ s nejnižší energií se nazývá základní stav (ground state) a zbývající stavy s $n\geq 2$, jejichž energie roste úměrně $n^2$, se nazývají excitované stavy (excited states).

Čtyři důležité matematické vlastnosti $\psi_n$

Všechny funkce $\psi_n(x)$ mají následující čtyři důležité vlastnosti. Tyto čtyři vlastnosti jsou velmi silné a nejsou omezené pouze na nekonečnou čtvercovou jámu. První vlastnost platí vždy, pokud má samotný potenciál symetrii; druhá, třetí a čtvrtá vlastnost jsou obecné a objevují se bez ohledu na tvar potenciálu.

1. Vzhledem ke středu jámy se střídají sudé a liché funkce.

Pro kladná celá $n$ je $\psi_{2n-1}$ sudá funkce a $\psi_{2n}$ lichá funkce.

2. S rostoucí energií má každý následující stav o jeden uzel více.

Pro kladná celá $n$ má $\psi_n$ právě $(n-1)$ uzlů (node).

3. Tyto stavy mají ortogonalitu (orthogonality).

\[\int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=0, \quad (m\neq n) \tag{11}\]

v tom smyslu, že jsou navzájem ortogonální (orthogonal).

V nekonečné čtvercové jámě, kterou právě probíráme, je $\psi$ reálná, takže není nutné brát komplexní sdružení ($^*$) u $\psi_m$, ale kvůli případům, kdy tomu tak není, je dobré zvyknout si jej psát vždy.

Důkaz

Pro $m\neq n$:

\[\begin{align*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx &= \frac{2}{a}\int_0^a \sin{\left(\frac{m\pi}{a}x\right)}\sin(\frac{n\pi}{a}x)dx \\ &= \frac{1}{a}\int_0^a \left[\cos{\left(\frac{m-n}{a}\pi x\right)-\cos{\left(\frac{m+n}{a}\pi x \right)}} \right]dx \\ &= \left\{\frac{1}{(m-n)\pi}\sin{\left(\frac{m-n}{a}\pi x \right)} - \frac{1}{(m+n)\pi}\sin{\left(\frac{m+n}{a}\pi x \right)} \right\}\Bigg|^a_0 \\ &= \frac{1}{\pi}\left\{\frac{\sin[(m-n)\pi]}{m-n}-\frac{\sin[(m+n)\pi]}{m+n} \right\} \\ &= 0. \end{align*}\]

Pro $m=n$ je tento integrál díky normalizaci roven $1$. Pomocí Kroneckerova delta (Kronecker delta) $\delta_{mn}$ lze ortogonalitu i normalizaci vyjádřit společně jako

\[\begin{gather*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=\delta_{mn} \label{eqn:orthonomality}\tag{12}\\ \delta_{mn} = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ 1, & m=n \end{cases} \label{eqn:kronecker_delta}\tag{13} \end{gather*}\]

V takovém případě říkáme, že $\psi$ je ortonormovaná (orthonormal).

4. Tyto funkce mají úplnost (completeness).

V tom smyslu, že libovolnou jinou funkci $f(x)$ lze zapsat jako lineární kombinaci

\[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sum_{n=1}^{\infty} c_n\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \label{eqn:fourier_series}\tag{14}\]

jsou tyto funkce úplné (complete). Rovnice ($\ref{eqn:fourier_series}$) je Fourierova řada (Fourier series) funkce $f(x)$ a tvrzení, že libovolnou funkci lze takto rozvinout, se nazývá Dirichletova věta (Dirichlet’s theorem).

Určení koeficientů $c_n$ pomocí Fourierovy metody (Fourier’s trick)

Je-li dána funkce $f(x)$, pak pomocí výše uvedené úplnosti (completeness) a ortonormality (orthonormality) lze koeficienty $c_n$ určit následujícím postupem, kterému se říká Fourierova metoda (Fourier’s trick). Vynásobíme-li obě strany ($\ref{eqn:fourier_series}$) výrazem $\psi_m(x)^*$ a zintegrujeme, pak díky ($\ref{eqn:orthonomality}$) a ($\ref{eqn:kronecker_delta}$) dostaneme

\[\int \psi_m(x)^*f(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\int\psi_m(x)^*\psi_n(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\delta_{mn} = c_m \tag{15}\]

Všimněte si, že díky Kroneckerovu deltu v sumě zmizí všechny členy kromě členu s $n=m$.

Proto je $n$-tý koeficient při rozvoji $f(x)$

\[c_n = \int \psi_n(x)^*f(x)dx \label{eqn:coefficients_n}\tag{16}\]

Nalezení obecného řešení časově závislé Schrödingerovy rovnice $\Psi(x,t)$

Každý stacionární stav nekonečné čtvercové jámy je podle rovnice (10) v příspěvku „Časově nezávislá Schrödingerova rovnice“ a podle dříve odvozené rovnice ($\ref{eqn:psi_n}$)

\[\Psi_n(x,t) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t} \tag{17}\]

Dále jsme v příspěvku Časově nezávislá Schrödingerova rovnice viděli, že obecné řešení Schrödingerovy rovnice lze vyjádřit jako lineární kombinaci stacionárních stavů. Tedy

\[\Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t} \label{eqn:general_solution}\tag{18}\]

Zbývá už jen najít koeficienty $c_n$, které splňují

\[\Psi(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\psi_n(x).\]

Díky úplnosti funkcí $\psi$ koeficienty $c_n$ splňující tuto rovnost vždy existují a lze je získat dosazením $\Psi(x,0)$ za $f(x)$ v ($\ref{eqn:coefficients_n}$):

\[\begin{align*} c_n &= \int \psi_n(x)^*\Psi(x,0)dx \\ &= \sqrt{\frac{2}{a}}\int_0^a \sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}\Psi(x,0) dx. \end{align*} \label{eqn:calc_of_cn}\tag{19}\]

Je-li dána počáteční podmínka $\Psi(x,0)$, určíme pomocí ($\ref{eqn:calc_of_cn}$) rozvojové koeficienty $c_n$ a po dosazení do ($\ref{eqn:general_solution}$ získáme $\Psi(x,t)$. Poté lze podle postupu z příspěvku Ehrenfestova věta vypočítat libovolnou fyzikální veličinu, která nás zajímá. Tato metoda se dá použít nejen pro nekonečnou čtvercovou jámu, ale i pro libovolný potenciál; změní se pouze tvar funkce $\psi$ a vztahy pro povolené energetické hladiny.

Odvození zákona zachování energie ($\langle H \rangle=\sum|c_n|^2E_n$)

Pomocí ortonormality $\psi(x)$ (rovnice [$\ref{eqn:orthonomality}$]–[$\ref{eqn:kronecker_delta}$]) odvoďme zákon zachování energie, který jsme stručně zmínili v příspěvku Časově nezávislá Schrödingerova rovnice. Protože $c_n$ jsou na čase nezávislé, stačí ukázat platnost pro případ $t=0$.

\[\begin{align*} \int|\Psi|^2dx &= \int \left(\sum_{m=1}^{\infty}c_m\psi_m(x)\right)^*\left(\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)\right)dx \\ &= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}c_m^*c_n\int\psi_m(x)^*\psi_n(x)dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}c_m^*c_n\delta_{mn} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 \end{align*}\] \[\therefore \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 = 1. \quad (\because \int|\Psi|^2dx=1)\]

Dále, protože

\[\hat{H}\psi_n = E_n\psi_n\]

dostáváme:

\[\begin{align*} \langle H \rangle &= \int \Psi^*\hat{H}\Psi dx = \int \left(\sum c_m\psi_m \right)^*\hat{H}\left(\sum c_n\psi_n \right) dx \\ &= \sum\sum c_m c_n E_n\int \psi_m^*\psi_n dx \\ &= \sum\sum c_m c_n E_n\delta_{mn} \\ &= \sum|c_n|^2E_n. \ \blacksquare \end{align*}\]