Vektorové prostory, podprostory a matice
Definice vektorových prostorů a podprostorů s příklady (F^n, prostor matic, prostor funkcí) a přehled symetrických, antisymetrických, trojúhelníkových a diagonálních matic.
TL;DR
- matice (matrix)
- Prvek v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice $A$ značíme $A_{ij}$ nebo $a_{ij}$
- diagonální prvek (diagonal entry): prvek $a_{ij}$ pro $i=j$
- Prvky $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ nazýváme $i$-tý řádek (row) této matice
- Každý řádek matice lze vyjádřit jako vektor z $F^n$
- A navíc lze řádkový vektor z $F^n$ chápat jako další matici rozměru $1 \times n$
- Prvky $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ nazýváme $j$-tý sloupec (column) této matice
- Každý sloupec matice lze vyjádřit jako vektor z $F^m$
- A navíc lze sloupcový vektor z $F^m$ chápat jako další matici rozměru $m \times 1$
- nulová matice (zero matrix): matice, jejíž všechny prvky jsou $0$, značí se $O$
- čtvercová matice (square matrix): matice se stejným počtem řádků a sloupců
- Pro dvě matice $A, B$ typu $m \times n$ definujeme, že jsou stejné ($A=B$), pokud pro všechna $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ platí $A_{ij} = B_{ij}$ (tj. všechny odpovídající prvky se shodují)
- transponovaná matice (transpose matrix): pro matici $A$ typu $m \times n$ je transpozice $A^T$ matice typu $n \times m$, která vznikne prohozením řádků a sloupců
- symetrická matice (symmetric matrix): čtvercová matice $A$ splňující $A^T = A$
- antisymetrická matice (skew-symmetric matrix): čtvercová matice $B$ splňující $B^T = -B$
- trojúhelníková matice (triangular matrix)
- horní trojúhelníková matice (upper triangular matrix): všechny prvky pod diagonálou jsou $0$ (tj. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), obvykle se značí $U$
- dolní trojúhelníková matice (lower triangular matrix): všechny prvky nad diagonálou jsou $0$ (tj. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), obvykle se značí $L$
- diagonální matice (diagonal matrix): čtvercová matice, jejíž všechny nediagonální prvky jsou $0$ (tj. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$ pro matici $n \times n$), obvykle se značí $D$
- Typické vektorové prostory
- $n$-tice $F^n$:
- množina všech uspořádaných $n$-tic s prvky z tělesa $F$
- značí se $F^n$ a je to $F$-vektorový prostor
- prostor matic (matrix space):
- množina všech matic typu $m \times n$ s prvky z tělesa $F$
- značí se $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ a je to vektorový prostor
- prostor funkcí (function space):
- pro neprázdnou množinu $S$ a těleso $F$ je to množina všech funkcí ze $S$ do $F$
- značí se $\mathcal{F}(S,F)$ a je to vektorový prostor
- podprostor (subspace)
- Je-li $\mathbb{W}$ podmnožina $F$-vektorového prostoru $\mathbb{V}$ a zároveň je $F$-vektorovým prostorem se stejnými operacemi sčítání a násobení skalárem, jaké jsou definovány na $\mathbb{V}$, pak $\mathbb{W}$ nazýváme podprostorem (subspace) prostoru $\mathbb{V}$
- Pro každý vektorový prostor $\mathbb{V}$ jsou $\mathbb{V}$ samotný i $\{0\}$ podprostory; zejména $\{0\}$ se nazývá nulový podprostor (zero subspace)
- Pokud nějaká podmnožina vektorového prostoru obsahuje nulový vektor a je uzavřená na lineární kombinace (tj. $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), pak je to podprostor
Prerequisites
Vektorový prostor
Jak jsme krátce viděli i v článku Vektory a lineární kombinace, definice vektoru a vektorového prostoru jako algebraické struktury je následující.
Definice
Vektorový prostor (vector space) neboli lineární prostor (linear space) $\mathbb{V}$ nad tělesem $F$ je množina vybavená dvěma operacemi, sčítáním a násobením skalárem, které splňují následujících 8 podmínek. Prvky tělesa $F$ nazýváme skaláry (scalar) a prvky vektorového prostoru $\mathbb{V}$ nazýváme vektory (vector).
- Součet (sum): pro dva prvky $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ je přiřazen jednoznačný prvek $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Tomuto $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ říkáme součet prvků $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$.
- Násobení skalárem (scalar multiplication): každému prvku $a \in F$ a každému prvku $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ je přiřazen jednoznačný prvek $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Tomuto $a\mathbf{x}$ říkáme skalární násobek (scalar multiple) vektoru $\mathbf{x}$.
- Pro všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (komutativita sčítání)
- Pro všechna $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ platí $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (asociativita sčítání)
- Pro každé $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existuje $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ takové, že $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (nulový vektor, neutrální prvek pro sčítání)
- Ke každému $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existuje $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ takové, že $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverzní prvek pro sčítání)
- Pro každé $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (neutrální prvek pro násobení)
- Pro všechna $a,b \in F$ a všechna $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (asociativita násobení skalárem)
- Pro všechna $a \in F$ a všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributivita násobení skalárem vůči sčítání 1)
- Pro všechna $a,b \in F$ a všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributivita násobení skalárem vůči sčítání 2)
Přesněji bychom měli psát „$F$-vektorový prostor $\mathbb{V}$“, ale při práci s vektorovými prostory obvykle těleso není zásadní a nehrozí-li záměna, těleso $F$ vynecháváme a píšeme jen „vektorový prostor $\mathbb{V}$“.
Prostor matic
Řádkové a sloupcové vektory
Množinu všech uspořádaných $n$-tic s prvky z tělesa $F$ značíme $F^n$. Pro $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$, $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$ definujeme součet a násobení skalárem následovně; pak je $F^n$ $F$-vektorový prostor.
\[\begin{align*} u + v &= (a_1+b_1, a_2+b_2, \dots, a_n+b_n), \\ cu &= (ca_1, ca_2, \dots, ca_n) \end{align*}\]Vektor z $F^n$ se při samostatném zápisu obvykle vyjadřuje spíše jako sloupcový vektor (column vector) než jako řádkový vektor (row vector) $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, tj.
\[\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\]Protože zápis sloupcovým vektorem zabírá hodně místa, někdy se používá transpozice a zapisuje se $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$.
Matice a prostor matic
Na druhé straně, $m \times n$ matice (matrix) s prvky z $F$ je obdélníkové uspořádání prvků následujícího tvaru; značí se kurzívními velkými písmeny ($A, B, C$ apod.).
\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]- Prvek v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice $A$ značíme $A_{ij}$ nebo $a_{ij}$.
- Všechny $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) jsou prvky tělesa $F$.
- Prvek $a_{ij}$ pro $i=j$ nazýváme diagonální prvek (diagonal entry).
- Prvky $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ nazýváme $i$-tý řádek (row) této matice. Každý řádek matice lze vyjádřit jako vektor z $F^n$, a navíc lze řádkový vektor z $F^n$ vyjádřit jako další matici rozměru $1 \times n$.
- Prvky $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ nazýváme $j$-tý sloupec (column) této matice. Každý sloupec matice lze vyjádřit jako vektor z $F^m$, a navíc lze sloupcový vektor z $F^m$ vyjádřit jako další matici rozměru $m \times 1$.
- Matici typu $m \times n$, jejíž všechny prvky jsou $0$, nazýváme nulová matice (zero matrix) a značíme ji $O$.
- Matici se stejným počtem řádků a sloupců nazýváme čtvercová matice (square matrix).
- Pro dvě matice $A, B$ typu $m \times n$ definujeme, že jsou stejné ($A=B$), pokud pro všechna $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ platí $A_{ij} = B_{ij}$ (tj. všechny odpovídající prvky se shodují).
Množinu všech matic typu $m \times n$ s prvky z tělesa $F$ značíme $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$. Pro $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ a $c \in F$ definujeme součet a násobení skalárem takto; pak je $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ vektorový prostor a nazývá se prostor matic (matrix space).
\[\begin{align*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})_{ij} &= \mathbf{A}_{ij} + \mathbf{B}_{ij}, \\ (c\mathbf{A})_{ij} &= c\mathbf{A}_{ij} \\ \text{(kde }1 \leq i \leq &m, 1 \leq j \leq n \text{)} \end{align*}\]Jde o přirozené rozšíření operací definovaných na $F^n$ a $F^m$.
Prostor funkcí
Pro neprázdnou množinu $S$ a těleso $F$ je $\mathcal{F}(S,F)$ množina všech funkcí ze $S$ do $F$. Řekneme, že dvě funkce $f, g$ jsou stejné ($f=g$), pokud pro všechna $s \in S$ platí $f(s) = g(s)$.
Pro $f,g \in \mathcal{F}(S,F)$, $c \in F$, $s \in S$ definujeme součet a násobení skalárem následovně; pak je $\mathcal{F}(S,F)$ vektorový prostor a nazývá se prostor funkcí (function space).
\[\begin{align*} (f + g)(s) &= f(s) + g(s), \\ (cf)(s) &= c[f(s)] \end{align*}\]Podprostor
Definice
Je-li $\mathbb{W}$ podmnožina $F$-vektorového prostoru $\mathbb{V}$ a zároveň je $F$-vektorovým prostorem se stejnými operacemi sčítání a násobení skalárem, jaké jsou definovány na $\mathbb{V}$, pak $\mathbb{W}$ nazýváme podprostorem (subspace) prostoru $\mathbb{V}$.
Pro každý vektorový prostor $\mathbb{V}$ jsou $\mathbb{V}$ samotný i $\{0\}$ podprostory; zejména $\{0\}$ se nazývá nulový podprostor (zero subspace).
Zda je daná podmnožina podprostorem, lze ověřit pomocí následující věty.
Věta 1
Pro vektorový prostor $\mathbb{V}$ a jeho podmnožinu $\mathbb{W}$ je nutná a postačující podmínka pro to, aby $\mathbb{W}$ byla podprostorem $\mathbb{V}$, splnění následujících tří podmínek. Operace jsou stejné jako ty, které jsou definovány na $\mathbb{V}$.
- $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
- $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
- $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$
Stručně: pokud množina obsahuje nulový vektor a je uzavřená na lineární kombinace (tj. $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), pak je to podprostor.
Dále platí následující tvrzení.
Věta 2
Generovaný podprostor $\mathrm{span}(S)$ libovolné podmnožiny $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$ je podprostor $\mathbb{V}$, který obsahuje $S$.
\[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]Každý podprostor $\mathbb{V}$, který obsahuje $S$, musí nutně obsahovat i generovaný podprostor $S$.
\[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]
Věta 3
Pro podprostory vektorového prostoru $\mathbb{V}$ platí, že libovolný průnik těchto podprostorů je opět podprostorem $\mathbb{V}$.
Transponovaná matice, symetrická matice, antisymetrická matice
Pro matici $A$ typu $m \times n$ je její transponovaná matice (transpose matrix) $A^T$ matice typu $n \times m$, která vznikne prohozením řádků a sloupců matice $A$.
\[(A^T)_{ij} = A_{ji}\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\]Matici $A$ splňující $A^T = A$ nazýváme symetrická matice (symmetric matrix) a matici $B$ splňující $B^T = -B$ nazýváme antisymetrická matice (skew-symmetric matrix). Symetrická i antisymetrická matice musí být nutně čtvercové.
Dvě množiny $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ tvořené všemi symetrickými, resp. antisymetrickými maticemi z $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$ jsou podprostory $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$. Jinými slovy, $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ jsou uzavřené na součet a násobení skalárem.
Trojúhelníkové matice, diagonální matice
Tyto dva typy matic jsou také zvlášť důležité.
Nejprve sjednotíme následující dva typy matic pod označení trojúhelníková matice (triangular matrix).
- horní trojúhelníková matice (upper triangular matrix): všechny prvky pod diagonálou jsou $0$ (tj. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), obvykle se značí $U$
- dolní trojúhelníková matice (lower triangular matrix): všechny prvky nad diagonálou jsou $0$ (tj. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), obvykle se značí $L$
Čtvercovou matici, jejíž všechny nediagonální prvky jsou $0$, tj. matici $n \times n$ splňující $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$, nazýváme diagonální matice (diagonal matrix) a obvykle ji značíme $D$. Diagonální matice je současně horní i dolní trojúhelníková matice.
Množina horních trojúhelníkových matic, množina dolních trojúhelníkových matic i množina diagonálních matic jsou všechny podprostory $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$.