Vektory a lineární kombinace

TL;DR

• Definice vektoru
  • Vektor v užším smyslu (eukleidovský vektor): fyzikální veličina, která má zároveň velikost i směr
  • Vektor v širším smyslu, v lineární algebře: prvek vektorového prostoru
• Způsoby reprezentace vektoru
  • Šipková reprezentace: velikost vektoru je dána délkou šipky a směr vektoru směrem šipky. Výhodou je snadná vizualizace a intuitivnost, nevýhodou však to, že je obtížné takto vyjadřovat vektory ve 4 a více dimenzích nebo neeukleidovské vektory.
  • Složková reprezentace: počátek vektoru se položí do počátku souřadného prostoru a vektor se vyjádří souřadnicemi koncového bodu.
• Základní operace s vektory
  • Součet: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • Násobení skalárem: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• Lineární kombinace vektorů
  • Pro konečně mnoho vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ a skalárů $a_1, a_2, \dots, a_n$ se vektor $\mathbf{v}$ splňující $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$ nazývá lineární kombinací (linear combination) vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$
  • Čísla $a_1, a_2, \dots, a_n$ se nazývají koeficienty (coefficient) této lineární kombinace
• Generovaný podprostor
  • Pro neprázdnou podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$ je $\mathrm{span}(S)$ množina všech lineárních kombinací vytvořených z vektorů v $S$
  • Definuje se $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$
  • Pro podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$, platí-li $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, říkáme, že $S$ generuje (generate nebo span) prostor $\mathbb{V}$

Prerequisites

• souřadná rovina / souřadný prostor
• těleso (field)

Co je to vektor?

Vektor v užším smyslu: eukleidovský vektor

Mnoho fyzikálních veličin, jako je síla, rychlost či zrychlení, má kromě velikosti také informaci o směru. Takové fyzikální veličiny, které mají velikost i směr, se nazývají vektory (vector).

Výše uvedená definice je definice vektoru, se kterou se setkáváme v klasické mechanice nebo na středoškolské úrovni matematiky. Takový vektor v užším smyslu, založený na fyzikální intuici a nesoucí geometrický význam „velikosti a směru orientované úsečky“, se přesněji nazývá eukleidovský vektor (Euclidean vector).

Vektor v širším smyslu: prvek vektorového prostoru

V lineární algebře se vektor definuje v širším smyslu než výše uvedený eukleidovský vektor, jako abstraktnější algebraická struktura, následovně.

Definice
Vektorový prostor (vector space) neboli lineární prostor (linear space) $\mathbb{V}$ nad tělesem $F$ je množina vybavená dvěma operacemi, sčítáním a násobením skalárem, které splňují následujících 8 podmínek. Prvky tělesa $F$ nazýváme skaláry (scalar) a prvky vektorového prostoru $\mathbb{V}$ nazýváme vektory (vector).

• Sčítání (sum): pro dva prvky $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ je přiřazena jednoznačná hodnota $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Tomuto $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ říkáme součet vektorů $\mathbf{x}$ a $\mathbf{y}$.
• Násobení skalárem (scalar multiplication): každému prvku $a \in F$ a každému prvku $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ je přiřazena jednoznačná hodnota $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Tomuto $a\mathbf{x}$ říkáme skalární násobek (scalar multiple) vektoru $\mathbf{x}$.

1. Pro všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (komutativita sčítání)
2. Pro všechna $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ platí $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (asociativita sčítání)
3. Pro každé $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existuje $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ takové, že $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (nulový vektor, neutrální prvek pro sčítání)
4. Ke každému $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existuje $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ takové, že $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverzní prvek pro sčítání)
5. Pro každé $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (neutrální prvek pro násobení)
6. Pro všechna $a,b \in F$ a všechna $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ platí $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (asociativita násobení skalárem)
7. Pro všechna $a \in F$ a všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributivita násobení skalárem vůči sčítání 1)
8. Pro všechna $a,b \in F$ a všechna $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ platí $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributivita násobení skalárem vůči sčítání 2)

Tato definice vektoru v lineární algebře je širší než dříve uvedený eukleidovský vektor a zahrnuje jej. Lze ověřit, že i eukleidovské vektory splňují všech osm výše uvedených vlastností.

Původ a vývoj vektorů úzce souvisí s řadou praktických problémů, které vyvstaly ve fyzice — například se snahou kvantitativně popsat sílu, pohyb těles, rotaci či pojmy jako pole. Potřeba matematicky vyjadřovat přírodní jevy vedla k tomu, že byl nejprve zaveden pojem vektoru jako eukleidovského vektoru. Následně matematika tyto fyzikální koncepty zobecnila a teoreticky zformulovala: ustavila formální struktury, jako jsou vektorové prostory, skalární součin, vektorový součin apod., čímž vznikla dnešní definice vektoru. Jinými slovy, vektor je pojem, který si vyžádala fyzika a zformulovala matematika; nejde tedy o výhradní produkt čisté matematiky, ale spíše o interdisciplinární výsledek, který se rozvíjel díky úzké výměně mezi matematikou a fyzikou.

Eukleidovské vektory, se kterými pracuje klasická mechanika, lze matematicky vyjádřit v obecnějším rámci. V současné fyzice se aktivně používají nejen eukleidovské vektory, ale i abstraktnější pojmy definované matematikou, jako jsou vektorové prostory či prostory funkcí, kterým se následně přiřazuje fyzikální význam. Proto není vhodné chápat dvě definice vektoru jednoduše jako „fyzikální definici“ a „matematickou definici“.

Vektorové prostory si podrobněji probereme později; nyní se zaměříme na eukleidovské vektory v užším smyslu, které lze geometricky vyjádřit v souřadném prostoru. Nejprve si ukážeme intuitivní příklady eukleidovských vektorů, protože to pomůže i při pozdějším zobecnění na jiné typy vektorů.

Způsoby reprezentace vektoru

Šipková reprezentace

Jde o nejběžnější způsob, který nejlépe zachovává geometrickou intuici. Velikost vektoru se vyjadřuje délkou šipky a směr vektoru směrem šipky.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikipedie Nguyenthephuc
• licence: CC BY-SA 3.0

Tato reprezentace je sice intuitivní, ale u vektorů ve 4 a více dimenzích má zjevná omezení. Navíc později budeme pracovat i s neeukleidovskými vektory, které jsou už z principu obtížně geometricky znázornitelné, takže je potřeba si zvyknout na složkovou reprezentaci popsanou níže.

Složková reprezentace

Vektor považujeme za stejný bez ohledu na to, kde je umístěn, pokud má stejnou velikost i směr. Proto, je-li dán souřadný prostor, můžeme počátek vektoru zafixovat do počátku tohoto prostoru; pak $n$-rozměrný vektor odpovídá libovolnému bodu v $n$-rozměrném prostoru a vektor lze vyjádřit souřadnicemi koncového bodu. Tomuto způsobu říkáme složková reprezentace vektoru.

\[(a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n \text{ or } \mathbb{C}^n\]

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia Acdx
• licence: CC BY-SA 3.0

Základní operace s vektory

Základní operace s vektory jsou dvě: součet a násobení skalárem. Všechny vektorové operace lze vyjádřit jako kombinaci těchto dvou základních operací.

Součet vektorů

Součet dvou vektorů je opět vektor a složky výsledného vektoru jsou rovny součtům odpovídajících složek obou vektorů.

\[(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)\]

Násobení vektoru skalárem

Vektor lze zvětšovat či zmenšovat; to se popisuje operací násobení skalárem, tj. vynásobením vektoru konstantou (skalárem). Výsledek násobení vektoru skalárem odpovídá vynásobení každé složky vektoru stejným skalárem.

\[c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)\]

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikipedie Silly rabbit
• licence: CC BY-SA 3.0

Lineární kombinace vektorů

Stejně jako kalkulus začíná číslem $x$ a funkcí $f(x)$, lineární algebra začíná vektory $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ a lineárními kombinacemi $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$. A všechny lineární kombinace vektorů se skládají z kombinací dvou výše uvedených základních operací: součtu a násobení skalárem.

Pro konečně mnoho vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ a skalárů $a_1, a_2, \dots, a_n$ se vektor $\mathbf{v}$, který splňuje následující, nazývá lineární kombinací (linear combination) vektorů $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$.

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

V tomto případě se $a_1, a_2, \dots, a_n$ nazývají koeficienty (coefficient) této lineární kombinace.

Proč je ale lineární kombinace tak důležitá? Uvažujme následující situaci: $n$ vektorů v $m$-rozměrném prostoru tvoří $n$ sloupců matice typu $m \times n$.

\[\begin{gather*} \mathbf{v}_1 = (a_{11}, a_{21}, \dots, a_{m1}), \\ \mathbf{v}_2 = (a_{12}, a_{22}, \dots, a_{m2}), \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n = (a_{1n}, a_{2n}, \dots, a_{mn}) \\ \\ A = \Bigg[ \mathbf{v}_1 \quad \mathbf{v}_2 \quad \cdots \quad \mathbf{v}_n \Bigg] \end{gather*}\]

Klíčové jsou zde následující dvě věci.

1. Vyjádřete všechny možné lineární kombinace $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots x_n\mathbf{v}_n$. Co tvoří?
2. Najděte čísla $x_1, x_2, \dots, x_n$, která vytvoří požadovaný výstupní vektor $Ax = b$.

Odpověď na druhou otázku si rozebereme později; zatím se soustřeďme na první. Pro zjednodušení uvažujme jako příklad případ dvou nenulových 2D vektorů ($m=2$) a dvou vektorů celkem ($n=2$).

Lineární kombinace $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

Vektor $\mathbf{v}$ v dvojrozměrném prostoru má dvě složky. Pro libovolný skalár $c$ platí, že vektor $c\mathbf{v}$ je rovnoběžný s původním vektorem $\mathbf{v}$ a tvoří nekonečně dlouhou přímku v rovině $xy$, která prochází počátkem.

Pokud druhý daný vektor $\mathbf{w}$ neleží na této přímce (tj. vektory $\mathbf{v}$ a $\mathbf{w}$ nejsou rovnoběžné), pak i $d\mathbf{w}$ tvoří další, druhou přímku. Když nyní tyto dvě přímky zkombinujeme, zjistíme, že lineární kombinace $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ tvoří rovinu obsahující počátek.

Zdroj obrázku

• autor: uživatel Wikimedia Svjo
• licence: CC BY-SA 4.0

Generování

Takové lineární kombinace vektorů tedy vytvářejí (vyplňují) vektorový prostor; tomuto se říká generování (span) prostoru.

Definice
Pro neprázdnou podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$ se množina všech lineárních kombinací vytvořených z vektorů v $S$ nazývá generovaný podprostor (span) množiny $S$ a značí se $\mathrm{span}(S)$. Dále se definuje $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$.

Definice
Pro podmnožinu $S$ vektorového prostoru $\mathbb{V}$, platí-li $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, říkáme, že $S$ generuje (generate nebo span) prostor $\mathbb{V}$.

Zatím jsme neprobírali pojmy jako podprostor či báze, ale když si vybavíte tento příklad, pomůže vám to pochopit pojem vektorového prostoru.