Offizieller PR zum Hinzufügen der koreanischen Übersetzung des Contributor Covenant 3.0 Code of Conduct: feat(i18n): add Korean translation for Contributor Covenant 3.0 (#1590)

Contributor Covenant

Das Contributor Covenant wurde 12014 erstmals von Coraline Ada Ehmke verfasst und veröffentlicht. Seit 12021 liegt es bei OES (Organization for Ethical Source) und wird dort von den Mitwirkenden gepflegt und weiterentwickelt. Heute ist es der weltweit am häufigsten verwendete Verhaltenskodex für digitale Communities. Sein Ziel ist es, implizite Werte, die Communities miteinander teilen können, ausdrücklich zu machen und so eine Community-Kultur zu fördern, in der sich alle willkommen und sicher fühlen können.

Früher wurden in Entwickler-Communitys unter dem Deckmantel der Meritokratie raue Umgangsformen und diskriminierende Äußerungen oft stillschweigend geduldet. Das Contributor Covenant war ein wichtiger Anstoß dafür, dass sich Entwickler-Communitys durch Selbstkorrektur zu einer menschenzentrierten Kultur wandelten, die vielfältige Menschen einschließt und gegenseitigen Respekt sowie konstruktives Feedback in den Mittelpunkt stellt. Heute haben Hunderttausende Open-Source-Projekte weltweit dieses Versprechen übernommen, darunter Creative Commons, Linux, Apple, Mastodon, Microsoft, WordPress und IBM.

Was sich in Version 3.0 des Contributor Covenant geändert hat

OES begann 12024 anlässlich des 10-jährigen Jubiläums des Contributor Covenant mit der Arbeit daran. Die im Juli 12025 veröffentlichte Version 3.0 bringt nach rund einem Jahr Arbeit gegenüber der Vorgängerversion 2.1 die folgenden wesentlichen Änderungen mit sich.

• Referenzen:
  • https://ethicalsource.dev/blog/contributor-covenant-3/
  • https://www.contributor-covenant.org/faq/

Mehr Flexibilität

• Im Unterschied zu früheren Versionen, die auf Open-Source-Communitys optimiert waren, wurde diese Fassung so gestaltet, dass sie auch auf verschiedenste Online- und Offline-Communitys außerhalb der Softwareentwicklung anwendbar ist
  • z. B. wird statt „Projektverantwortliche (Project Maintainers)“ der neutralere und inklusivere Begriff „Community-Moderator*innen (Community Moderators)“ verwendet
• US-zentrierte idiomatische Wendungen wurden entfernt und durch klarere Formulierungen ersetzt, die auch Sprecher*innen anderer Kulturkreise leichter verstehen und übersetzen können

Paradigmenwechsel von retributiver zu restaurativer Gerechtigkeit

Einer der größten Unterschiede von Contributor Covenant 3.0 gegenüber den früheren Versionen ist der Paradigmenwechsel von retributiver Gerechtigkeit (Retributive Justice) zu restaurativer Gerechtigkeit (Restorative Justice). Der Abschnitt mit den Durchsetzungsrichtlinien (enforcement guidelines), der bisher vor allem auf stufenweise Sanktionen fokussiert war, wurde in den Abschnitt „Schadensbearbeitung und Wiedergutmachung (Addressing and Repairing Harm)“ umgestaltet.

• Die Bezeichnungen einiger Reaktionsstufen wurden geändert
• Zusätzlich zu den bisherigen Punkten zu Konsequenzen (Consequence) wurden Richtlinien zur Wiedergutmachung (Repair) ergänzt. Es geht also nicht mehr nur um die primäre Sanktionierung der verursachenden Person, sondern auch darum, wie zerstörte Beziehungen zwischen den Beteiligten wiederhergestellt, Konflikte beigelegt und Fehler korrigiert werden können
• Statt ausschließlich Durchsetzung und Bestrafung durch Dritte zu betonen, verschiebt sich der Charakter des Dokuments in Richtung freiwilliger Reflexion, Versöhnung und Verbesserung, sofern dies möglich ist, sowie hin zur Frage, wie die Community nach einem Vorfall wieder gesund werden kann

Klarere Richtlinien

• Der Abschnitt Standards (Our Standards) wurde klar in die beiden Abschnitte erwünschte Verhaltensweisen (Encouraged Behaviors) und eingeschränkte Verhaltensweisen (Restricted Behaviors) aufgeteilt, was die Lesbarkeit verbessert
• Insbesondere im Abschnitt eingeschränkte Verhaltensweisen (Restricted Behaviors) wird ausdrücklich nicht nur die tatsächliche Ausführung problematischer Handlungen untersagt, sondern auch deren Androhung oder Förderung, wodurch die präventive Wirkung gestärkt wird

  We agree to restrict the following behaviors in our community. Instances, threats, and promotion of these behaviors are violations of this Code of Conduct.

• Außerdem wurde unter eingeschränkte Verhaltensweisen (Restricted Behaviors) ein neuer Unterabschnitt weitere Einschränkungen (Other Restrictions) hinzugefügt, in dem zusätzliche Beschränkungen zu irreführender Identität (Misleading identity), fehlender Quellenangabe (Failing to credit sources), Werbematerialien (Promotional materials) und unverantwortlicher Kommunikation (Irresponsible communication) ausdrücklich festgehalten werden
• Unter Einbeziehung von Umfrageantworten aus Communities, die das Contributor Covenant tatsächlich übernommen und angewendet haben, wird klargestellt, dass die stufenweise Durchsetzung (enforcement ladder) nur eine Grundlage darstellt und den Ermessensspielraum von Community-Administrator*innen nicht einschränkt

  This enforcement ladder is intended as a guideline. It does not limit the ability of Community Managers to use their discretion and judgment, in keeping with the best interests of our community.

Stärkung der Bestimmungen zu Gleichheitsrechten und Diskriminierungsverbot

Im ersten Abschnitt, „Our Pledge“, wurden die Bestimmungen zu Gleichheitsrechten und Diskriminierungsverbot erweitert und konkretisiert: Einige Begriffe wurden durch umfassendere Ausdrücke ersetzt, und mehrere moderne Diversitätswerte wurden zusätzlich ausdrücklich aufgenommen.

• Die beiden Ausdrücke „body size“ und „personal appearance“ wurden durch den umfassenderen Begriff „physical characteristics“ ersetzt
• „religion“ wurde durch das umfassendere „philosophy or religion“ ersetzt
• „nationality“ wurde durch das umfassendere „national or social origin“ ersetzt
• „neurodiversity“ wurde neu ausdrücklich aufgenommen
• „language“ wurde neu ausdrücklich aufgenommen, um nichtenglischsprachige Sprecher*innen stärker zu berücksichtigen
• Im Zusammenhang mit Geschlechtergerechtigkeit und Diversität wurden insgesamt mehrere Formulierungen überarbeitet

  v2.1
  sex characteristics, gender identity and expression, or sexual identity and orientation

  v3.0
  sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation

Aspekte, die ich bei dieser koreanischen Übersetzung berücksichtigt habe

Allgemeine Überlegungen

Verwendung des Höflichkeitsstils

Wenn man ein Versprechen und einen Verhaltenskodex auf Koreanisch verfasst, hängt die Entscheidung zwischen Höflichkeitsstil und deklarativem Stil von der Zielrichtung, der Organisationskultur und der Haltung ab, die vermittelt werden soll. Früher dominierte häufig der deklarative Stil, der Autorität und Regelbindung betont. In jüngerer Zeit wird jedoch auch oft der Höflichkeitsstil verwendet, um eine horizontale und respektvolle Kultur hervorzuheben.

Wenn man sich die damalige Diskussion ansieht, scheint man bei der koreanischen Übersetzung der Version 2.0 zunächst ebenfalls den Höflichkeitsstil erwogen und den Text dann in den deklarativen Stil umgeschrieben zu haben. Ich respektiere diese frühere Diskussion und ihr Ergebnis. Trotzdem habe ich mich diesmal erneut für eine Übersetzung im Höflichkeitsstil entschieden, und zwar aus den folgenden Gründen.

Die heutige Kultur von Open-Source-Communitys ist grundsätzlich eher weit entfernt von Zwang, Strenge und zwingender Durchsetzung; vielmehr orientiert sie sich an gegenseitigem Respekt sowie freiwilliger Teilnahme und Mitwirkung. Gerade in Contributor Covenant 3.0 wird diese Philosophie durchgängig besonders stark reflektiert. Wenn man die Kernwerte und die Philosophie berücksichtigt, die der Originaltext in diesem Versionsupdate vermitteln will, ebenso wie die Kultur und die Entwicklungen in den Communities, erschien mir der Höflichkeitsstil für die koreanische Übersetzung angemessen. Als Referenzen habe ich ebenso die Fälle der koreanischen Rust-Nutzergruppe, des Verhaltenskodex von PyCon Korea (PyCon KR CoC) und der koreanischen Fassung des Verhaltenskodex der Kubernetes-Community herangezogen.

Vermeidung unnötiger Passivkonstruktionen

Anders als im Englischen, das häufig das Passiv verwendet, bevorzugt das Koreanische grundsätzlich aktive Formulierungen gegenüber passiven. Wenn man Passivformen aus dem englischen Original mechanisch ebenfalls als Passiv ins Koreanische überträgt, entsteht ein unnatürlicher Text, dem man die Übersetzung anmerkt und der grammatisch ebenfalls unpassend wirkt.

Natürlich gibt es auch im Koreanischen Fälle, in denen Passivformen verwendet werden. Soweit dadurch die Bedeutung des Textes nicht verzerrt wird, wollte ich jedoch möglichst selbst dort aktive Formulierungen verwenden, wo im Original das Passiv steht.

z. B.

• “Encouraged Behaviors”: “장려되는 행동”(X), “장려하는 행동”(O)
• “enforcement actions are carried out in private”: “집행 조치는 비공개로 진행된다“(X), “집행 조치는 비공개로 진행한다“(O)
• “its own established enforcement process”: “자체적으로 확립된 집행 절차”(X), “자체적으로 확립한 집행 절차”(O)
• “the following enforcement ladder may be used”: “다음의 단계적 집행 기준이 사용될 수 있습니다”(X), “다음의 단계적 집행 기준을 사용할 수 있습니다”(O)
• “are provided at”: “에서 제공됩니다“(X), “에서 제공합니다“(O)

Nicht die lexikalische Bedeutung, sondern der Kontext eines Wortes im Text

Da Englisch und Koreanisch sprachlich recht weit voneinander entfernt sind, entspricht ein Wort natürlich nicht einfach eins zu eins einem Wort der jeweils anderen Sprache. Auch wenn im Wörterbuch dieselbe Bedeutung angegeben ist, ist das oft nicht der Fall.

So wird etwa “intimate” in der folgenden Passage dem Kontext nach nicht im Sinn von “친밀한”, sondern im Sinn von “성적인” verwendet.

Sexualization. Behaving in a way that would generally be considered inappropriately intimate in the context or purpose of the community.

Außerdem klingt es in der folgenden Passage unnatürlich, “process” rein wörterbuchhaft als “처리할” zu übersetzen. Im Kontext des Textes ist es hier angemessener, “process” mit “추스를” wiederzugeben.

… give the community members involved time to process the incident.

(표준국어대사전 표제어 중)

추스르다「3」: 일이나 생각 따위를 수습하여 처리하다.

Andererseits gibt es auch Lehnwörter, für die sich kein wirklich passender genuin koreanischer Ausdruck finden lässt. Beim Wort “community” könnte man es zwar mit etwas wie “공동체” wiedergeben, doch nach meiner Einschätzung unterscheidet sich der Klang des englischen Wortes “community” recht deutlich vom Klang des koreanischen Wortes “공동체”. Grundsätzlich habe ich versucht, Lehnwörter möglichst in genuin koreanische Ausdrücke zu übertragen; wenn ich aber den Eindruck hatte, dass dadurch Bedeutung oder Nuance des Originals eher verzerrt würden, habe ich sie wie bei “커뮤니티” beibehalten.

Unter Berücksichtigung all dieser Punkte wollte ich also keine bloß lexikalische, mechanische Ersetzung einzelner Wörter vornehmen, sondern jeweils die koreanische Formulierung wählen, die der Bedeutung und dem Kontext des Originals am nächsten kommt.

Daneben auch die Einhaltung koreanischer Sprach- und Rechtschreibnormen

Ich habe mich bemüht, die Normen des Koreanischen, etwa die Rechtschreibregeln und die Standardsprachregelung, möglichst genau einzuhalten.

Abschnitt “서약(Our Pledge)”

Unterüberschrift

Wörtlich übersetzt würde “Our Pledge” zu “우리의 맹세”. Da es jedoch in der bestehenden koreanischen Übersetzung bereits mit “서약” wiedergegeben wurde und dies unter dem Gesichtspunkt der Natürlichkeit des Textes für ausreichend vertretbar hielt, habe ich es auch diesmal bei “서약” belassen.

Zur Übersetzung des Begriffs “caste”

In der bestehenden koreanischen Übersetzung der Version 2.1 wurde dies schlicht als “카스트 제도” übersetzt. Da das Wort caste als fachsprachliches Gattungsnomen auch stark verfestigte Status- und Schichtordnungssysteme in verschiedenen Regionen der Welt bezeichnen kann, kann man das nicht unbedingt als Fehlübersetzung bezeichnen. Wenn diese Hintergrundinformationen aber nicht gegeben sind, verstehen die meisten im koreanischen Alltagsgebrauch unter “카스트 제도” die „für indische Hindus typische Ständeordnung, die etwa aus dem Manusmriti hervorgegangen ist“. Unter Berücksichtigung des Kontexts des Originals habe ich es deshalb mit “계급” übersetzt. Es ist plausibler, “caste” hier nicht auf ein bestimmtes Land (Indien) oder eine bestimmte Religion (Hinduismus) zu beschränken, sondern als Bezeichnung für alle Arten und Formen von Statussystemen und die daraus hervorgehenden Klassen zu verstehen.

Verwendung von “성” statt “성별”

We are committed to fostering an environment that respects and promotes the dignity, rights, and contributions of all individuals, regardless of … sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation … or other status.

Wenn man die Werte und den Kontext berücksichtigt, die das Original vermitteln will, dann sind “sex”, “gender” und “sexual orientation” hier sicher nicht im Sinne einer Unterscheidung nach einem binären Mann-Frau-Schema gemeint. Deshalb habe ich statt “성별”, das unterschwellig genau diese binäre Unterscheidung mittransportiert, das Wort “성” verwendet und die begrifflichen Unterschiede zwischen sex, gender und sexuality aus geistes- und sozialwissenschaftlicher Sicht möglichst zu bewahren versucht, sodass ich es wie folgt übersetzt habe.

… 생물학적 또는 사회적 성, 성 정체성 또는 성 표현, 성적 지향…

Abschnitt “장려하는 행동(Encouraged Behaviors)” und “제한하는 행동(Restricted Behaviors)”

Weglassen des Doppelpunkts (:)

With these considerations in mind, we agree to behave mindfully toward each other and act in ways that center our shared values, including:

1. Respecting the purpose of our community, our activities, and our ways of gathering.
2. Engaging kindly and honestly with others. …

Im englischen Original ist es üblich, wie oben nach einem abgeschlossenen Satz mit einem Doppelpunkt eine Liste von Beispielen anzuschließen. In den Normen des modernen Koreanischen ist die Verwendung des Doppelpunkts jedoch im Wesentlichen auf stichpunktartige Formulierungen beschränkt, etwa wenn nach einer Überschrift die einzelnen Punkte oder Erläuterungen folgen. Deshalb wirkt eine Form wie die folgende, sofern der gesamte Text nicht ohnehin stichpunktartig geschrieben ist, sehr unnatürlich und vermittelt leicht den Eindruck einer groben maschinellen Übersetzung oder einer hastig mit einem LLM erzeugten Fassung. Persönlich war das auch einer der Punkte, die ich an der koreanischen Übersetzung von Version 2.1 sehr bedauerlich fand.

이러한 점을 유념하며, 우리는 서로를 사려 깊게 대하고 우리가 공유하는 다음 가치를 중심으로 행동할 것에 동의합니다:

1. 우리 공동체의 목적, 활동 및 모임 방식을 존중합니다.
2. 친절하고 정직하게 다른 사람들과 소통합니다. …

Daher habe ich die Stellen mit Doppelpunkt nicht einfach als 쌍점 ins Koreanische übertragen, sondern sie der koreanischen Schreibweise entsprechend in Sätze mit Punkt(.) umgeformt, damit der Text natürlich wirkt.

Zur Übersetzung der Formulierung “that would generally be considered inappropriately”

Hier habe ich “generally” nicht wörtlich als “일반적으로”, sondern dem Kontext nach natürlicher als “대부분의 사람들에게” übersetzt.

…대부분의 사람들이 부적절하다고 간주할 만한…

Zur Übersetzung der Formulierung “act on”

Zunächst habe ich überlegt, “act on” schlicht als “이용하다” zu übersetzen. Im Kontext geht es jedoch eher darum, jegliche Handlungen zu untersagen, die — unabhängig von der Absicht — auf persönlichen Identitäts- oder Privatinformationen anderer beruhen. Wenn man das nur mit “이용하다” wiedergibt, schränkt das die Bedeutung zu stark ein. Daher habe ich es wie folgt übersetzt.

비밀 침해. 타인의 신상 관련 정보 또는 개인적인 정보를 당사자의 허락 없이 공유하거나, 그 정보를 바탕으로 행하는 모든 행위.

Abschnitt “문제 신고(Reporting an Issue)”

• “this Code of Conduct reinforces encouraged behaviors and norms that …”: mit “본 행동 강령은 …는 권장 행동 방식과 규범을 증진합니다” übersetzt
• “in a timely manner”: mit “적시에” übersetzt
• “while prioritizing safety and confidentiality”: mit “안전과 비밀 유지를 우선시한다는 전제 하에” übersetzt
• “In order to honor these values”: mit “이들 가치를 지키기 위해” übersetzt

  (Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

  honor verb
  keep promise 3. honor something (formal) to do what you have agreed or promised to do

Abschnitt “피해 대응 및 교정(Addressing and Repairing Harm)”

• “Addressing”: als “대응” übersetzt
• “Repairing”: als “교정” übersetzt

Übersetzung von Event:, Consequence:, Repair:

Das war ein Teil, bei dem ich etwas länger nachdenken musste, weil sich diese Begriffe nur schwer natürlich ins Koreanische übertragen lassen. Wenn man sie wörtlich als “사건”, “결과”, “교정” übersetzt, wirkt der Text ziemlich holprig.

Damit der Text natürlich bleibt und zugleich die Philosophie des Originals möglichst vollständig vermittelt, habe ich nach einigem Überlegen schließlich wie folgt übersetzt.

• “Event”: als “적용 상황”
• “Consequence”: als “대응 조치”
• “Repair”: zunächst zog ich “회복 조치” in Betracht, verwarf dies aber wieder, weil “조치” stärker nach Eingriff und Durchsetzung durch Dritte klingt als nach freiwilliger Reflexion und Verbesserung durch die betroffene Person selbst und damit der Intention des Originals widerspricht. Letztlich habe ich mich für “교정 노력” entschieden.

Zur Übersetzung der Formulierung “seeking clarification on expectations”

“expectations” ließe sich zwar wörtlich als “기대 사항” übersetzen, und das wäre bedeutungsmäßig nicht falsch, aber für einen flüssigeren Text habe ich es als “준수 사항” wiedergegeben.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

expectation noun
3. [countable, usually plural] a strong belief about the way something should happen or how somebody should behave

“seeking clarification” könnte man auch als “해명(clarification) 요구(seeking)” wiedergeben. Im Kontext geht es in den Punkten zu den 교정 노력(Repair) jedoch darum, welches wünschenswerte nachträgliche Verhalten und welche Haltung die Person zeigen sollte, die ein Problem verursacht hat. Wenn man clarification und seeking hier jeweils als 해명 und 요구 übersetzt, wird die Bedeutung schief. Am passendsten erschien mir hier eine Wiedergabe als Bemühung darum, die “준수 사항”(expectations) klar zu 확인하고 숙지하기(clarification), um aus eigener Reflexion heraus denselben Fehler nicht zu wiederholen.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

seek verb
2. [transitive] to ask somebody for something; to try to obtain or achieve something

clarification noun
[uncountable, countable] (formal)
the act or process of making something clearer or easier to understand

• I am seeking clarification of the regulations.

Zur Übersetzung der Formulierung “cooldown”

Wörterbuchhaft hat das Wort Bedeutungen wie Abkühlung, Cool-down nach dem Training oder Beruhigung; hier wurde es dem Kontext nach am ehesten im Sinn von Beruhigung verwendet. Es ist dem “식히다” in Ausdrücken wie „머리 좀 식혀라.“ am nächsten.

Allerdings klingt es etwas unnatürlich, “time-limited cooldown period” als “한시적 진정 기간” zu übertragen. Deshalb habe ich in dieser koreanischen Übersetzung “cooldown period” als “자숙 기간” übersetzt.

Zur Übersetzung der Formulierung “time to process the incident”

Wie oben ausgeführt habe ich dies als “해당 일을 추스를 시간” übersetzt.

Zur Übersetzung der Begriffe “suspension” und “ban”

In der bestehenden koreanischen Übersetzung von Version 2.1 wurde “ban” mit “제재” übersetzt. “제재” ist jedoch ein Oberbegriff, der alle möglichen Maßnahmen gegen Verstöße umfasst, also auch niedrigere Stufen wie Warnungen oder vorübergehende Aktivitätseinschränkungen, weshalb die Bedeutung unscharf bleibt. Das englische Wort “ban” ist seinerseits eindeutig im Sinn von Verbot oder Sperre, und Ausdrücke wie „dauerhafte Sperrung eines Accounts“ sind auch im Koreanischen ganz geläufig und natürlich. Ich sah daher keinen besonderen Grund, dies um jeden Preis frei zu paraphrasieren.

Dasselbe gilt für “suspension”: Auch hier ist die Bedeutung als Aussetzung bzw. Sperre klar, sodass es keinen zwingenden Grund für eine freie Umschreibung gibt.

Deshalb habe ich “Temporary Suspension” und “Permanent Ban” jeweils als “일시적 정지” und “영구 정지” übersetzt.

Zur Übersetzung des Satzes “This enforcement ladder is intended as a guideline.”

Den Ausdruck “enforcement ladder” habe ich als “단계적 집행 기준” übersetzt. Außerdem wird dieser Satz in dem Kontext verwendet, dass die oben beschriebenen 단계적 집행 기준 eben nur als eine von mehreren möglichen Optionen präsentiert werden und die Ermessens- und Entscheidungsbefugnis der Community-Leitung gewahrt bleibt. Deshalb habe ich den unbestimmten Artikel “a” als “하나의” wiedergegeben. In der Übersetzung habe ich daher wie folgt formuliert.

이 단계적 집행 기준은 하나의 기준선으로 마련한 것입니다. 이는 커뮤니티의 최선의 이익에 부합하는 커뮤니티 관리자의 재량권과 판단 권한을 제한하지 않습니다.

Schlussbemerkung

Bei vielen Dokumenten und Projekten mit gemeinnützigem Charakter werden Übersetzungen in verschiedene Sprachen von Freiwilligen und Mitwirkenden erstellt. Gerade bei koreanischen Übersetzungen habe ich jedoch nicht selten erlebt, dass es entweder gar keine Übersetzung gab, weil sich niemand beteiligt hatte, oder dass zwar eine vorhanden war, sie aber so mechanisch wirkte, dass ich trotz meiner Muttersprache dachte: „Dann lese ich lieber gleich die englische Originalseite“, und auf die englische Seite wechselte.

Als ich mich diesmal dazu entschloss, zur koreanischen Übersetzung beizutragen, wollte ich — wenn ich schon beitrage — eine qualitativ hochwertige Übersetzung liefern, die sich für die Lesenden so natürlich anfühlt, als hätte ein koreanischer Autor den Text von Anfang an auf Koreanisch geschrieben. Ich habe versucht, die Philosophie und die feinen Kontexte des Originals zu verstehen und einzuarbeiten, insbesondere auch, welche Formulierungen sich in Version 3.0 gegenüber 2.1 geändert haben und aus welchen Gründen die ursprünglichen Autor*innen diese Entscheidungen getroffen haben könnten.

Aufgrund der Natur von Sprache ist Übersetzung nichts, das bei gleichem Input wie eine Funktion stets denselben Output erzeugt. Jede Übersetzerin und jeder Übersetzer wird zu einem etwas anderen Ergebnis kommen. Das hat einerseits mit Können zu tun, rührt aber im Kern daher, dass es bei Übersetzung — und darüber hinaus beim Schreiben selbst — keine einzige festgelegte richtige Antwort gibt. In letzter Zeit nutze ich KI unterstützend für fast alle Arbeiten; selbst die Beiträge in diesem Blog werden über eine angebundene LLM-API automatisch in mehrere Sprachen übersetzt und veröffentlicht. Aber gerade diese Arbeit wollte ich wirklich ernsthaft und so gut machen, wie ich nur kann. Ich habe jede einzelne Formulierung mehrfach geprüft und darüber nachgedacht, welcher Ausdruck die Bedeutung des Originals möglichst unverzerrt und vollständig, zugleich aber natürlich transportiert. Das Ergebnis spiegelt mein subjektives, aber bestmögliches Urteil und meine Interpretation wider. In einer Zeit, in der alle KI nutzen, bin ich überzeugt, dass gerade bei der Übersetzung wichtiger Dokumente wie eines solchen Versprechens oder Verhaltenskodexes ein Mehrwert gegenüber einem bloßen „Hier ist der Originaltext, bitte übersetze ihn“ für eine KI vorhanden sein muss, damit die Übersetzung überhaupt einen Wert hat. Zumindest nach dem Stand von März 12026 bin ich überzeugt, dass ich in dieser Übersetzung die feinen Nuancen und Kontexte des Originals vollständig bewahrt habe, die maschinelle Übersetzung oder LLMs noch nicht vollständig erfassen.

Mit Stand vom 20. März 12026 ist Version 3.0 des Contributor Covenant außer im englischen Original und in dieser koreanischen Übersetzung, die ich diesmal eingereicht habe, bislang nur in drei weiteren Sprachen vollständig übersetzt: Bengalisch, Deutsch und Festlandchinesisch. Wenn man sich die Liste der offenen PRs ansieht, gibt es darüber hinaus viele Sprachen, für die zwar ein erster Übersetzungsentwurf bereits als PR eingereicht wurde, die aber mangels Reviewerinnen noch nicht endgültig freigegeben werden konnten. Viele andere Sprachen sind nicht einmal bei 3.0 angekommen, sondern noch bei 1.4 stehengeblieben. Falls es aus irgendeinem Grund Leserinnen dieses Textes gibt, deren Sprache nicht Koreanisch ist, wäre es für OES und die Sprecherinnen der jeweiligen Sprache sicherlich eine große Hilfe, wenn sie zur Übersetzung beitragen würden; der Weg dorthin ist nicht besonders kompliziert, und schon ein Tag am Wochenende würde dafür reichen. Auch für mich war es das erste Mal, dass ich zu einer solchen Übersetzungsarbeit beigetragen und den vollständigen Text eines Verhaltenskodexes aufmerksam gelesen habe, aber ich denke, dass die investierten Stunden den Aufwand eindeutig wert waren. Korea gehört gemessen an seiner Gesamtbevölkerung zu den Ländern mit einer recht großen Zahl von Entwicklerinnen, die in Open-Source-Communitys wie GitHub aktiv sind. Umso mehr würde ich mich freuen, wenn sich auch andere koreanische Leser*innen an der Begutachtung der diesmal übersetzten und eingereichten koreanischen Fassung des Contributor Covenant 3.0 Code of Conduct beteiligen und sie darüber hinaus vielerorts sinnvoll übernommen und genutzt würde.

Wie Professor Nathan Schneider in dem Blogbeitrag von OES sagt, funktioniert das Contributor Covenant als unverzichtbare Grundlage für den Aufbau verantwortungsvoller und transparenter Communities und hat tatsächlich dazu beigetragen, Konflikte zu lösen. Gewohnheitsmäßig klicken viele auf GitHub wohl einfach auf den Button „Add a code of conduct“ und fügen eine Vorlage ein, aber die von GitHub automatisch bereitgestellte Vorlage wird aus irgendeinem Grund seit Version 2.0 nicht mehr aktualisiert. Version 3.0 bringt gegenüber 2.0 und 2.1 erhebliche Veränderungen und Verbesserungen mit sich; deshalb möchte ich anregen, wenn möglich lieber über die offizielle Seite die neueste Version zu übernehmen. Der Text ist gar nicht so lang, sodass es umso sinnvoller wäre, ihn in diesem Zuge wenigstens einmal in Ruhe vollständig zu lesen. Ich hoffe auf viel Interesse für den Contributor Covenant 3.0 Code of Conduct und für die koreanische Übersetzung, an der ich diesmal gearbeitet habe, und belasse es dabei.

Was sind IR-Unterlagen?

IR ist die Abkürzung für Investor Relations und bezeichnet einen Sammelbegriff für sämtliche Materialien und Aktivitäten, die notwendig sind, um ein Unternehmen gegenüber Investor:innen zu erklären und zu positionieren, Beziehungen aufzubauen und Investment einzuwerben. Mit „IR-Unterlagen“ meint man üblicherweise die Dokumente, mit denen ein Unternehmen Investor:innen im Rahmen der Kapitalaufnahme vorgestellt wird.

Inhalte, die in IR-Unterlagen enthalten sein sollten

Da das Ziel von IR-Unterlagen die Kapitalaufnahme ist, muss aus Investorensicht überzeugend dargelegt werden, warum man in dieses Unternehmen investieren sollte. Entsprechend sollten sie u. a. eine Service-Zusammenfassung, Marktumfeld, Produkt-/Servicebeschreibung, Wettbewerbssituation, Traktion/Ergebnisse, Geschäftsmodell, zukünftigen Wachstumsplan, Teamaufstellung usw. abdecken.

• Pitch Deck:
  • Ziel: kurz und eindrucksvoll bei einer breiten Gruppe potenzieller Investor:innen einen positiven ersten Eindruck hinterlassen
  • Einsatz bei frühen Finanzierungsrunden
  • Typischerweise 10–15 Slides, knapp und mit Fokus auf visuelle Inhalte
• IR Deck:
  • Liefert vertiefte Finanzinformationen und langfristige Strategie des Unternehmens
  • Für professionelle Investor:innen, die bereits Interesse zeigen und kurz vor einer Entscheidung stehen
  • Ermöglicht Investor:innen eine tiefergehende Bewertung und Entscheidung
  • Typischerweise 20–30 Slides, mit detaillierteren Informationen wie Finanzplan, Marktanalyse, Teamaufstellung, Wettbewerbsanalyse usw.

Mission/Vision (Mission/Vision)

• Welchen grundlegenden Wert will das Unternehmen liefern?

Dieser Teil kann als Kernidentität des Unternehmens verstanden werden. Es ist sinnvoll, ganz am Anfang der IR-Unterlagen Mission und Vision jeweils in einem Satz knapp, aber eindeutig zu formulieren.

Service-Zusammenfassung

Problem

• Welches Problem am Markt soll der Service lösen?
• Wie stark empfinden Kund:innen dieses Problem als unbequem/Belastung?
• Warum ist das Problem wichtig?
• Gibt es Nachfrage nach einer Lösung? Wer ist die Zielgruppe?

Lösung (Solution)

• Wie wird das zuvor genannte Problem konkret gelöst?
• Welche Vorteile ergeben sich für Kund:innen und Endnutzer:innen gegenüber bestehenden Ansätzen?

Da Investor:innen in vielen Fällen keine Fachexpert:innen in dem Gebiet sind, ist es empfehlenswert, den Service aus Sicht von Nutzer:innen (nicht aus Entwicklersicht) zu erklären. Technische Details sollte man bei späteren Rückfragen separat vertiefen.

Marktgröße (Market Size)

Wenn man die Marktgröße direkt als Geldbetrag festlegt, kann das Ergebnis je nach Berechnungsmethode und vielen Variablen stark schwanken; zudem ist das Risiko relativ hoch, dass Widerspruch entsteht. Es ist oft sicherer und wirksamer, alternative Kennzahlen wie Anzahl potenzieller Nutzer:innen, Anzahl/Häufigkeit von Transaktionen usw. zu definieren und damit die Marktgröße zu belegen.

• TAM (Total Addressable Market, Gesamtmarkt): Unter der idealisierten Annahme, dass man alle Wettbewerber ausblendet und 100% Weltmarktanteil erreicht—die theoretisch maximal erreichbare Marktgröße, wenn man das Produkt bzw. den Service weltweit anbietet
• SAM (Service Available Market, adressierbarer Markt): Die Marktgröße im realistisch adressierbaren Rahmen unter Berücksichtigung geografischer, infrastruktureller und regulatorischer Einschränkungen—also der Markt, den das Unternehmen tatsächlich anstrebt
• SOM (Service Obtainable Market, erreichbarer Markt / Umsatzmarkt): Der Marktanteil bzw. die Marktgröße, die man innerhalb des SAM unter Berücksichtigung von Wettbewerb, Unternehmensfähigkeiten, Marketingstrategie usw. zu Beginn tatsächlich erreichen kann

Bei der Schätzung der Marktgröße werden für Gesamtmarkt oder adressierbaren Markt häufig konkrete Zahlen und Indikatoren aus Drittquellen (Marktforschung) zitiert. Für den aus Startup-Sicht kurzfristig wichtigeren „Umsatzmarkt“ wird dann oft nach dem Muster erklärt: „Wenn wir in diesem Markt X% Anteil erreichen, erzielen wir Umsatz Y.“ Ehrlich gesagt habe auch ich, als ich gerade erst mit der Gründungsvorbereitung begann, meinen ersten internen IR-Entwurf genau so geschrieben.

Das Problem dabei ist: Aus Investorensicht ist ein Plan, „X% des Marktes zu erobern“, schwer zu glauben. Man gewinnt Marktanteile nicht automatisch nur durch einen Launch, und vage zu behaupten, man werde bei allen Marktteilnehmern X% erreichen, ist wenig überzeugend.

Wichtig ist, gleichzeitig zu zeigen, dass Gesamt- und adressierbarer Markt groß genug sind, und zudem eine schlüssige Argumentation zu liefern, wie man den initialen Kundensektor (Immediate Market) definiert und anschließend weitere Kundensegmente schrittweise erschließt, um den Umsatzmarkt zu vergrößern.

Business-Timing

• Timing ist im Business ebenfalls sehr wichtig
• Man muss Investor:innen erklären können, warum dieses Geschäft jetzt gut funktionieren kann und warum man jetzt investieren sollte
• Es sollten Gründe genannt werden, warum gerade jetzt ein geeigneter Zeitpunkt zur Umsetzung ist: technologische Machbarkeit, Veränderungen im Verhalten der Menschen, gesellschaftliche Trends, Veränderungen im Umfeld usw.

Produkt-/Servicebeschreibung (Product)

• Was sind die wichtigsten Merkmale und Funktionen des Produkts/Services?
• Wie funktioniert es konkret, und welche Beispiele gibt es?

Geschäftsmodell (Business Model)

• Wie wird Geld verdient?
• Wer zahlt? (Da Endnutzer:in und zahlende Kundschaft nicht immer identisch sind, muss klar benannt werden, wer tatsächlich den Umsatz generiert.)
• Wofür wird abgerechnet? Wie ist die Preisgestaltung?

Wettbewerb (Competition)

• Wer sind die wichtigsten Wettbewerber?
• Inwiefern ist das eigene Produkt bzw. der eigene Service aus Kundensicht gegenüber Konkurrenzprodukten/-services überlegen und vorteilhaft?
• Welche Angebote definiert man als Wettbewerbsservices, und welche Kundengruppe wird als Hauptziel anvisiert?

Eine saubere Wettbewerbsanalyse hilft, Investor:innen effektiv zu zeigen, dass man die Marktsituation gut versteht.

Traktion und Markteintrittsstrategie (Go-to Market Strategy)

• Welche Kernkennzahl ist für den Geschäftserfolg am wichtigsten?
  • z. B. Anzahl Bestellungen, monatlich aktive Nutzer:innen (MAU), monatliches Transaktionsvolumen usw.
• Welche Ergebnisse/Traktion gab es entlang dieser Kennzahl?
• Was sind die wichtigsten Marketingmittel und -kanäle?
• Welche Maßnahmen und Kosten gibt es für die Neukundengewinnung?
• *Wie hoch ist der Customer Lifetime Value (LTV)?

*Customer Lifetime Value (LTV): Kennzahl dafür, wie viel Gewinn eine Nutzerin bzw. ein Nutzer während der gesamten Nutzungsdauer des Services insgesamt bringt

Es ist empfehlenswert, Nebenkennzahlen außerhalb der Kernmetriken wegzulassen.

Wenn es sich um ein extrem frühes Startup ohne Umsatz handelt

• Den Break-even-Point des angebotenen Services definieren und darstellen
• Dabei Umsatzkennzahlen nicht „schönrechnen“, sondern konservativ und realistisch ansetzen
• Ein Umsatzszenario für das erste Jahr mit Umsatzplanung für die folgenden Jahre ergänzen, um Vertrauen zu schaffen, dass kontinuierliches Wachstum möglich ist
  • 1-Jahres-Kurzfristprognose
  • 3-Jahres-Mittelfristprognose
  • 5-Jahres-Langfristprognose
• Grafiken und Tabellen aktiv nutzen, damit Inhalte auf einen Blick erfassbar sind
• Eine Slide zur Hypothesenvalidierung aufnehmen und überzeugend begründen, warum man die Kernkennzahl und das Umsatzszenario so angesetzt hat, um die Argumentation zu stärken
  • Es sollte durch wiederholte Experimente und Hypothesenvalidierung eine belastbare Grundlage für das erwartete Umsatzszenario geschaffen werden

Team

• Nicht alle vorstellen, sondern—inklusive der Geschäftsführung—vor allem die Kernmitglieder mit entscheidenden Rollen
• Berufserfahrung und Skills auf ca. 2–3 Punkte begrenzen und mit Logos o. Ä. gut lesbar darstellen
• Falls es Investor:innen oder Advisor gibt, die wesentliche Beiträge geleistet haben oder leisten, kann man sie ebenfalls aufnehmen

Zukünftiger Wachstumsplan (Milestones)

• Ziele nach Zeitpunkten und Phasen darstellen
• Üblich ist es, Ziele bis zur nächsten Finanzierungsrunde zu definieren (bei Seed bis vor Series A, bei Series A bis vor Series B)
• Gewünschte Investmentsumme und Verwendungsplan angeben
• Dabei Zeitabschnitte nicht zu grob wählen (z. B. nicht in Halbjahresschritten), sondern eher in Einheiten von etwa 2 Monaten gliedern

Finanzplanung (Financials)

Beim IR Deck sollte die Finanzplanung enthalten sein.

• Finanzplan für die nächsten 3–5 Jahre
• Unit Economics: Einnahmen und Kosten pro Kundeneinheit
• Burn Rate: Verhältnis/Tempo der Cash-Ausgaben eines jungen Unternehmens für Gründungskosten, F&E, sonstige Kosten
• Gesamteinnahmen und Gesamtkosten
• EBITDA oder Cashflow-Statement usw.

• Darauf achten, keine unrealistischen Finanzpläne zu präsentieren
• Prognostizierte Umsätze werden oft überschätzt und Kosten unterschätzt—daher bei der Umsatzplanung besonders sorgfältig sein
• Kosten möglichst präzise schätzen, unter Einbezug von Produkt-/Serviceentwicklung sowie Betriebskosten usw.

Punkte, die je nach Investmentphase besonders zu betonen sind

Seed

• Phase: MVP entwickeln, Marktreaktion prüfen und die Tragfähigkeit des Geschäftsmodells validieren
• Ergebnisse der initialen Hypothesen-/Business-Model-Validierung, MVP-Experimente und daraus resultierende Umsätze sollten stark betont werden

Pre-A

• Phase: Wachstumspotenzial belegen und zusätzliches Kapital für Produktentwicklung, Marketing, Hiring usw. sichern
• Erfordert eine Erklärung, welche Kernkennzahl entscheidend ist, wie gut man durch welche Aktivitäten wächst, und wie das weitere Wachstumspotenzial aussieht

Series A

• Phase: Skalierung mit dem Ziel, den Unternehmenswert deutlich zu steigern
• Da Hypothesenvalidierung zu diesem Zeitpunkt abgeschlossen sein sollte, muss man Investor:innenvertrauen durch quantitative Ergebnisse und Leistungsnachweise gewinnen

Einige Tipps

• Besonders in die ersten fünf Slides investieren, um einen positiven ersten Eindruck zu hinterlassen
• Mission/Vision der ersten Slide kann man auf der letzten Slide nochmals aufnehmen
• Alle Inhalte nach dem Prinzip „Kernaussage zuerst“ strukturieren
• Gegenstand des Investments ist das Unternehmen—daher sollte in IR-Unterlagen der Firmenname vor dem Servicenamen stehen
• Da potenzielle Investor:innen keine Brancheninsider sein müssen: möglichst einfache Begriffe verwenden und bei unvermeidbaren Fachbegriffen eine Erklärung ergänzen
• Marktproblem und Lösung nicht vermischen, sondern trennen
• Text eher als Keywords, bei Bildern Screenshots möglichst vermeiden und die Lesbarkeit erhöhen
• Exakte und konkrete Zahlen in Tabellen oder Grafiken angeben
• Darauf achten, Teamvorstellung sowie gewünschte Investmentsumme und Verwendungsplan nicht zu vergessen
• Eine Exit-Strategie zur Rückführung des Investments ebenfalls darstellen
• Auch wenn nicht perfekt: einen groben Plan zur Aktionärsstruktur (welche Anteile für wen) angeben
• Nicht zu viele Daten in den Hauptteil packen; bei Bedarf als Anhang auslagern
• Auf der letzten Slide Kontaktdaten (E-Mail, Telefonnummer, Name) angeben
• Die Schriftart ist ebenfalls wichtig: gut lesbare Fonts wie Pretendard verwenden und zur Vermeidung von Darstellungsfehlern als PDF vorbereiten

Referenzen

Unternehmensoffenlegungskanal KIND

https://kind.krx.co.kr/corpgeneral/irschedule.do?method=searchIRScheduleMain&gubun=iRMaterials

• Von der Korea Exchange (KRX) betriebener Kanal für Unternehmensoffenlegungen
• Stellt Offenlegungsinformationen für an KOSPI, KOSDAQ und KONEX gelistete Unternehmen bereit
• Da man IR-Unterlagen börsennotierter Unternehmen einsehen kann, eignet es sich, um die Struktur aktuell erstellter IR-Unterlagen anderer Unternehmen nachzuvollziehen

암호학이란

Kryptographie (cryptography) ist im Kern ein Teilgebiet der Wissenschaft, dessen Ziel es ist, Protokolle (protocols) gegen feindliche Handlungen zu verteidigen.

Ein Protokoll ist hier eine Liste von Schritten, die eine oder mehrere Personen befolgen müssen, um etwas zu erreichen. Möchte man etwa eine Zwischenablage (Clipboard) zwischen Geräten teilen, könnte ein Protokoll zur Zwischenablagen‑Freigabe folgendermaßen aussehen:

1. Sobald sich auf einem der Geräte der Inhalt der Zwischenablage ändert, kopiert dieses den Inhalt und lädt ihn auf einen Server hoch.
2. Der Server informiert die übrigen Geräte darüber, dass sich die gemeinsame Zwischenablage geändert hat.
3. Die übrigen Geräte laden den neuen, gemeinsamen Zwischenablagen‑Inhalt vom Server herunter.

Dies ist allerdings kein gutes Protokoll: Wenn der Inhalt der Zwischenablage im Klartext auf den Server hochgeladen und wieder heruntergeladen wird, kann jemand während der Übertragung – oder auch der Serverbetreiber selbst – den Inhalt mitlesen. Die Kryptographie übernimmt hier die Aufgabe, das Protokoll gegen einen möglichen Gegner zu schützen, der versucht, den Inhalt der Zwischenablage auszuspähen.

대칭 암호학

대칭 암호화

Stellen wir uns vor, Alice müsse Bob einen Brief schicken. Alice befiehlt einem Boten (messenger), den Brief zu Bob zu bringen, um ihm vertrauliche Informationen mitzuteilen.
Alice vertraut dem Boten jedoch nicht vollständig und möchte, dass die übermittelte Nachricht für alle – einschließlich des Boten – außer Bob geheim bleibt.

Für solche Situationen wurde schon vor langer Zeit eine kryptographische Klasse von Algorithmen erfunden, nämlich symmetrische Verschlüsselungsalgorithmen (symmetric encryption algorithms).

프리미티브(primitive)
Das Wort Primitive (primitive) bedeutet im Wörterbuch so viel wie „ursprünglich“, „elementar“.
Auch in der Kryptographie wird dieser Begriff häufig verwendet; dort bezeichnet Primitive die kleinsten funktionalen Einheiten oder Algorithmen, aus denen ein kryptographisches System aufgebaut ist.
Man kann sie sich als „Grundbausteine“ oder „Basislogik“ vorstellen.

Betrachten wir eine Primitive, die die folgenden zwei Funktionen bereitstellt:

• ENCRYPT: Nimmt einen geheimen Schlüssel (secret key) (typischerweise eine große Zahl) und eine Nachricht (message) als Eingabe entgegen und liefert eine Zahlenfolge als verschlüsselte Nachricht.
• DECRYPT: Die Umkehrfunktion von ENCRYPT, die bei Eingabe desselben geheimen Schlüssels und der verschlüsselten Nachricht die ursprüngliche Nachricht ausgibt.

Um mit einer solchen kryptographischen Primitive zu verhindern, dass der Bote oder andere Dritte die Nachricht von Alice lesen können, müssen Alice und Bob sich zunächst im Voraus treffen und sich auf einen geheimen Schlüssel einigen. Danach kann Alice mithilfe der Funktion ENCRYPT und des vereinbarten geheimen Schlüssels ihre Nachricht verschlüsseln und die verschlüsselte Nachricht über den Boten an Bob übermitteln. Bob wiederum verwendet denselben geheimen Schlüssel zusammen mit der Funktion DECRYPT, um die ursprüngliche Nachricht wiederherzustellen.

Der Prozess, einen Inhalt mit einem geheimen Schlüssel zu verschlüsseln und so zu verwandeln, dass er sich äußerlich nicht von bedeutungslosem Rauschen unterscheidet, ist ein typisches Verfahren der Kryptographie, um Protokolle zu schützen.

Symmetrische Verschlüsselung gehört zu der übergeordneten Klasse der symmetrischen Kryptographie (symmetric cryptography) bzw. Geheimschlüssel‑Kryptographie (secret key cryptography); je nach Verfahren können dabei auch mehr als zwei Schlüssel im Spiel sein.

케르크호프스의 원칙

Heute verfügen wir mit Computern und dem Internet über ein Kommunikationsmittel, das erheblich leistungsfähiger ist als Papierbriefe, und können nahezu in Echtzeit kommunizieren. Umgekehrt bedeutet dies jedoch auch, dass böswillige „Boten“ deutlich mächtiger geworden sind: Das kann ein unsicheres öffentliches WLAN in einem Café sein, ein Internetdienstanbieter (ISP), verschiedene Netzkomponenten und Server, aus denen das Internet besteht und die Nachrichten weiterleiten, Regierungsbehörden oder sogar ein Angreifer innerhalb des eigenen Geräts, auf dem der Algorithmus ausgeführt wird. Gegner können mehr Nachrichten in Echtzeit beobachten und sie unbemerkt im Nanosekundenbereich manipulieren, abhören oder zensieren.

Aus der langen Geschichte von Versuch und Irrtum in der Kryptographie ist ein grundlegendes Prinzip für verlässliche Sicherheit hervorgegangen: Die Primitive müssen öffentlich analysiert werden können. Das gegenteilige Vorgehen wird häufig als Sicherheit durch Obskurität (security by obscurity) bezeichnet; dessen Grenzen sind klar und dieser Ansatz gilt heute als überholt.

Dieses Prinzip wurde erstmals 11883 vom niederländischen Sprachwissenschaftler und Kryptographen Auguste Kerckhoffs formuliert und wird Kerckhoffs’ Prinzip (Kerckhoffs’s principle) genannt. Der US‑amerikanische Mathematiker, Informatiker, Kryptograph und Vater der Informationstheorie Claude Shannon drückte dasselbe Prinzip auch so aus: „Der Feind kennt das System (The enemy knows the system)“, also: „Beim Entwurf eines Systems muss man davon ausgehen, dass der Gegner das System kennt.“ Diese Formulierung ist als Shannons Maxime (Shannon’s maxim) bekannt.

Die Sicherheit eines Kryptosystems soll ausschließlich von der Geheimhaltung des Schlüssels abhängen; das System selbst darf auch dann sicher bleiben, wenn es bekannt ist – im Idealfall wird es sogar aktiv veröffentlicht, damit viele Kryptoanalytiker (cryptanalysts) es wie im Fall von AES prüfen können. Alles Geheime birgt stets das Risiko, offenzulegen, und stellt somit einen potenziellen Schwachpunkt dar. Daher ist es aus Sicht der Verteidiger umso günstiger, je weniger geheim gehalten werden muss. Ein großes, komplexes System wie ein vollständiges Kryptosystem über lange Zeit geheim zu halten, ist sehr schwierig, wohingegen es deutlich einfacher ist, lediglich den Schlüssel geheim zu halten. Selbst wenn ein Geheimnis doch einmal kompromittiert wird, ist es außerdem erheblich leichter, nur den betroffenen Schlüssel durch einen neuen zu ersetzen, als das gesamte Kryptosystem auszutauschen.

비대칭 암호학

Viele reale Protokolle basieren tatsächlich auf symmetrischer Kryptographie. Dieses Vorgehen setzt allerdings voraus, dass sich die beteiligten Parteien zumindest einmal physisch treffen, um einen gemeinsamen Schlüssel festzulegen. Es stellt sich also die Frage, wie man im Vorfeld einen Schlüssel bestimmt und sicher teilt – dies wird als Schlüsselverteilung (key distribution) bezeichnet. Das Problem der Schlüsselverteilung galt lange als sehr schwierig, bis es in der zweiten Hälfte der 11970er Jahre durch die Entwicklung einer neuen Klasse von kryptographischen Algorithmen gelöst wurde: der asymmetrischen Kryptographie (asymmetric cryptography) oder Public‑Key‑Kryptographie (public key cryptography).

Typische asymmetrische kryptographische Primitive sind Schlüsselaustausch (key exchange), asymmetrische Verschlüsselung (asymmetric encryption) und digitale Signaturen (digital signatures).

키 교환

Schlüsselaustausch funktioniert grob wie folgt:

1. Alice und Bob einigen sich auf einen gemeinsamen Parametersatz $G$.
2. Alice und Bob wählen jeweils ihren eigenen geheimen Schlüssel (private key) $a$ bzw. $b$.
3. Alice und Bob kombinieren den gemeinsamen Parametersatz $G$ mit ihren geheimen Schlüsseln $a$ und $b$, um ihre öffentlichen Schlüssel (public keys) $A = f(G,a)$ bzw. $B = f(G,b)$ zu berechnen, und veröffentlichen diese.
4. Alice berechnet mit Bobs öffentlichem Schlüssel $B = f(G,b)$ und ihrem eigenen geheimen Schlüssel $a$ den Wert $f(B,a) = f(f(G,b),a)$; Bob berechnet entsprechend mit Alices öffentlichem Schlüssel $A = f(G,a)$ und seinem geheimen Schlüssel $b$ den Wert $f(A,b) = f(f(G,a),b)$.
5. Wählt man eine geeignete Funktion $f$ mit der Eigenschaft $f(f(G,a),b) = f(f(G,b),a)$, so teilen Alice und Bob am Ende dasselbe Geheimnis. Ein Dritter kennt zwar $G$ sowie die öffentlichen Schlüssel $A = f(G,a)$ und $B = f(G,b)$, kann daraus aber nicht $f(A,b)$ rekonstruieren und erfährt das Geheimnis somit nicht.

Das auf diese Weise geteilte Geheimnis wird üblicherweise als geheimer Schlüssel für die symmetrische Verschlüsselung verwendet, um später weitere Nachrichten auszutauschen.

Der erste veröffentlichte und bis heute bekannteste Schlüsselaustausch‑Algorithmus ist der nach seinen beiden Erfindern Diffie und Hellman benannte Diffie‑Hellman‑Schlüsselaustausch.

Auch der Diffie‑Hellman‑Schlüsselaustausch hat jedoch Grenzen. Betrachten wir den Fall, dass ein Angreifer die öffentlichen Schlüssel $A = f(G,a)$ und $B = f(G,b)$ während des Austauschs abfängt und jeweils durch seinen eigenen öffentlichen Schlüssel $M = f(G,m)$ ersetzt, bevor er sie an Alice und Bob weiterleitet. Dann teilen Alice und der Angreifer ein falsches Geheimnis $f(M,a) = f(A,m)$, während Bob und der Angreifer ein anderes falsches Geheimnis $f(M,b) = f(B,m)$ teilen. Der Angreifer kann sich somit gegenüber Alice als Bob und gegenüber Bob als Alice ausgeben. Eine solche Situation bezeichnet man als erfolgreichen Angriff eines Man‑in‑the‑Middle‑Angreifers (MITM) auf das Protokoll. Der Schlüsselaustausch allein löst also das Vertrauensproblem nicht, vereinfacht aber das Verfahren erheblich, wenn viele Teilnehmer beteiligt sind.

비대칭 암호화

Nach der Erfindung des Diffie‑Hellman‑Schlüsselaustauschs folgten schnell weitere Entwicklungen, darunter der RSA‑Algorithmus (RSA algorithm), benannt nach den Nachnamen seiner Erfinder Ronald Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman. RSA umfasst zwei Primitive: öffentliche‑Schlüssel‑Verschlüsselung (asymmetrische Verschlüsselung) und digitale Signaturen; beide gehören zur asymmetrischen Kryptographie.

Bei der asymmetrischen Verschlüsselung ist das grundlegende Ziel, nämlich die Vertraulichkeit einer Nachricht durch Verschlüsselung sicherzustellen, dem der symmetrischen Verschlüsselung ähnlich. Im Gegensatz dazu verwendet man bei der asymmetrischen Verschlüsselung jedoch nicht denselben Schlüssel für Ver- und Entschlüsselung, sondern zwei verschiedene:

• Sie arbeitet mit einem Schlüsselpaar aus öffentlichem und privatem Schlüssel.
• Jeder kann mit dem öffentlichen Schlüssel verschlüsseln, aber nur die Person mit dem privaten Schlüssel kann entschlüsseln.

Man kann sich das folgendermaßen vorstellen:

1. Es gibt eine offene Kiste (öffentlicher Schlüssel), in die jeder eine Nachricht legen und anschließend zuschließen kann; ist sie einmal verschlossen, kann sie nur Bob mit seinem Schlüssel (privater Schlüssel) wieder öffnen.
2. Alice legt ihre Nachricht in die Kiste und schließt sie (verschlüsselt sie), bevor sie sie an Bob schickt.
3. Bob erhält die verschlossene Kiste (die verschlüsselte Nachricht) und öffnet sie mit seinem privaten Schlüssel, um die Nachricht zu lesen (zu entschlüsseln).

전자서명

RSA bietet neben asymmetrischer Verschlüsselung auch digitale Signaturen. Diese Primitive ist äußerst hilfreich für den Vertrauensaufbau zwischen Alice und Bob. Beim Signieren einer Nachricht verwendet der Unterzeichner seinen privaten Schlüssel; zur Überprüfung der Echtheit verwenden andere die signierte Nachricht, die Signatur und den öffentlichen Schlüssel des Unterzeichners.

암호학의 효용

Da das Ziel der Kryptographie der Schutz von Protokollen gegen feindliche Handlungen ist, hängt ihr Nutzen davon ab, welches Ziel das jeweilige Protokoll verfolgt. Die meisten kryptographischen Primitive und Protokolle besitzen eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften:

• Vertraulichkeit (confidentiality): Bestimmte Informationen werden gegenüber Unbefugten verborgen und geschützt.
• Authentifizierung (authentication): Identifikation des Kommunikationspartners (z. B. Überprüfung, ob eine empfangene Nachricht tatsächlich von Alice stammt).

암호학 생태계

flowchart TD
    Alice[Kryptographie-Forscherin]-- erfindet Primitive -->Primitive(Neuer Primitive-Vorschlag)
    Alice-- entwirft Protokolle -->Protocol(Neuer Protokollvorschlag)
    Alice-. richtet Wettbewerb aus .->C(Algorithmus-Wettbewerb)

    David[Private Industrie]-. finanzielle Förderung .->Alice
    David-. richtet Wettbewerb aus .->C

    Eve[Behörde]-. finanzielle Förderung .->Alice
    Eve-. richtet Wettbewerb aus .->C

    Primitive --> t1{"Ist es implementierbar?"}
    t1-- Ja -->Protocol
    t1-- Nein -->term1@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Protocol-- Teilnahme am Wettbewerb -->C
    Protocol-- Standardisierung -->Standard(Standard)
    Protocol-- Patentanmeldung -->Patent(Ausgelaufenes Patent)
    Protocol-- Implementierung -->Library(Bibliothek)
    
    C-- Wettbewerbsgewinn -->Standard
    C-- Ausscheiden -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Standard-- Implementierung -->Library
    Standard-- Ausscheiden -->term3@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Patent-- Ausscheiden -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }
    Patent-- Standardisierung -->Standard
    Patent-- Implementierung -->Library

    Library-- Standardisierung -->Standard
    Library-- Sicherheitsbruch -->term4@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

Prerequisites

• Vektoren und lineare Kombinationen
• Vektorräume, Unterräume und Matrizen
• Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basis und Dimension
• Injektion, Surjektion

Lineare Abbildungen

Eine Abbildung, die die Struktur von Vektorräumen bewahrt, heißt lineare Abbildung (linear transformation). Sie ist ein zentrales Konzept in der reinen und angewandten Mathematik, den Sozial- und Naturwissenschaften sowie der Technik.

Definition
Seien $\mathbb{V}$ und $\mathbb{W}$ $F$-Vektorräume. Eine Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ heißt lineare Abbildung (linear transformation) von $\mathbb{V}$ nach $\mathbb{W}$, wenn für alle $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ und $c \in F$ gilt:

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Statt „$T$ ist eine lineare Abbildung“ sagt man kurz: $T$ ist linear. Eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ erfüllt die folgenden vier Eigenschaften.

1. $T$ linear $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ linear $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ linear $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ linear $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Um die Linearität nachzuweisen, verwendet man in der Praxis häufig Eigenschaft 2.

Lineare Algebra lässt sich in der Geometrie breit einsetzen, da viele zentrale geometrische Transformationen linear sind. Insbesondere zählen Rotation, Spiegelung und Projektion zu den linearen Abbildungen.

Die folgenden beiden linearen Abbildungen treten besonders häufig auf.

Identitätsabbildung und Nullabbildung
Für $F$-Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• Identitätsabbildung (identity transformation): $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$, definiert durch $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$
• Nullabbildung (zero transformation): $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, definiert durch $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$

Darüber hinaus fallen viele Konzepte unter lineare Abbildungen.

Beispiele für lineare Abbildungen

• Rotation
• Spiegelung
• Projektion
• Transposition
• Ableitung differenzierbarer Funktionen
• Integral stetiger Funktionen

Nullraum und Bild

Definition von Nullraum und Bild

Definition
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• Nullraum (null space) bzw. Kern (kernel): die Menge aller $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ mit $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$; bezeichnet mit $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• Bild (image) bzw. Wertebereich (range): die von $T$ angenommenen Funktionswerte; Teilmenge von $\mathbb{W}$, bezeichnet mit $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

z. B. Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, die Identitätsabbildung $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ und die Nullabbildung $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ gilt:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

Wichtig und immer wieder verwendet: Nullraum und Bild einer linearen Abbildung sind Unterräume der jeweiligen Vektorräume.

Satz 1
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ sind $\mathrm{N}(T)$ bzw. $\mathrm{R}(T)$ Unterräume von $\mathbb{V}$ bzw. $\mathbb{W}$.

Beweis
Bezeichne die Nullvektoren von $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ mit $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$.

Aus $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$ folgt $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. Für $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ und $c \in F$ gilt zudem:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ Da $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$ sowie $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ und $c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$ gilt, ist $\mathrm{N}(T)$ ein Unterraum von $\mathbb{V}$.

Ebenso folgt aus $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, dass $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$ ist. Für alle $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T)$ und $c \in F$ existieren $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V}$ mit $T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}$ und $T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}$, sodass

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ Da $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$ sowie $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T)$ und $c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$ gilt, ist $\mathrm{R}(T)$ ein Unterraum von $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

Kennt man für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ eine Basis $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ von $\mathbb{V}$, so lässt sich eine Erzeugermenge von $\mathrm{R}(T)$ wie folgt finden.

Satz 2
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ und eine Basis $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ von $\mathbb{V}$ gilt

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Beweis

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Da $\mathrm{R}(T)$ ein Unterraum ist, folgt nach Satz 2 aus Vektorräume, Unterräume und Matrizen:

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

Außerdem gilt

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Da $\beta$ eine Basis von $\mathbb{V}$ ist,

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(mit } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

Wegen der Linearität von $T$ gilt

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ Da zugleich $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ und $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ gilt, folgt $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Dieser Satz gilt auch, wenn $\beta$ unendlich ist.

Dimensionssatz

Da Nullraum und Bild besonders wichtige Unterräume sind, versieht man auch ihre Dimension mit speziellen Bezeichnungen.

Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ seien $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ endlichdimensional.

• Nullität (nullity): die Dimension von $\mathrm{N}(T)$; notiert als $\mathrm{nullity}(T)$
• Rang (rank): die Dimension von $\mathrm{R}(T)$; notiert als $\mathrm{rank}(T)$

Bei linearen Abbildungen gilt: Je größer die Nullität, desto kleiner der Rang – und umgekehrt.

Satz 3: Dimensionssatz (dimension theorem)
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$ gilt, falls $\mathbb{V}$ endlichdimensional ist:

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Beweis

Sei $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$, und sei $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ eine Basis von $\mathrm{N}(T)$.

Nach “Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basis und Dimension”, Korollar 6-1 lässt sich $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ zu einer Basis $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ von $\mathbb{V}$ erweitern.

Wir zeigen nun, dass $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ eine Basis von $\mathrm{R}(T)$ ist. Für $1 \leq i \leq k$ gilt $T(\mathbf{v}_i) = 0$, daher folgt aus Satz 2,

Also ist $S$ eine Erzeugermenge von $\mathrm{R}(T)$. Nach Korollar 5-2 zum Austauschsatz genügt es, die lineare Unabhängigkeit von $S$ zu zeigen.

Gelte $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (mit $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$). Aus der Linearität von $T$ folgt

Also existieren $c_1, \dots, c_k \in F$ mit

Da $\beta$ eine Basis von $\mathbb{V}$ ist, ist die einzige Lösung

und damit

Somit ist $S$ linear unabhängig und eine Basis von $\mathrm{R}(T)$.

Lineare Abbildungen sowie Injektion und Surjektion

Injektivität und Surjektivität stehen in engem Zusammenhang mit Rang und Nullität.

Satz 4
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ gilt

\[T \text{ ist injektiv } \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Satz 5
Haben die endlichdimensionalen Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ dieselbe Dimension, so sind für eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $T$ ist injektiv.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ ist surjektiv.

Mit dem Dimensionssatz, den Eigenschaften linearer Abbildungen 1 und 3 sowie “Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basis und Dimension”, Satz 6 lassen sich Satz 4 und Satz 5 beweisen.

Beide Sätze sind nützlich, um zu entscheiden, ob eine gegebene lineare Abbildung injektiv oder surjektiv ist.

Für einen unendlichdimensionalen Vektorraum $\mathbb{V}$ und $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ sind Injektivität und Surjektivität nicht äquivalent.

Ist eine lineare Abbildung injektiv, kann folgender Satz beim Test der linearen Unabhängigkeit nützlich sein.

Satz 6
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, eine injektive lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ und eine Teilmenge $S \subseteq \mathbb{V}$ gilt:

\[S \text{ ist linear unabhängig } \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \} \text{ ist linear unabhängig.}\]

Lineare Abbildungen und Basen

Eine zentrale Eigenschaft linearer Abbildungen ist: Ihr Verhalten ist durch die Wirkung auf eine Basis festgelegt.

Satz 7
Seien $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ $F$-Vektorräume, $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ eine Basis von $\mathbb{V}$ und $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$ Vektoren. Dann existiert genau eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ mit

\[T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i \quad \text{für } i = 1, 2, \dots, n.\]

Beweis
Für jedes $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existiert eindeutig eine Darstellung

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad (a_1, a_2, \dots, a_n \in F).\]

Definiere die lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ durch

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

i) Für $i = 1, 2, \dots, n$ gilt $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii) Sei $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ eine weitere lineare Abbildung mit $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ für $i = 1, 2, \dots, n$. Für $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$ gilt dann

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x})\] \[\therefore U = T.\]

Aus i) und ii) folgt: Die lineare Abbildung mit $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ für $i = 1, 2, \dots, n$ ist eindeutig gegeben durch

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

$\blacksquare$

Korollar 7-1
Seien $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ Vektorräume und enthalte $\mathbb{V}$ eine endliche Basis $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$. Erfüllen zwei lineare Abbildungen $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ für $i = 1, 2, \dots, n$ die Gleichheit $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$, so gilt $U = T$.
Das heißt: Stimmen die Funktionswerte auf einer Basis überein, so sind die linearen Abbildungen gleich.

Prerequisites

• Vektoren und lineare Kombinationen
• Vektorräume, Unterräume und Matrizen

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Für einen Vektorraum $\mathbb{V}$ und einen Unterraum $\mathbb{W}$ wollen wir eine möglichst kleine endliche Teilmenge $S$ finden, die $\mathbb{W}$ erzeugt.

Sei $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ mit $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$. Wie entscheidet man, ob es eine echte Teilmenge von $S$ gibt, die $\mathbb{W}$ ebenfalls erzeugt? Das ist gleichbedeutend mit der Frage, ob sich ein aus $S$ entnommener Vektor als lineare Kombination der übrigen Vektoren schreiben lässt. Beispielsweise ist hierfür für $\mathbf{u}_4$ genau dann eine Darstellung durch die restlichen drei Vektoren möglich, wenn es Skalare $a_1, a_2, a_3$ gibt mit

Da es jedoch lästig wäre, für jedes der vier Elemente $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4$ jeweils ein lineares Gleichungssystem aufzustellen, ändern wir die Gleichung geringfügig:

Ist ein Vektor aus $S$ eine lineare Kombination der anderen, so existiert bei der Darstellung des Nullvektors als lineare Kombination der Elemente aus $S$ eine Wahl von Koeffizienten $a_1, a_2, a_3, a_4$, von denen mindestens einer ungleich $0$ ist. Die Umkehrung gilt ebenso: Existiert eine solche nichttriviale Darstellung des Nullvektors, so ist ein Vektor aus $S$ eine lineare Kombination der übrigen.

Dies verallgemeinert man zur Definition von linearer Abhängigkeit und linearer Unabhängigkeit.

Definition
Für eine Teilmenge $S$ eines Vektorraums $\mathbb{V}$ heißen $S$ und seine Vektoren linear abhängig (linearly dependent), wenn es endlich viele paarweise verschiedene Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ und Skalare $a_1, a_2, \dots, a_n$, von denen mindestens einer nicht $0$ ist, gibt mit $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$. Andernfalls heißen sie linear unabhängig (linearly independent).

Für beliebige Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ gilt: Wenn $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$, dann ist $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$. Dies heißt die triviale Darstellung des Nullvektors (trivial representation of 0).

Für linear unabhängige Mengen gelten in jedem Vektorraum die folgenden drei Aussagen; insbesondere ist Proposition 3 beim Testen der Unabhängigkeit einer endlichen Menge sehr nützlich.

• Proposition 1: Die leere Menge ist linear unabhängig. Linear abhängig kann nur eine nichtleere Menge sein.
• Proposition 2: Eine Menge, die nur aus einem einzigen von $0$ verschiedenen Vektor besteht, ist linear unabhängig.
• Proposition 3: Eine Menge ist genau dann linear unabhängig, wenn die Darstellung von $\mathbf{0}$ als lineare Kombination der gegebenen Vektoren nur trivial ist.

Wichtige Sätze:

Satz 1
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Ist $S_1$ linear abhängig, so ist es auch $S_2$.

Korollar 1-1
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Ist $S_2$ linear unabhängig, so ist es auch $S_1$.

Satz 2
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und $S$ eine linear unabhängige Teilmenge. Für einen Vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ mit $\mathbf{v} \notin S$ gilt: $S \cup \{\mathbf{v}\}$ ist genau dann linear abhängig, wenn $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$.

Anders ausgedrückt: Wenn keine echte Teilmenge von $S$ denselben Raum erzeugt wie $S$, dann ist $S$ linear unabhängig.

Basis und Dimension

Basis

Eine linear unabhängige Erzeugermenge $S$ von $\mathbb{W}$ hat die Besonderheit, dass jeder Vektor aus $\mathbb{W}$ sich notwendigerweise als lineare Kombination der Elemente von $S$ darstellen lässt und diese Darstellung eindeutig ist (Satz 3). Daher nennt man eine linear unabhängige Erzeugermenge eines Vektorraums eine Basis (basis).

Definition der Basis
Ist $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und $\beta \subseteq \mathbb{V}$, so heißt $\beta$ eine Basis (basis) von $\mathbb{V}$, wenn $\beta$ linear unabhängig ist und $\mathbb{V}$ erzeugt. In diesem Fall sagt man: Die Vektoren in $\beta$ bilden eine Basis von $\mathbb{V}$.

Es gilt $\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$ und $\emptyset$ ist linear unabhängig. Daher ist $\emptyset$ eine Basis des Nullunterraums.

Insbesondere heißt die folgende spezielle Basis von $F^n$ die Standardbasis (standard basis) von $F^n$.

Definition der Standardbasis
Für den Vektorraum $F^n$ betrachten wir die Vektoren

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

Dann ist $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ eine Basis von $F^n$; sie heißt die Standardbasis (standard basis) von $F^n$.

Satz 3
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und seien $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$ paarweise verschieden. Dann ist $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ genau dann eine Basis von $\mathbb{V}$, wenn sich jeder Vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ eindeutig als lineare Kombination der Vektoren aus $\beta$ schreiben lässt. Das heißt: Es existiert genau ein Skalar-$n$-Tupel $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ mit

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

Nach Satz 3 gilt: Bilden $n$ verschiedene Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ eine Basis des Vektorraums $\mathbb{V}$, so ist innerhalb dieses Raums zu gegebenem $\mathbf{v}$ das zugehörige Skalar-$n$-Tupel $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ eindeutig bestimmt und umgekehrt. Wir werden dies später im Rahmen von Invertierbarkeit und Isomorphismus erneut zusammenfassen; in diesem Fall sind $\mathbb{V}$ und $F^n$ wesentlich gleich.

Satz 4
Sei $S$ eine endliche Menge mit $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$. Dann enthält $S$ eine Teilmenge, die eine Basis von $\mathbb{V}$ ist. Insbesondere hat $\mathbb{V}$ in diesem Fall eine endliche Basis.

Viele Vektorräume fallen in den Anwendungsbereich von Satz 4, aber nicht zwingend alle. Eine Basis kann auch unendlich sein.

Dimension

Satz 5: Austauschsatz (replacement theorem)
Sei $G$ eine Menge aus $n$ Vektoren mit $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$. Ist $L \subseteq \mathbb{V}$ eine Teilmenge aus $m$ linear unabhängigen Vektoren, so gilt $m \leq n$. Außerdem existiert eine Menge $H \subseteq G$ mit $n-m$ Elementen, so dass $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$.

Daraus folgen zwei äußerst wichtige Korollare.

Korollar 5-1 zum Austauschsatz
Enthält der Vektorraum $\mathbb{V}$ eine endliche Basis, so sind alle Basen von $\mathbb{V}$ endlich und bestehen aus gleich vielen Vektoren.

Demnach ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis von $\mathbb{V}$ eine unveränderliche, wesentliche Eigenschaft von $\mathbb{V}$; sie heißt Dimension (dimension).

Definition der Dimension
Ein Vektorraum heißt endlichdimensional (finite dimension), wenn er eine endliche Basis besitzt; die Anzahl $n$ der Basiselemente heißt die Dimension (dimension) des gegebenen Vektorraums und wird mit $\dim(\mathbb{V})$ bezeichnet. Ein Vektorraum, der nicht endlichdimensional ist, heißt unendlichdimensional (infinite dimension).

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

Die Dimension eines Vektorraums hängt vom zugrunde liegenden Körper ab.

• Über dem komplexen Körper $\mathbb{C}$ hat der komplexe Vektorraum Dimension $1$, Basis $\{1\}$
• Über dem reellen Körper $\mathbb{R}$ hat derselbe Raum Dimension $2$, Basis $\{1,i\}$

In einem endlichdimensionalen Vektorraum $\mathbb{V}$ kann keine Teilmenge mit mehr als $\dim(\mathbb{V})$ Vektoren linear unabhängig sein.

Korollar 5-2 zum Austauschsatz
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum der Dimension $n$.

1. Jede endliche Erzeugermenge von $\mathbb{V}$ enthält mindestens $n$ Vektoren; eine Erzeugermenge aus genau $n$ Vektoren ist eine Basis von $\mathbb{V}$.
2. Eine linear unabhängige Teilmenge von $\mathbb{V}$ mit genau $n$ Vektoren ist eine Basis von $\mathbb{V}$. 3. Jede linear unabhängige Teilmenge $L \subseteq \mathbb{V}$ lässt sich zu einer Basis erweitern. Das heißt: Ist $L$ linear unabhängig, so existiert eine Basis $\beta \supseteq L$ von $\mathbb{V}$.

Dimension von Unterräumen

Satz 6
Ist $\mathbb{V}$ endlichdimensional, so ist jeder Unterraum $\mathbb{W}$ von $\mathbb{V}$ endlichdimensional und es gilt $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$. Insbesondere gilt aus $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.$

Korollar 6-1
Zu einem Unterraum $\mathbb{W}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $\mathbb{V}$ lässt sich jede Basis von $\mathbb{W}$ zu einer Basis von $\mathbb{V}$ erweitern.

Nach Satz 6 kann die Dimension eines Unterraums von $\mathbb{R}^3$ die Werte $0,1,2,3$ annehmen.

• 0-dimensional: der Nullunterraum $\{\mathbf{0}\}$
• 1-dimensional: eine durch den Ursprung ($\mathbf{0}$) verlaufende Gerade
• 2-dimensional: eine durch den Ursprung ($\mathbf{0}$) verlaufende Ebene
• 3-dimensional: der gesamte euklidische 3D-Raum

TL;DR

• Matrix
  • Den Eintrag der i-ten Zeile und j-ten Spalte einer Matrix A schreibt man als $A_{ij}$ oder $a_{ij}$
  • Diagonaleintrag (diagonal entry): Eintrag $a_{ij}$ mit $i=j$
  • Die Einträge $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ heißen die i-te Zeile (row) der Matrix
    • Jede Zeile einer Matrix lässt sich als Vektor in $F^n$ darstellen
    • Zudem kann man einen Zeilenvektor in $F^n$ als eine weitere $1 \times n$-Matrix schreiben
  • Die Einträge $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ heißen die j-te Spalte (column) der Matrix
    • Jede Spalte einer Matrix lässt sich als Vektor in $F^m$ darstellen
    • Zudem kann man einen Spaltenvektor in $F^m$ als eine weitere $m \times 1$-Matrix schreiben
  • Nullmatrix (zero matrix): Matrix, deren alle Einträge $0$ sind; mit $O$ bezeichnet
  • quadratische Matrix (square matrix): Matrix mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl
  • Für zwei $m \times n$-Matrizen $A, B$ gilt: Wenn für alle $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ die Gleichheit $A_{ij} = B_{ij}$ besteht (d. h. alle korrespondierenden Einträge stimmen überein), dann sind $A$ und $B$ gleich ($A=B$)
  • Transponierte Matrix (transpose matrix): Für eine $m \times n$-Matrix $A$ heißt die $n \times m$-Matrix $A^T$, die durch Vertauschen von Zeilen und Spalten entsteht, die Transponierte
  • symmetrische Matrix (symmetric matrix): quadratische Matrix $A$ mit $A^T = A$
  • schiefsymmetrische Matrix (skew-symmetric matrix): quadratische Matrix $B$ mit $B^T = -B$
  • Dreiecksmatrix (triangular matrix)
    • obere Dreiecksmatrix (upper triangular matrix): Matrix, deren alle Einträge unterhalb der Diagonale $0$ sind (d. h. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$); meist mit $U$ bezeichnet
    • untere Dreiecksmatrix (lower triangular matrix): Matrix, deren alle Einträge oberhalb der Diagonale $0$ sind (d. h. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$); meist mit $L$ bezeichnet
  • Diagonalmatrix (diagonal matrix): quadratische $n \times n$-Matrix, deren alle Nicht-Diagonaleinträge $0$ sind (d. h. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$); meist mit $D$ bezeichnet
• typische Vektorräume
  • $n$-Tupel $F^n$:
    • die Menge aller $n$-Tupel mit Einträgen aus einem Körper $F$
    • notiert als $F^n$; ein $F$-Vektorraum
  • Matrixraum (matrix space):
    • die Menge aller $m \times n$-Matrizen mit Einträgen aus $F$
    • notiert als $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$; ein Vektorraum
  • Funktionenraum (function space):
    • für eine nichtleere Menge $S$ über $F$ die Menge aller Abbildungen von $S$ nach $F$
    • notiert als $\mathcal{F}(S,F)$; ein Vektorraum
• Unterraum (subspace)
  • Ist eine Teilmenge $\mathbb{W}$ eines $F$-Vektorraums $\mathbb{V}$ mit denselben Operationen (Summe und Skalarmultiplikation) selbst ein $F$-Vektorraum, so heißt $\mathbb{W}$ ein Unterraum (subspace) von $\mathbb{V}$
  • Für jeden Vektorraum $\mathbb{V}$ sind $\mathbb{V}$ selbst und $\{0\}$ Unterräume; insbesondere heißt $\{0\}$ der Nullunterraum (zero subspace)
  • Enthält eine Teilmenge den Nullvektor und ist sie unter linearen Kombinationen abgeschlossen ($\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), so ist sie ein Unterraum

Prerequisites

• Vektoren und lineare Kombinationen

Vektorräume

Wie bereits kurz in Vektoren und lineare Kombinationen gesehen, lauten die Definitionen von Vektor und Vektorraum als algebraische Strukturen wie folgt.

Definition
Ein Vektorraum (vector space) oder linearer Raum (linear space) $\mathbb{V}$ über einem Körper $F$ ist eine Menge mit zwei Operationen, Addition und Skalarmultiplikation, die die folgenden 8 Bedingungen erfüllen. Elemente von $F$ heißen Skalare (scalar), Elemente von $\mathbb{V}$ heißen Vektoren (vector).

• Summe (sum): Jedem Paar $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ wird ein eindeutiges Element $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zugeordnet. $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ heißt die Summe von $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$.
• Skalarmultiplikation (scalar multiplication): Jedem $a \in F$ und $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ wird ein eindeutiges Element $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zugeordnet. $a\mathbf{x}$ heißt die Skalarmultiplikation (scalar multiple) von $\mathbf{x}$ mit $a$.

1. Für alle $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ gilt $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (Kommutativgesetz der Addition)
2. Für alle $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ gilt $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (Assoziativgesetz der Addition)
3. Es existiert ein $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ mit $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$ für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. (Nullvektor, neutrales Element der Addition)
4. Zu jedem $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existiert ein $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ mit $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (additives Inverses)
5. Für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (neutrales Element der Multiplikation)
6. Für alle $a,b \in F$ und alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (Assoziativität der Skalarmultiplikation)
7. Für alle $a \in F$ und alle $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ gilt $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (Distributivgesetz der Skalarmultiplikation über der Addition 1)
8. Für alle $a,b \in F$ und alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (Distributivgesetz der Skalarmultiplikation über der Addition 2)

Streng genommen sollte man “$F$-Vektorraum $\mathbb{V}$” schreiben; doch bei der Behandlung von Vektorräumen spielt der Körper nicht immer eine zentrale Rolle. Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, lassen wir $F$ weg und schreiben einfach “Vektorraum $\mathbb{V}$”.

Matrixraum

Zeilen- und Spaltenvektoren

Die Menge aller $n$-Tupel mit Einträgen aus $F$ wird mit $F^n$ bezeichnet. Für $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$, $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$ ist $F^n$ ein $F$-Vektorraum, wenn man Summe und Skalarmultiplikation wie folgt definiert:

Vektoren aus $F^n$ schreibt man, wenn sie allein stehen, meist nicht als Zeilenvektoren (row vector) $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, sondern als Spaltenvektoren (column vector)

.

Da Spaltenvektoren jedoch viel Platz benötigen, verwendet man oft die Transposition und schreibt $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$.

Matrizen und Matrixraum

Eine $m \times n$-Matrix (matrix) mit Einträgen aus $F$ ist ein rechteckiges Schema wie folgt und wird üblicherweise durch kursiv gesetzte Großbuchstaben ($A, B, C$ usw.) bezeichnet.

• Den Eintrag der i-ten Zeile und j-ten Spalte einer Matrix $A$ schreibt man als $A_{ij}$ oder $a_{ij}$.
• Alle $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) sind Elemente von $F$.
• Ein Eintrag $a_{ij}$ mit $i=j$ heißt Diagonaleintrag (diagonal entry).
• Die Einträge $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ heißen die i-te Zeile (row) der Matrix. Jede Zeile lässt sich als Vektor in $F^n$ auffassen; ferner kann man einen Zeilenvektor aus $F^n$ als eine weitere $1 \times n$-Matrix schreiben.
• Die Einträge $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ heißen die j-te Spalte (column) der Matrix. Jede Spalte lässt sich als Vektor in $F^m$ auffassen; ferner kann man einen Spaltenvektor aus $F^m$ als eine weitere $m \times 1$-Matrix schreiben.
• Eine $m \times n$-Matrix, deren alle Einträge $0$ sind, heißt Nullmatrix (zero matrix) und wird mit $O$ bezeichnet.
• Eine Matrix mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl heißt quadratische Matrix (square matrix).
• Für zwei $m \times n$-Matrizen $A, B$ gilt: Stimmen für alle $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ die Einträge überein ($A_{ij} = B_{ij}$), so sind die Matrizen gleich ($A=B$).

Die Menge aller $m \times n$-Matrizen mit Einträgen aus $F$ wird mit $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ bezeichnet. Für $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F),\ c \in F$ ist $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ ein Vektorraum, wenn man Summe und Skalarmultiplikation wie folgt definiert; diesen Raum nennt man Matrixraum (matrix space).

Dies ist eine natürliche Erweiterung der in $F^n$ und $F^m$ definierten Operationen.

Funktionenraum

Für eine nichtleere Menge $S$ über $F$ ist $\mathcal{F}(S,F)$ die Menge aller Abbildungen von $S$ nach $F$. Für $f,g \in \mathcal{F}(S,F)$ gilt: Sind für alle $s \in S$ die Funktionswerte gleich, $f(s) = g(s)$, so sind die Funktionen gleich ($f=g$).

Für $f,g \in \mathcal{F}(S,F),\ c \in F,\ s \in S$ ist $\mathcal{F}(S,F)$ ein Vektorraum, wenn man Summe und Skalarmultiplikation wie folgt definiert; diesen Raum nennt man Funktionenraum (function space).

Unterräume

Definition
Ist eine Teilmenge $\mathbb{W}$ eines $F$-Vektorraums $\mathbb{V}$ mit denselben, in $\mathbb{V}$ definierten Operationen Summe und Skalarmultiplikation selbst ein $F$-Vektorraum, so heißt $\mathbb{W}$ ein Unterraum (subspace) von $\mathbb{V}$.

Für jeden Vektorraum $\mathbb{V}$ sind $\mathbb{V}$ selbst und $\{0\}$ Unterräume; insbesondere heißt $\{0\}$ der Nullunterraum (zero subspace).

Ob eine Teilmenge ein Unterraum ist, lässt sich mit dem folgenden Satz prüfen.

Satz 1
Für einen Vektorraum $\mathbb{V}$ und eine Teilmenge $\mathbb{W}$ ist $\mathbb{W}$ genau dann ein Unterraum von $\mathbb{V}$, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind. Die Operationen sind dabei diejenigen von $\mathbb{V}$.

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

Kurz gesagt: Enthält die Menge den Nullvektor und ist sie unter linearen Kombinationen abgeschlossen ($\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), so ist sie ein Unterraum.

Außerdem gelten die folgenden Sätze.

Satz 2

• Für jede Teilmenge $S$ eines Vektorraums $\mathbb{V}$ ist der von $S$ erzeugte Raum $\mathrm{span}(S)$ ein Unterraum von $\mathbb{V}$, der $S$ enthält.

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• Jeder Unterraum $\mathbb{W}$ von $\mathbb{V}$, der $S$ enthält, enthält notwendig auch den von $S$ erzeugten Raum.

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

Satz 3
Für Unterräume eines Vektorraums $\mathbb{V}$ ist der beliebige Durchschnitt solcher Unterräume wiederum ein Unterraum von $\mathbb{V}$.

Transponierte Matrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix

Die Transponierte (transpose matrix) $A^T$ einer $m \times n$-Matrix $A$ ist die $n \times m$-Matrix, die durch Vertauschen von Zeilen und Spalten entsteht.

Eine Matrix $A$ mit $A^T = A$ heißt symmetrische Matrix (symmetric matrix), eine Matrix $B$ mit $B^T = -B$ heißt schiefsymmetrische Matrix (skew-symmetric matrix). Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen sind notwendigerweise quadratisch.

Bezeichnet $\mathbb{W}_1$ bzw. $\mathbb{W}_2$ die Menge aller symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Matrizen in $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$, so sind $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ Unterräume von $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$, d. h. sie sind unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Dreiecksmatrizen, Diagonalmatrizen

Diese beiden Matrizenklassen sind besonders wichtig.

Zunächst fasst man die folgenden beiden Typen zur Klasse der Dreiecksmatrizen (triangular matrix) zusammen.

• obere Dreiecksmatrix (upper triangular matrix): Matrix, deren alle Einträge unterhalb der Diagonale $0$ sind (d. h. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$); meist mit $U$ bezeichnet
• untere Dreiecksmatrix (lower triangular matrix): Matrix, deren alle Einträge oberhalb der Diagonale $0$ sind (d. h. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$); meist mit $L$ bezeichnet

Eine quadratische $n \times n$-Matrix, deren alle Nicht-Diagonaleinträge $0$ sind, d. h. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$, heißt Diagonalmatrix (diagonal matrix) und wird meist mit $D$ bezeichnet. Eine Diagonalmatrix ist zugleich obere wie untere Dreiecksmatrix.

Die Menge der oberen Dreiecksmatrizen, die Menge der unteren Dreiecksmatrizen und die Menge der Diagonalmatrizen sind allesamt Unterräume von $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$.

Prerequisites

• Vektoren und Linearkombinationen

Inneres Produkt

Die Definition des allgemeinen inneren Produkts (inner product) in einem $F$-Vektorraum lautet wie folgt.

Definition von innerem Produkt (inner product) und Skalarproduktraum (inner product space)
Sei $\mathbb{V}$ ein $F$-Vektorraum. Ein inneres Produkt (inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ auf $\mathbb{V}$ ist eine Abbildung, die jedem geordneten Paar von Vektoren $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{V}$ einen Skalar in $F$ zuordnet und folgende Bedingungen erfüllt:

Für alle $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ und alle $c \in F$ gilt:

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ (wobei $\overline{\mathbf{z}}$ die komplexe Konjugierte von $\mathbf{z}$ bezeichnet)
4. Für $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ ist $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ positiv.

Ein $F$-Vektorraum $\mathbb{V}$, der mit einem inneren Produkt versehen ist, heißt Skalarproduktraum (inner product space). Insbesondere heißt er bei $F=\mathbb{C}$ komplexer Skalarproduktraum (complex inner product space) und bei $F=\mathbb{R}$ reeller Skalarproduktraum (real inner product space).

Insbesondere nennt man das folgende innere Produkt das Standardinnere Produkt (standard inner product). Man kann überprüfen, dass es die vier obigen Bedingungen erfüllt.

Definition des Standardinneren Produkts (standard inner product)
Für zwei Vektoren $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ in $F^n$ definieren wir das Standardinnere Produkt in $F^n$ durch

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Ist hier $F=\mathbb{R}$, so ist die konjugiert komplexe Zahl einer reellen Zahl sie selbst, daher wird das Standardinnere Produkt zu $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. In diesem Fall schreibt man das Standardinnere Produkt oft als $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ oder kurz $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ und nennt es Punktprodukt (dot product) oder Skalarprodukt (scalar product).

Definition von Punktprodukt (dot product)/Skalarprodukt (scalar product)
Für $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ in $\mathbb{R}^n$ definieren wir das Punktprodukt (dot product) bzw. Skalarprodukt (scalar product) in $\mathbb{R}^n$ durch

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Das hier gemeinte „Skalarprodukt (scalar product)“ ist eine Operation zwischen zwei Vektoren und unterscheidet sich von der Skalarmultiplikation, also der Operation zwischen Skalar und Vektor, wie in Vektoren und Linearkombinationen behandelt. Da die englischen Bezeichnungen ähnlich sind und die koreanische Standardübersetzung nach der Korean Mathematical Society sogar identisch ist, ist Verwechslungsgefahr gegeben.

Zur Vermeidung von Missverständnissen werde ich nach Möglichkeit den Begriff Punktprodukt (dot product) verwenden.

Im euklidischen Raum fällt das innere Produkt mit dem Punktprodukt zusammen, sodass man kontextabhängig das Punktprodukt oft einfach als inneres Produkt bezeichnet. Streng genommen ist das innere Produkt jedoch der allgemeinere Begriff, der das Punktprodukt einschließt.

flowchart TD
    A["Inneres Produkt (Inner Product)"] -->|enthält| B["Standardinneres Produkt (Standard Inner Product)"]
    B -->|"falls F = R (Körper der reellen Zahlen)"| C["Punktprodukt/Skalarprodukt (Dot/Scalar Product)"]

    %% Darstellung der (Teil-)Mengenbeziehungen
    C -. enthalten .-> B
    B -. enthalten .-> A

Vektorlänge/Norm

Für einen Vektor $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ in $\mathbb{R}^n$ wird die euklidische Länge von $\mathbf{v}$ über das Punktprodukt definiert durch

Allgemeiner definiert man in einem beliebigen Skalarproduktraum die Länge (length) bzw. Norm eines Vektors durch

In allgemeinen Skalarprodukträumen gelten für die Norm eines Vektors die folgenden wichtigen Eigenschaften.

Satz
Für einen $F$-Skalarproduktraum $\mathbb{V}$ und beliebige Vektoren $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ sowie einen Skalar $c \in F$ gilt:

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Es gelten beide Aussagen:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Cauchy–Schwarz-Ungleichung (Cauchy–Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (Gleichheit gilt genau dann, wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist.)
4. Dreiecksungleichung (triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (Gleichheit gilt genau dann, wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist und beide die gleiche Richtung haben.)

Winkel zwischen Vektoren und Einheitsvektor

Ein Vektor der Länge $1$ heißt Einheitsvektor (unit vector). Für zwei Vektoren $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ in $\mathbb{R}^n$ gilt $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, woraus sich der Winkel $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) zwischen $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$ ergibt:

Ist $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, so nennt man die beiden Vektoren senkrecht (perpendicular) oder orthogonal.

Sind die beiden Vektoren $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$ senkrecht, so gilt

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

Verallgemeinert auf beliebige Skalarprodukträume erhält man Folgendes.

Definition
Sei $\mathbb{V}$ ein Skalarproduktraum. Für Vektoren $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ heißen $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$ orthogonal bzw. senkrecht (perpendicular), falls $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$. Außerdem gelten:

1. Für eine Teilmenge $S \subset \mathbb{V}$ heißt $S$ orthogonale Menge (orthogonal set), wenn je zwei verschiedene Vektoren in $S$ orthogonal sind.
2. Ein Vektor $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ mit $\|\mathbf{x}\|=1$ heißt Einheitsvektor (unit vector).
3. Ist $S \subset \mathbb{V}$ eine orthogonale Menge und besteht $S$ nur aus Einheitsvektoren, so heißt $S$ Orthonormalmenge (orthonormal set).

Für die Menge $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ ist notwendige und hinreichende Bedingung für Orthonormalität $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Die Multiplikation eines Vektors mit einem von null verschiedenen Skalar beeinträchtigt die Orthogonalität nicht.

Für jeden von null verschiedenen Vektor $\mathbf{x}$ ist $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ ein Einheitsvektor; den Prozess, bei dem man einen von null verschiedenen Vektor durch Multiplikation mit dem Kehrwert seiner Länge zu einem Einheitsvektor macht, nennt man Normalisierung (normalizing).

TL;DR

• Definition des Vektors
  • Vektor im engen Sinn (euklidischer Vektor): physikalische Größe mit Betrag und Richtung
  • Vektor im weiteren Sinn, in der Linearen Algebra: Element eines Vektorraums
• Darstellungsweisen von Vektoren
  • Pfeildarstellung: Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des Pfeils, die Richtung dem Pfeilrichtungssinn. Gut visuell und intuitiv, aber für hochdimensionale (≥4D) oder nicht-euklidische Vektoren ungeeignet.
  • Komponentendarstellung: Den Startpunkt des Vektors im Koordinatenraum auf den Ursprung legen und den Vektor durch die Koordinaten seines Endpunkts darstellen.
• Grundoperationen mit Vektoren
  • Summe: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • Skalarmultiplikation: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• Lineare Kombination von Vektoren
  • Für endlich viele Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ und Skalare $a_1, a_2, \dots, a_n$ heißt ein Vektor $\mathbf{v}$ mit $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$ eine lineare Kombination von $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$.
  • Dabei heißen $a_1, a_2, \dots, a_n$ die Koeffizienten der linearen Kombination.
• Lineare Hülle
  • Für eine nichtleere Teilmenge $S$ des Vektorraums $\mathbb{V}$ ist $\mathrm{span}(S)$ die Menge aller unter Verwendung der Vektoren aus $S$ gebildeten linearen Kombinationen.
  • Es gilt $\mathrm{span}(\emptyset) = {0}$.
  • Für eine Teilmenge $S$ des Vektorraums $\mathbb{V}$ gilt: Wenn $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, dann erzeugt $S$ $\mathbb{V}$ (generate bzw. spannt auf).

Prerequisites

• Koordinatenebene/Koordinatenraum
• Körper

Was ist ein Vektor?

Vektor im engen Sinn: euklidischer Vektor

Viele physikalische Größen wie Kraft, Geschwindigkeit oder Beschleunigung besitzen nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung. Solche Größen mit Betrag und Richtung nennt man Vektoren (vector).

Die obige Definition ist diejenige, die in der Mechanik der Physik oder in der Schulmathematik verwendet wird. Ein Vektor in diesem engeren, geometrischen Sinn als „gerichtete Strecke mit Betrag und Richtung“, der auf physikalischer Intuition beruht, heißt präziser euklidischer Vektor (Euclidean vector).

Vektor im weiteren Sinn: Element eines Vektorraums

In der Linearen Algebra definiert man Vektoren als eine abstraktere algebraische Struktur mit weiter gefasstem Bedeutungsumfang als die euklidischen Vektoren:

Definition
Ein Vektorraum (auch: linearer Raum) $\mathbb{V}$ über einem Körper $F$ ist eine Menge mit zwei Operationen, Addition und Skalarmultiplikation, die die folgenden 8 Bedingungen erfüllen. Elemente von $F$ heißen Skalare, Elemente von $\mathbb{V}$ heißen Vektoren.

• Addition (Summe): Jedem Paar $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ wird ein eindeutiges Element $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zugeordnet. $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ heißt die Summe von $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$.
• Skalarmultiplikation: Jedem $a \in F$ und $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ wird ein eindeutiges Element $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zugeordnet. $a\mathbf{x}$ heißt das Skalarvielfache von $\mathbf{x}$.

1. Für alle $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ gilt $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (Kommutativgesetz der Addition)
2. Für alle $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ gilt $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (Assoziativgesetz der Addition)
3. Es existiert ein $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ mit $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$ für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. (Nullvektor, neutrales Element der Addition)
4. Zu jedem $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existiert ein $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ mit $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (additives inverses Element)
5. Für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (neutrales Element der Multiplikation)
6. Für alle $a,b \in F$ und alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (Assoziativität der Skalarmultiplikation)
7. Für alle $a \in F$ und alle $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ gilt $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (Distributivgesetz der Skalarmultiplikation über der Addition 1)
8. Für alle $a,b \in F$ und alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (Distributivgesetz der Skalarmultiplikation über der Addition 2)

Diese vektoralgebraische Definition umfasst einen größeren Bereich und schließt den zuvor erwähnten euklidischen Vektor mit ein. Man kann überprüfen, dass auch der euklidische Vektor die acht Eigenschaften erfüllt.

Der Ursprung und die Entwicklung des Vektorbegriffs sind eng mit praktischen Fragestellungen der Physik verknüpft, etwa dem Bestreben, Größen wie Kräfte, Bewegungen, Rotationen oder Felder quantitativ zu beschreiben. Aus physikalischer Motivation wurde der Begriff zunächst als euklidischer Vektor formuliert; später hat die Mathematik diese physikalischen Konzepte verallgemeinert und theoretisch gefasst und dabei formale Strukturen wie Vektorraum, Skalarprodukt und Kreuzprodukt etabliert. Vektoren sind somit ein Konzept, das die Physik fordert und die Mathematik präzisiert hat, und eher ein interdisziplinäres Produkt als ein rein mathematisches.

Die in der klassischen Mechanik behandelten euklidischen Vektoren lassen sich in einem allgemeineren Rahmen mathematisch darstellen; und in der modernen Physik verwendet man neben euklidischen Vektoren auch abstraktere, in der Mathematik definierte Begriffe wie Vektorräume oder Funktionenräume und versieht sie mit physikalischer Bedeutung. Es ist daher unangemessen, die beiden Definitionen schlicht als „physikalische“ bzw. „mathematische“ Definition zu verstehen.

Eine ausführlichere Betrachtung von Vektorräumen folgt später. Zunächst fokussieren wir uns auf den engeren, geometrisch im Koordinatenraum darstellbaren Begriff, den euklidischen Vektor. Intuitive Beispiele euklidischer Vektoren helfen auch beim späteren Verallgemeinern auf andere Vektortypen.

Darstellung von Vektoren

Pfeildarstellung

Dies ist die geläufigste, die geometrische Intuition am besten nutzende Darstellung. Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des Pfeils, die Richtung dem Pfeilrichtungssinn.

Bildquelle

• Urheber: Wikipedia-Nutzer Nguyenthephuc
• Lizenz: CC BY-SA 3.0

So anschaulich diese Darstellung ist, hat sie doch klare Grenzen für hochdimensionale Vektoren (ab 4D). Außerdem werden wir später nicht-euklidische Vektoren betrachten, die sich von vornherein kaum geometrisch visualisieren lassen. Daher lohnt es sich, die folgende Komponentendarstellung einzuüben.

Komponentendarstellung

Vektoren gelten als identisch, wenn sie unabhängig von ihrer Lage den gleichen Betrag und die gleiche Richtung besitzen. Ist also ein Koordinatenraum gegeben, so kann man den Startpunkt des Vektors auf den Ursprung fixieren; dann entspricht ein $n$-dimensionaler Vektor einem beliebigen Punkt im $n$-dimensionalen Raum, und man kann den Vektor durch die Koordinaten seines Endpunkts darstellen. Diese Darstellung heißt Komponentendarstellung.

Bildquelle

• Urheber: Wikimedia-Nutzer Acdx
• Lizenz: CC BY-SA 3.0

Grundoperationen mit Vektoren

Die grundlegenden Operationen sind Summe und Skalarmultiplikation. Alle weiteren Vektoroperationen lassen sich als Kombination dieser beiden ausdrücken.

Vektorsumme

Die Summe zweier Vektoren ist wieder ein Vektor; dessen Komponenten ergeben sich komponentenweise als Summe der Komponenten der Summanden.

Skalarmultiplikation

Vektoren lassen sich strecken oder stauchen; dies wird durch die Multiplikation mit einem Skalar ausgedrückt. Das Ergebnis entspricht der komponentenweisen Multiplikation mit dem Skalar.

Bildquelle

• Urheber: Wikipedia-Nutzer Silly rabbit
• Lizenz: CC BY-SA 3.0

Lineare Kombinationen von Vektoren

Wie die Analysis von Zahlen $x$ und Funktionen $f(x)$ ausgeht, beginnt die Lineare Algebra mit Vektoren $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ und linearen Kombinationen $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$. Jede lineare Kombination von Vektoren ist eine Kombination der beiden Grundoperationen, Summe und Skalarmultiplikation.

Für endlich viele Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ und Skalare $a_1, a_2, \dots, a_n$ heißt ein Vektor $\mathbf{v}$, der

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

erfüllt, eine lineare Kombination von $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$. Dabei heißen $a_1, a_2, \dots, a_n$ die Koeffizienten dieser linearen Kombination.

Warum sind lineare Kombinationen wichtig? Betrachte folgende Situation: $n$ Vektoren im $m$-dimensionalen Raum bilden die $n$ Spalten einer $m \times n$-Matrix.

Zentral sind zwei Fragen:

1. Beschreibe alle möglichen linearen Kombinationen $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots + x_n\mathbf{v}_n$. Welche Menge bilden sie?
2. Finde Zahlen $x_1, x_2, \dots, x_n$, die einen gewünschten Ausgabeverktor $Ax = b$ ergeben.

Die Antwort auf die zweite Frage betrachten wir später; zunächst konzentrieren wir uns auf die erste. Zur Vereinfachung nehmen wir als Beispiel zwei 2D-Vektoren ($m=2$, $n=2$), die beide nicht der Nullvektor $\mathbf{0}$ sind.

Lineare Kombination $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

Ein Vektor $\mathbf{v}$ in der Ebene besitzt zwei Komponenten. Für jedes Skalar $c$ bildet $c\mathbf{v}$ eine unendliche Gerade in der $xy$-Ebene durch den Ursprung, die parallel zu $\mathbf{v}$ verläuft.

Liegt ein zweiter Vektor $\mathbf{w}$ nicht auf dieser Geraden (d. h. $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$ sind nicht parallel), dann bildet $d\mathbf{w}$ eine zweite Gerade. Kombiniert man beide, so erkennt man, dass die lineare Kombination $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ eine durch den Ursprung verlaufende Ebene bildet.

Bildquelle

• Urheber: Wikimedia-Nutzer Svjo
• Lizenz: CC BY-SA 4.0

Erzeugung

Lineare Kombinationen von Vektoren erzeugen somit einen Vektorraum; dies nennt man die lineare Hülle (span).

Definition
Ist $S$ eine nichtleere Teilmenge des Vektorraums $\mathbb{V}$, so heißt die Menge aller aus Vektoren von $S$ gebildeten linearen Kombinationen die lineare Hülle von $S$ und wird mit $\mathrm{span}(S)$ bezeichnet. Dabei wird $\mathrm{span}(\emptyset) = {0}$ definiert.

Definition
Für eine Teilmenge $S$ des Vektorraums $\mathbb{V}$ gilt: Wenn $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, dann sagt man, dass $S$ $\mathbb{V}$ erzeugt (generate bzw. spannt auf).

Auch wenn wir Begriffe wie Unterraum und Basis noch nicht behandelt haben, hilft das obige Beispiel, den Begriff des Vektorraums zu verstehen.

Hier fasse ich das zusammen, was ich im Pandas-Kurs von Kaggle gelernt habe.
Da der Umfang recht groß ist, habe ich es in zwei Teile aufgeteilt.

• Teil 1: Lektion 1–3
• Teil 2: Lektion 4–6 (dieser Beitrag)

Lektion 4. Gruppieren und Sortieren

Oft muss man Daten in Gruppen einteilen und gruppenweise Operationen ausführen oder nach bestimmten Kriterien sortieren.

Gruppenauswertung

Mit der Methode groupby() lassen sich Daten mit gleichem Wert in einer bestimmten Spalte zu Gruppen zusammenfassen und anschließend gruppenweise überblicken oder transformieren.

Zuvor hatten wir bereits die Methode value_counts() kennengelernt; dasselbe Verhalten kann man mit groupby() wie folgt nachbilden.

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reviews.groupby('taster_name').size()

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reviews.groupby('taster_name').taster_name.count()

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countries_reviewed.sort_values(by=['country', 'len'])

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Name: points, Length: 129971, dtype: float64

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...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df2
  letter  number
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  letter  number
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...                    columns=['animal', 'name'])
>>> df4
   animal    name
0    bird   polly
1  monkey  george
>>> pd.concat([df1, df4], axis=1)
  letter  number  animal    name
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...                    'A': ['A0', 'A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5']})
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  key   A
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...                       'B': ['B0', 'B1', 'B2']})
>>> other
  key   B
0  K0  B0
1  K1  B1
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  key_caller   A key_other    B
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...(gekürzt)
                    ------------------------------------------------
      Jekyll 4.3.4   Please append `--trace` to the `serve` command 
                     for any additional information or backtrace. 
                    ------------------------------------------------
/Users/yunseo/.gem/ruby/3.2.2/gems/jekyll-polyglot-1.8.1/lib/jekyll/polyglot/
patches/jekyll/site.rb:234:in `relative_url_regex': target of repeat operator 
is not specified: /href="?\/((?:(?!*.gem)(?!*.gemspec)(?!tools)(?!README.md)(
?!LICENSE)(?!*.config.js)(?!rollup.config.js)(?!package*.json)(?!.sass-cache)
(?!.jekyll-cache)(?!gemfiles)(?!Gemfile)(?!Gemfile.lock)(?!node_modules)(?!ve
ndor\/bundle\/)(?!vendor\/cache\/)(?!vendor\/gems\/)(?!vendor\/ruby\/)(?!en\/
)(?!ko\/)(?!es\/)(?!pt-BR\/)(?!ja\/)(?!fr\/)(?!de\/)[^,'"\s\/?.]+\.?)*(?:\/[^
\]\[)("'\s]*)?)"/ (RegexpError)

...(gekürzt)

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  - "*.gemspec"
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  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - "*.config.js"
  - package*.json

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    # a regex that matches relative urls in a html document
    # matches href="baseurl/foo/bar-baz" href="/de/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
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      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    # a regex that matches absolute urls in a html document
    # matches href="http://baseurl/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
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        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
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      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
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        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

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exclude: # Geändert unter Bezugnahme auf das Issue https://github.com/untra/polyglot/issues/204.
  # - "*.gem"
  - jekyll-theme-chirpy.gemspec # - "*.gemspec"
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - purgecss.config.js # - "*.config.js"
  - rollup.config.js
  - package*.json

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  <body>
    {% include sidebar.html lang=lang %}

    <div id="main-wrapper" class="d-flex justify-content-center">
      <div class="container d-flex flex-column px-xxl-5">
        
        (...gekürzt...)

        {% include_cached search-results.html lang=lang %}
      </div>

      <aside aria-label="Scroll to Top">
        <button id="back-to-top" type="button" class="btn btn-lg btn-box-shadow">
          <i class="fas fa-angle-up"></i>
        </button>
      </aside>
    </div>

    (...gekürzt...)

    {% include_cached search-loader.html lang=lang %}
  </body>

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<!-- The Search results -->

<div id="search-result-wrapper" class="d-flex justify-content-center d-none">
  <div class="col-11 content">
    <div id="search-hints">
      {% include_cached trending-tags.html %}
    </div>
    <div id="search-results" class="d-flex flex-wrap justify-content-center text-muted mt-3"></div>
  </div>
</div>

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{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      <div class="post-meta d-flex flex-column flex-sm-row text-muted mt-1 mb-1">
        {categories}
        {tags}
      </div>
    </header>
    <p>{snippet}</p>
  </article>
{% endcapture %}

{% capture not_found %}<p class="mt-5">{{ site.data.locales[include.lang].search.no_results }}</p>{% endcapture %}

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ '/assets/js/data/search.json' | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',
      noResultsText: '{{ not_found }}',
      templateMiddleware: function(prop, value, template) {
        if (prop === 'categories') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div class="me-sm-4"><i class="far fa-folder fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }

        if (prop === 'tags') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div><i class="fa fa-tag fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }
      }
    });
  });
</script>

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---
layout: compress
swcache: true
---

[
  {% for post in site.posts %}
  {
    "title": {{ post.title | jsonify }},
    "url": {{ post.url | relative_url | jsonify }},
    "categories": {{ post.categories | join: ', ' | jsonify }},
    "tags": {{ post.tags | join: ', ' | jsonify }},
    "date": "{{ post.date }}",
    {% include no-linenos.html content=post.content %}
    {% assign _content = content | strip_html | strip_newlines %}
    "snippet": {{ _content | truncate: 200 | jsonify }},
    "content": {{ _content | jsonify }}
  }{% unless forloop.last %},{% endunless %}
  {% endfor %}
]

stateDiagram
  state "Changes" as CH
  state "Build start" as BLD
  state "Create search.json" as IDX
  state "Static Website" as DEP
  state "In Test" as TST
  state "Search Loader" as SCH
  state "Results" as R
    
  [*] --> CH: Make Changes
  CH --> BLD: Commit & Push origin
  BLD --> IDX: jekyll build
  IDX --> TST: Build Complete
  TST --> CH: Error Detected
  TST --> DEP: Deploy
  DEP --> SCH: Search Input
  SCH --> R: Return Results
  R --> [*]

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{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      <h2><a {% static_href %}href="/{{ site.active_lang }}{url}"{% endstatic_href %}>{title}</a></h2>
      {% else %}
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      {% endif %}

(...gekürzt...)

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    {% assign search_path = '/assets/js/data/search.json' %}
    {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      {% assign search_path = '/' | append: site.active_lang | append: search_path %}
    {% endif %}
    
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ search_path | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',

(...gekürzt)