Inneres Produkt und Norm

Prerequisites

• Vektoren und Linearkombinationen

Inneres Produkt

Die Definition des allgemeinen inneren Produkts (inner product) in einem $F$-Vektorraum lautet wie folgt.

Definition von innerem Produkt (inner product) und Skalarproduktraum (inner product space)
Sei $\mathbb{V}$ ein $F$-Vektorraum. Ein inneres Produkt (inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ auf $\mathbb{V}$ ist eine Abbildung, die jedem geordneten Paar von Vektoren $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{V}$ einen Skalar in $F$ zuordnet und folgende Bedingungen erfüllt:

Für alle $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ und alle $c \in F$ gilt:

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ (wobei $\overline{\mathbf{z}}$ die komplexe Konjugierte von $\mathbf{z}$ bezeichnet)
4. Für $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ ist $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ positiv.

Ein $F$-Vektorraum $\mathbb{V}$, der mit einem inneren Produkt versehen ist, heißt Skalarproduktraum (inner product space). Insbesondere heißt er bei $F=\mathbb{C}$ komplexer Skalarproduktraum (complex inner product space) und bei $F=\mathbb{R}$ reeller Skalarproduktraum (real inner product space).

Insbesondere nennt man das folgende innere Produkt das Standardinnere Produkt (standard inner product). Man kann überprüfen, dass es die vier obigen Bedingungen erfüllt.

Definition des Standardinneren Produkts (standard inner product)
Für zwei Vektoren $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ in $F^n$ definieren wir das Standardinnere Produkt in $F^n$ durch

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Ist hier $F=\mathbb{R}$, so ist die konjugiert komplexe Zahl einer reellen Zahl sie selbst, daher wird das Standardinnere Produkt zu $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. In diesem Fall schreibt man das Standardinnere Produkt oft als $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ oder kurz $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ und nennt es Punktprodukt (dot product) oder Skalarprodukt (scalar product).

Definition von Punktprodukt (dot product)/Skalarprodukt (scalar product)
Für $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ in $\mathbb{R}^n$ definieren wir das Punktprodukt (dot product) bzw. Skalarprodukt (scalar product) in $\mathbb{R}^n$ durch

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Das hier gemeinte „Skalarprodukt (scalar product)“ ist eine Operation zwischen zwei Vektoren und unterscheidet sich von der Skalarmultiplikation, also der Operation zwischen Skalar und Vektor, wie in Vektoren und Linearkombinationen behandelt. Da die englischen Bezeichnungen ähnlich sind und die koreanische Standardübersetzung nach der Korean Mathematical Society sogar identisch ist, ist Verwechslungsgefahr gegeben.

Zur Vermeidung von Missverständnissen werde ich nach Möglichkeit den Begriff Punktprodukt (dot product) verwenden.

Im euklidischen Raum fällt das innere Produkt mit dem Punktprodukt zusammen, sodass man kontextabhängig das Punktprodukt oft einfach als inneres Produkt bezeichnet. Streng genommen ist das innere Produkt jedoch der allgemeinere Begriff, der das Punktprodukt einschließt.

flowchart TD
    A["Inneres Produkt (Inner Product)"] -->|enthält| B["Standardinneres Produkt (Standard Inner Product)"]
    B -->|"falls F = R (Körper der reellen Zahlen)"| C["Punktprodukt/Skalarprodukt (Dot/Scalar Product)"]

    %% Darstellung der (Teil-)Mengenbeziehungen
    C -. enthalten .-> B
    B -. enthalten .-> A

Vektorlänge/Norm

Für einen Vektor $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ in $\mathbb{R}^n$ wird die euklidische Länge von $\mathbf{v}$ über das Punktprodukt definiert durch

\[\| \mathbf{v} \| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \left[ \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \right]^{1/2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\]

Allgemeiner definiert man in einem beliebigen Skalarproduktraum die Länge (length) bzw. Norm eines Vektors durch

\[\| \mathbf{x} \| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}\]

In allgemeinen Skalarprodukträumen gelten für die Norm eines Vektors die folgenden wichtigen Eigenschaften.

Satz
Für einen $F$-Skalarproduktraum $\mathbb{V}$ und beliebige Vektoren $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ sowie einen Skalar $c \in F$ gilt:

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Es gelten beide Aussagen:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Cauchy–Schwarz-Ungleichung (Cauchy–Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (Gleichheit gilt genau dann, wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist.)
4. Dreiecksungleichung (triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (Gleichheit gilt genau dann, wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist und beide die gleiche Richtung haben.)

Winkel zwischen Vektoren und Einheitsvektor

Ein Vektor der Länge $1$ heißt Einheitsvektor (unit vector). Für zwei Vektoren $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ in $\mathbb{R}^n$ gilt $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, woraus sich der Winkel $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) zwischen $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$ ergibt:

\[\theta = \arccos{\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\|}}\]

Ist $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, so nennt man die beiden Vektoren senkrecht (perpendicular) oder orthogonal.

Sind die beiden Vektoren $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$ senkrecht, so gilt

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

Verallgemeinert auf beliebige Skalarprodukträume erhält man Folgendes.

Definition
Sei $\mathbb{V}$ ein Skalarproduktraum. Für Vektoren $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ heißen $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$ orthogonal bzw. senkrecht (perpendicular), falls $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$. Außerdem gelten:

1. Für eine Teilmenge $S \subset \mathbb{V}$ heißt $S$ orthogonale Menge (orthogonal set), wenn je zwei verschiedene Vektoren in $S$ orthogonal sind.
2. Ein Vektor $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ mit $\|\mathbf{x}\|=1$ heißt Einheitsvektor (unit vector).
3. Ist $S \subset \mathbb{V}$ eine orthogonale Menge und besteht $S$ nur aus Einheitsvektoren, so heißt $S$ Orthonormalmenge (orthonormal set).

Für die Menge $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ ist notwendige und hinreichende Bedingung für Orthonormalität $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Die Multiplikation eines Vektors mit einem von null verschiedenen Skalar beeinträchtigt die Orthogonalität nicht.

Für jeden von null verschiedenen Vektor $\mathbf{x}$ ist $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ ein Einheitsvektor; den Prozess, bei dem man einen von null verschiedenen Vektor durch Multiplikation mit dem Kehrwert seiner Länge zu einem Einheitsvektor macht, nennt man Normalisierung (normalizing).