Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basis und Dimension

Prerequisites

• Vektoren und lineare Kombinationen
• Vektorräume, Unterräume und Matrizen

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Für einen Vektorraum $\mathbb{V}$ und einen Unterraum $\mathbb{W}$ wollen wir eine möglichst kleine endliche Teilmenge $S$ finden, die $\mathbb{W}$ erzeugt.

Sei $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ mit $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$. Wie entscheidet man, ob es eine echte Teilmenge von $S$ gibt, die $\mathbb{W}$ ebenfalls erzeugt? Das ist gleichbedeutend mit der Frage, ob sich ein aus $S$ entnommener Vektor als lineare Kombination der übrigen Vektoren schreiben lässt. Beispielsweise ist hierfür für $\mathbf{u}_4$ genau dann eine Darstellung durch die restlichen drei Vektoren möglich, wenn es Skalare $a_1, a_2, a_3$ gibt mit

\[\mathbf{u}_4 = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3\]

Da es jedoch lästig wäre, für jedes der vier Elemente $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4$ jeweils ein lineares Gleichungssystem aufzustellen, ändern wir die Gleichung geringfügig:

\[a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \mathbf{0}\]

Ist ein Vektor aus $S$ eine lineare Kombination der anderen, so existiert bei der Darstellung des Nullvektors als lineare Kombination der Elemente aus $S$ eine Wahl von Koeffizienten $a_1, a_2, a_3, a_4$, von denen mindestens einer ungleich $0$ ist. Die Umkehrung gilt ebenso: Existiert eine solche nichttriviale Darstellung des Nullvektors, so ist ein Vektor aus $S$ eine lineare Kombination der übrigen.

Dies verallgemeinert man zur Definition von linearer Abhängigkeit und linearer Unabhängigkeit.

Definition
Für eine Teilmenge $S$ eines Vektorraums $\mathbb{V}$ heißen $S$ und seine Vektoren linear abhängig (linearly dependent), wenn es endlich viele paarweise verschiedene Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ und Skalare $a_1, a_2, \dots, a_n$, von denen mindestens einer nicht $0$ ist, gibt mit $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$. Andernfalls heißen sie linear unabhängig (linearly independent).

Für beliebige Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ gilt: Wenn $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$, dann ist $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$. Dies heißt die triviale Darstellung des Nullvektors (trivial representation of 0).

Für linear unabhängige Mengen gelten in jedem Vektorraum die folgenden drei Aussagen; insbesondere ist Proposition 3 beim Testen der Unabhängigkeit einer endlichen Menge sehr nützlich.

• Proposition 1: Die leere Menge ist linear unabhängig. Linear abhängig kann nur eine nichtleere Menge sein.
• Proposition 2: Eine Menge, die nur aus einem einzigen von $0$ verschiedenen Vektor besteht, ist linear unabhängig.
• Proposition 3: Eine Menge ist genau dann linear unabhängig, wenn die Darstellung von $\mathbf{0}$ als lineare Kombination der gegebenen Vektoren nur trivial ist.

Wichtige Sätze:

Satz 1
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Ist $S_1$ linear abhängig, so ist es auch $S_2$.

Korollar 1-1
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Ist $S_2$ linear unabhängig, so ist es auch $S_1$.

Satz 2
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und $S$ eine linear unabhängige Teilmenge. Für einen Vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ mit $\mathbf{v} \notin S$ gilt: $S \cup \{\mathbf{v}\}$ ist genau dann linear abhängig, wenn $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$.

Anders ausgedrückt: Wenn keine echte Teilmenge von $S$ denselben Raum erzeugt wie $S$, dann ist $S$ linear unabhängig.

Basis und Dimension

Basis

Eine linear unabhängige Erzeugermenge $S$ von $\mathbb{W}$ hat die Besonderheit, dass jeder Vektor aus $\mathbb{W}$ sich notwendigerweise als lineare Kombination der Elemente von $S$ darstellen lässt und diese Darstellung eindeutig ist (Satz 3). Daher nennt man eine linear unabhängige Erzeugermenge eines Vektorraums eine Basis (basis).

Definition der Basis
Ist $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und $\beta \subseteq \mathbb{V}$, so heißt $\beta$ eine Basis (basis) von $\mathbb{V}$, wenn $\beta$ linear unabhängig ist und $\mathbb{V}$ erzeugt. In diesem Fall sagt man: Die Vektoren in $\beta$ bilden eine Basis von $\mathbb{V}$.

Es gilt $\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$ und $\emptyset$ ist linear unabhängig. Daher ist $\emptyset$ eine Basis des Nullunterraums.

Insbesondere heißt die folgende spezielle Basis von $F^n$ die Standardbasis (standard basis) von $F^n$.

Definition der Standardbasis
Für den Vektorraum $F^n$ betrachten wir die Vektoren

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

Dann ist $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ eine Basis von $F^n$; sie heißt die Standardbasis (standard basis) von $F^n$.

Satz 3
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum und seien $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$ paarweise verschieden. Dann ist $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ genau dann eine Basis von $\mathbb{V}$, wenn sich jeder Vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ eindeutig als lineare Kombination der Vektoren aus $\beta$ schreiben lässt. Das heißt: Es existiert genau ein Skalar-$n$-Tupel $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ mit

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

Nach Satz 3 gilt: Bilden $n$ verschiedene Vektoren $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ eine Basis des Vektorraums $\mathbb{V}$, so ist innerhalb dieses Raums zu gegebenem $\mathbf{v}$ das zugehörige Skalar-$n$-Tupel $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ eindeutig bestimmt und umgekehrt. Wir werden dies später im Rahmen von Invertierbarkeit und Isomorphismus erneut zusammenfassen; in diesem Fall sind $\mathbb{V}$ und $F^n$ wesentlich gleich.

Satz 4
Sei $S$ eine endliche Menge mit $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$. Dann enthält $S$ eine Teilmenge, die eine Basis von $\mathbb{V}$ ist. Insbesondere hat $\mathbb{V}$ in diesem Fall eine endliche Basis.

Viele Vektorräume fallen in den Anwendungsbereich von Satz 4, aber nicht zwingend alle. Eine Basis kann auch unendlich sein.

Dimension

Satz 5: Austauschsatz (replacement theorem)
Sei $G$ eine Menge aus $n$ Vektoren mit $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$. Ist $L \subseteq \mathbb{V}$ eine Teilmenge aus $m$ linear unabhängigen Vektoren, so gilt $m \leq n$. Außerdem existiert eine Menge $H \subseteq G$ mit $n-m$ Elementen, so dass $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$.

Daraus folgen zwei äußerst wichtige Korollare.

Korollar 5-1 zum Austauschsatz
Enthält der Vektorraum $\mathbb{V}$ eine endliche Basis, so sind alle Basen von $\mathbb{V}$ endlich und bestehen aus gleich vielen Vektoren.

Demnach ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis von $\mathbb{V}$ eine unveränderliche, wesentliche Eigenschaft von $\mathbb{V}$; sie heißt Dimension (dimension).

Definition der Dimension
Ein Vektorraum heißt endlichdimensional (finite dimension), wenn er eine endliche Basis besitzt; die Anzahl $n$ der Basiselemente heißt die Dimension (dimension) des gegebenen Vektorraums und wird mit $\dim(\mathbb{V})$ bezeichnet. Ein Vektorraum, der nicht endlichdimensional ist, heißt unendlichdimensional (infinite dimension).

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

Die Dimension eines Vektorraums hängt vom zugrunde liegenden Körper ab.

• Über dem komplexen Körper $\mathbb{C}$ hat der komplexe Vektorraum Dimension $1$, Basis $\{1\}$
• Über dem reellen Körper $\mathbb{R}$ hat derselbe Raum Dimension $2$, Basis $\{1,i\}$

In einem endlichdimensionalen Vektorraum $\mathbb{V}$ kann keine Teilmenge mit mehr als $\dim(\mathbb{V})$ Vektoren linear unabhängig sein.

Korollar 5-2 zum Austauschsatz
Sei $\mathbb{V}$ ein Vektorraum der Dimension $n$.

1. Jede endliche Erzeugermenge von $\mathbb{V}$ enthält mindestens $n$ Vektoren; eine Erzeugermenge aus genau $n$ Vektoren ist eine Basis von $\mathbb{V}$.
2. Eine linear unabhängige Teilmenge von $\mathbb{V}$ mit genau $n$ Vektoren ist eine Basis von $\mathbb{V}$. 3. Jede linear unabhängige Teilmenge $L \subseteq \mathbb{V}$ lässt sich zu einer Basis erweitern. Das heißt: Ist $L$ linear unabhängig, so existiert eine Basis $\beta \supseteq L$ von $\mathbb{V}$.

Dimension von Unterräumen

Satz 6
Ist $\mathbb{V}$ endlichdimensional, so ist jeder Unterraum $\mathbb{W}$ von $\mathbb{V}$ endlichdimensional und es gilt $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$. Insbesondere gilt aus $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.$

Korollar 6-1
Zu einem Unterraum $\mathbb{W}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $\mathbb{V}$ lässt sich jede Basis von $\mathbb{W}$ zu einer Basis von $\mathbb{V}$ erweitern.

Nach Satz 6 kann die Dimension eines Unterraums von $\mathbb{R}^3$ die Werte $0,1,2,3$ annehmen.

• 0-dimensional: der Nullunterraum $\{\mathbf{0}\}$
• 1-dimensional: eine durch den Ursprung ($\mathbf{0}$) verlaufende Gerade
• 2-dimensional: eine durch den Ursprung ($\mathbf{0}$) verlaufende Ebene
• 3-dimensional: der gesamte euklidische 3D-Raum