Lineare Abbildungen, Nullraum, Bild

Prerequisites

• Vektoren und lineare Kombinationen
• Vektorräume, Unterräume und Matrizen
• Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basis und Dimension
• Injektion, Surjektion

Lineare Abbildungen

Eine Abbildung, die die Struktur von Vektorräumen bewahrt, heißt lineare Abbildung (linear transformation). Sie ist ein zentrales Konzept in der reinen und angewandten Mathematik, den Sozial- und Naturwissenschaften sowie der Technik.

Definition
Seien $\mathbb{V}$ und $\mathbb{W}$ $F$-Vektorräume. Eine Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ heißt lineare Abbildung (linear transformation) von $\mathbb{V}$ nach $\mathbb{W}$, wenn für alle $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ und $c \in F$ gilt:

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Statt „$T$ ist eine lineare Abbildung“ sagt man kurz: $T$ ist linear. Eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ erfüllt die folgenden vier Eigenschaften.

1. $T$ linear $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ linear $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ linear $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ linear $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Um die Linearität nachzuweisen, verwendet man in der Praxis häufig Eigenschaft 2.

Lineare Algebra lässt sich in der Geometrie breit einsetzen, da viele zentrale geometrische Transformationen linear sind. Insbesondere zählen Rotation, Spiegelung und Projektion zu den linearen Abbildungen.

Die folgenden beiden linearen Abbildungen treten besonders häufig auf.

Identitätsabbildung und Nullabbildung
Für $F$-Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• Identitätsabbildung (identity transformation): $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$, definiert durch $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$
• Nullabbildung (zero transformation): $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, definiert durch $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$

Darüber hinaus fallen viele Konzepte unter lineare Abbildungen.

Beispiele für lineare Abbildungen

• Rotation
• Spiegelung
• Projektion
• Transposition
• Ableitung differenzierbarer Funktionen
• Integral stetiger Funktionen

Nullraum und Bild

Definition von Nullraum und Bild

Definition
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• Nullraum (null space) bzw. Kern (kernel): die Menge aller $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ mit $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$; bezeichnet mit $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• Bild (image) bzw. Wertebereich (range): die von $T$ angenommenen Funktionswerte; Teilmenge von $\mathbb{W}$, bezeichnet mit $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

z. B. Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, die Identitätsabbildung $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ und die Nullabbildung $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ gilt:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

Wichtig und immer wieder verwendet: Nullraum und Bild einer linearen Abbildung sind Unterräume der jeweiligen Vektorräume.

Satz 1
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ sind $\mathrm{N}(T)$ bzw. $\mathrm{R}(T)$ Unterräume von $\mathbb{V}$ bzw. $\mathbb{W}$.

Beweis
Bezeichne die Nullvektoren von $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ mit $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$.

Aus $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$ folgt $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. Für $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ und $c \in F$ gilt zudem:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ Da $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$ sowie $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ und $c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$ gilt, ist $\mathrm{N}(T)$ ein Unterraum von $\mathbb{V}$.

Ebenso folgt aus $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, dass $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$ ist. Für alle $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T)$ und $c \in F$ existieren $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V}$ mit $T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}$ und $T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}$, sodass

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ Da $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$ sowie $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T)$ und $c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$ gilt, ist $\mathrm{R}(T)$ ein Unterraum von $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

Kennt man für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ eine Basis $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ von $\mathbb{V}$, so lässt sich eine Erzeugermenge von $\mathrm{R}(T)$ wie folgt finden.

Satz 2
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ und eine Basis $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ von $\mathbb{V}$ gilt

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Beweis

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Da $\mathrm{R}(T)$ ein Unterraum ist, folgt nach Satz 2 aus Vektorräume, Unterräume und Matrizen:

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

Außerdem gilt

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Da $\beta$ eine Basis von $\mathbb{V}$ ist,

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(mit } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

Wegen der Linearität von $T$ gilt

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ Da zugleich $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ und $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ gilt, folgt $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Dieser Satz gilt auch, wenn $\beta$ unendlich ist.

Dimensionssatz

Da Nullraum und Bild besonders wichtige Unterräume sind, versieht man auch ihre Dimension mit speziellen Bezeichnungen.

Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ seien $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ endlichdimensional.

• Nullität (nullity): die Dimension von $\mathrm{N}(T)$; notiert als $\mathrm{nullity}(T)$
• Rang (rank): die Dimension von $\mathrm{R}(T)$; notiert als $\mathrm{rank}(T)$

Bei linearen Abbildungen gilt: Je größer die Nullität, desto kleiner der Rang – und umgekehrt.

Satz 3: Dimensionssatz (dimension theorem)
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$ gilt, falls $\mathbb{V}$ endlichdimensional ist:

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Beweis

Sei $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$, und sei $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ eine Basis von $\mathrm{N}(T)$.

Nach “Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basis und Dimension”, Korollar 6-1 lässt sich $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ zu einer Basis $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ von $\mathbb{V}$ erweitern.

Wir zeigen nun, dass $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ eine Basis von $\mathrm{R}(T)$ ist. Für $1 \leq i \leq k$ gilt $T(\mathbf{v}_i) = 0$, daher folgt aus Satz 2,

\[\begin{align*} \mathrm{R}(T) &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(S). \end{align*}\]

Also ist $S$ eine Erzeugermenge von $\mathrm{R}(T)$. Nach Korollar 5-2 zum Austauschsatz genügt es, die lineare Unabhängigkeit von $S$ zu zeigen.

Gelte $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (mit $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$). Aus der Linearität von $T$ folgt

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \Leftrightarrow T\left(\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \in \mathrm{N}(T).\]

Also existieren $c_1, \dots, c_k \in F$ mit

\[\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i \ \Leftrightarrow\ \sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0.\]

Da $\beta$ eine Basis von $\mathbb{V}$ ist, ist die einzige Lösung

\[c_1 = \cdots = c_k = b_{k+1} = \cdots = b_n = 0,\]

und damit

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad b_i = 0.\]

Somit ist $S$ linear unabhängig und eine Basis von $\mathrm{R}(T)$.

\[\therefore \mathrm{rank}(T) = n - k = \dim{\mathbb{V}} - \mathrm{nullity}(T). \blacksquare\]

Lineare Abbildungen sowie Injektion und Surjektion

Injektivität und Surjektivität stehen in engem Zusammenhang mit Rang und Nullität.

Satz 4
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ und eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ gilt

\[T \text{ ist injektiv } \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Satz 5
Haben die endlichdimensionalen Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ dieselbe Dimension, so sind für eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $T$ ist injektiv.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ ist surjektiv.

Mit dem Dimensionssatz, den Eigenschaften linearer Abbildungen 1 und 3 sowie “Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basis und Dimension”, Satz 6 lassen sich Satz 4 und Satz 5 beweisen.

Beide Sätze sind nützlich, um zu entscheiden, ob eine gegebene lineare Abbildung injektiv oder surjektiv ist.

Für einen unendlichdimensionalen Vektorraum $\mathbb{V}$ und $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ sind Injektivität und Surjektivität nicht äquivalent.

Ist eine lineare Abbildung injektiv, kann folgender Satz beim Test der linearen Unabhängigkeit nützlich sein.

Satz 6
Für Vektorräume $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, eine injektive lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ und eine Teilmenge $S \subseteq \mathbb{V}$ gilt:

\[S \text{ ist linear unabhängig } \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \} \text{ ist linear unabhängig.}\]

Lineare Abbildungen und Basen

Eine zentrale Eigenschaft linearer Abbildungen ist: Ihr Verhalten ist durch die Wirkung auf eine Basis festgelegt.

Satz 7
Seien $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ $F$-Vektorräume, $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ eine Basis von $\mathbb{V}$ und $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$ Vektoren. Dann existiert genau eine lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ mit

\[T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i \quad \text{für } i = 1, 2, \dots, n.\]

Beweis
Für jedes $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existiert eindeutig eine Darstellung

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad (a_1, a_2, \dots, a_n \in F).\]

Definiere die lineare Abbildung $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ durch

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

i) Für $i = 1, 2, \dots, n$ gilt $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii) Sei $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ eine weitere lineare Abbildung mit $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ für $i = 1, 2, \dots, n$. Für $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$ gilt dann

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x})\] \[\therefore U = T.\]

Aus i) und ii) folgt: Die lineare Abbildung mit $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ für $i = 1, 2, \dots, n$ ist eindeutig gegeben durch

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

$\blacksquare$

Korollar 7-1
Seien $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ Vektorräume und enthalte $\mathbb{V}$ eine endliche Basis $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$. Erfüllen zwei lineare Abbildungen $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ für $i = 1, 2, \dots, n$ die Gleichheit $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$, so gilt $U = T$.
Das heißt: Stimmen die Funktionswerte auf einer Basis überein, so sind die linearen Abbildungen gleich.