Vektorräume, Unterräume und Matrizen

TL;DR

• Matrix
  • Den Eintrag der i-ten Zeile und j-ten Spalte einer Matrix A schreibt man als $A_{ij}$ oder $a_{ij}$
  • Diagonaleintrag (diagonal entry): Eintrag $a_{ij}$ mit $i=j$
  • Die Einträge $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ heißen die i-te Zeile (row) der Matrix
    • Jede Zeile einer Matrix lässt sich als Vektor in $F^n$ darstellen
    • Zudem kann man einen Zeilenvektor in $F^n$ als eine weitere $1 \times n$-Matrix schreiben
  • Die Einträge $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ heißen die j-te Spalte (column) der Matrix
    • Jede Spalte einer Matrix lässt sich als Vektor in $F^m$ darstellen
    • Zudem kann man einen Spaltenvektor in $F^m$ als eine weitere $m \times 1$-Matrix schreiben
  • Nullmatrix (zero matrix): Matrix, deren alle Einträge $0$ sind; mit $O$ bezeichnet
  • quadratische Matrix (square matrix): Matrix mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl
  • Für zwei $m \times n$-Matrizen $A, B$ gilt: Wenn für alle $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ die Gleichheit $A_{ij} = B_{ij}$ besteht (d. h. alle korrespondierenden Einträge stimmen überein), dann sind $A$ und $B$ gleich ($A=B$)
  • Transponierte Matrix (transpose matrix): Für eine $m \times n$-Matrix $A$ heißt die $n \times m$-Matrix $A^T$, die durch Vertauschen von Zeilen und Spalten entsteht, die Transponierte
  • symmetrische Matrix (symmetric matrix): quadratische Matrix $A$ mit $A^T = A$
  • schiefsymmetrische Matrix (skew-symmetric matrix): quadratische Matrix $B$ mit $B^T = -B$
  • Dreiecksmatrix (triangular matrix)
    • obere Dreiecksmatrix (upper triangular matrix): Matrix, deren alle Einträge unterhalb der Diagonale $0$ sind (d. h. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$); meist mit $U$ bezeichnet
    • untere Dreiecksmatrix (lower triangular matrix): Matrix, deren alle Einträge oberhalb der Diagonale $0$ sind (d. h. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$); meist mit $L$ bezeichnet
  • Diagonalmatrix (diagonal matrix): quadratische $n \times n$-Matrix, deren alle Nicht-Diagonaleinträge $0$ sind (d. h. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$); meist mit $D$ bezeichnet
• typische Vektorräume
  • $n$-Tupel $F^n$:
    • die Menge aller $n$-Tupel mit Einträgen aus einem Körper $F$
    • notiert als $F^n$; ein $F$-Vektorraum
  • Matrixraum (matrix space):
    • die Menge aller $m \times n$-Matrizen mit Einträgen aus $F$
    • notiert als $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$; ein Vektorraum
  • Funktionenraum (function space):
    • für eine nichtleere Menge $S$ über $F$ die Menge aller Abbildungen von $S$ nach $F$
    • notiert als $\mathcal{F}(S,F)$; ein Vektorraum
• Unterraum (subspace)
  • Ist eine Teilmenge $\mathbb{W}$ eines $F$-Vektorraums $\mathbb{V}$ mit denselben Operationen (Summe und Skalarmultiplikation) selbst ein $F$-Vektorraum, so heißt $\mathbb{W}$ ein Unterraum (subspace) von $\mathbb{V}$
  • Für jeden Vektorraum $\mathbb{V}$ sind $\mathbb{V}$ selbst und $\{0\}$ Unterräume; insbesondere heißt $\{0\}$ der Nullunterraum (zero subspace)
  • Enthält eine Teilmenge den Nullvektor und ist sie unter linearen Kombinationen abgeschlossen ($\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), so ist sie ein Unterraum

Prerequisites

• Vektoren und lineare Kombinationen

Vektorräume

Wie bereits kurz in Vektoren und lineare Kombinationen gesehen, lauten die Definitionen von Vektor und Vektorraum als algebraische Strukturen wie folgt.

Definition
Ein Vektorraum (vector space) oder linearer Raum (linear space) $\mathbb{V}$ über einem Körper $F$ ist eine Menge mit zwei Operationen, Addition und Skalarmultiplikation, die die folgenden 8 Bedingungen erfüllen. Elemente von $F$ heißen Skalare (scalar), Elemente von $\mathbb{V}$ heißen Vektoren (vector).

• Summe (sum): Jedem Paar $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ wird ein eindeutiges Element $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zugeordnet. $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ heißt die Summe von $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$.
• Skalarmultiplikation (scalar multiplication): Jedem $a \in F$ und $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ wird ein eindeutiges Element $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zugeordnet. $a\mathbf{x}$ heißt die Skalarmultiplikation (scalar multiple) von $\mathbf{x}$ mit $a$.

1. Für alle $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ gilt $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (Kommutativgesetz der Addition)
2. Für alle $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ gilt $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (Assoziativgesetz der Addition)
3. Es existiert ein $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ mit $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$ für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. (Nullvektor, neutrales Element der Addition)
4. Zu jedem $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existiert ein $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ mit $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (additives Inverses)
5. Für alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (neutrales Element der Multiplikation)
6. Für alle $a,b \in F$ und alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (Assoziativität der Skalarmultiplikation)
7. Für alle $a \in F$ und alle $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ gilt $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (Distributivgesetz der Skalarmultiplikation über der Addition 1)
8. Für alle $a,b \in F$ und alle $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ gilt $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (Distributivgesetz der Skalarmultiplikation über der Addition 2)

Streng genommen sollte man “$F$-Vektorraum $\mathbb{V}$” schreiben; doch bei der Behandlung von Vektorräumen spielt der Körper nicht immer eine zentrale Rolle. Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, lassen wir $F$ weg und schreiben einfach “Vektorraum $\mathbb{V}$”.

Matrixraum

Zeilen- und Spaltenvektoren

Die Menge aller $n$-Tupel mit Einträgen aus $F$ wird mit $F^n$ bezeichnet. Für $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$, $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$ ist $F^n$ ein $F$-Vektorraum, wenn man Summe und Skalarmultiplikation wie folgt definiert:

\[\begin{align*} u + v &= (a_1+b_1, a_2+b_2, \dots, a_n+b_n), \\ cu &= (ca_1, ca_2, \dots, ca_n) \end{align*}\]

Vektoren aus $F^n$ schreibt man, wenn sie allein stehen, meist nicht als Zeilenvektoren (row vector) $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, sondern als Spaltenvektoren (column vector)

\[\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\]

.

Da Spaltenvektoren jedoch viel Platz benötigen, verwendet man oft die Transposition und schreibt $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$.

Matrizen und Matrixraum

Eine $m \times n$-Matrix (matrix) mit Einträgen aus $F$ ist ein rechteckiges Schema wie folgt und wird üblicherweise durch kursiv gesetzte Großbuchstaben ($A, B, C$ usw.) bezeichnet.

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

• Den Eintrag der i-ten Zeile und j-ten Spalte einer Matrix $A$ schreibt man als $A_{ij}$ oder $a_{ij}$.
• Alle $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) sind Elemente von $F$.
• Ein Eintrag $a_{ij}$ mit $i=j$ heißt Diagonaleintrag (diagonal entry).
• Die Einträge $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ heißen die i-te Zeile (row) der Matrix. Jede Zeile lässt sich als Vektor in $F^n$ auffassen; ferner kann man einen Zeilenvektor aus $F^n$ als eine weitere $1 \times n$-Matrix schreiben.
• Die Einträge $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ heißen die j-te Spalte (column) der Matrix. Jede Spalte lässt sich als Vektor in $F^m$ auffassen; ferner kann man einen Spaltenvektor aus $F^m$ als eine weitere $m \times 1$-Matrix schreiben.
• Eine $m \times n$-Matrix, deren alle Einträge $0$ sind, heißt Nullmatrix (zero matrix) und wird mit $O$ bezeichnet.
• Eine Matrix mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl heißt quadratische Matrix (square matrix).
• Für zwei $m \times n$-Matrizen $A, B$ gilt: Stimmen für alle $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ die Einträge überein ($A_{ij} = B_{ij}$), so sind die Matrizen gleich ($A=B$).

Die Menge aller $m \times n$-Matrizen mit Einträgen aus $F$ wird mit $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ bezeichnet. Für $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F),\ c \in F$ ist $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ ein Vektorraum, wenn man Summe und Skalarmultiplikation wie folgt definiert; diesen Raum nennt man Matrixraum (matrix space).

\[\begin{align*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})_{ij} &= \mathbf{A}_{ij} + \mathbf{B}_{ij}, \\ (c\mathbf{A})_{ij} &= c\mathbf{A}_{ij} \\ \text{(wobei }1 \leq i \leq &m, 1 \leq j \leq n \text{)} \end{align*}\]

Dies ist eine natürliche Erweiterung der in $F^n$ und $F^m$ definierten Operationen.

Funktionenraum

Für eine nichtleere Menge $S$ über $F$ ist $\mathcal{F}(S,F)$ die Menge aller Abbildungen von $S$ nach $F$. Für $f,g \in \mathcal{F}(S,F)$ gilt: Sind für alle $s \in S$ die Funktionswerte gleich, $f(s) = g(s)$, so sind die Funktionen gleich ($f=g$).

Für $f,g \in \mathcal{F}(S,F),\ c \in F,\ s \in S$ ist $\mathcal{F}(S,F)$ ein Vektorraum, wenn man Summe und Skalarmultiplikation wie folgt definiert; diesen Raum nennt man Funktionenraum (function space).

\[\begin{align*} (f + g)(s) &= f(s) + g(s), \\ (cf)(s) &= c[f(s)] \end{align*}\]

Unterräume

Definition
Ist eine Teilmenge $\mathbb{W}$ eines $F$-Vektorraums $\mathbb{V}$ mit denselben, in $\mathbb{V}$ definierten Operationen Summe und Skalarmultiplikation selbst ein $F$-Vektorraum, so heißt $\mathbb{W}$ ein Unterraum (subspace) von $\mathbb{V}$.

Für jeden Vektorraum $\mathbb{V}$ sind $\mathbb{V}$ selbst und $\{0\}$ Unterräume; insbesondere heißt $\{0\}$ der Nullunterraum (zero subspace).

Ob eine Teilmenge ein Unterraum ist, lässt sich mit dem folgenden Satz prüfen.

Satz 1
Für einen Vektorraum $\mathbb{V}$ und eine Teilmenge $\mathbb{W}$ ist $\mathbb{W}$ genau dann ein Unterraum von $\mathbb{V}$, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind. Die Operationen sind dabei diejenigen von $\mathbb{V}$.

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

Kurz gesagt: Enthält die Menge den Nullvektor und ist sie unter linearen Kombinationen abgeschlossen ($\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), so ist sie ein Unterraum.

Außerdem gelten die folgenden Sätze.

Satz 2

• Für jede Teilmenge $S$ eines Vektorraums $\mathbb{V}$ ist der von $S$ erzeugte Raum $\mathrm{span}(S)$ ein Unterraum von $\mathbb{V}$, der $S$ enthält.

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• Jeder Unterraum $\mathbb{W}$ von $\mathbb{V}$, der $S$ enthält, enthält notwendig auch den von $S$ erzeugten Raum.

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

Satz 3
Für Unterräume eines Vektorraums $\mathbb{V}$ ist der beliebige Durchschnitt solcher Unterräume wiederum ein Unterraum von $\mathbb{V}$.

Transponierte Matrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix

Die Transponierte (transpose matrix) $A^T$ einer $m \times n$-Matrix $A$ ist die $n \times m$-Matrix, die durch Vertauschen von Zeilen und Spalten entsteht.

\[(A^T)_{ij} = A_{ji}\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\]

Eine Matrix $A$ mit $A^T = A$ heißt symmetrische Matrix (symmetric matrix), eine Matrix $B$ mit $B^T = -B$ heißt schiefsymmetrische Matrix (skew-symmetric matrix). Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen sind notwendigerweise quadratisch.

Bezeichnet $\mathbb{W}_1$ bzw. $\mathbb{W}_2$ die Menge aller symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Matrizen in $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$, so sind $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ Unterräume von $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$, d. h. sie sind unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Dreiecksmatrizen, Diagonalmatrizen

Diese beiden Matrizenklassen sind besonders wichtig.

Zunächst fasst man die folgenden beiden Typen zur Klasse der Dreiecksmatrizen (triangular matrix) zusammen.

• obere Dreiecksmatrix (upper triangular matrix): Matrix, deren alle Einträge unterhalb der Diagonale $0$ sind (d. h. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$); meist mit $U$ bezeichnet
• untere Dreiecksmatrix (lower triangular matrix): Matrix, deren alle Einträge oberhalb der Diagonale $0$ sind (d. h. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$); meist mit $L$ bezeichnet

Eine quadratische $n \times n$-Matrix, deren alle Nicht-Diagonaleinträge $0$ sind, d. h. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$, heißt Diagonalmatrix (diagonal matrix) und wird meist mit $D$ bezeichnet. Eine Diagonalmatrix ist zugleich obere wie untere Dreiecksmatrix.

Die Menge der oberen Dreiecksmatrizen, die Menge der unteren Dreiecksmatrizen und die Menge der Diagonalmatrizen sind allesamt Unterräume von $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$.