Dependencia lineal e independencia lineal, base y dimensión

Prerequisites

• Vectores y combinaciones lineales
• Espacios vectoriales, subespacios y matrices

Dependencia lineal e independencia lineal

Dado un espacio vectorial $\mathbb{V}$ y un subespacio $\mathbb{W}$, supongamos que queremos encontrar un subconjunto finito mínimo $S$ que genere $\mathbb{W}$.

Sea $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ tal que $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$. ¿Cómo decidir si existe un subconjunto propio de $S$ que aún genere $\mathbb{W}$? Esto equivale a decidir si un vector de $S$ puede escribirse como combinación lineal de los demás. Por ejemplo, una condición necesaria y suficiente para poder expresar $\mathbf{u}_4$ como combinación lineal de los otros tres vectores es que existan escalares $a_1, a_2, a_3$ que satisfagan:

\[\mathbf{u}_4 = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3\]

Sin embargo, plantear y resolver cada vez un sistema lineal para $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ sería engorroso; mejor reescribamos ligeramente:

\[a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \mathbf{0}\]

Si algún vector de $S$ es combinación lineal de los otros, entonces existe una forma de expresar el vector cero como combinación lineal de elementos de $S$ en la que al menos uno de los coeficientes $a_1, a_2, a_3, a_4$ sea distinto de $0$. El recíproco también es cierto: si existe una combinación de los vectores de $S$ que da el vector cero con al menos un coeficiente no nulo, entonces algún vector de $S$ es combinación lineal de los demás.

Generalizando, definimos dependencia lineal e independencia lineal como sigue.

Definición
Para un subconjunto $S$ de un espacio vectorial $\mathbb{V}$, si existen un número finito de vectores distintos $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ y escalares $a_1, a_2, \dots, a_n$, no todos nulos, tales que $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$, entonces el conjunto $S$ y esos vectores se dicen linealmente dependientes. En caso contrario, se dicen linealmente independientes.

Para cualesquiera vectores $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$, si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$, entonces $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$; a esto se le llama la representación trivial del vector cero (trivial representation of $\mathbf{0}$).

Los siguientes tres enunciados sobre conjuntos linealmente independientes son siempre verdaderos en cualquier espacio vectorial. En particular, la Proposición 3 es muy útil para decidir si un conjunto finito es independiente.

• Proposición 1: El conjunto vacío es linealmente independiente. Para que un conjunto sea linealmente dependiente debe ser no vacío.
• Proposición 2: Un conjunto formado por un único vector no nulo es linealmente independiente.
• Proposición 3: Un conjunto es linealmente independiente si y solo si la única forma de expresar $\mathbf{0}$ como combinación lineal de sus vectores es la representación trivial.

También son importantes los siguientes resultados.

Teorema 1
Si $\mathbb{V}$ es un espacio vectorial y $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$, entonces si $S_1$ es linealmente dependiente, $S_2$ también lo es.

Corolario 1-1
Si $\mathbb{V}$ es un espacio vectorial y $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$, entonces si $S_2$ es linealmente independiente, $S_1$ también lo es.

Teorema 2
Sea $\mathbb{V}$ un espacio vectorial y $S$ un subconjunto linealmente independiente. Para un vector $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ que no pertenezca a $S$, una condición necesaria y suficiente para que $S \cup \{\mathbf{v}\}$ sea linealmente dependiente es que $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$.

Dicho de otro modo, si ningún subconjunto propio de $S$ genera el mismo espacio que $S$, entonces $S$ es linealmente independiente.

Base y dimensión

Base

Un conjunto generador $S$ de $\mathbb{W}$ que sea linealmente independiente tiene una propiedad especial: todo vector de $\mathbb{W}$ puede expresarse necesariamente como combinación lineal de elementos de $S$, y además esa expresión es única (Teorema 3). Por ello, llamamos base a un conjunto generador linealmente independiente de un espacio vectorial.

Definición de base
Dado un espacio vectorial $\mathbb{V}$ y un subconjunto $\beta$, si $\beta$ es linealmente independiente y genera $\mathbb{V}$, entonces $\beta$ es una base de $\mathbb{V}$. En tal caso, se dice que los vectores de $\beta$ forman una base de $\mathbb{V}$.

Se tiene $\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$ y $\emptyset$ es linealmente independiente. Por tanto, $\emptyset$ es una base del espacio cero.

En particular, la siguiente base especial de $F^n$ se llama base estándar (standard basis) de $F^n$.

Definición de base estándar
Para el espacio vectorial $F^n$, consideremos los siguientes vectores:

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

Entonces, el conjunto $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ es una base de $F^n$, llamada la base estándar de $F^n$.

Teorema 3
Sea $\mathbb{V}$ un espacio vectorial y sean $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$ vectores distintos. Un conjunto $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ es una base de $\mathbb{V}$ si y solo si todo vector $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ puede representarse como combinación lineal de los vectores de $\beta$, y dicha representación es única. Es decir, existe un único $n$-tuplo de escalares $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ tal que

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

Según el Teorema 3, si $n$ vectores distintos $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ forman una base de $\mathbb{V}$, entonces en ese espacio queda determinado el $n$-tuplo de escalares $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ asociado a un vector dado $\mathbf{v}$, y recíprocamente, dado un $n$-tuplo de escalares se obtiene el vector correspondiente $\mathbf{v}$. Más adelante, al estudiar la invertibilidad y el isomorfismo, volveremos sobre esto; en este caso, $\mathbb{V}$ y $F^n$ son esencialmente iguales.

Teorema 4
Si $S$ es un conjunto finito con $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, entonces existe un subconjunto de $S$ que es base de $\mathbb{V}$. En particular, en este caso, cualquier base de $\mathbb{V}$ es finita.

Muchos espacios vectoriales cumplen el Teorema 4, pero no todos. Una base puede no ser un conjunto finito.

Dimensión

Teorema 5: teorema del reemplazo (replacement theorem)
Sea $G$ un conjunto de $n$ vectores tal que $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$. Si $L$ es un subconjunto de $\mathbb{V}$ formado por $m$ vectores linealmente independientes, entonces $m \leq n$. Además, existe un conjunto $H \subseteq G$ con $n-m$ vectores tal que $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$.

De aquí se obtienen dos corolarios muy importantes.

Corolario 5-1 del teorema del reemplazo
Si un espacio vectorial $\mathbb{V}$ tiene alguna base finita, entonces toda base de $\mathbb{V}$ es finita y todas tienen el mismo número de vectores.

Según esto, el número de vectores que forman una base de $\mathbb{V}$ es una propiedad esencial e invariante de $\mathbb{V}$, llamada dimensión.

Definición de dimensión
Un espacio vectorial cuya base es finita se dice de dimensión finita; en tal caso, al número $n$ de elementos de una base se le llama la dimensión del espacio y se denota por $\dim(\mathbb{V})$. Un espacio vectorial que no es de dimensión finita es de dimensión infinita.

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

La dimensión de un espacio vectorial puede cambiar según el cuerpo de base.

• Sobre el cuerpo de los complejos $\mathbb{C}$, la dimensión del espacio vectorial de los complejos es $1$, con base $\{1\}$
• Sobre el cuerpo de los reales $\mathbb{R}$, la dimensión del espacio vectorial de los complejos es $2$, con base $\{1,i\}$

En un espacio vectorial de dimensión finita $\mathbb{V}$, ningún subconjunto con más de $\dim(\mathbb{V})$ vectores puede ser linealmente independiente.

Corolario 5-2 del teorema del reemplazo
Sea $\mathbb{V}$ un espacio vectorial de dimensión $n$.

1. Todo conjunto generador finito de $\mathbb{V}$ contiene al menos $n$ vectores, y cualquier conjunto generador de $\mathbb{V}$ con $n$ vectores es una base de $\mathbb{V}$.
2. Todo subconjunto de $\mathbb{V}$ con $n$ vectores linealmente independientes es una base de $\mathbb{V}$. 3. Todo subconjunto linealmente independiente de $\mathbb{V}$ puede ampliarse a una base. Es decir, si $L \subseteq \mathbb{V}$ es linealmente independiente, existe una base $\beta$ de $\mathbb{V}$ con $\beta \supseteq L$.

Dimensión de subespacios

Teorema 6
Si $\mathbb{V}$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces todo subespacio $\mathbb{W}$ es también de dimensión finita y se cumple $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$. En particular, si $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V})$, entonces $\mathbb{V} = \mathbb{W}$.

Corolario 6-1
Dado un subespacio $\mathbb{W}$ de un espacio vectorial de dimensión finita $\mathbb{V}$, cualquier base de $\mathbb{W}$ puede ampliarse a una base de $\mathbb{V}$.

Por el Teorema 6, la dimensión de los subespacios de $\mathbb{R}^3$ puede ser $0,1,2,3$.

• Dimensión 0: el espacio $\{\mathbf{0}\}$ que solo contiene el origen ($\mathbf{0}$)
• Dimensión 1: una recta que pasa por el origen ($\mathbf{0}$)
• Dimensión 2: un plano que contiene el origen ($\mathbf{0}$)
• Dimensión 3: todo el espacio euclídeo tridimensional