Transformación lineal, núcleo e imagen

Prerequisites

• Vectores y combinaciones lineales
• Espacios vectoriales, subespacios y matrices
• Dependencia lineal e independencia lineal, base y dimensión
• inyección, sobreyección

Transformación lineal

Una función especial que preserva la estructura de espacio vectorial se llama transformación lineal (linear transformation); es un concepto clave que aparece con mucha frecuencia en matemáticas puras, matemáticas aplicadas, ciencias sociales, ciencias naturales e ingeniería.

Definición
Sean $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$ $F$-espacios vectoriales. Una función $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ que satisface las dos condiciones siguientes para todo $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ y todo $c \in F$ se llama transformación lineal (linear transformation) de $\mathbb{V}$ en $\mathbb{W}$.

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Decimos simplemente que $T$ es lineal. Una transformación lineal $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ satisface las cuatro propiedades siguientes.

1. $T$ lineal $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ es lineal $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ lineal $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ es lineal $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Para probar que una función es lineal, suele ser conveniente usar la propiedad 2.

El álgebra lineal tiene un uso amplio y variado en geometría porque muchas transformaciones geométricas importantes son lineales. En particular, las tres transformaciones principales —rotación, simetría y proyección— son transformaciones lineales.

Dos transformaciones lineales aparecen especialmente a menudo.

Transformación identidad y transformación nula
Para $F$-espacios vectoriales $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• Transformación identidad (identity transformation): la función $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ definida por $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ para todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$
• Transformación nula (zero transformation): la función $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ definida por $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ para todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$

Además de estas, muchos otros objetos son transformaciones lineales.

Ejemplos de transformaciones lineales

• rotación
• simetría
• proyección
• traspuesta
• la derivada de una función diferenciable
• la integral de una función continua

Núcleo e imagen

Definición de núcleo e imagen

Definición
Dados espacios vectoriales $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y una transformación lineal $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• Espacio nulo (null space) o núcleo (kernel): el conjunto de los $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ tales que $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$; se denota por $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• Imagen (image) o rango (range): el subconjunto de $\mathbb{W}$ formado por los valores de $T$; se denota por $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

p. ej. Para espacios vectoriales $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, la identidad $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ y la transformación nula $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ satisfacen:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

Algo que será importante en adelante: el núcleo y la imagen de una transformación lineal son subespacios.

Teorema 1
Dado $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ lineal, $\mathrm{N}(T)$ y $\mathrm{R}(T)$ son subespacios de $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$, respectivamente.

Demostración
Denotemos por $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$ los vectores cero de $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$, respectivamente.

Como $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, se tiene $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. Además, para $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ y $c \in F$:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ Como $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ y $c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$, $\mathrm{N}(T)$ es un subespacio de $\mathbb{V}$.

Del mismo modo, $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$ implica $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$; y como $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$, entonces

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ Como $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T)$ y $c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$, $\mathrm{R}(T)$ es un subespacio de $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

Por otra parte, dados $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ lineal, si conocemos una base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$, podemos hallar un conjunto generador de la imagen $\mathrm{R}(T)$ como sigue.

Teorema 2
Sean $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ lineal, y sea $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ una base de $\mathbb{V}$. Entonces:

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Demostración

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Como $\mathrm{R}(T)$ es un subespacio, por el Teorema 2 de Espacios vectoriales, subespacios y matrices,

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

Además,

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Como $\beta$ es base de $\mathbb{V}$,

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(donde } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

Como $T$ es lineal,

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ Como $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ y a la vez $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$, se sigue que $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Este teorema también vale cuando la base $\beta$ es infinita.

Teorema de la dimensión

Como núcleo e imagen son subespacios muy importantes, sus dimensiones reciben nombres específicos.

Sean $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ lineal, y supongamos que $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ son de dimensión finita.

• Nulidad (nullity): la dimensión de $\mathrm{N}(T)$; se denota por $\mathrm{nullity}(T)$
• Rango (rank): la dimensión de $\mathrm{R}(T)$; se denota por $\mathrm{rank}(T)$

Para transformaciones lineales, cuanto mayor es la nulidad, menor es el rango, y viceversa.

Teorema 3: teorema de la dimensión
Sean $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$ lineal. Si $\mathbb{V}$ es de dimensión finita, entonces:

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Demostración

Sea $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$, y sea $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ una base de $\mathrm{N}(T)$.

Por el Corolario 6-1 de “Dependencia lineal e independencia lineal, base y dimensión”, podemos ampliar $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ a una base de $\mathbb{V}$, $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$.

Mostraremos ahora que $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ es una base de $\mathrm{R}(T)$. Como $T(\mathbf{v}_i) = 0$ para $1 \leq i \leq k$, por el Teorema 2 se tiene

\[\begin{align*} \mathrm{R}(T) &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(S). \end{align*}\]

Es decir, $S$ es un conjunto generador de $\mathrm{R}(T)$. Por el Corolario 5-2 del teorema del reemplazo, bastará probar que $S$ es linealmente independiente para concluir que es base de $\mathrm{R}(T)$.

Si $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (con $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$), como $T$ es lineal,

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \Leftrightarrow T\left(\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \in \mathrm{N}(T).\]

Por tanto,

\[\begin{align*} &\exists c_1, c_2, \dots, c_k \in F, \\ &\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i \\ \Leftrightarrow &\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0. \end{align*}\]

Como $\beta$ es base de $\mathbb{V}$, la única solución de $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ es

\[c_1 = c_2 = \cdots = c_k = b_{k+1} = b_{k+2} = \cdots = b_n = 0\]

y de aquí

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad b_i = 0.\]

Así, $S$ es linealmente independiente y base de $\mathrm{R}(T)$.

\[\therefore \mathrm{rank}(T) = n - k = \dim{\mathbb{V}} - \mathrm{nullity}(T). \blacksquare\]

Transformación lineal, inyectividad y sobreyectividad

En transformaciones lineales, la inyectividad (injection) y la sobreyectividad (surjection) están estrechamente relacionadas con el rango y la nulidad.

Teorema 4
Dados $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ lineal,

\[T \text{ es inyectiva} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Teorema 5
Si $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ son espacios vectoriales de dimensión finita con la misma dimensión y $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ es lineal, entonces son equivalentes las cuatro afirmaciones:

1. $T$ es inyectiva.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ es sobreyectiva.

Usando el teorema de la dimensión, las propiedades 1 y 3 de las transformaciones lineales y el Teorema 6 de “Dependencia lineal e independencia lineal, base y dimensión”, se pueden demostrar los Teoremas 4 y 5.

Estos dos teoremas son útiles para decidir si una transformación lineal dada es inyectiva o sobreyectiva.

Para un espacio vectorial infinito dimensional $\mathbb{V}$ y $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ lineal, inyectividad y sobreyectividad no son equivalentes.

Además, si una transformación lineal es inyectiva, el siguiente teorema puede ser útil para decidir si un subconjunto dado de un espacio vectorial es linealmente independiente.

Teorema 6
Sean $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ lineal e inyectiva, y sea $S \subseteq \mathbb{V}$. Entonces:

\[S \text{ es linealmente independiente} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \} \text{ es linealmente independiente.}\]

Transformación lineal y bases

Una propiedad importante de las transformaciones lineales es que su comportamiento queda determinado por su acción sobre una base.

Teorema 7
Sean los $F$-espacios vectoriales $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, una base $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$ y vectores $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$. Existe una única transformación lineal $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ que satisface:

\[T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i \quad \text{para } i = 1, 2, \dots, n\]

Demostración
Para cada $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, la siguiente representación como combinación lineal es única:

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

Definamos la transformación lineal $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ por

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

i) Para $i = 1, 2, \dots, n$, se cumple $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii)

Si otra transformación lineal $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ satisface $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ para $i = 1, 2, \dots, n$, entonces, para $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$,

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

Por i) y ii), la transformación lineal que cumple $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ para $i = 1, 2, \dots, n$ es

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

y es única. $\blacksquare$

Corolario 7-1
Sean espacios vectoriales $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ y supongamos que $\mathbb{V}$ tiene una base finita $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$. Si dos transformaciones lineales $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ satisfacen $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$ para $i = 1, 2, \dots, n$, entonces $U = T$.
Es decir, si dos transformaciones lineales coinciden en una base, son la misma transformación.