Espacios vectoriales, subespacios y matrices

TL;DR

• Matriz
  • El elemento de la fila $i$ y columna $j$ de una matriz $A$ se denota por $A_{ij}$ o $a_{ij}$
  • Entrada diagonal: el elemento $a_{ij}$ con $i=j$
  • Los elementos $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ forman la fila $i$-ésima de la matriz
    • Cada fila de una matriz puede verse como un vector de $F^n$
    • A su vez, un vector fila de $F^n$ puede representarse como otra matriz de tamaño $1 \times n$
  • Los elementos $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ forman la columna $j$-ésima de la matriz
    • Cada columna de una matriz puede verse como un vector de $F^m$
    • A su vez, un vector columna de $F^m$ puede representarse como otra matriz de tamaño $m \times 1$
  • Matriz cero: matriz cuyas entradas son todas $0$, se denota por $O$
  • Matriz cuadrada: matriz con igual número de filas y de columnas
  • Dadas dos matrices $m \times n$ $A, B$, si para todo $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ se cumple $A_{ij} = B_{ij}$ (es decir, todas las entradas correspondientes coinciden), definimos que las dos matrices son iguales ($A=B$)
  • Matriz traspuesta: para una matriz $m \times n$ $A$, la matriz $n \times m$ $A^T$ que se obtiene intercambiando filas y columnas de $A$
  • Matriz simétrica: matriz cuadrada $A$ tal que $A^T = A$
  • Matriz antisimétrica: matriz cuadrada $B$ tal que $B^T = -B$
  • Matriz triangular
    • Triangular superior: matriz cuyas entradas por debajo de la diagonal son $0$ (esto es, $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), suele denotarse por $U$
    • Triangular inferior: matriz cuyas entradas por encima de la diagonal son $0$ (esto es, $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), suele denotarse por $L$
  • Matriz diagonal: matriz cuadrada $n \times n$ en la que todas las entradas fuera de la diagonal son $0$ (esto es, $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$), suele denotarse por $D$
• Espacios vectoriales representativos
  • $n$-tuplas $F^n$:
    • Conjunto de todas las $n$-tuplas con entradas en un cuerpo $F$
    • Se denota $F^n$ y es un espacio vectorial sobre $F$
  • Espacio de matrices:
    • Conjunto de todas las matrices $m \times n$ con entradas en el cuerpo $F$
    • Se denota $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ y es un espacio vectorial
  • Espacio de funciones:
    • Para un conjunto no vacío $S$ y un cuerpo $F$, el conjunto de todas las funciones de $S$ en $F$
    • Se denota $\mathcal{F}(S,F)$ y es un espacio vectorial
• Subespacio
  • Un subconjunto $\mathbb{W}$ de un $F$-espacio vectorial $\mathbb{V}$ es un subespacio de $\mathbb{V}$ si, con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en $\mathbb{V}$, $\mathbb{W}$ es también un $F$-espacio vectorial
  • Para todo espacio vectorial $\mathbb{V}$, $\mathbb{V}$ mismo y $\{0\}$ son subespacios; en particular, a $\{0\}$ se le llama subespacio cero
  • Un subconjunto de un espacio vectorial que contiene el vector cero y es cerrado bajo combinación lineal ($\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$) es un subespacio

Prerequisites

• Vectores y combinaciones lineales

Espacios vectoriales

Como ya vimos brevemente en Vectores y combinaciones lineales, la definición algebraica de vector y de espacio vectorial es la siguiente.

Definición
Un espacio vectorial (vector space) o espacio lineal (linear space) $\mathbb{V}$ sobre un cuerpo $F$ es un conjunto provisto de dos operaciones, suma y multiplicación por un escalar, que satisfacen las siguientes 8 condiciones. A los elementos de $F$ se les llama escalares (scalar) y a los de $\mathbb{V}$, vectores (vector).

• Suma: para cualesquiera $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ existe un único elemento $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. A $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ se le llama la suma de $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$.
• Multiplicación por un escalar: para cada $a \in F$ y $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existe un único elemento $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. A $a\mathbf{x}$ se le llama un múltiplo escalar (scalar multiple) de $\mathbf{x}$.

1. Para todo $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (conmutatividad de la suma)
2. Para todo $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$, $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (asociatividad de la suma)
3. Para todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, existe $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ tal que $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (vector cero, elemento neutro de la suma)
4. Para cada $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, existe $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ tal que $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverso aditivo)
5. Para cada $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (elemento neutro de la multiplicación)
6. Para todo $a,b \in F$ y todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (asociatividad de la multiplicación por escalar)
7. Para todo $a \in F$ y todo $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributividad del escalar respecto de la suma 1)
8. Para todo $a,b \in F$ y todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributividad del escalar respecto de la suma 2)

Aunque estrictamente debería escribirse “$F$-espacio vectorial $\mathbb{V}$”, al tratar espacios vectoriales el cuerpo suele no ser el foco principal; por tanto, si no hay riesgo de confusión, omitimos $F$ y escribimos simplemente “espacio vectorial $\mathbb{V}$”.

Espacio de matrices

Vectores fila y columna

Denotamos por $F^n$ el conjunto de todas las $n$-tuplas con entradas en el cuerpo $F$. Dados $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$ y $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$, si definimos la suma y el producto por escalar como sigue, $F^n$ es un $F$-espacio vectorial.

\[\begin{align*} u + v &= (a_1+b_1, a_2+b_2, \dots, a_n+b_n), \\ cu &= (ca_1, ca_2, \dots, ca_n) \end{align*}\]

Cuando se escribe un vector de $F^n$ de forma aislada, suele representarse más como vector columna que como vector fila $(a_1, a_2, \dots, a_n)$:

\[\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\]

No obstante, esta notación como columna ocupa más espacio, por lo que a veces se recurre a la traspuesta y se escribe $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$.

Matrices y espacio de matrices

Por otra parte, una matriz $m \times n$ con entradas en $F$ es un arreglo rectangular como el siguiente, y se denota con letras mayúsculas en cursiva ($A, B, C$, etc.):

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

• La entrada en la fila $i$ y columna $j$ de una matriz $A$ se denota por $A_{ij}$ o $a_{ij}$.
• Cada $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) pertenece a $F$.
• A la entrada $a_{ij}$ con $i=j$ se le llama entrada diagonal de la matriz.
• Los elementos $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ constituyen la fila $i$-ésima. Cada fila puede verse como un vector de $F^n$ y, más aún, un vector fila de $F^n$ puede verse como otra matriz $1 \times n$.
• Los elementos $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ constituyen la columna $j$-ésima. Cada columna puede verse como un vector de $F^m$ y, más aún, un vector columna de $F^m$ puede verse como otra matriz $m \times 1$.
• Una matriz $m \times n$ cuyas entradas son todas $0$ se llama matriz cero y se denota por $O$.
• Una matriz con el mismo número de filas y columnas se llama matriz cuadrada.
• Dadas dos matrices $m \times n$ $A, B$, si para todo $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ se cumple $A_{ij} = B_{ij}$ (es decir, todas las entradas correspondientes coinciden), definimos que $A$ y $B$ son iguales ($A=B$).

Denotamos por $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ el conjunto de todas las matrices $m \times n$ con entradas en el cuerpo $F$. Para $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ y $c \in F$, si definimos la suma y el producto por escalar como sigue, $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ es un espacio vectorial; lo llamamos espacio de matrices.

\[\begin{align*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})_{ij} &= \mathbf{A}_{ij} + \mathbf{B}_{ij}, \\ (c\mathbf{A})_{ij} &= c\mathbf{A}_{ij} \\ \text{(con }1 \leq i \leq &m,\ 1 \leq j \leq n \text{)} \end{align*}\]

Es la extensión natural de las operaciones definidas en $F^n$ y $F^m$.

Espacio de funciones

Para un conjunto no vacío $S$ de un cuerpo $F$, $\mathcal{F}(S,F)$ es el conjunto de todas las funciones de $S$ en $F$. En $\mathcal{F}(S,F)$, dos funciones $f, g$ son iguales ($f=g$) si para todo $s \in S$ se cumple $f(s) = g(s)$.

Para $f,g \in \mathcal{F}(S,F)$, $c \in F$, $s \in S$, si definimos la suma y el producto por escalar como sigue, $\mathcal{F}(S,F)$ es un espacio vectorial; lo llamamos espacio de funciones.

\[\begin{align*} (f + g)(s) &= f(s) + g(s), \\ (cf)(s) &= c[f(s)] \end{align*}\]

Subespacios

Definición
Un subconjunto $\mathbb{W}$ de un $F$-espacio vectorial $\mathbb{V}$ es un subespacio de $\mathbb{V}$ si, con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en $\mathbb{V}$, $\mathbb{W}$ es también un $F$-espacio vectorial.

Para todo espacio vectorial $\mathbb{V}$, $\mathbb{V}$ mismo y $\{0\}$ son subespacios; en particular, a $\{0\}$ se le llama subespacio cero.

Podemos verificar que un subconjunto es un subespacio usando el siguiente teorema.

Teorema 1
Dado un espacio vectorial $\mathbb{V}$ y un subconjunto $\mathbb{W}$, $\mathbb{W}$ es un subespacio de $\mathbb{V}$ si y solo si satisface las siguientes tres condiciones (con las operaciones heredadas de $\mathbb{V}$):

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

En pocas palabras, si contiene el vector cero y es cerrado bajo combinación lineal (esto es, si $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), entonces es un subespacio.

Además, valen los siguientes resultados.

Teorema 2

• Para cualquier subconjunto $S$ de un espacio vectorial $\mathbb{V}$, el subespacio generado $\mathrm{span}(S)$ es un subespacio de $\mathbb{V}$ que contiene a $S$.

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• Todo subespacio de $\mathbb{V}$ que contiene a $S$ contiene necesariamente al subespacio generado por $S$.

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

Teorema 3
Dado un conjunto de subespacios de un espacio vectorial $\mathbb{V}$, su intersección arbitraria es también un subespacio de $\mathbb{V}$.

Matriz traspuesta, simétrica y antisimétrica

La matriz traspuesta $A^T$ de una matriz $m \times n$ $A$ es la matriz $n \times m$ obtenida intercambiando filas y columnas:

\[(A^T)_{ij} = A_{ji}\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\]

Una matriz $A$ con $A^T = A$ se llama matriz simétrica; una matriz $B$ con $B^T = -B$ se llama matriz antisimétrica. Ambas deben ser matrices cuadradas.

Sean $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ los subconjuntos de $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$ formados por todas las matrices simétricas y todas las antisimétricas, respectivamente. Entonces $\mathbb{W}_1$ y $\mathbb{W}_2$ son subespacios de $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$; es decir, son cerrados bajo suma y producto por escalar.

Matrices triangulares y diagonal

Estos dos tipos de matrices son especialmente importantes.

Agrupamos los siguientes dos tipos bajo el nombre matrices triangulares:

• Triangular superior: todas las entradas por debajo de la diagonal son $0$ (esto es, $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), suele denotarse por $U$
• Triangular inferior: todas las entradas por encima de la diagonal son $0$ (esto es, $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), suele denotarse por $L$

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todas las entradas fuera de la diagonal son $0$, es decir, una matriz $n \times n$ con $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$, y suele denotarse por $D$. Una matriz diagonal es a la vez triangular superior e inferior.

El conjunto de matrices triangulares superiores, el de triangulares inferiores y el de diagonales son todos subespacios de $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$.