Vectores y combinaciones lineales

TL;DR

• Definición de vector
  • Vector en sentido estricto (vector euclidiano): magnitud física que tiene módulo y dirección
  • Vector en sentido amplio, en álgebra lineal: elemento de un espacio vectorial
• Formas de representación de vectores
  • Representación con flechas: el módulo es la longitud de la flecha y la dirección es la de la flecha. Es visual e intuitiva, pero resulta problemática para vectores de dimensión ≥ 4 o no euclidianos.
  • Representación por componentes: fijando el origen del vector en el origen del espacio de coordenadas, se expresa por las coordenadas de su extremo.
• Operaciones básicas con vectores
  • Suma: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • Multiplicación por un escalar: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• Combinación lineal de vectores
  • Dado un número finito de vectores $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ y escalares $a_1, a_2, \dots, a_n$, se llama combinación lineal de $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ a cualquier vector $\mathbf{v}$ tal que $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$.
  • En tal caso, a $a_1, a_2, \dots, a_n$ se les llama coeficientes de la combinación lineal.
• Espacio generado
  • Para un subconjunto no vacío $S$ de un espacio vectorial $\mathbb{V}$, el conjunto de todas las combinaciones lineales formadas con vectores de $S$ se llama el espacio generado (span) de $S$ y se denota por $\mathrm{span}(S)$.
  • Se define $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$.
  • Para un subconjunto $S$ de un espacio vectorial $\mathbb{V}$, si $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, se dice que $S$ genera $\mathbb{V}$ (generate o span).

Prerequisites

• Plano/espacio de coordenadas
• Cuerpo

¿Qué es un vector?

Sentido estricto: vector euclidiano

Muchas magnitudes físicas —fuerza, velocidad, aceleración— poseen no solo módulo sino también dirección. A una magnitud que tiene ambos se le llama vector.

Esta es la definición de vector que se trata en mecánica y en matemáticas de nivel bachillerato. Un vector en este sentido, con el significado geométrico de “segmento orientado con módulo y dirección” basado en la intuición física, se denomina con propiedad vector euclidiano.

Sentido amplio: elemento de un espacio vectorial

En álgebra lineal, más allá de los vectores euclidianos, se define el vector como una estructura algebraica más abstracta:

Definición
Un espacio vectorial o espacio lineal $\mathbb{V}$ sobre un cuerpo $F$ es un conjunto dotado de dos operaciones, suma y multiplicación por un escalar, que satisfacen las siguientes 8 condiciones. A los elementos de $F$ se les llama escalares y a los de $\mathbb{V}$, vectores.

• Suma: para cualesquiera $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ existe un único $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. A $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ se le llama la suma de $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$.
• Multiplicación por un escalar: para cada $a \in F$ y $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ existe un único $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. A $a\mathbf{x}$ se le llama el escalado de $\mathbf{x}$ por $a$.

1. Para todo $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (conmutatividad de la suma)
2. Para todo $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$, $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (asociatividad de la suma)
3. Para todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, existe $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ tal que $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (vector cero, elemento neutro de la suma)
4. Para cada $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, existe $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ tal que $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverso aditivo)
5. Para cada $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (elemento neutro de la multiplicación)
6. Para todo $a,b \in F$ y todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (asociatividad de la multiplicación por escalar)
7. Para todo $a \in F$ y todos $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributividad del escalar respecto de la suma 1)
8. Para todo $a,b \in F$ y todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributividad del escalar respecto de la suma 2)

Esta definición en álgebra lineal abarca un ámbito más amplio que incluye al vector euclidiano. También puede verificarse que un vector euclidiano satisface las 8 propiedades anteriores.

El origen y desarrollo del concepto de vector están estrechamente ligados a problemas prácticos planteados por la física: describir cuantitativamente nociones como fuerza, movimiento, rotación y campos. La necesidad física de expresar fenómenos naturales de forma matemática llevó primero al concepto de vector euclidiano; posteriormente, al generalizar y formalizar estas ideas, las matemáticas establecieron estructuras como espacios vectoriales, producto interno y producto vectorial, llegando a la definición actual de vector. En suma, el vector es un concepto demandado por la física y formalizado por las matemáticas; más que un producto de las matemáticas puras, es un fruto del intercambio entre la comunidad matemática y la física.

El vector euclidiano tratado en la mecánica clásica puede expresarse dentro de un marco más general; hoy en física se emplean activamente no solo vectores euclidianos, sino también espacios vectoriales, espacios de funciones y otros conceptos más abstractos definidos en matemáticas, dotándolos de significado físico. Por tanto, no es adecuado entender las dos definiciones de vector simplemente como “definición física” y “definición matemática”.

Pospondremos un estudio más profundo de los espacios vectoriales y nos centraremos primero en el vector en sentido estricto, el vector euclidiano, que puede representarse geométricamente en un espacio de coordenadas. Ver ejemplos intuitivos de vectores euclidianos ayuda luego a generalizar a otros tipos de vectores.

Representación de vectores

Representación con flechas

Es la forma más habitual y la que mejor aprovecha la intuición geométrica: el módulo del vector es la longitud de la flecha y su dirección es la de la flecha.

Fuente de la imagen

• Autor: usuario de Wikipedia Nguyenthephuc
• Licencia: CC BY-SA 3.0

Aunque es intuitiva, esta representación con flechas tiene límites claros para vectores de dimensión 4 o superior. Además, más adelante habrá que tratar vectores no euclidianos que ni siquiera se pueden representar geométricamente, por lo que conviene familiarizarse con la representación por componentes que se expone a continuación.

Representación por componentes

Independientemente de su ubicación, si dos vectores tienen el mismo módulo y dirección, se consideran iguales. Por tanto, dado un espacio de coordenadas, si fijamos el origen del vector en el origen del espacio, un vector de dimensión $n$ corresponde a un punto cualquiera del espacio de dimensión $n$, y así podemos expresar el vector por las coordenadas de su extremo. A esta forma se la llama representación por componentes del vector.

\[(a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n \text{ o } \mathbb{C}^n\]

Fuente de la imagen

• Autor: usuario de Wikimedia Acdx
• Licencia: CC BY-SA 3.0

Operaciones básicas con vectores

Las operaciones básicas son la suma y la multiplicación por un escalar. Toda operación con vectores puede expresarse como combinación de estas dos.

Suma de vectores

La suma de dos vectores es de nuevo un vector, y sus componentes son la suma componente a componente de los vectores dados.

\[(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)\]

Multiplicación por un escalar

Un vector puede escalarse (ampliarse o reducirse) multiplicándolo por un número (escalar). El resultado equivale a multiplicar cada componente por dicho escalar.

\[c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)\]

Fuente de la imagen

• Autor: usuario de Wikipedia Silly rabbit
• Licencia: CC BY-SA 3.0

Combinación lineal de vectores

Así como el cálculo diferencial parte de los números $x$ y las funciones $f(x)$, el álgebra lineal parte de vectores $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ y de combinaciones lineales $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$. Toda combinación lineal de vectores se compone de las dos operaciones básicas: suma y multiplicación por un escalar.

Dados un número finito de vectores $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ y escalares $a_1, a_2, \dots, a_n$, cualquier vector $\mathbf{v}$ que satisfaga

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

se llama combinación lineal de $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$. En este caso, a $a_1, a_2, \dots, a_n$ se les llama coeficientes de la combinación lineal.

¿Por qué son importantes las combinaciones lineales? Considera la situación en la que $n$ vectores en un espacio de dimensión $m$ constituyen las $n$ columnas de una matriz $m \times n$:

\[\begin{gather*} \mathbf{v}_1 = (a_{11}, a_{21}, \dots, a_{m1}), \\ \mathbf{v}_2 = (a_{12}, a_{22}, \dots, a_{m2}), \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n = (a_{1n}, a_{2n}, \dots, a_{mn}) \\ \\ A = \Bigg[ \mathbf{v}_1 \quad \mathbf{v}_2 \quad \cdots \quad \mathbf{v}_n \Bigg] \end{gather*}\]

Las claves aquí son dos:

1. Describe todas las combinaciones lineales posibles $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots + x_n\mathbf{v}_n$. ¿Qué conjunto forman?
2. Dado un vector objetivo $b$, encuentra $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que $Ax = b$.

Responderemos a la segunda pregunta más adelante; por ahora centrémonos en la primera. Para simplificar, consideremos el caso de dos vectores en 2 dimensiones ($m=2$, $n=2$) distintos de $\mathbf{0}$.

Combinación lineal $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

En el plano, un vector $\mathbf{v}$ tiene dos componentes. Para cualquier escalar $c$, el conjunto de vectores $c\mathbf{v}$ forma una recta infinita en el plano $xy$, que pasa por el origen y es paralela a $\mathbf{v}$.

Si un segundo vector $\mathbf{w}$ no está sobre esa recta (es decir, si $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ no son paralelos), entonces los vectores $d\mathbf{w}$ forman otra recta. Al combinar ambas rectas, vemos que la combinación lineal $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ barre un plano que contiene al origen.

Fuente de la imagen

• Autor: usuario de Wikimedia Svjo
• Licencia: CC BY-SA 4.0

Generación

Así, las combinaciones lineales de vectores generan un espacio vectorial; a esto se le llama generación (span).

Definición
Para un subconjunto no vacío $S$ de un espacio vectorial $\mathbb{V}$, el conjunto de todas las combinaciones lineales formadas con vectores de $S$ se llama el espacio generado (span) de $S$ y se denota por $\mathrm{span}(S)$. Se define $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$.

Definición
Para un subconjunto $S$ de un espacio vectorial $\mathbb{V}$, si $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, se dice que $S$ genera $\mathbb{V}$ (generate o span).

Aún no hemos visto conceptos como subespacio y base, pero este ejemplo te ayudará a entender el concepto de espacio vectorial.