PR officiel ajoutant la traduction coréenne du code de conduite Contributor Covenant 3.0 : feat(i18n): add Korean translation for Contributor Covenant 3.0 (#1590)

Le Contributor Covenant

Le Contributor Covenant a été rédigé et publié pour la première fois en 12014 par Coraline Ada Ehmke, puis transféré en 12021 à l’OES (Organization for Ethical Source), qui en assure depuis la maintenance et l’amélioration avec ses contributeurs. Il s’agit aujourd’hui du code de conduite pour communautés numériques le plus largement utilisé dans le monde. Son objectif est d’expliciter les valeurs implicites que les communautés peuvent partager, afin de créer une culture communautaire où chacun et chacune se sente bienvenu·e et en sécurité.

Par le passé, dans les communautés de développeurs, il était fréquent que des propos agressifs ou discriminatoires soient tolérés au nom d’une prétendue méritocratie. Le Contributor Covenant a joué un rôle important dans la transformation de ces communautés, qui se sont progressivement autorégulées pour devenir plus inclusives, plus centrées sur le respect mutuel et sur le retour constructif, donc plus humaines. Aujourd’hui, des centaines de milliers de projets open source à travers le monde, parmi lesquels Creative Commons, Linux, Apple, Mastodon, Microsoft, WordPress ou IBM, ont adopté ce texte.

Ce qui a changé avec le passage au Contributor Covenant 3.0

L’OES a lancé ce travail en 12024 pour marquer les 10 ans du Contributor Covenant, et la version 3.0, publiée en juillet 12025 après environ un an de travail, apporte les principaux changements suivants par rapport à la version 2.1.

• Références :
  • https://ethicalsource.dev/blog/contributor-covenant-3/
  • https://www.contributor-covenant.org/faq/

Davantage de souplesse

• Par rapport aux versions précédentes, optimisées pour les communautés open source, cette version a été conçue pour s’appliquer aussi à des communautés en ligne et hors ligne très diverses, au-delà du seul développement logiciel
  • p. ex. elle emploie le terme plus neutre et inclusif de « modérateurs de la communauté (Community Moderators) » à la place de « responsables de projet (Project Maintainers) »
• Les expressions idiomatiques trop centrées sur les États-Unis ont été supprimées et remplacées par des formulations plus claires, plus faciles à comprendre et à traduire dans d’autres contextes culturels

Passage de la justice rétributive à la justice restaurative

L’un des changements les plus marquants de la version 3.0 du Contributor Covenant est précisément ce changement de paradigme, de la justice rétributive (Retributive Justice) vers la justice restaurative (Restorative Justice). Le paragraphe des directives d’application (enforcement guidelines), qui mettait surtout l’accent sur des critères gradués de sanction, a été reconstruit en un paragraphe consacré au traitement et à la réparation des préjudices (Addressing and Repairing Harm).

• Le nom de certaines étapes de réponse a été modifié
• En plus de la rubrique de réponse existante Consequence, une rubrique Repair a été ajoutée : il ne s’agit plus seulement de sanctionner dans l’immédiat la personne à l’origine du tort, mais aussi de réfléchir à la manière de restaurer ensuite les relations abîmées entre les parties, de résorber le conflit et de réparer ce qui doit l’être
• Plutôt que d’insister uniquement sur l’application des règles et la punition par des tiers, le texte évolue vers une logique qui, lorsque c’est possible, encourage la réflexion volontaire, la réconciliation et l’amélioration, et cherche comment rendre à nouveau la communauté saine après l’apparition d’un problème

Des consignes plus claires

• Le paragraphe Our Standards a été scindé clairement en deux parties, Encouraged Behaviors et Restricted Behaviors, afin d’en améliorer la lisibilité
• En particulier, le paragraphe Restricted Behaviors interdit explicitement non seulement le passage à l’acte, mais aussi les menaces de passage à l’acte ou l’encouragement à de tels comportements, ce qui renforce la prévention

  Nous convenons de restreindre les comportements suivants dans notre communauté. Les occurrences, les menaces et la promotion de ces comportements constituent des violations du présent code de conduite.

• Une nouvelle sous-section, Other Restrictions, a également été créée sous Restricted Behaviors, afin d’énoncer plus clairement des restrictions qui étaient auparavant moins explicites : identité trompeuse (Misleading identity), absence de mention des sources (Failing to credit sources), contenus promotionnels (Promotional materials) et communication irresponsable (Irresponsible communication)
• En tenant compte des réponses à une enquête menée auprès de responsables de communautés qui appliquaient réellement le Contributor Covenant, le texte précise que la gradation des mesures d’application (enforcement ladder) n’est qu’un cadre de référence et ne limite pas le pouvoir d’appréciation des responsables de communauté

  Cette gradation des mesures d’application a valeur de ligne directrice. Elle ne limite pas la capacité des responsables de communauté à exercer leur pouvoir d’appréciation et leur jugement, dans le respect des meilleurs intérêts de notre communauté.

Renforcement des clauses relatives à l’égalité et à la non-discrimination

Dans le premier paragraphe, Our Pledge, les dispositions relatives à l’égalité et à la non-discrimination ont été renforcées : certains termes ont été remplacés par des expressions plus inclusives, et plusieurs valeurs contemporaines liées à la diversité ont été ajoutées, ce qui rend l’ensemble plus concret.

• Les expressions « body size » et « personal appearance » ont été remplacées par le terme plus englobant « physical characteristics »
• « religion » a été remplacé par l’expression plus large « philosophy or religion »
• « nationality » a été remplacé par l’expression plus inclusive « national or social origin »
• La neurodiversité (neurodiversity) a été ajoutée explicitement
• La langue (language) a été ajoutée explicitement afin de mieux prendre en compte les personnes non anglophones
• L’ensemble du texte a aussi été révisé dans sa formulation concernant l’égalité et la diversité de genre

  v2.1
  caractéristiques sexuelles, identité et expression de genre, ou identité et orientation sexuelles

  v3.0
  sexe ou genre, identité ou expression de genre, orientation sexuelle

Points pris en compte dans ce travail de traduction coréenne

Considérations générales

Usage du registre honorifique

Lorsqu’on rédige en coréen un engagement ou un code de conduite, le choix entre registre honorifique et registre neutre dépend de l’orientation recherchée, de la culture de l’organisation et de l’attitude que l’on souhaite transmettre. Autrefois, le registre neutre, plus autoritaire et plus disciplinaire, dominait, mais on voit aujourd’hui de plus en plus de textes rédigés en registre honorifique pour mettre en avant une culture plus horizontale et respectueuse.

Si l’on regarde les discussions passées, on voit qu’au moment de traduire l’ancienne version 2.0 en coréen, le registre honorifique avait d’abord été envisagé, avant que le texte ne soit réécrit en registre neutre. Je respecte ces discussions antérieures et la conclusion qui en est sortie, mais si j’ai malgré tout choisi à nouveau le registre honorifique cette fois, c’est pour les raisons suivantes.

Aujourd’hui, la culture des communautés open source est fondamentalement assez éloignée d’une logique de contrainte, de rigidité ou d’application coercitive ; elle tend plutôt vers le respect mutuel, la participation volontaire et la contribution libre. La version 3.0 du Contributor Covenant reflète particulièrement fortement cette philosophie dans son ensemble. Compte tenu des valeurs et de la philosophie centrales que le texte original cherche à transmettre dans cette nouvelle version, ainsi que de l’évolution de la culture communautaire, j’ai jugé que le registre honorifique était le choix approprié pour la traduction coréenne. J’ai également pris pour référence les exemples du groupe d’utilisateurs coréen de Rust, du code de conduite de PyCon KR et du code de conduite en coréen de la communauté Kubernetes, qui utilisent eux aussi le registre honorifique.

Éviter les tournures passives inutiles

Contrairement à l’anglais, qui emploie fréquemment la voix passive, le coréen privilégie fondamentalement les tournures actives. Si l’on transpose mécaniquement en coréen les passifs du texte anglais sous forme de passifs, on obtient un texte qui « sent la traduction », peu naturel et parfois même grammaticalement maladroit.

Cela ne veut pas dire que le coréen n’emploie jamais le passif, mais j’ai essayé, dans la mesure où le sens n’en était pas déformé, de rendre autant que possible par des tournures actives des formulations qui étaient au passif dans l’original anglais.

p. ex.

• “Encouraged Behaviors”: “장려되는 행동”(X), “장려하는 행동”(O)
• “enforcement actions are carried out in private”: “집행 조치는 비공개로 진행된다“(X), “집행 조치는 비공개로 진행한다“(O)
• “its own established enforcement process”: “자체적으로 확립된 집행 절차”(X), “자체적으로 확립한 집행 절차”(O)
• “the following enforcement ladder may be used”: “다음의 단계적 집행 기준이 사용될 수 있습니다”(X), “다음의 단계적 집행 기준을 사용할 수 있습니다”(O)
• “are provided at”: “에서 제공됩니다“(X), “에서 제공합니다“(O)

Tenir compte du contexte d’usage des mots dans le texte, plutôt que d’une traduction mécanique

L’anglais et le coréen étant des langues assez éloignées, il va de soi que les mots ne correspondent pas exactement terme à terme. Cela reste vrai même lorsque le dictionnaire les donne comme équivalents.

Par exemple, dans le passage suivant, “intimate” ne signifie pas, dans le contexte, “친밀한”, mais “sexuel”.

Sexualization. Behaving in a way that would generally be considered inappropriately intimate in the context or purpose of the community.

De même, dans le passage suivant, traduire “process” de façon dictionnairique serait maladroit. Dans le contexte de ce texte, il est plus approprié de le rendre par “추스를”.

… give the community members involved time to process the incident.

(표준국어대사전 표제어 중)

추스르다「3」: 일이나 생각 따위를 수습하여 처리하다.

À l’inverse, certains emprunts n’ont pas d’équivalent vernaculaire vraiment satisfaisant. Par exemple, pour “community”, on pourrait chercher à employer un mot coréen comme “공동체”, mais j’ai estimé qu’il existait une différence de nuance assez sensible entre ce que suggère “community” en anglais et ce qu’évoque “공동체” en coréen. J’ai donc essayé, autant que possible, d’éviter les emprunts au profit de mots d’origine coréenne, mais lorsque cela risquait de déformer le sens ou la tonalité du texte original, j’ai conservé des formes comme “커뮤니티”.

En tenant compte de ces éléments, je n’ai pas voulu me contenter d’une simple substitution lexicale, mécanique et calquée sur le dictionnaire, mais choisir pour chaque cas l’expression coréenne la plus proche du sens et du contexte du texte original.

Respect, par ailleurs, des normes rédactionnelles du coréen

J’ai également veillé, autant que possible, à respecter avec précision les normes du coréen écrit, notamment l’orthographe et les règles du coréen standard.

Section “서약(Our Pledge)”

Intertitre

Pris littéralement, “Our Pledge” donnerait “notre serment”, mais comme l’ancienne traduction coréenne le rendait déjà par “서약” et que ce choix me paraît suffisamment recevable au regard du naturel du texte, j’ai conservé ici encore “서약”.

Traduction du terme “caste”

Dans la traduction coréenne existante de la version 2.1, le terme avait été traduit tel quel par “카스트 제도”. Comme le mot caste peut aussi, en tant que nom commun savant, désigner un ordre statutaire rigide et finement hiérarchisé existant dans diverses régions du monde, on ne peut pas dire que ce soit strictement une erreur. Mais en usage courant, lorsqu’aucun contexte détaillé n’est fourni, la plupart des locuteurs coréens comprennent “카스트 제도” comme désignant spécifiquement « le système de castes propre aux hindous en Inde, issu notamment du Manu Smriti ». En tenant compte du contexte du texte original, je l’ai donc traduit par “계급”. À cet endroit, il est plus juste d’interpréter “caste” comme désignant tout type de système de statut social et de hiérarchie, sans le limiter à un pays particulier (l’Inde) ou à une religion particulière (l’hindouisme).

Employer l’expression “성” plutôt que “성별”

We are committed to fostering an environment that respects and promotes the dignity, rights, and contributions of all individuals, regardless of … sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation … or other status.

Si l’on considère les valeurs et le contexte que l’original cherche à transmettre, ce que signifient ici “sex”, “gender” ou “sexual orientation” ne peut évidemment pas se réduire à une distinction binaire hommes/femmes. J’ai donc employé le mot “성” plutôt que “성별”, tout en essayant de préserver autant que possible, du point de vue des sciences humaines et sociales, les différences de sens entre sex, gender et sexuality, d’où la traduction suivante.

… 생물학적 또는 사회적 성, 성 정체성 또는 성 표현, 성적 지향…

Sections “장려하는 행동(Encouraged Behaviors)” et “제한하는 행동(Restricted Behaviors)”

Suppression des deux-points (:)

With these considerations in mind, we agree to behave mindfully toward each other and act in ways that center our shared values, including:

1. Respecting the purpose of our community, our activities, and our ways of gathering.
2. Engaging kindly and honestly with others. …

Dans l’original anglais, il est courant d’utiliser les deux-points après une phrase complète pour introduire une liste d’exemples, comme ci-dessus. En coréen contemporain, en revanche, la norme en limite surtout l’usage aux formulations de type télégraphique, par exemple lorsqu’on énumère des éléments sous un intitulé ou qu’on ajoute une explication. Sauf dans un texte rédigé d’emblée sous forme de liste, écrire de la manière suivante est donc très maladroit et donne facilement l’impression d’une traduction faite à la va-vite avec une machine ou un LLM. C’était d’ailleurs, à titre personnel, l’un des aspects qui m’avaient le plus laissé sur ma faim dans la traduction coréenne de la version 2.1.

이러한 점을 유념하며, 우리는 서로를 사려 깊게 대하고 우리가 공유하는 다음 가치를 중심으로 행동할 것에 동의합니다:

1. 우리 공동체의 목적, 활동 및 모임 방식을 존중합니다.
2. 친절하고 정직하게 다른 사람들과 소통합니다. …

J’ai donc remplacé les deux-points par un point, conformément à l’usage coréen, afin d’obtenir une formulation naturelle, au lieu de transposer mécaniquement ce signe de ponctuation.

Traduction de l’expression “that would generally be considered inappropriately”

Ici, au lieu de traduire littéralement “generally” par “일반적으로”, j’ai choisi, dans le contexte, la formulation plus naturelle “대부분의 사람들에게”.

…대부분의 사람들이 부적절하다고 간주할 만한…

Traduction de l’expression “act on”

Au départ, j’ai envisagé de traduire simplement “act on” par “이용하다”, mais dans le contexte il s’agit plutôt d’interdire tout acte accompli, intentionnellement ou non, à partir des informations personnelles ou d’identification d’autrui. Le rendre par “이용하다” m’a donc semblé réducteur, et j’ai retenu la traduction suivante.

비밀 침해. 타인의 신상 관련 정보 또는 개인적인 정보를 당사자의 허락 없이 공유하거나, 그 정보를 바탕으로 행하는 모든 행위.

Section “문제 신고(Reporting an Issue)”

• “this Code of Conduct reinforces encouraged behaviors and norms that …”: traduit par “본 행동 강령은 …는 권장 행동 방식과 규범을 증진합니다”
• “in a timely manner”: traduit par “적시에”
• “while prioritizing safety and confidentiality”: traduit par “안전과 비밀 유지를 우선시한다는 전제 하에”
• “In order to honor these values”: traduit par “이들 가치를 지키기 위해”

  (Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

  honor verb
  keep promise 3. honor something (formal) to do what you have agreed or promised to do

Section “피해 대응 및 교정(Addressing and Repairing Harm)”

• “Addressing”: traduit par “대응”
• “Repairing”: traduit par “교정”

Traduction de Event:, Consequence:, Repair:

C’est un passage sur lequel j’ai beaucoup hésité, car il se prête mal à une transposition naturelle en coréen. Si l’on traduit littéralement par “사건”, “결과”, “교정”, le texte devient assez maladroit.

Après réflexion, pour que le texte reste naturel tout en transmettant le plus fidèlement possible la philosophie du texte original, j’ai retenu les choix suivants.

• “Event”: traduit par “적용 상황”
• “Consequence”: traduit par “대응 조치”
• “Repair”: j’ai d’abord envisagé “회복 조치”, mais j’ai écarté cette option car le mot “조치” suggère davantage une intervention et une exécution par autrui qu’une réflexion et une amélioration volontaires de la part de l’intéressé. J’ai finalement opté pour “교정 노력”

Traduction de l’expression “seeking clarification on expectations”

“expectations” pourrait être traduit littéralement par “기대 사항”, et le sens resterait compréhensible, mais j’ai choisi “준수 사항” pour rendre la phrase plus fluide.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

expectation noun
3. [countable, usually plural] a strong belief about the way something should happen or how somebody should behave

“seeking clarification” pourrait aussi être rendu par « demander des explications », mais dans le contexte, la rubrique Repair décrit les attitudes et comportements souhaitables après les faits de la part de la personne qui a causé le problème. Traduire clarification et seeking comme une « explication » et une « demande » donnerait donc un résultat étrange. Ici, j’ai estimé qu’il convenait mieux d’y voir un effort (seeking) pour clarifier et bien comprendre (clarification) les points à respecter (expectations), afin de réfléchir par soi-même et d’éviter de répéter la même erreur.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

seek verb
2. [transitive] to ask somebody for something; to try to obtain or achieve something

clarification noun
[uncountable, countable] (formal)
the act or process of making something clearer or easier to understand

• I am seeking clarification of the regulations.

Traduction de l’expression “cooldown”

Dans le dictionnaire, le mot peut signifier refroidissement, récupération après l’effort, retour au calme, etc., et ici c’est clairement le sens de l’apaisement qui est le plus proche. On est très près du sens de “식히다” dans l’expression “머리 좀 식혀라.”

Mais comme “time-limited cooldown period” sonnait de façon un peu maladroite si on le rendait littéralement, j’ai traduit “cooldown period” par “자숙 기간” dans cette version coréenne.

Traduction de l’expression “time to process the incident”

Comme indiqué plus haut, j’ai choisi de traduire cela par “해당 일을 추스를 시간”.

Traduction des expressions “suspension” et “ban”

Dans la traduction coréenne existante de la version 2.1, “ban” avait été traduit par “제재”. Or, “제재” est un terme générique qui peut englober toutes les mesures prises en réponse à une infraction, y compris aux niveaux inférieurs comme l’avertissement ou la limitation temporaire d’activité ; le sens devient donc flou. En outre, le mot anglais “ban” a un sens clair de suspension ou d’interdiction, et l’expression coréenne “(계정 등의) 영구 정지” est elle aussi très naturelle et couramment employée. Je ne voyais donc pas de raison particulière d’éviter une traduction directe.

Il en va de même pour “suspension”, qui renvoie clairement à l’idée de suspension temporaire et ne nécessite pas non plus de périphrase.

J’ai donc traduit “Temporary Suspension” et “Permanent Ban” respectivement par “일시적 정지” et “영구 정지”.

Traduction de la phrase “This enforcement ladder is intended as a guideline.”

J’ai traduit “enforcement ladder” par “단계적 집행 기준”. Cette phrase est employée dans le contexte où il s’agit d’indiquer que cette gradation n’est qu’une option parmi plusieurs possibles et qu’elle garantit le pouvoir d’appréciation et de décision des responsables de communauté ; j’ai donc rendu l’article indéfini “a” par “하나의”. La traduction a ainsi été formulée comme suit.

이 단계적 집행 기준은 하나의 기준선으로 마련한 것입니다. 이는 커뮤니티의 최선의 이익에 부합하는 커뮤니티 관리자의 재량권과 판단 권한을 제한하지 않습니다.

En guise de conclusion

Un grand nombre de documents et de projets d’intérêt public de ce type sont traduits dans plusieurs langues par des bénévoles et des contributeurs. Malheureusement, dans le cas du coréen, il n’est pas rare soit qu’aucune traduction n’existe faute de contributeurs, soit que la version disponible soit si mécanique et maladroite qu’en tant que Coréen, on en vienne à se dire : « autant lire l’original anglais ».

En décidant cette fois de contribuer à une traduction coréenne, je me suis dit que, tant qu’à le faire, je voulais produire un texte de qualité, suffisamment naturel pour qu’un lecteur n’éprouve aucune gêne même en imaginant qu’il ait été écrit directement en coréen par un auteur coréen. J’ai cherché à comprendre et à restituer la philosophie du texte original et ses nuances subtiles, en particulier les formulations qui ont changé entre la version 2.1 et la version 3.0, ainsi que les raisons qui ont pu conduire les auteurs à faire ces choix.

Par nature, la traduction n’est pas un processus qui, à partir d’une même entrée, produirait mécaniquement une sortie identique comme une fonction mathématique. Des traducteurs différents donneront inévitablement des versions légèrement différentes ; cela tient certes à leur compétence, mais relève plus fondamentalement du fait qu’en traduction, et plus largement en écriture, il n’existe pas une unique bonne réponse prédéfinie. Ces derniers temps, j’utilise l’IA comme outil d’assistance dans presque tous mes travaux, et ce blog lui-même publie aussi automatiquement des traductions multilingues via une API de LLM. Mais pour ce travail-ci, j’ai vraiment voulu m’y atteler sérieusement et produire la meilleure traduction possible de ma main. J’ai revu chaque expression à plusieurs reprises, en réfléchissant à la manière de restituer le plus fidèlement, complètement et naturellement possible le sens du texte original ; le résultat reflète ainsi mon jugement et mon interprétation personnels, mais aussi ceux que j’estime être les meilleurs. À une époque où tout le monde utilise l’IA, je crois qu’au moins pour la traduction de documents aussi importants qu’un engagement ou un code de conduite, une version traduite n’a de valeur que si elle présente un avantage comparatif réel par rapport à un simple résultat obtenu en jetant le texte brut à une IA en lui demandant de traduire. En tout cas, à la date actuelle de mars 12026, j’ose dire avec fierté que cette traduction préserve pleinement les nuances et le contexte subtils de l’original que la traduction automatique ou les LLM ne parviennent pas encore entièrement à restituer.

À la date du 20 mars 12026, la version 3.0 du Contributor Covenant n’a été intégralement traduite, en dehors du texte anglais original et de la version coréenne que je m’apprête à soumettre, qu’en trois langues : le bengali, l’allemand et le chinois de Chine continentale. Et si l’on regarde la liste des PR ouvertes, on voit aussi qu’il existe de nombreuses langues pour lesquelles un premier brouillon de traduction a bien été soumis en PR, mais n’a pas encore pu être approuvé faute de relecteur. Et ce n’est même pas tout : dans beaucoup d’autres langues, on en est encore à la version 1.4. Si une personne dont la langue n’est pas le coréen lit ce billet pour une raison ou pour une autre, j’aimerais l’encourager à contribuer elle aussi : la procédure n’est pas très compliquée, et si vous pouvez dégager ne serait-ce qu’une journée de week-end pour le faire, cela aidera énormément l’OES et les locuteurs de votre langue. C’était aussi ma première expérience de contribution à ce genre de travail de traduction, et la première fois que je lisais intégralement un code de conduite ; pourtant, je pense sincèrement que ce fut un travail qui valait largement quelques heures d’investissement. La Corée fait partie des pays où le nombre de développeurs actifs dans les communautés open source telles que GitHub est relativement élevé au regard de sa population totale ; j’espère donc que la version coréenne du code de conduite Contributor Covenant 3.0 que j’ai traduite et soumise cette fois pourra être relue par d’autres Coréens, puis, tant qu’à faire, adoptée et utilisée utilement en de nombreux endroits.

Comme le dit le professeur Nathan Schneider, cité dans l’article de blog de l’OES, le Contributor Covenant joue le rôle de fondement indispensable à la construction de communautés responsables et transparentes, et il a effectivement contribué à la résolution de conflits. Sur GitHub et ailleurs, il est très courant d’appuyer machinalement sur le bouton “Add a code of conduct” pour y coller un modèle, mais le modèle fourni automatiquement par GitHub, pour une raison obscure, n’a plus été mis à jour depuis la version 2.0. Or la version 3.0 apporte des changements et des améliorations majeurs par rapport aux versions 2.0 et 2.1 ; tant qu’à faire, je vous recommande donc d’adopter la dernière version via la page officielle. Le texte n’est finalement pas si long, et je pense qu’il aurait encore plus de sens si, au cours de cette démarche, vous preniez aussi le temps de le lire attentivement en entier. En espérant que le code de conduite Contributor Covenant 3.0 et sa version coréenne sur laquelle j’ai travaillé cette fois retiendront votre attention, je vais m’arrêter ici.

Qu’est-ce qu’un support IR ?

IR est l’abréviation de Investor Relations : c’est un terme générique qui désigne l’ensemble des documents et activités nécessaires pour présenter et promouvoir l’entreprise auprès des investisseurs, établir une relation, et lever des fonds. En pratique, « support IR » désigne le plus souvent la présentation que l’entreprise remet aux investisseurs dans le cadre d’une levée.

Ce qui doit figurer dans un support IR

L’objectif d’un support IR étant la levée de fonds, il faut présenter de manière convaincante, du point de vue d’un investisseur, pourquoi il faut investir dans cette entreprise. Il doit donc couvrir l’ensemble des aspects du business : résumé du service, environnement de marché, description du produit/service, paysage concurrentiel, traction, modèle économique, plan de croissance, équipe, etc.

• Pitch deck :
  • Objectif : laisser une première impression positive à un grand nombre d’investisseurs potentiels, de façon courte et percutante
  • Utilisé lors des levées au tout début
  • Environ 10 à 15 slides, contenu concis et très visuel
• IR deck :
  • Fournit des informations financières approfondies et une stratégie long terme
  • Destiné à des investisseurs professionnels ayant déjà manifesté de l’intérêt et proches d’une décision
  • Permet aux investisseurs de réaliser une évaluation et un jugement plus approfondis
  • Environ 20 à 30 slides, avec davantage de détails : plan financier, analyse de marché, équipe, analyse des concurrents, etc.

Mission/Vision

• Quelle est la valeur fondamentale que l’entreprise souhaite apporter ?

C’est le cœur de l’identité de l’entreprise. Il est recommandé d’exprimer, au tout début du support IR, la mission et la vision en une phrase chacune, de manière concise mais claire.

Résumé du service

Problème (Problem)

• Quel problème du marché ce service cherche-t-il à résoudre ?
• À quel point les utilisateurs sont-ils gênés par ce problème ?
• Pourquoi ce problème est-il important ?
• Y a-t-il une demande pour sa résolution ? Qui est la cible ?

Solution

• Comment allez-vous résoudre concrètement le problème mentionné plus haut ?
• Quels bénéfices les clients et utilisateurs finaux obtiennent-ils par rapport aux approches existantes ?

Les investisseurs ne sont souvent pas des experts du domaine. Mieux vaut donc expliquer le service du point de vue d’un utilisateur (non-développeur), et gérer les détails techniques au cas par cas si des questions surviennent ensuite.

Taille de marché (Market Size)

Si l’on définit directement la taille de marché en valeur monétaire, le résultat peut varier fortement selon la méthode de calcul et les hypothèses, et le risque de contestation est relativement élevé. Il est souvent plus sûr et plus efficace de présenter la taille de marché via d’autres indicateurs : nombre d’utilisateurs potentiels, nombre/fréquence de transactions, etc.

• TAM (Total Addressable Market, marché total) : taille maximale théoriquement accessible si l’on suppose une situation idéale où l’on exclut tous les concurrents et où l’on atteint 100% de part de marché mondiale ; taille du marché adressable quand on fournit le produit/service au monde entier
• SAM (Service Available Market, marché adressable) : taille du marché réaliste que l’entreprise vise effectivement, compte tenu des contraintes géographiques, d’infrastructure et réglementaires
• SOM (Service Obtainable Market, marché obtenable / part de marché cible) : taille du marché que l’on peut réellement capturer au départ, même au sein du SAM, compte tenu de la concurrence, des capacités de l’entreprise, de la stratégie marketing, etc.

Lorsqu’on estime la taille de marché, on cite souvent des études tierces pour donner des chiffres et indicateurs précis sur le marché total ou le marché adressable, mais — du point de vue d’une startup — on décrit ensuite le SOM (pourtant crucial) par des phrases du type : « si nous atteignons X% de part de marché, nous pouvons faire Y de chiffre d’affaires ». Honnêtement, moi aussi, dans un premier brouillon interne de support IR rédigé en préparant ma création d’entreprise, j’écrivais de cette manière.

Le problème, c’est que du point de vue d’un investisseur, un plan visant à capter X% d’un marché est difficile à croire. Lancer un service ne suffit pas pour prendre facilement des parts de marché, et annoncer vaguement qu’on atteindra X% auprès de « tous » les acteurs du marché manque de force persuasive.

En plus de montrer que la taille du marché total et du marché adressable est suffisamment grande, il est essentiel d’expliquer comment vous définissez votre marché initial (Immediate Market), puis selon quelle logique vous élargirez progressivement les segments de clients afin d’augmenter le SOM.

Timing business

• En business, le timing est aussi très important
• Il faut pouvoir expliquer aux investisseurs pourquoi ce projet peut réussir maintenant et pourquoi il faut investir maintenant
• Il faut présenter les raisons qui rendent ce moment propice : faisabilité technique, évolution des comportements, tendances sociétales, changements environnementaux, etc.

Description du produit/service (Product)

• Quelles sont les principales caractéristiques et fonctionnalités du produit/service ?
• Quel est le fonctionnement concret, et quels exemples peut-on donner ?

Modèle économique (Business Model)

• Comment allez-vous gagner de l’argent ?
• Qui paie ? (L’utilisateur final et le client payeur ne coïncident pas toujours ; il faut donc clarifier qui génère réellement le chiffre d’affaires.)
• Sur quoi allez-vous facturer ? Comment allez-vous fixer les prix ?

Concurrence (Competition)

• Qui sont les principaux concurrents ?
• Du point de vue du client, en quoi notre service/produit est-il supérieur et quels sont ses avantages par rapport à ceux des autres ?
• Quels services définit-on comme concurrents, et quels clients vise-t-on en priorité ?

Une analyse solide des concurrents permet de montrer efficacement aux investisseurs que vous comprenez bien l’état du marché.

Traction et stratégie de mise sur le marché (Go-to Market Strategy)

• Quels sont les KPI les plus importants pour la réussite du business ?
  • p. ex. nombre de commandes, utilisateurs actifs mensuels (MAU), volume mensuel de transactions, etc.
• Autour de ces KPI, quels résultats/performances avez-vous obtenus ?
• Quels sont les principaux leviers et canaux marketing de l’entreprise ?
• Quels sont les moyens d’acquisition de nouveaux clients, et à quel coût ?
• *Quelle est la valeur vie client (LTV) ?

*Valeur vie client (Customer Lifetime Value, LTV) : quantification du profit total qu’un utilisateur apporte pendant toute la durée d’utilisation du service

Il est préférable d’exclure les indicateurs secondaires autres que les KPI clés.

Si vous êtes une startup très early-stage sans chiffre d’affaires

• Définir et présenter le point mort (seuil de rentabilité) du service
• Ne pas gonfler les indicateurs de revenus : fixer des hypothèses réalistes et conservatrices
• Présenter un scénario de revenus pour la première année de génération de CA, et ajouter un plan de ventes sur plusieurs années pour donner confiance dans une croissance régulière
  • Prévision court terme (1 an)
  • Prévision moyen terme (3 ans)
  • Prévision long terme (5 ans)
• Utiliser activement graphiques et tableaux pour rendre le contenu lisible d’un coup d’œil
• Inclure des slides de validation d’hypothèses afin d’expliquer de manière convaincante pourquoi vous avez choisi ces KPI et ces scénarios de revenus, et ainsi renforcer la crédibilité
  • Il faut établir une base solide pour les scénarios de chiffre d’affaires attendus via des expériences et validations d’hypothèses répétées

Équipe (The Team)

• Plutôt que de présenter tout le monde, présenter surtout les membres clés (y compris le CEO) qui portent des responsabilités essentielles
• Mettre en avant 2 à 3 éléments de carrière/compétences, en utilisant des logos, etc., pour une meilleure lisibilité
• S’il existe des investisseurs ou conseillers qui ont joué (ou jouent) un rôle clé, il peut être pertinent de les inclure aussi

Plan de croissance (Milestones)

• Présenter les objectifs à atteindre par période et par étape
• En général, on fixe les objectifs jusqu’au prochain tour de financement (seed : jusqu’à la Série A ; Série A : jusqu’à la Série B)
• Présenter le montant de l’investissement souhaité et son plan d’utilisation
• Mieux vaut éviter des périodes trop longues (plus de 6 mois) : présenter plutôt par tranches d’environ 2 mois

Plan financier (Financials)

Pour un IR deck, il faut inclure le plan financier.

• Tableau de planification financière sur 3 à 5 ans
• Unit economics : revenus et coûts par unité client
• Burn rate : rythme de consommation de trésorerie (coûts de lancement, R&D, autres dépenses) dans une entreprise jeune
• Total des revenus et des coûts
• EBITDA ou tableau des flux de trésorerie, etc.

• Attention à ne pas présenter un plan financier trop irréaliste
• Les prévisions ont souvent tendance à surestimer les revenus et sous-estimer les coûts : il faut donc être prudent lors de l’estimation du CA attendu
• Estimer les coûts aussi précisément que possible, en tenant compte des coûts de développement produit/service et des frais d’exploitation

Points à mettre en avant selon l’étape de financement

Seed

• Étape où l’on développe un MVP, observe la réaction du marché et valide la pertinence du business model
• Mettre fortement en avant les hypothèses initiales et les résultats de validation du business model, ainsi que les résultats des tests MVP et les revenus qui en découlent

Pre-A

• Étape où l’on doit démontrer un potentiel de croissance et sécuriser des fonds supplémentaires pour le développement produit, le marketing, le recrutement, etc.
• Expliquer quels sont les KPI clés, à quel point vous croissez via quelles activités, et quelles sont les perspectives de croissance

Série A

• Étape où l’on accélère réellement la croissance et augmente la valeur de l’entreprise
• À ce stade, la validation des hypothèses devrait être terminée : il faut gagner la confiance des investisseurs via des résultats chiffrés sur la performance

Quelques conseils

• Soigner particulièrement les cinq premières slides afin de laisser une bonne première impression
• Il peut être utile de remettre la mission/vision de la première slide une fois encore sur la dernière slide
• Présenter tous les contenus de façon « conclusion d’abord »
• La cible de l’investissement est l’entreprise : même dans un support IR, le nom de l’entreprise doit primer sur le nom du service
• Les lecteurs (investisseurs potentiels) ne sont pas forcément des professionnels du secteur : expliquer autant que possible avec des termes simples, et ajouter une explication lorsque l’usage de termes techniques est inévitable
• Ne pas mélanger problème de marché et solution : les séparer
• Utiliser le texte surtout sous forme de mots-clés ; pour les images, éviter les captures d’écran afin d’améliorer la lisibilité
• Indiquer des chiffres exacts et concrets via des tableaux et graphiques
• Veiller à ne pas omettre la présentation de l’équipe, le montant souhaité et le plan d’utilisation des fonds
• Il est recommandé de présenter aussi une stratégie de sortie (récupération de l’investissement)
• Même si ce n’est pas parfait, présenter brièvement un plan sur la répartition du capital entre actionnaires
• Ne pas surcharger le corps principal : si nécessaire, séparer en annexes
• Sur la dernière slide, indiquer les coordonnées (e-mail, téléphone, nom)
• La police est également très importante : utiliser une police lisible comme Pretendard et préparer un PDF pour éviter tout problème d’affichage

Références

Chaîne de divulgation des entreprises KIND

https://kind.krx.co.kr/corpgeneral/irschedule.do?method=searchIRScheduleMain&gubun=iRMaterials

• Chaîne de divulgation des entreprises opérée par la Bourse de Corée
• Fournit des informations de divulgation pour les sociétés cotées sur KOSPI, KOSDAQ et KONEX
• Permet de consulter les supports IR des sociétés cotées, utile pour analyser la structure de supports IR récemment produits

Qu’est‑ce que la cryptographie ?

La cryptographie est, au fond, une sous‑discipline scientifique dont l’objectif est de défendre les protocoles (protocols) contre des actions hostiles.

Un protocole est ici une liste d’étapes que doivent suivre une ou plusieurs personnes pour atteindre un objectif donné. Par exemple, si l’on souhaite partager le presse‑papiers entre plusieurs appareils, on peut définir le protocole suivant.

1. Lorsqu’il y a un changement dans le presse‑papiers sur l’un des appareils, celui‑ci copie le contenu du presse‑papiers et le téléverse sur un serveur.
2. Le serveur informe les autres appareils qu’une modification a eu lieu dans le presse‑papiers partagé.
3. Les autres appareils téléchargent alors depuis le serveur ce contenu de presse‑papiers partagé.

Cependant, ce n’est pas un bon protocole : si l’on envoie le contenu du presse‑papiers en clair vers le serveur et qu’on le télécharge aussi en clair, quelqu’un pourrait intercepter ce contenu pendant la communication, ou bien l’opérateur du serveur pourrait l’espionner. La cryptographie a précisément pour rôle de défendre contre l’existence éventuelle d’un adversaire cherchant à espionner ce contenu de presse‑papiers.

Cryptographie symétrique

Chiffrement symétrique

Imaginons qu’Alice doive envoyer une lettre à Bob. Elle donne la lettre à un(e) messager·ère (messenger) pour la porter à Bob, car elle souhaite lui transmettre des informations confidentielles. Mais Alice ne fait pas totalement confiance au messager et veut que le message reste secret pour toute personne autre que Bob, y compris le messager qui transporte la lettre.

L’algorithme cryptographique inventé il y a longtemps pour répondre à ce type de situation est précisément l’algorithme de chiffrement symétrique (symmetric encryption algorithm).

Primitive (primitive)
Le mot primitive signifie, au sens courant, « primitif » ou « élémentaire ». En cryptographie, on utilise très souvent ce terme : une primitive désigne la plus petite unité de fonction ou d’algorithme qui sert de brique de base à un système cryptographique. On peut l’interpréter comme un « élément fondamental » ou une « logique de base ».

Considérons une primitive qui fournit les deux fonctions suivantes.

• ENCRYPT : prend en entrée une clé secrète (secret key) (en général un grand nombre) et un message (message), et produit en sortie une suite de chiffres, à savoir le message chiffré ;
• DECRYPT : fonction réciproque de ENCRYPT, qui prend en entrée la même clé secrète et le message chiffré, puis restitue le message original.

Pour empêcher le messager, ou tout autre tiers, de lire le message d’Alice à l’aide d’une telle primitive, Alice et Bob doivent d’abord se rencontrer à l’avance et convenir de la clé secrète à utiliser. Ensuite, Alice peut chiffrer son message avec la clé convenue à l’aide de la fonction ENCRYPT, puis transmettre ce message chiffré à Bob par l’intermédiaire du messager. Bob, de son côté, utilise la même clé secrète avec la fonction DECRYPT pour retrouver le message original.

Ce processus consistant à chiffrer des données à l’aide d’une clé secrète, de sorte qu’elles soient indiscernables d’un bruit aléatoire, est en cryptographie la méthode générale pour protéger un protocole.

Le chiffrement symétrique appartient à une catégorie plus large d’algorithmes cryptographiques appelée cryptographie symétrique (symmetric cryptography) ou cryptographie à clé secrète (secret key cryptography), et il peut, selon les cas, faire intervenir plus d’une clé.

Principe de Kerckhoffs

Aujourd’hui, nous disposons de moyens de communication bien plus puissants que la lettre papier, à savoir l’ordinateur et Internet, qui nous permettent d’échanger presque en temps réel. Mais cela signifie aussi, en contrepartie, que les messagers malveillants sont eux aussi devenus plus puissants. Il peut s’agir d’un Wi‑Fi public non sécurisé dans un café, d’un fournisseur d’accès à Internet (FAI), de divers équipements réseau ou serveurs assurant le transit des messages, d’agences gouvernementales, voire même d’éléments présents sur l’appareil exécutant l’algorithme. Les adversaires peuvent observer un très grand nombre de messages en temps réel, les modifier ou les intercepter au niveau de la nanoseconde sans qu’on s’en aperçoive, voire les censurer.

L’expérience accumulée au fil du temps en cryptographie a conduit à un principe général pour obtenir une sécurité fiable : les primitives doivent être analysées publiquement. La méthode opposée est appelée sécurité par l’obscurité (security by obscurity), dont les limites sont claires ; elle est aujourd’hui largement abandonnée.

Ce principe général a été formulé pour la première fois en 11883 par le linguiste et cryptologue néerlandais Auguste Kerckhoffs, et est connu sous le nom de principe de Kerckhoffs (Kerckhoffs’s principle). Le mathématicien, informaticien et cryptologue américain Claude Shannon, également considéré comme le père de la théorie de l’information, a exprimé le même principe par la formule « The enemy knows the system » (« l’ennemi connaît le système »), c’est‑à‑dire : « lorsqu’on conçoit un système, il faut supposer que l’ennemi finira par le connaître ». Cette formulation est connue sous le nom d’adage de Shannon (Shannon’s maxim).

La sécurité d’un système cryptographique doit reposer uniquement sur le secret de la clé ; le système lui‑même peut être rendu public sans que cela pose problème, et devrait même l’être, pour que de nombreux cryptanalystes (cryptanalysts) puissent l’examiner, comme dans le cas d’AES. Toute chose secrète est par nature susceptible de fuiter et constitue donc un point potentiel de défaillance ; plus la partie à garder secrète est petite, plus la position du défenseur est avantageuse. Il est extrêmement difficile de garder longtemps secret l’ensemble d’un système cryptographique complexe, alors qu’il est relativement facile de ne garder secrète que la clé. De plus, même en cas de fuite, il est bien plus simple de remplacer une clé compromise que de changer tout le système cryptographique.

Cryptographie asymétrique

De nombreux protocoles fonctionnent en pratique sur la base de la cryptographie symétrique, mais une telle approche suppose qu’au moins une fois au départ, les deux participants se rencontrent pour fixer la clé à utiliser. La question devient alors de savoir comment décider de la clé et la partager de manière sûre au préalable : c’est ce que l’on appelle le problème de la distribution des clés (key distribution). Ce problème est resté longtemps un défi majeur, jusqu’à ce qu’il soit finalement résolu à la fin des années 11970 avec le développement d’algorithmes appelés cryptographie asymétrique (asymmetric cryptography) ou cryptographie à clé publique (public key cryptography).

Les primitives les plus représentatives de la cryptographie asymétrique sont l’échange de clés (key exchange), le chiffrement asymétrique (asymmetric encryption) et la signature numérique (digital signature).

Échange de clés

L’échange de clés fonctionne, schématiquement, de la manière suivante.

1. Alice et Bob conviennent d’utiliser en commun un certain ensemble de paramètres $G$ ;
2. Alice et Bob choisissent chacun une clé privée (private key), respectivement $a$ et $b$ ;
3. À partir des paramètres communs $G$ et de leurs clés privées $a$ et $b$, ils calculent leurs clés publiques (public keys) $A = f(G,a)$ et $B = f(G,b)$, puis les publient ;
4. Alice utilise la clé publique de Bob $B = f(G,b)$ et sa propre clé privée $a$ pour calculer $f(B,a) = f(f(G,b),a)$, tandis que Bob fait de même avec la clé publique d’Alice $A = f(G,a)$ et sa clé privée $b$ pour calculer $f(A,b) = f(f(G,a),b)$ ;
5. Si l’on choisit une fonction $f$ telle que $f(f(G,a),b) = f(f(G,b),a)$, Alice et Bob partagent au final le même secret, alors qu’un tiers, qui ne connaît que $G$ ainsi que les clés publiques $A = f(G,a)$ et $B = f(G,b)$, ne peut pas en déduire $f(A,b)$ : le secret reste donc préservé.

En général, le secret ainsi partagé est utilisé comme clé secrète pour un chiffrement symétrique, ce qui permet ensuite d’échanger d’autres messages en s’appuyant sur la cryptographie symétrique.

Le premier algorithme d’échange de clés publié, et le plus emblématique, est l’algorithme d’échange de clés de Diffie‑Hellman, nommé d’après ses auteurs Whitfield Diffie et Martin Hellman.

L’échange de clés Diffie‑Hellman a toutefois ses limites. Imaginons qu’un attaquant intercepte les clés publiques $A = f(G,a)$ et $B = f(G,b)$ lors de leur échange et les remplace par sa propre clé publique $M = f(G,m)$, qu’il envoie ensuite à Alice et à Bob. Dans ce cas, Alice et l’attaquant partagent un faux secret $f(M, a) = f(A, m)$, tandis que Bob et l’attaquant partagent un autre faux secret $f(M, b) = f(B, m)$. L’attaquant peut alors se faire passer pour Bob auprès d’Alice, et pour Alice auprès de Bob. On dit alors qu’un homme du milieu (man‑in‑the‑middle, MITM) a réussi à attaquer le protocole. Ainsi, l’échange de clés ne résout pas le problème de la confiance, même s’il simplifie considérablement les procédures lorsque les participants sont nombreux.

Chiffrement asymétrique

Peu de temps après l’invention de l’échange de clés Diffie‑Hellman, une autre avancée majeure a eu lieu : l’algorithme RSA (RSA algorithm), nommé d’après ses inventeurs Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman. RSA fournit deux primitives : le chiffrement à clé publique (chiffrement asymétrique) et la signature numérique ; toutes deux relèvent de la cryptographie asymétrique.

Dans le cas du chiffrement asymétrique, l’objectif principal — chiffrer un message pour en assurer la confidentialité — est similaire à celui du chiffrement symétrique. Toutefois, contrairement au chiffrement symétrique, qui utilise une même clé pour chiffrer et déchiffrer, le chiffrement asymétrique présente les caractéristiques suivantes.

• Il fonctionne avec deux clés : une clé publique et une clé privée ;
• Tout le monde peut chiffrer à l’aide de la clé publique, mais seul le détenteur de la clé privée peut déchiffrer.

On peut l’illustrer ainsi :

1. Il existe une boîte ouverte (la clé publique) dans laquelle n’importe qui peut déposer un message avant de la fermer ; une fois fermée, seule la clé (la clé privée) détenue par Bob permet de l’ouvrir ;
2. Alice place le message qu’elle veut envoyer dans la boîte, la ferme (elle chiffre le message), puis la transmet à Bob ;
3. Bob reçoit la boîte fermée (le message chiffré) et utilise sa clé (sa clé privée) pour l’ouvrir et en extraire le message (le déchiffrer).

Signature numérique

RSA ne fournit pas seulement le chiffrement asymétrique, mais aussi la signature numérique ; cette primitive de signature a considérablement facilité l’établissement de la confiance entre Alice et Bob. Pour signer un message, on utilise sa propre clé privée ; pour vérifier l’authenticité d’une signature, un tiers utilise le message signé, la signature et la clé publique du signataire.

Utilité de la cryptographie

L’objectif de la cryptographie est de protéger les protocoles contre des actions hostiles ; l’utilité de la cryptographie dépend donc des objectifs de ces protocoles. La plupart des primitives et protocoles cryptographiques visent à assurer une ou plusieurs des propriétés suivantes.

• Confidentialité (confidentiality) : masquer et protéger certaines informations contre les personnes qui ne devraient pas y avoir accès ;
• Authentification (authentication) : identifier son interlocuteur (par exemple vérifier que le message reçu provient bien d’Alice).

Écosystème de la cryptographie

flowchart TD
    Alice[Chercheuse en cryptographie]-- invente une primitive -->Primitive(Nouvelle primitive proposée)
    Alice-- invente un protocole -->Protocol(Nouveau protocole proposé)
    Alice-. organise un concours .->C(Concours d’algorithmes)

    David[Industrie privée]-. finance .->Alice
    David-. organise un concours .->C

    Eve[Agence gouvernementale]-. finance .->Alice
    Eve-. organise un concours .->C

    Primitive --> t1{"Est‑ce implémentable ?"}
    t1-- Oui -->Protocol
    t1-- Non -->term1@{ shape: framed-circle, label: "Arrêt" }

    Protocol-- participe au concours -->C
    Protocol-- normalisation -->Standard(Norme)
    Protocol-- dépôt de brevet -->Patent(Expiration du brevet)
    Protocol-- implémentation -->Library(Bibliothèque)
    
    C-- gagne le concours -->Standard
    C-- obsolescence -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Arrêt" }

    Standard-- implémentation -->Library
    Standard-- obsolescence -->term3@{ shape: framed-circle, label: "Arrêt" }

    Patent-- obsolescence -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Arrêt" }
    Patent-- normalisation -->Standard
    Patent-- implémentation -->Library

    Library-- normalisation -->Standard
    Library-- compromis de sécurité -->term4@{ shape: framed-circle, label: "Arrêt" }

Prérequis

• Vecteurs et combinaisons linéaires
• Espaces vectoriels, sous-espaces et matrices
• Dépendance et indépendance linéaires, base et dimension
• Injection, surjection

Transformation linéaire

Une fonction particulière qui préserve la structure d’un espace vectoriel est appelée transformation linéaire (linear transformation); c’est une notion fondamentale qui apparaît très fréquemment en mathématiques pures et appliquées, en sciences sociales et naturelles, ainsi qu’en ingénierie.

Définition
Soient $\mathbb{V}$ et $\mathbb{W}$ des $F$‑espaces vectoriels. On appelle transformation linéaire (linear transformation) de $\mathbb{V}$ vers $\mathbb{W}$ toute application $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ qui satisfait, pour tous $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ et $c \in F$, les deux conditions:

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Dire que $T$ est une transformation linéaire se résume souvent à dire que $T$ est linéaire. Une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ vérifie les quatre propriétés suivantes.

1. $T$ linéaire $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ linéaire $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ linéaire $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ linéaire $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Pour montrer qu’une application est linéaire, il est en pratique commode d’utiliser la propriété 2.

L’algèbre linéaire a d’amples applications en géométrie car de nombreuses transformations géométriques importantes sont linéaires. En particulier, les trois transformations clés que sont la rotation, la symétrie et la projection sont linéaires.

Deux transformations linéaires apparaissent tout particulièrement souvent.

Transformation identité et transformation nulle
Pour des $F$‑espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• Transformation identité (identity transformation): l’application $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ définie par $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ pour tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$
• Transformation nulle (zero transformation): l’application $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ définie par $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ pour tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$

Bien d’autres notions entrent dans le cadre des transformations linéaires.

Exemples de transformations linéaires

• Rotation
• Symétrie
• Projection
• Matrice transposée
• Dérivation d’une fonction différentiable
• Intégration d’une fonction continue

Noyau et image

Définition: noyau et image

Définition
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• Noyau (kernel): l’ensemble des $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ tels que $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$, noté $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• Image (range): le sous-ensemble de $\mathbb{W}$ constitué des valeurs de $T$, noté $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, l’identité $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ et la transformation nulle $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, on a:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

Point clé pour la suite: le noyau et l’image d’une transformation linéaire sont des sous-espaces.

Théorème 1
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, $\mathrm{N}(T)$ et $\mathrm{R}(T)$ sont des sous-espaces de $\mathbb{V}$ et $\mathbb{W}$ respectivement.

Preuve
Notons $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$ les vecteurs nuls de $\mathbb{V}, \mathbb{W}$.

Comme $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, on a $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. De plus, pour $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ et $c \in F$:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ Puisque $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ et $c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$, $\mathrm{N}(T)$ est un sous-espace de $\mathbb{V}$.

De même, $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$ implique $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$, et comme $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$, on a

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ Puisque $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T)$ et $c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$, $\mathrm{R}(T)$ est un sous-espace de $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

D’autre part, si l’on connaît une base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$, on peut obtenir un ensemble générateur de l’image $\mathrm{R}(T)$ comme suit.

Théorème 2
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ et une base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$, on a:

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Preuve

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Comme $\mathrm{R}(T)$ est un sous-espace, par le Théorème 2 de Espaces vectoriels, sous-espaces et matrices,

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

De plus,

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Puisque $\beta$ est une base de $\mathbb{V}$,

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(où } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

$T$ étant linéaire,

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ Comme à la fois $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ et $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$, on a $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Ce théorème reste valable lorsque la base $\beta$ est infinie.

Théorème de la dimension

Le noyau et l’image étant des sous‑espaces particulièrement importants, on nomme également leurs dimensions.

Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, supposons $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ de dimension finie.

• Nullité (nullity): la dimension de $\mathrm{N}(T)$, notée $\mathrm{nullity}(T)$
• Rang (rank): la dimension de $\mathrm{R}(T)$, notée $\mathrm{rank}(T)$

Pour une transformation linéaire, plus la nullité est grande, plus le rang est petit, et réciproquement.

Théorème 3: théorème de la dimension (dimension theorem)
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$, si $\mathbb{V}$ est de dimension finie, alors

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Preuve

Soient $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$, et soit une base de $\mathrm{N}(T)$ donnée par $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$.

D’après le Corollaire 6-1 de « Dépendance et indépendance linéaires, base et dimension », on peut étendre $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ en une base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$.

Montrons maintenant que $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ est une base de $\mathrm{R}(T)$. D’abord, pour $1 \leq i \leq k$, $T(\mathbf{v}_i) = 0$, donc, par le Théorème 2,

Autrement dit, $S$ engendre $\mathrm{R}(T)$. Par le Corollaire 5-2 du théorème du remplacement, il suffit de montrer que $S$ est libre pour conclure que $S$ est une base de $\mathrm{R}(T)$.

Si $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (avec $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$), la linéarité de $T$ donne

Donc

Comme $\beta$ est une base de $\mathbb{V}$, l’unique solution de $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ est

d’où

Ainsi, $S$ est libre et c’est une base de $\mathrm{R}(T)$.

Transformations linéaires, injections et surjections

Pour les transformations linéaires, injection et surjection sont étroitement liées au rang et à la nullité.

Théorème 4
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$,

\[T \text{ est injective } \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Théorème 5
Si des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ de dimension finie ont même dimension, alors, pour $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, les quatre propositions suivantes sont équivalentes.

1. $T$ est injective.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ est surjective.

On peut démontrer les Théorèmes 4 et 5 en utilisant le théorème de la dimension, les propriétés 1 et 3 des transformations linéaires, ainsi que le Théorème 6 de « Dépendance et indépendance linéaires, base et dimension ».

Ces deux résultats sont utiles pour déterminer si une transformation linéaire donnée est injective ou surjective.

Pour un espace vectoriel $\mathbb{V}$ de dimension infinie et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$, injectivité et surjectivité ne sont pas équivalentes.

Si une transformation linéaire est injective, le théorème suivant peut être utile, selon les cas, pour décider si un sous-ensemble donné est linéairement indépendant.

Théorème 6
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, une transformation linéaire injective $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, et un sous-ensemble $S \subseteq \mathbb{V}$, on a

\[S \text{ est linéairement indépendant } \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{ est linéairement indépendant.}\]

Transformations linéaires et bases

Un point crucial: l’action d’une transformation linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur une base.

Théorème 7
Pour des $F$‑espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, une base $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$ et des vecteurs $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$, il existe une unique transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ telle que

\[i = 1, 2, \dots, n \text{, } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

Preuve
Pour $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, la décomposition en combinaison linéaire par rapport à la base est unique:

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

Définissons $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ par

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

Alors:

i) pour $i = 1, 2, \dots, n$, $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$;

ii) si une autre transformation linéaire $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ vérifie $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ pour $i = 1, 2, \dots, n$, alors, pour $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$,

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

Par i) et ii), la transformation linéaire vérifiant $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ pour $i = 1, 2, \dots, n$ est

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

et elle est unique. $\blacksquare$

Corollaire 7-1
Pour deux espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, si $\mathbb{V}$ possède une base finie $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, alors, pour deux transformations linéaires $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$, si $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$ pour $i = 1, 2, \dots, n$, on a $U = T$.
Autrement dit, si deux transformations coïncident sur une base, elles sont égales.

Prérequis

• Vecteurs et combinaisons linéaires
• Espaces vectoriels, sous-espaces et matrices

Dépendance linéaire et indépendance linéaire

Pour un espace vectoriel $\mathbb{V}$ et un sous-espace $\mathbb{W}$, supposons que l’on veuille trouver le plus petit sous-ensemble fini $S$ qui engendre $\mathbb{W}$.

Étant donné $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ avec $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$, comment déterminer s’il n’existe pas de sous-ensemble strict de $S$ qui engendre encore $\mathbb{W}$ ? Cela revient à décider si un vecteur extrait de $S$ peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres. Par exemple, une condition nécessaire et suffisante pour exprimer $\mathbf{u}_4$ comme combinaison linéaire des trois autres est l’existence de scalaires $a_1, a_2, a_3$ satisfaisant

Or, il est fastidieux de monter à chaque fois un système linéaire pour chacun des quatre vecteurs $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4$. Modifions légèrement l’approche:

Si l’un des vecteurs de $S$ est combinaison linéaire des autres, alors il existe une écriture du vecteur nul comme combinaison linéaire des éléments de $S$ où au moins un des coefficients $a_1, a_2, a_3, a_4$ est non nul. La réciproque est vraie: s’il existe une écriture de $\mathbf{0}$ comme combinaison linéaire des vecteurs de $S$ avec au moins un coefficient non nul, alors l’un des vecteurs de $S$ est combinaison linéaire des autres.

Généralisons et définissons ainsi la dépendance linéaire et l’indépendance linéaire.

Définition
Pour un sous-ensemble $S$ d’un espace vectoriel $\mathbb{V}$, s’il existe un nombre fini de vecteurs deux à deux distincts $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ et des scalaires $a_1, a_2, \dots, a_n$, pas tous nuls, tels que $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$, alors l’ensemble $S$ (et ces vecteurs) est dit linéairement dépendant (linearly dependent). Dans le cas contraire, il est dit linéairement indépendant (linearly independent).

Pour des vecteurs arbitraires $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$, on a $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$ lorsque $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$; c’est la représentation triviale du vecteur nul (trivial representation of $\mathbf{0}$).

Les trois propositions suivantes sont toujours vraies dans tout espace vectoriel. En particulier, la Proposition 3 est très utile pour décider si un ensemble fini est linéairement indépendant.

• Proposition 1: L’ensemble vide est linéairement indépendant. Pour qu’un ensemble soit linéairement dépendant, il ne doit pas être vide.
• Proposition 2: Un ensemble constitué d’un seul vecteur non nul est linéairement indépendant.
• Proposition 3: Un ensemble est linéairement indépendant si et seulement si la seule combinaison linéaire qui donne $\mathbf{0}$ est la représentation triviale.

On aura également besoin des résultats suivants.

Théorème 1
Si $\mathbb{V}$ est un espace vectoriel et $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$, alors $S_1$ linéairement dépendant implique $S_2$ linéairement dépendant.

Corollaire 1-1
Si $\mathbb{V}$ est un espace vectoriel et $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$, alors $S_2$ linéairement indépendant implique $S_1$ linéairement indépendant.

Théorème 2
Soient un espace vectoriel $\mathbb{V}$ et un sous-ensemble $S$ linéairement indépendant. Pour un vecteur $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ qui n’appartient pas à $S$, une condition nécessaire et suffisante pour que $S \cup \{\mathbf{v}\}$ soit linéairement dépendant est que $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$.

En d’autres termes, si aucun sous-ensemble strict de $S$ n’engendre le même espace que $S$, alors $S$ est linéairement indépendant.

Base et dimension

Base

Un ensemble générateur $S$ de $\mathbb{W}$ qui est linéairement indépendant possède une propriété remarquable: tout vecteur de $\mathbb{W}$ s’écrit nécessairement comme combinaison linéaire des vecteurs de $S$, et cette écriture est unique (Théorème 3). Ainsi, on appelle base (basis) d’un espace vectoriel tout ensemble générateur linéairement indépendant.

Définition d’une base
Pour un espace vectoriel $\mathbb{V}$ et un sous-ensemble $\beta$, si $\beta$ est linéairement indépendant et engendre $\mathbb{V}$, alors $\beta$ est une base (basis) de $\mathbb{V}$. Les vecteurs de $\beta$ sont dits former une base de $\mathbb{V}$.

On a $\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$ et $\emptyset$ est linéairement indépendant. Ainsi, l’ensemble vide est une base de l’espace réduit au point.

En particulier, on appelle la base suivante de $F^n$ la base canonique (standard basis) de $F^n$.

Définition de la base canonique
Dans l’espace vectoriel $F^n$, considérons les vecteurs

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

Alors l’ensemble $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ est une base de $F^n$, appelée base canonique (standard basis) de $F^n$.

Théorème 3
Pour un espace vectoriel $\mathbb{V}$ et des vecteurs deux à deux distincts $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$, un ensemble $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ est une base de $\mathbb{V}$ si et seulement si « tout vecteur $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de $\beta$ ». Autrement dit, il existe un unique $n$‑uplet de scalaires $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ tel que

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

D’après le Théorème 3, lorsque $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ forment une base de l’espace vectoriel $\mathbb{V}$, alors, dans $\mathbb{V}$, à tout vecteur $\mathbf{v}$ correspond un unique $n$‑uplet de scalaires $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, et réciproquement, à tout $n$‑uplet de scalaires correspond un unique vecteur $\mathbf{v}$. Nous y reviendrons en étudiant l’invertibilité et les isomorphismes; dans ce cas, $\mathbb{V}$ et $F^n$ sont essentiellement équivalents.

Théorème 4
Si $S$ est un ensemble fini tel que $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, alors $S$ possède un sous-ensemble qui est une base de $\mathbb{V}$. En particulier, $\mathbb{V}$ admet une base finie dans ce cas.

Un grand nombre d’espaces vectoriels entrent dans le champ d’application du Théorème 4, mais pas tous. Une base peut être infinie.

Dimension

Théorème 5: théorème du remplacement (replacement theorem)
Soit $G$ un ensemble de $n$ vecteurs tel que $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$. Si $L$ est un sous-ensemble de $\mathbb{V}$ constitué de $m$ vecteurs linéairement indépendants, alors $m \leq n$. De plus, il existe un sous-ensemble $H \subseteq G$ de $n-m$ vecteurs tel que $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$.

On en déduit deux corollaires essentiels.

Corollaire 5-1 du théorème du remplacement
Si l’espace vectoriel $\mathbb{V}$ admet une base finie, alors toute base de $\mathbb{V}$ est finie et elles ont toutes le même nombre de vecteurs.

Ainsi, le nombre de vecteurs d’une base de $\mathbb{V}$ est un invariant fondamental de $\mathbb{V}$, appelé sa dimension (dimension).

Définition de la dimension
Un espace vectoriel qui admet une base finie est de dimension finie (finite dimension); le nombre d’éléments $n$ d’une base est la dimension (dimension) de l’espace, notée $\dim(\mathbb{V})$. Un espace vectoriel qui n’est pas de dimension finie est de dimension infinie (infinite dimension).

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

La dimension d’un espace vectoriel dépend du corps sous-jacent.

• Sur le corps des complexes $\mathbb{C}$, l’espace vectoriel $\mathbb{C}$ a dimension $1$; une base est $\{1\}$
• Sur le corps des réels $\mathbb{R}$, l’espace vectoriel $\mathbb{C}$ a dimension $2$; une base est $\{1,i\}$

Dans un espace vectoriel de dimension finie $\mathbb{V}$, aucun sous-ensemble ayant plus de $\dim(\mathbb{V})$ vecteurs ne peut être linéairement indépendant.

Corollaire 5-2 du théorème du remplacement
Soit $\mathbb{V}$ un espace vectoriel de dimension $n$.

1. Tout ensemble générateur fini de $\mathbb{V}$ contient au moins $n$ vecteurs; tout ensemble générateur de $n$ vecteurs est une base de $\mathbb{V}$.
2. Tout sous-ensemble de $\mathbb{V}$ linéairement indépendant et formé de $n$ vecteurs est une base de $\mathbb{V}$. 3. Tout sous-ensemble linéairement indépendant $L \subseteq \mathbb{V}$ peut être étendu en une base: il existe une base $\beta \supseteq L$ de $\mathbb{V}$.

Dimension d’un sous-espace

Théorème 6
Dans un espace vectoriel $\mathbb{V}$ de dimension finie, tout sous-espace $\mathbb{W}$ est de dimension finie et $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$. En particulier, si $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V})$, alors $\mathbb{V} = \mathbb{W}$.

Corollaire 6-1
Pour un sous-espace $\mathbb{W}$ d’un espace vectoriel $\mathbb{V}$ de dimension finie, toute base de $\mathbb{W}$ peut être étendue en une base de $\mathbb{V}$.

D’après le Théorème 6, la dimension d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$ peut être $0, 1, 2$ ou $3$.

• Dimension 0: l’espace réduit au point $\{\mathbf{0}\}$ (ne contenant que l’origine $\mathbf{0}$)
• Dimension 1: une droite passant par l’origine $\mathbf{0}$
• Dimension 2: un plan contenant l’origine $\mathbf{0}$
• Dimension 3: tout l’espace euclidien $\mathbb{R}^3$

TL;DR

• Matrice
  • On note l’élément de la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne d’une matrice $A$ par $A_{ij}$ ou $a_{ij}$
  • Élément diagonal (diagonal entry): l’élément $a_{ij}$ avec $i=j$
  • Les composantes $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ forment la $i$-ème ligne (row) de la matrice
    • Chaque ligne d’une matrice peut être vue comme un vecteur de $F^n$
    • Inversement, un vecteur ligne de $F^n$ peut être vu comme une autre matrice de taille $1 \times n$
  • Les composantes $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ forment la $j$-ème colonne (column) de la matrice
    • Chaque colonne d’une matrice peut être vue comme un vecteur de $F^m$
    • Inversement, un vecteur colonne de $F^m$ peut être vu comme une autre matrice de taille $m \times 1$
  • Matrice nulle (zero matrix): matrice dont tous les éléments valent $0$, notée $O$
  • Matrice carrée (square matrix): matrice ayant autant de lignes que de colonnes
  • Deux matrices $m \times n$ $A, B$ sont dites égales ($A=B$) si, pour tout $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$, on a $A_{ij} = B_{ij}$ (i.e. tous les éléments correspondants coïncident)
  • Matrice transposée (transpose matrix): pour une matrice $m \times n$ $A$, la matrice $n \times m$ $A^T$ obtenue en échangeant les lignes et les colonnes
  • Matrice symétrique (symmetric matrix): matrice carrée $A$ telle que $A^T = A$
  • Matrice antisymétrique (skew-symmetric matrix): matrice carrée $B$ telle que $B^T = -B$
  • Matrice triangulaire (triangular matrix)
    • Triangulaire supérieure (upper triangular matrix): matrice dont tous les éléments sous la diagonale sont nuls (i.e. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), souvent notée $U$
    • Triangulaire inférieure (lower triangular matrix): matrice dont tous les éléments au-dessus de la diagonale sont nuls (i.e. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), souvent notée $L$
  • Matrice diagonale (diagonal matrix): matrice carrée $n \times n$ dont tous les éléments hors diagonale sont nuls (i.e. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$), souvent notée $D$
• Espaces vectoriels représentatifs
  • $n$-uplets $F^n$:
    • Ensemble de tous les $n$-uplets dont les composantes appartiennent à un corps $F$
    • Noté $F^n$, c’est un espace vectoriel sur $F$
  • Espace des matrices (matrix space):
    • Ensemble de toutes les matrices $m \times n$ à coefficients dans $F$
    • Noté $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$, c’est un espace vectoriel
  • Espace des fonctions (function space):
    • Pour un ensemble non vide $S$ sur $F$, l’ensemble de toutes les fonctions de $S$ vers $F$
    • Noté $\mathcal{F}(S,F)$, c’est un espace vectoriel
• Sous-espace (subspace)
  • Un sous-ensemble $\mathbb{W}$ d’un espace vectoriel $\mathbb{V}$ sur $F$ est un sous-espace si, muni des mêmes opérations d’addition et de multiplication scalaire que $\mathbb{V}$, il est lui aussi un espace vectoriel sur $F$
  • Pour tout espace vectoriel $\mathbb{V}$, $\mathbb{V}$ lui-même et $\{0\}$ sont des sous-espaces; en particulier, $\{0\}$ est le sous-espace nul (zero subspace)
  • Si un sous-ensemble d’un espace vectoriel contient le vecteur nul et est fermé par rapport aux combinaisons linéaires (i.e. si $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), alors c’est un sous-espace

Prérequis

• Vecteurs et combinaisons linéaires

Espace vectoriel

Comme on l’a brièvement vu dans Vecteurs et combinaisons linéaires, la définition du vecteur et de l’espace vectoriel comme structure algébrique est la suivante.

Définition
Un espace vectoriel (vector space) ou espace linéaire (linear space) $\mathbb{V}$ sur un corps $F$ est un ensemble muni de deux opérations, la somme et la multiplication scalaire, qui satisfont les huit axiomes suivants. Les éléments de $F$ sont des scalaires (scalar), et les éléments de $\mathbb{V}$ sont des vecteurs (vector).

• Somme (sum): pour $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$, l’opération associe un unique élément $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. On appelle $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ la somme de $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$.
• Multiplication scalaire (scalar multiplication): pour $a \in F$ et $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, l’opération associe un unique élément $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. On appelle $a\mathbf{x}$ un multiple scalaire (scalar multiple) de $\mathbf{x}$.

1. Pour tous $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (commutativité de l’addition)
2. Pour tous $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$, $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (associativité de l’addition)
3. Pour tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, il existe $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ tel que $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (vecteur nul, élément neutre pour l’addition)
4. Pour chaque $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, il existe $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ tel que $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverse additif)
5. Pour tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (élément neutre pour la multiplication)
6. Pour tous $a,b \in F$ et tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (associativité de la multiplication scalaire)
7. Pour tout $a \in F$ et tous $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition 1)
8. Pour tous $a,b \in F$ et tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition 2)

On devrait écrire plus précisément « espace vectoriel sur $F$, $\mathbb{V}$ », mais le corps $F$ n’étant pas crucial dans le contexte, on le laisse souvent implicite et on écrit simplement « l’espace vectoriel $\mathbb{V}$ » lorsque cela ne prête pas à confusion.

Espace des matrices

Vecteurs ligne et vecteurs colonne

On note $F^n$ l’ensemble de tous les $n$-uplets dont les composantes appartiennent au corps $F$. Pour $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$ et $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$, en définissant la somme et la multiplication scalaire comme suit, $F^n$ est un espace vectoriel sur $F$.

Isolés, les vecteurs de $F^n$ s’écrivent plutôt comme vecteurs colonne (column vector) que comme vecteurs ligne (row vector) $(a_1, a_2, \dots, a_n)$:

Cependant, la notation en vecteur colonne prenant plus de place, on utilise souvent la transposition et on écrit $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$.

Matrices et espace des matrices

Une matrice $m \times n$ à coefficients dans $F$ est un tableau rectangulaire, noté par des lettres capitales en italique ($A, B, C$, etc.), de la forme suivante.

• On note l’élément de la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne d’une matrice $A$ par $A_{ij}$ ou $a_{ij}$.
• Chaque $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) appartient à $F$.
• Les éléments $a_{ij}$ avec $i=j$ sont les éléments diagonaux (diagonal entries) de la matrice.
• Les composantes $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ forment la $i$-ème ligne (row) de la matrice. Chaque ligne peut être vue comme un vecteur de $F^n$; réciproquement, un vecteur ligne de $F^n$ peut être vu comme une autre matrice $1 \times n$.
• Les composantes $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ forment la $j$-ème colonne (column) de la matrice. Chaque colonne peut être vue comme un vecteur de $F^m$; réciproquement, un vecteur colonne de $F^m$ peut être vu comme une autre matrice $m \times 1$.
• La matrice nulle (zero matrix) $m \times n$ a tous ses éléments égaux à $0$ et se note $O$.
• Une matrice carrée (square matrix) a autant de lignes que de colonnes.
• Deux matrices $m \times n$ $A, B$ sont égales ($A=B$) si, pour tout $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$, $A_{ij} = B_{ij}$ (i.e. tous les éléments correspondants coïncident).

On note $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ l’ensemble de toutes les matrices $m \times n$ dont les éléments appartiennent au corps $F$. Pour $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ et $c \in F$, en définissant la somme et la multiplication scalaire comme suit, $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ est un espace vectoriel, appelé espace des matrices (matrix space).

Ces opérations prolongent naturellement celles définies sur $F^n$ et $F^m$.

Espace des fonctions

Pour un ensemble non vide $S$ sur un corps $F$, $\mathcal{F}(S,F)$ désigne l’ensemble de toutes les fonctions de $S$ vers $F$. Dans $\mathcal{F}(S,F)$, pour tous $s \in S$, si $f(s) = g(s)$, alors on dit que les deux fonctions $f, g$ sont égales ($f=g$).

Pour $f,g \in \mathcal{F}(S,F)$, $c \in F$, $s \in S$, en définissant la somme et la multiplication scalaire comme suit, $\mathcal{F}(S,F)$ est un espace vectoriel, appelé espace des fonctions (function space).

Sous-espace

Définition
Un sous-ensemble $\mathbb{W}$ d’un espace vectoriel $\mathbb{V}$ sur $F$ est un sous-espace (subspace) s’il est lui-même un espace vectoriel sur $F$ muni des mêmes opérations d’addition et de multiplication scalaire que $\mathbb{V}$.

Pour tout espace vectoriel $\mathbb{V}$, $\mathbb{V}$ lui-même et $\{0\}$ sont des sous-espaces; en particulier, $\{0\}$ est le sous-espace nul (zero subspace).

On peut vérifier qu’un sous-ensemble est un sous-espace à l’aide du théorème suivant.

Théorème 1
Pour un espace vectoriel $\mathbb{V}$ et un sous-ensemble $\mathbb{W}$, $\mathbb{W}$ est un sous-espace de $\mathbb{V}$ si et seulement s’il satisfait les trois conditions suivantes, les opérations étant celles définies dans $\mathbb{V}$.

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

En bref, s’il contient le vecteur nul et est fermé pour les combinaisons linéaires (i.e. si $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), alors c’est un sous-espace.

On a également les résultats suivants.

Théorème 2

• Pour tout sous-ensemble $S$ d’un espace vectoriel $\mathbb{V}$, l’espace engendré $\mathrm{span}(S)$ est un sous-espace de $\mathbb{V}$ contenant $S$.

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• Tout sous-espace de $\mathbb{V}$ qui contient $S$ contient nécessairement l’espace engendré par $S$.

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

Théorème 3
Pour les sous-espaces d’un espace vectoriel $\mathbb{V}$, l’intersection arbitraire de tels sous-espaces est à son tour un sous-espace de $\mathbb{V}$.

Matrice transposée, matrice symétrique, matrice antisymétrique

La matrice transposée (transpose matrix) $A^T$ d’une matrice $m \times n$ $A$ est la matrice $n \times m$ obtenue en échangeant lignes et colonnes.

Une matrice $A$ telle que $A^T = A$ est une matrice symétrique (symmetric matrix); une matrice $B$ telle que $B^T = -B$ est une matrice antisymétrique (skew-symmetric matrix). Les matrices symétriques et antisymétriques sont nécessairement carrées.

Les ensembles $\mathbb{W}_1$ et $\mathbb{W}_2$ constitués respectivement de toutes les matrices symétriques et de toutes les matrices antisymétriques de $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$ sont des sous-espaces de $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$. Autrement dit, $\mathbb{W}_1$ et $\mathbb{W}_2$ sont fermés pour la somme et la multiplication scalaire.

Matrices triangulaires, matrice diagonale

Ces deux types de matrices sont particulièrement importants.

On regroupe d’abord les deux types suivants sous le nom de matrices triangulaires (triangular matrix).

• Triangulaire supérieure (upper triangular matrix): matrice dont tous les éléments sous la diagonale sont nuls (i.e. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), généralement notée $U$
• Triangulaire inférieure (lower triangular matrix): matrice dont tous les éléments au-dessus de la diagonale sont nuls (i.e. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), généralement notée $L$

Une matrice carrée $n \times n$ dont tous les éléments hors diagonale sont nuls, i.e. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$, est une matrice diagonale (diagonal matrix), généralement notée $D$. Une matrice diagonale est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.

L’ensemble des matrices triangulaires supérieures, l’ensemble des matrices triangulaires inférieures et l’ensemble des matrices diagonales sont tous des sous-espaces de $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$.

Prérequis

• Vecteurs et combinaisons linéaires

Produit scalaire

La définition générale d’un produit scalaire (inner product) sur un $F$-espace vectoriel est la suivante.

Définition du produit scalaire (inner product) et de l’espace à produit scalaire (inner product space)
Considérons un $F$-espace vectoriel $\mathbb{V}$. Un produit scalaire (inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ sur $\mathbb{V}$ est une application qui associe à toute paire ordonnée de vecteurs $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ de $\mathbb{V}$ un scalaire de $F$, et qui satisfait les propriétés suivantes.

Pour tous $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ et tout $c \in F$:

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ (la barre désigne le conjugué complexe)
4. Si $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, alors $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ est strictement positif.

Un $F$-espace vectoriel $\mathbb{V}$ muni d’un produit scalaire est appelé espace à produit scalaire (inner product space). En particulier, si $F=\mathbb{C}$ on parle d’espace à produit complexe (complex inner product space), et si $F=\mathbb{R}$ d’espace à produit scalaire réel (real inner product space).

En particulier, le produit suivant est appelé produit scalaire standard. On vérifie qu’il satisfait bien les quatre propriétés ci-dessus.

Définition du produit scalaire standard
Pour deux vecteurs de $F^n$, $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ et $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$, on définit le produit scalaire standard sur $F^n$ par

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Si $F=\mathbb{R}$, le conjugué d’un réel étant lui-même, le produit scalaire standard devient $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. Dans ce cas particulier, on le note $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ ou $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ et on l’appelle produit scalaire (dot product).

Définition du produit scalaire (dot product)
Pour $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ et $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ dans $\mathbb{R}^n$, le produit scalaire (dot product) sur $\mathbb{R}^n$ est défini par

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Ici, le « produit scalaire » est une opération entre vecteurs, distincte de l’« opération entre un scalaire et un vecteur » traitée dans Vecteurs et combinaisons linéaires, à savoir la « multiplication scalaire (scalar multiplication) ». Les expressions anglaises se ressemblent et, selon la terminologie coréenne normalisée par la Société mathématique de Corée, elles portent exactement le même nom; attention à ne pas les confondre.

Pour éviter toute confusion, nous emploierons autant que possible le terme dot product.

Dans un espace euclidien, le produit scalaire (inner product) coïncide avec le dot product; lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, il est courant d’appeler ce dernier simplement produit scalaire. Stricto sensu toutefois, le produit scalaire est une notion plus générale qui inclut le dot product.

flowchart TD
    A["Produit scalaire (Inner Product)"] -->|contient| B["Produit scalaire standard"]
    B -->|"si F = R (corps des réels)"| C["Produit scalaire (dot/scalar product)"]

    %% Notation d’inclusion
    C -. est inclus dans .-> B
    B -. est inclus dans .-> A

Longueur/norme d’un vecteur

Pour un vecteur $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ de $\mathbb{R}^n$, la longueur euclidienne de $\mathbf{v}$ se définit via le produit scalaire par

Plus généralement, dans un espace à produit scalaire arbitraire, on définit la longueur (length) ou norme (norm) d’un vecteur par

Dans un espace à produit scalaire quelconque, la norme vérifie les propriétés fondamentales suivantes.

Théorème
Soient $\mathbb{V}$ un espace à produit scalaire sur $F$, $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ et $c \in F$. Alors

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Les deux assertions suivantes sont vraies:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Inégalité de Cauchy–Schwarz (Cauchy–Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (avec égalité si l’un des deux est un multiple scalaire de l’autre)
4. Inégalité triangulaire (triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (avec égalité si l’un est un multiple scalaire de l’autre et, de plus, de même direction)

Angle entre vecteurs et vecteur unitaire

Un vecteur de longueur $1$ est appelé vecteur unitaire (unit vector). Pour deux vecteurs $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ et $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ dans $\mathbb{R}^n$, on a $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, d’où l’on peut déduire l’angle $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) entre $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$:

Si $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, on dit que les deux vecteurs sont perpendiculaires (perpendicular) ou orthogonaux (orthogonal).

Si deux vecteurs $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ sont perpendiculaires,

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

En généralisant à un espace à produit scalaire arbitraire, on obtient ce qui suit.

Définition
Considérons un espace à produit scalaire $\mathbb{V}$. Pour des vecteurs $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$, si $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$, on dit que $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ sont orthogonaux (orthogonal) ou perpendiculaires (perpendicular). De plus,

1. Pour une partie $S \subset \mathbb{V}$, si deux vecteurs distincts quelconques de $S$ sont orthogonaux, alors $S$ est un ensemble orthogonal (orthogonal set).
2. Un vecteur $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ tel que $\|\mathbf{x}\|=1$ est appelé vecteur unitaire (unit vector).
3. Si une partie $S \subset \mathbb{V}$ est un ensemble orthogonal et ne contient que des vecteurs unitaires, on l’appelle ensemble orthonormé (orthonormal set).

Une condition nécessaire et suffisante pour que $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ soit un ensemble orthonormé est que $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Multiplier un vecteur par un scalaire non nul ne change pas l’orthogonalité.

Pour tout vecteur non nul $\mathbf{x}$, le vecteur $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ est un vecteur unitaire; multiplier un vecteur non nul par l’inverse de sa longueur pour obtenir un vecteur unitaire s’appelle la normalisation (normalizing).

TL;DR

• Définition du vecteur
  • Vecteur au sens étroit (vecteur euclidien): grandeur physique qui possède à la fois une norme et une direction
  • Au sens large, en algèbre linéaire, vecteur: élément d’un espace vectoriel
• Représentations du vecteur
  • Représentation par flèche: la norme d’un vecteur est donnée par la longueur de la flèche et sa direction par l’orientation de la flèche. Cette représentation est intuitive et facile à visualiser, mais elle devient difficile pour les vecteurs de dimension ≥ 4 ou pour les vecteurs non euclidiens.
  • Représentation par composantes: on place l’origine du vecteur à l’origine de l’espace de coordonnées et on décrit le vecteur par les coordonnées de son extrémité.
• Opérations de base sur les vecteurs
  • Somme: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • Multiplication scalaire: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• Combinaison linéaire de vecteurs
  • Pour des vecteurs $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ et des scalaires $a_1, a_2, \dots, a_n$, un vecteur $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$ est appelé une combinaison linéaire de $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$.
  • Les nombres $a_1, a_2, \dots, a_n$ sont les coefficients de cette combinaison linéaire.
• Sous-espace engendré
  • Pour un sous-ensemble non vide $S$ de l’espace vectoriel $\mathbb{V}$, l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires formées avec les vecteurs de $S$, $\mathrm{span}(S)$.
  • Par convention, $\mathrm{span}(\emptyset) = {0}$.
  • Pour un sous-ensemble $S$ de l’espace vectoriel $\mathbb{V}$, si $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, on dit que $S$ engendre $\mathbb{V}$ (génère, span).

Prerequisites

• Plan/espace de coordonnées
• Corps

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Vecteur au sens étroit : vecteur euclidien

De nombreuses grandeurs physiques comme la force, la vitesse ou l’accélération portent non seulement une norme mais aussi une direction. Une grandeur qui possède à la fois une norme et une direction est appelée un vecteur.

La définition ci-dessus est celle des vecteurs en mécanique ou au niveau lycée. Un vecteur au sens géométrique, fondé sur l’intuition physique de « segment orienté avec norme et direction », est appelé rigoureusement un vecteur euclidien.

Vecteur au sens large : élément d’un espace vectoriel

En algèbre linéaire, on adopte une définition plus générale et plus abstraite d’un vecteur comme structure algébrique.

Définition
Un espace vectoriel (ou espace linéaire) $\mathbb{V}$ sur un corps $F$ est un ensemble muni de deux opérations, la somme et la multiplication scalaire, qui satisfont les huit axiomes suivants. Les éléments de $F$ sont des scalaires et les éléments de $\mathbb{V}$ sont des vecteurs.

• Somme: pour $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$, l’opération associe un unique élément $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. On appelle $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ la somme de $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$.
• Multiplication scalaire: pour $a \in F$ et $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, l’opération associe un unique élément $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. On appelle $a\mathbf{x}$ le multiple scalaire de $\mathbf{x}$.

1. Pour tous $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (commutativité de l’addition)
2. Pour tous $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$, $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (associativité de l’addition)
3. Pour tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, il existe $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ tel que $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (vecteur nul, élément neutre pour l’addition)
4. Pour chaque $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, il existe $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ tel que $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverse additif)
5. Pour tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (élément neutre pour la multiplication)
6. Pour tous $a,b \in F$ et tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (associativité de la multiplication scalaire)
7. Pour tout $a \in F$ et tous $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition 1)
8. Pour tous $a,b \in F$ et tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition 2)

Cette définition en algèbre linéaire englobe une portée plus large, incluant le vecteur euclidien. On peut vérifier que les vecteurs euclidiens satisfont aussi les huit axiomes ci-dessus.

L’origine et le développement de la notion de vecteur sont intimement liés aux problèmes pratiques soulevés en physique — quantifier des concepts tels que force, mouvement, rotation ou champ. D’abord introduit comme vecteur euclidien pour modéliser mathématiquement des phénomènes naturels, le concept a été généralisé et théorisé par les mathématiciens, qui ont formalisé des structures telles que l’espace vectoriel, le produit scalaire et le produit vectoriel. Autrement dit, le vecteur est un concept demandé par la physique et établi par les mathématiques — un produit interdisciplinaire né de leurs interactions étroites.

Les vecteurs euclidiens de la mécanique classique peuvent être exprimés dans un cadre plus général, et la physique moderne utilise non seulement les vecteurs euclidiens mais aussi des concepts plus abstraits définis en mathématiques (espaces vectoriels, espaces fonctionnels, etc.) auxquels on attribue un sens physique. Il est donc inapproprié d’opposer simplement une « définition physique » et une « définition mathématique » du vecteur.

Nous reviendrons plus tard sur les espaces vectoriels; concentrons-nous d’abord sur le vecteur au sens étroit, le vecteur euclidien que l’on peut représenter géométriquement dans un espace de coordonnées. Disposer d’exemples intuitifs de vecteurs euclidiens aide à comprendre ensuite la généralisation à d’autres types de vecteurs.

Représentations du vecteur

Représentation par flèche

C’est la représentation la plus intuitive et la plus répandue. La norme du vecteur est donnée par la longueur de la flèche, et sa direction par l’orientation de la flèche.

Source de l’image

• Auteur: utilisateur Wikipédia Nguyenthephuc
• Licence: CC BY-SA 3.0

Bien qu’intuitive, cette représentation a des limites évidentes en dimension 4 et au-delà. De plus, nous aurons à traiter des vecteurs non euclidiens, difficiles à représenter géométriquement; il est donc utile de se familiariser avec la représentation par composantes décrite ci-dessous.

Représentation par composantes

Indépendamment de sa position, deux vecteurs sont identiques s’ils ont même norme et même direction. Ainsi, dans un espace de coordonnées donné, en plaçant l’origine du vecteur à l’origine de l’espace, un vecteur de dimension $n$ correspond à un point quelconque de l’espace de dimension $n$, et on peut représenter le vecteur par les coordonnées de son extrémité. C’est la représentation par composantes.

Source de l’image

• Auteur: utilisateur Wikimédia Acdx
• Licence: CC BY-SA 3.0

Opérations de base sur les vecteurs

Les opérations de base sont la somme et la multiplication scalaire. Toute opération vectorielle peut s’exprimer comme combinaison de ces deux opérations.

Somme

La somme de deux vecteurs est encore un vecteur, et les composantes du vecteur somme sont les sommes composante par composante.

Multiplication scalaire

On peut agrandir ou réduire un vecteur en le multipliant par un scalaire. Le résultat s’obtient en multipliant chaque composante par ce scalaire.

Source de l’image

• Auteur: utilisateur Wikipédia Silly rabbit
• Licence: CC BY-SA 3.0

Combinaison linéaire de vecteurs

De même que l’analyse part des nombres $x$ et des fonctions $f(x)$, l’algèbre linéaire part des vecteurs $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ et des combinaisons linéaires $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$. Toute combinaison linéaire se compose des deux opérations de base, somme et multiplication scalaire.

Pour des vecteurs $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ et des scalaires $a_1, a_2, \dots, a_n$, un vecteur $\mathbf{v}$ vérifiant

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

est appelé une combinaison linéaire de $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$. Les nombres $a_1, a_2, \dots, a_n$ en sont les coefficients.

Pourquoi les combinaisons linéaires sont-elles importantes ? Considérons la situation suivante: $n$ vecteurs d’un espace de dimension $m$ constituent les $n$ colonnes d’une matrice $m \times n$.

Voici les deux points essentiels.

1. Exprimez toutes les combinaisons linéaires possibles $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots + x_n\mathbf{v}_n$. Que forment-elles ?
2. Trouvez des nombres $x_1, x_2, \dots, x_n$ tels que la sortie désirée $Ax = b$ soit obtenue.

Nous reviendrons plus tard sur la deuxième question; concentrons-nous d’abord sur la première. Pour simplifier, examinons le cas de deux vecteurs non nuls ($n=2$) dans le plan ($m=2$).

Combinaison linéaire $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

Dans le plan, un vecteur $\mathbf{v}$ possède deux composantes. Pour tout scalaire $c$, le vecteur $c\mathbf{v}$ est parallèle à $\mathbf{v}$ et décrit une droite infinie dans le plan $xy$ passant par l’origine.

Si un second vecteur $\mathbf{w}$ n’est pas sur cette droite (i.e. $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ ne sont pas parallèles), alors $d\mathbf{w}$ décrit une autre droite. En combinant ces deux droites, on voit que la combinaison linéaire $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ remplit un plan passant par l’origine.

Source de l’image

• Auteur: utilisateur Wikimédia Svjo
• Licence: CC BY-SA 4.0

Engendrement

Ainsi, les combinaisons linéaires de vecteurs engendrent un espace; on parle de sous-espace engendré (span).

Définition
Soit $S$ un sous-ensemble non vide de l’espace vectoriel $\mathbb{V}$. L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires formées avec les vecteurs de $S$ s’appelle le sous-espace engendré de $S$ (span) et se note $\mathrm{span}(S)$. Par convention, $\mathrm{span}(\emptyset)={0}$.

Définition
Pour un sous-ensemble $S$ de l’espace vectoriel $\mathbb{V}$, si $\mathrm{span}(S)=\mathbb{V}$, on dit que $S$ engendre $\mathbb{V}$ (génère, span).

Bien que nous n’ayons pas encore présenté des notions comme sous-espace ou base, garder cet exemple en tête aidera à comprendre la notion d’espace vectoriel.

Je regroupe ici mes notes issues du cours Pandas de Kaggle.
Le volume étant conséquent, j’ai scindé l’article en deux parties.

• Partie 1 : Leçons 1–3
• Partie 2 : Leçons 4–6 (ce billet)

Lesson 4. Grouping and Sorting

Il arrive souvent qu’on doive regrouper les données et appliquer des opérations par groupe, ou encore trier selon certains critères.

Analyse par groupe

La méthode groupby() regroupe les lignes partageant la même valeur dans une colonne donnée, puis permet d’inspecter ou de transformer chaque groupe.

Nous avons déjà vu la méthode value_counts(). On peut reproduire un comportement équivalent avec groupby() comme suit:

1

reviews.groupby('taster_name').size()

1

reviews.groupby('taster_name').taster_name.count()

1

reviews.groupby('points').price.min()

1
2
3
4
5
6
7

points
80      5.0
81      5.0
       ... 
99     44.0
100    80.0
Name: price, Length: 21, dtype: float64

1

reviews.groupby(['country', 'province']).apply(lambda df: df.loc[df.points.idxmax()])

1

reviews.groupby(['country']).price.agg([len, min, max])

1
2

countries_reviewed = reviews.groupby(['country', 'province']).description.agg([len])
countries_reviewed

1
2

mi = countries_reviewed.index
type(mi)

1

pandas.core.indexes.multi.MultiIndex

1

countries_reviewed.reset_index()

1
2

countries_reviewed = countries_reviewed.reset_index()
countries_reviewed.sort_values(by='len')

1

countries_reviewed.sort_values(by='len', ascending=False)

1

countries_reviewed.sort_index()

1

countries_reviewed.sort_values(by=['country', 'len'])

1

reviews.price.dtype

1

dtype('float64')

1

reviews.dtypes

1
2
3
4
5
6

country        object
description    object
                ...  
variety        object
winery         object
Length: 13, dtype: object

1

reviews.points.astype('float64')

1
2
3
4
5
6

0         87.0
1         87.0
          ... 
129969    90.0
129970    90.0
Name: points, Length: 129971, dtype: float64

1

reviews.index.dtype

1

dtype('int64')

1

reviews[pd.isna(reviews.country)]

1

reviews.region_2.fillna("Unknown")

1

rok_2030_census.province.replace("Gyeonggibuk-do", "Pyeonghwanuri Special Self-Governing Province")

1

reviews.rename(columns={'points': 'score'})

1

reviews.rename(index={0: 'firstEntry', 1: 'secondEntry'})

1

reviews.rename_axis("wines", axis='index').rename_axis("fields", axis='columns')

1
2
3
4
5
6
7
8

>>> s1 = pd.Series(['a', 'b'])
>>> s2 = pd.Series(['c', 'd'])
>>> pd.concat([s1, s2])
0    a
1    b
0    c
1    d
dtype: object

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

>>> df1 = pd.DataFrame([['a', 1], ['b', 2]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df1
  letter  number
0      a       1
1      b       2
>>> df2 = pd.DataFrame([['c', 3], ['d', 4]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df2
  letter  number
0      c       3
1      d       4
>>> pd.concat([df1, df2])
  letter  number
0      a       1
1      b       2
0      c       3
1      d       4
>>> df4 = pd.DataFrame([['bird', 'polly'], ['monkey', 'george']],
...                    columns=['animal', 'name'])
>>> df4
   animal    name
0    bird   polly
1  monkey  george
>>> pd.concat([df1, df4], axis=1)
  letter  number  animal    name
0      a       1    bird   polly
1      b       2  monkey  george

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

>>> df = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2', 'K3', 'K4', 'K5'],
...                    'A': ['A0', 'A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5']})
>>> df
  key   A
0  K0  A0
1  K1  A1
2  K2  A2
3  K3  A3
4  K4  A4
5  K5  A5
>>> other = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2'],
...                       'B': ['B0', 'B1', 'B2']})
>>> other
  key   B
0  K0  B0
1  K1  B1
2  K2  B2
>>> df.join(other, lsuffix='_caller', rsuffix='_other')
  key_caller   A key_other    B
0         K0  A0        K0   B0
1         K1  A1        K1   B1
2         K2  A2        K2   B2
3         K3  A3       NaN  NaN
4         K4  A4       NaN  NaN
5         K5  A5       NaN  NaN

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

...(début omis)
                    ------------------------------------------------
      Jekyll 4.3.4   Please append `--trace` to the `serve` command 
                     for any additional information or backtrace. 
                    ------------------------------------------------
/Users/yunseo/.gem/ruby/3.2.2/gems/jekyll-polyglot-1.8.1/lib/jekyll/polyglot/
patches/jekyll/site.rb:234:in `relative_url_regex': target of repeat operator 
is not specified: /href="?\/((?:(?!*.gem)(?!*.gemspec)(?!tools)(?!README.md)(
?!LICENSE)(?!*.config.js)(?!rollup.config.js)(?!package*.json)(?!.sass-cache)
(?!.jekyll-cache)(?!gemfiles)(?!Gemfile)(?!Gemfile.lock)(?!node_modules)(?!ve
ndor\/bundle\/)(?!vendor\/cache\/)(?!vendor\/gems\/)(?!vendor\/ruby\/)(?!en\/
)(?!ko\/)(?!es\/)(?!pt-BR\/)(?!ja\/)(?!fr\/)(?!de\/)[^,'"\s\/?.]+\.?)*(?:\/[^
\]\[)("'\s]*)?)"/ (RegexpError)

...(fin omise)

1
2
3
4
5
6
7
8
9

exclude:
  - "*.gem"
  - "*.gemspec"
  - docs
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - "*.config.js"
  - package*.json

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

    # a regex that matches relative urls in a html document
    # matches href="baseurl/foo/bar-baz" href="/fr/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    # a regex that matches absolute urls in a html document
    # matches href="http://baseurl/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

1
2
3
4
5
6
7
8
9

exclude: # Modifié en référence à l'issue https://github.com/untra/polyglot/issues/204
  # - "*.gem"
  - jekyll-theme-chirpy.gemspec # - "*.gemspec"
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - purgecss.config.js # - "*.config.js"
  - rollup.config.js
  - package*.json

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

  <body>
    {% include sidebar.html lang=lang %}

    <div id="main-wrapper" class="d-flex justify-content-center">
      <div class="container d-flex flex-column px-xxl-5">
        
        (...omis...)

        {% include_cached search-results.html lang=lang %}
      </div>

      <aside aria-label="Scroll to Top">
        <button id="back-to-top" type="button" class="btn btn-lg btn-box-shadow">
          <i class="fas fa-angle-up"></i>
        </button>
      </aside>
    </div>

    (...omis...)

    {% include_cached search-loader.html lang=lang %}
  </body>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

<!-- The Search results -->

<div id="search-result-wrapper" class="d-flex justify-content-center d-none">
  <div class="col-11 content">
    <div id="search-hints">
      {% include_cached trending-tags.html %}
    </div>
    <div id="search-results" class="d-flex flex-wrap justify-content-center text-muted mt-3"></div>
  </div>
</div>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      <div class="post-meta d-flex flex-column flex-sm-row text-muted mt-1 mb-1">
        {categories}
        {tags}
      </div>
    </header>
    <p>{snippet}</p>
  </article>
{% endcapture %}

{% capture not_found %}<p class="mt-5">{{ site.data.locales[include.lang].search.no_results }}</p>{% endcapture %}

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ '/assets/js/data/search.json' | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',
      noResultsText: '{{ not_found }}',
      templateMiddleware: function(prop, value, template) {
        if (prop === 'categories') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div class="me-sm-4"><i class="far fa-folder fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }

        if (prop === 'tags') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div><i class="fa fa-tag fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }
      }
    });
  });
</script>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

---
layout: compress
swcache: true
---

[
  {% for post in site.posts %}
  {
    "title": {{ post.title | jsonify }},
    "url": {{ post.url | relative_url | jsonify }},
    "categories": {{ post.categories | join: ', ' | jsonify }},
    "tags": {{ post.tags | join: ', ' | jsonify }},
    "date": "{{ post.date }}",
    {% include no-linenos.html content=post.content %}
    {% assign _content = content | strip_html | strip_newlines %}
    "snippet": {{ _content | truncate: 200 | jsonify }},
    "content": {{ _content | jsonify }}
  }{% unless forloop.last %},{% endunless %}
  {% endfor %}
]

stateDiagram
  state "Changes" as CH
  state "Build start" as BLD
  state "Create search.json" as IDX
  state "Static Website" as DEP
  state "In Test" as TST
  state "Search Loader" as SCH
  state "Results" as R
    
  [*] --> CH: Make Changes
  CH --> BLD: Commit & Push origin
  BLD --> IDX: jekyll build
  IDX --> TST: Build Complete
  TST --> CH: Error Detected
  TST --> DEP: Deploy
  DEP --> SCH: Search Input
  SCH --> R: Return Results
  R --> [*]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      <h2><a {% static_href %}href="/{{ site.active_lang }}{url}"{% endstatic_href %}>{title}</a></h2>
      {% else %}
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      {% endif %}

(...omis...)

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    {% assign search_path = '/assets/js/data/search.json' %}
    {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      {% assign search_path = '/' | append: site.active_lang | append: search_path %}
    {% endif %}
    
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ search_path | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',

(...suite)