Produit scalaire et norme

Prérequis

• Vecteurs et combinaisons linéaires

Produit scalaire

La définition générale d’un produit scalaire (inner product) sur un $F$-espace vectoriel est la suivante.

Définition du produit scalaire (inner product) et de l’espace à produit scalaire (inner product space)
Considérons un $F$-espace vectoriel $\mathbb{V}$. Un produit scalaire (inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ sur $\mathbb{V}$ est une application qui associe à toute paire ordonnée de vecteurs $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ de $\mathbb{V}$ un scalaire de $F$, et qui satisfait les propriétés suivantes.

Pour tous $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ et tout $c \in F$:

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ (la barre désigne le conjugué complexe)
4. Si $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, alors $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ est strictement positif.

Un $F$-espace vectoriel $\mathbb{V}$ muni d’un produit scalaire est appelé espace à produit scalaire (inner product space). En particulier, si $F=\mathbb{C}$ on parle d’espace à produit complexe (complex inner product space), et si $F=\mathbb{R}$ d’espace à produit scalaire réel (real inner product space).

En particulier, le produit suivant est appelé produit scalaire standard. On vérifie qu’il satisfait bien les quatre propriétés ci-dessus.

Définition du produit scalaire standard
Pour deux vecteurs de $F^n$, $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ et $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$, on définit le produit scalaire standard sur $F^n$ par

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Si $F=\mathbb{R}$, le conjugué d’un réel étant lui-même, le produit scalaire standard devient $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. Dans ce cas particulier, on le note $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ ou $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ et on l’appelle produit scalaire (dot product).

Définition du produit scalaire (dot product)
Pour $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ et $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ dans $\mathbb{R}^n$, le produit scalaire (dot product) sur $\mathbb{R}^n$ est défini par

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Ici, le « produit scalaire » est une opération entre vecteurs, distincte de l’« opération entre un scalaire et un vecteur » traitée dans Vecteurs et combinaisons linéaires, à savoir la « multiplication scalaire (scalar multiplication) ». Les expressions anglaises se ressemblent et, selon la terminologie coréenne normalisée par la Société mathématique de Corée, elles portent exactement le même nom; attention à ne pas les confondre.

Pour éviter toute confusion, nous emploierons autant que possible le terme dot product.

Dans un espace euclidien, le produit scalaire (inner product) coïncide avec le dot product; lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, il est courant d’appeler ce dernier simplement produit scalaire. Stricto sensu toutefois, le produit scalaire est une notion plus générale qui inclut le dot product.

flowchart TD
    A["Produit scalaire (Inner Product)"] -->|contient| B["Produit scalaire standard"]
    B -->|"si F = R (corps des réels)"| C["Produit scalaire (dot/scalar product)"]

    %% Notation d’inclusion
    C -. est inclus dans .-> B
    B -. est inclus dans .-> A

Longueur/norme d’un vecteur

Pour un vecteur $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ de $\mathbb{R}^n$, la longueur euclidienne de $\mathbf{v}$ se définit via le produit scalaire par

\[\| \mathbf{v} \| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \left[ \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \right]^{1/2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\]

Plus généralement, dans un espace à produit scalaire arbitraire, on définit la longueur (length) ou norme (norm) d’un vecteur par

\[\| \mathbf{x} \| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}\]

Dans un espace à produit scalaire quelconque, la norme vérifie les propriétés fondamentales suivantes.

Théorème
Soient $\mathbb{V}$ un espace à produit scalaire sur $F$, $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ et $c \in F$. Alors

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Les deux assertions suivantes sont vraies:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Inégalité de Cauchy–Schwarz (Cauchy–Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (avec égalité si l’un des deux est un multiple scalaire de l’autre)
4. Inégalité triangulaire (triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (avec égalité si l’un est un multiple scalaire de l’autre et, de plus, de même direction)

Angle entre vecteurs et vecteur unitaire

Un vecteur de longueur $1$ est appelé vecteur unitaire (unit vector). Pour deux vecteurs $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ et $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ dans $\mathbb{R}^n$, on a $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, d’où l’on peut déduire l’angle $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) entre $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$:

\[\theta = \arccos{\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\|}}\]

Si $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, on dit que les deux vecteurs sont perpendiculaires (perpendicular) ou orthogonaux (orthogonal).

Si deux vecteurs $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ sont perpendiculaires,

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

En généralisant à un espace à produit scalaire arbitraire, on obtient ce qui suit.

Définition
Considérons un espace à produit scalaire $\mathbb{V}$. Pour des vecteurs $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$, si $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$, on dit que $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ sont orthogonaux (orthogonal) ou perpendiculaires (perpendicular). De plus,

1. Pour une partie $S \subset \mathbb{V}$, si deux vecteurs distincts quelconques de $S$ sont orthogonaux, alors $S$ est un ensemble orthogonal (orthogonal set).
2. Un vecteur $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ tel que $\|\mathbf{x}\|=1$ est appelé vecteur unitaire (unit vector).
3. Si une partie $S \subset \mathbb{V}$ est un ensemble orthogonal et ne contient que des vecteurs unitaires, on l’appelle ensemble orthonormé (orthonormal set).

Une condition nécessaire et suffisante pour que $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ soit un ensemble orthonormé est que $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Multiplier un vecteur par un scalaire non nul ne change pas l’orthogonalité.

Pour tout vecteur non nul $\mathbf{x}$, le vecteur $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ est un vecteur unitaire; multiplier un vecteur non nul par l’inverse de sa longueur pour obtenir un vecteur unitaire s’appelle la normalisation (normalizing).