Transformation linéaire, noyau et image

Prérequis

• Vecteurs et combinaisons linéaires
• Espaces vectoriels, sous-espaces et matrices
• Dépendance et indépendance linéaires, base et dimension
• Injection, surjection

Transformation linéaire

Une fonction particulière qui préserve la structure d’un espace vectoriel est appelée transformation linéaire (linear transformation); c’est une notion fondamentale qui apparaît très fréquemment en mathématiques pures et appliquées, en sciences sociales et naturelles, ainsi qu’en ingénierie.

Définition
Soient $\mathbb{V}$ et $\mathbb{W}$ des $F$‑espaces vectoriels. On appelle transformation linéaire (linear transformation) de $\mathbb{V}$ vers $\mathbb{W}$ toute application $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ qui satisfait, pour tous $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ et $c \in F$, les deux conditions:

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Dire que $T$ est une transformation linéaire se résume souvent à dire que $T$ est linéaire. Une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ vérifie les quatre propriétés suivantes.

1. $T$ linéaire $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ linéaire $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ linéaire $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ linéaire $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Pour montrer qu’une application est linéaire, il est en pratique commode d’utiliser la propriété 2.

L’algèbre linéaire a d’amples applications en géométrie car de nombreuses transformations géométriques importantes sont linéaires. En particulier, les trois transformations clés que sont la rotation, la symétrie et la projection sont linéaires.

Deux transformations linéaires apparaissent tout particulièrement souvent.

Transformation identité et transformation nulle
Pour des $F$‑espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• Transformation identité (identity transformation): l’application $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ définie par $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ pour tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$
• Transformation nulle (zero transformation): l’application $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ définie par $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ pour tout $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$

Bien d’autres notions entrent dans le cadre des transformations linéaires.

Exemples de transformations linéaires

• Rotation
• Symétrie
• Projection
• Matrice transposée
• Dérivation d’une fonction différentiable
• Intégration d’une fonction continue

Noyau et image

Définition: noyau et image

Définition
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• Noyau (kernel): l’ensemble des $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ tels que $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$, noté $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• Image (range): le sous-ensemble de $\mathbb{W}$ constitué des valeurs de $T$, noté $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, l’identité $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ et la transformation nulle $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, on a:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

Point clé pour la suite: le noyau et l’image d’une transformation linéaire sont des sous-espaces.

Théorème 1
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, $\mathrm{N}(T)$ et $\mathrm{R}(T)$ sont des sous-espaces de $\mathbb{V}$ et $\mathbb{W}$ respectivement.

Preuve
Notons $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$ les vecteurs nuls de $\mathbb{V}, \mathbb{W}$.

Comme $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, on a $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. De plus, pour $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ et $c \in F$:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ Puisque $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ et $c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$, $\mathrm{N}(T)$ est un sous-espace de $\mathbb{V}$.

De même, $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$ implique $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$, et comme $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$, on a

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ Puisque $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T)$ et $c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$, $\mathrm{R}(T)$ est un sous-espace de $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

D’autre part, si l’on connaît une base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$, on peut obtenir un ensemble générateur de l’image $\mathrm{R}(T)$ comme suit.

Théorème 2
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ et une base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$, on a:

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Preuve

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Comme $\mathrm{R}(T)$ est un sous-espace, par le Théorème 2 de Espaces vectoriels, sous-espaces et matrices,

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

De plus,

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Puisque $\beta$ est une base de $\mathbb{V}$,

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(où } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

$T$ étant linéaire,

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ Comme à la fois $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ et $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$, on a $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Ce théorème reste valable lorsque la base $\beta$ est infinie.

Théorème de la dimension

Le noyau et l’image étant des sous‑espaces particulièrement importants, on nomme également leurs dimensions.

Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, supposons $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ de dimension finie.

• Nullité (nullity): la dimension de $\mathrm{N}(T)$, notée $\mathrm{nullity}(T)$
• Rang (rank): la dimension de $\mathrm{R}(T)$, notée $\mathrm{rank}(T)$

Pour une transformation linéaire, plus la nullité est grande, plus le rang est petit, et réciproquement.

Théorème 3: théorème de la dimension (dimension theorem)
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$, si $\mathbb{V}$ est de dimension finie, alors

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Preuve

Soient $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$, et soit une base de $\mathrm{N}(T)$ donnée par $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$.

D’après le Corollaire 6-1 de « Dépendance et indépendance linéaires, base et dimension », on peut étendre $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ en une base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$.

Montrons maintenant que $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ est une base de $\mathrm{R}(T)$. D’abord, pour $1 \leq i \leq k$, $T(\mathbf{v}_i) = 0$, donc, par le Théorème 2,

\[\begin{align*} \mathrm{R}(T) &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(S). \end{align*}\]

Autrement dit, $S$ engendre $\mathrm{R}(T)$. Par le Corollaire 5-2 du théorème du remplacement, il suffit de montrer que $S$ est libre pour conclure que $S$ est une base de $\mathrm{R}(T)$.

Si $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (avec $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$), la linéarité de $T$ donne

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \Leftrightarrow T\left(\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \in \mathrm{N}(T).\]

Donc

\[\begin{align*} &\exists c_1, c_2, \dots, c_k \in F, \\ &\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i \\ \Leftrightarrow &\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0. \end{align*}\]

Comme $\beta$ est une base de $\mathbb{V}$, l’unique solution de $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ est

\[c_1 = c_2 = \cdots = c_k = b_{k+1} = b_{k+2} = \cdots = b_n = 0\]

d’où

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad b_i = 0.\]

Ainsi, $S$ est libre et c’est une base de $\mathrm{R}(T)$.

\[\therefore \mathrm{rank}(T) = n - k = \dim{\mathbb{V}} - \mathrm{nullity}(T). \blacksquare\]

Transformations linéaires, injections et surjections

Pour les transformations linéaires, injection et surjection sont étroitement liées au rang et à la nullité.

Théorème 4
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$,

\[T \text{ est injective } \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Théorème 5
Si des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ de dimension finie ont même dimension, alors, pour $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, les quatre propositions suivantes sont équivalentes.

1. $T$ est injective.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ est surjective.

On peut démontrer les Théorèmes 4 et 5 en utilisant le théorème de la dimension, les propriétés 1 et 3 des transformations linéaires, ainsi que le Théorème 6 de « Dépendance et indépendance linéaires, base et dimension ».

Ces deux résultats sont utiles pour déterminer si une transformation linéaire donnée est injective ou surjective.

Pour un espace vectoriel $\mathbb{V}$ de dimension infinie et une transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$, injectivité et surjectivité ne sont pas équivalentes.

Si une transformation linéaire est injective, le théorème suivant peut être utile, selon les cas, pour décider si un sous-ensemble donné est linéairement indépendant.

Théorème 6
Pour des espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, une transformation linéaire injective $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, et un sous-ensemble $S \subseteq \mathbb{V}$, on a

\[S \text{ est linéairement indépendant } \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{ est linéairement indépendant.}\]

Transformations linéaires et bases

Un point crucial: l’action d’une transformation linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur une base.

Théorème 7
Pour des $F$‑espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, une base $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$ et des vecteurs $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$, il existe une unique transformation linéaire $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ telle que

\[i = 1, 2, \dots, n \text{, } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

Preuve
Pour $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, la décomposition en combinaison linéaire par rapport à la base est unique:

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

Définissons $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ par

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

Alors:

i) pour $i = 1, 2, \dots, n$, $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$;

ii) si une autre transformation linéaire $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ vérifie $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ pour $i = 1, 2, \dots, n$, alors, pour $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$,

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

Par i) et ii), la transformation linéaire vérifiant $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ pour $i = 1, 2, \dots, n$ est

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

et elle est unique. $\blacksquare$

Corollaire 7-1
Pour deux espaces vectoriels $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, si $\mathbb{V}$ possède une base finie $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, alors, pour deux transformations linéaires $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$, si $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$ pour $i = 1, 2, \dots, n$, on a $U = T$.
Autrement dit, si deux transformations coïncident sur une base, elles sont égales.