コントリビューター・コヴェナント 3.0 行動規範（Contributor Covenant 3.0 Code of Conduct）の公式韓国語訳を追加する PR: feat(i18n): add Korean translation for Contributor Covenant 3.0 (#1590)

コントリビューター・コヴェナント

コントリビューター・コヴェナント（Contributor Covenant）は、12014年に コーラライン・エイダ・エムキ（Coraline Ada Ehmke） が初めて作成・公開し、12021年からは OES（Organization for Ethical Source） に移管され、そのコントリビューターたちによって保守と改善が行われている、今日の世界で最も広く使われているデジタルコミュニティの行動規範である。コミュニティが共有しうる暗黙の価値観を明文化し、誰もが歓迎され、安全でいられるコミュニティ文化を育むことを目標としている。

かつての開発者コミュニティでは、能力主義という美名のもとで荒い言動や差別的発言などが黙認されることが珍しくなく、コントリビューター・コヴェナントは、開発者コミュニティが自浄作用を経て多様な人々を包摂し、相互尊重と建設的なフィードバックを重視する人間中心の文化へと変わっていく重要な契機となった。今日では、クリエイティブ・コモンズ、Linux、Apple、Mastodon、Microsoft、WordPress、IBM など、世界中の数十万ものオープンソースプロジェクトがこの誓約を採択している。

コントリビューター・コヴェナント3.0への改訂で変わった点

OES は 12024年にコントリビューター・コヴェナント10周年を記念して作業に着手し、約1年の作業を経て 12025年7月に公開した 3.0 版では、前版の 2.1 と比べて次のような主要な変更点がある。

• 参考資料:
  • https://ethicalsource.dev/blog/contributor-covenant-3/
  • https://www.contributor-covenant.org/faq/

柔軟性の拡大

• オープンソースコミュニティに最適化されていた従来版に比べ、ソフトウェア開発以外にもさまざまなオンライン／オフラインコミュニティに適用できるよう設計した
  • e.g. 「プロジェクト保守担当者（Project Maintainers）」 の代わりに、より中立的で包摂的な 「コミュニティモデレーター（Community Moderators）」 という用語を用いている
• アメリカ中心の慣用句を削除し、他文化圏の話者もより容易に理解し翻訳できる明確な表現へ置き換えた

応報的正義から修復的正義へのパラダイム転換

コントリビューター・コヴェナント 3.0 版で前版と比べて最も大きく変わった点の一つは、応報的正義（Retributive Justice） から 修復的正義（Restorative Justice） へのパラダイム転換を成し遂げたことである。従来、段階的な制裁執行基準に集中していた 執行指針（enforcement guidelines） の段落を、被害への対応と修復（Addressing and Repairing Harm） の段落として再構成した。

• 一部の対応段階の名称を変更
• 従来の対応（Consequence）項目に加え、修復（Repair）指針項目を新たに記述し、一次的な加害者制裁にとどまらず、その後どのように当事者間の壊れた関係を回復し、対立を収め、誤りを正すかについても扱うようになった
• 第三者による執行と処罰だけを強調するのではなく、可能であれば自発的な省察と和解、改善を促し、問題発生後にコミュニティを再び健全にする方策を考える方向へと性格が変化した

より明確になった指針

• 標準（Our Standards） 段落を 推奨される行動（Encouraged Behaviors） と 制限される行動（Restricted Behaviors） の二段落に明確に分け、可読性を高めた
• 特に 制限される行動（Restricted Behaviors） 段落では、どのような悪質行為も実際に実行することだけでなく、実行すると脅したり助長したりすることも明示的に制限し、予防力を強化している

  We agree to restrict the following behaviors in our community. Instances, threats, and promotion of these behaviors are violations of this Code of Conduct.

• また 制限される行動（Restricted Behaviors） の下位段落として その他の制限事項（Other Restrictions） を新設し、従来は明示的な制限規定が不十分だった身元の偽装（Misleading identity）と出典の不記載（Failing to credit sources）、宣伝資料（Promotional materials）、無責任なコミュニケーション（Irresponsible communication）に対する制限指針を新たに明記した
• コントリビューター・コヴェナントを実際に採択・運用していたコミュニティ関係者を対象としたアンケートの回答を反映し、段階的執行基準（enforcement ladder）はあくまで一つのベースラインにすぎず、コミュニティ管理者による裁量権行使を制約しないことを明確にした

  This enforcement ladder is intended as a guideline. It does not limit the ability of Community Managers to use their discretion and judgment, in keeping with the best interests of our community.

平等権および差別禁止条項の強化

冒頭段落である 誓約（Our Pledge） における平等権および差別禁止条項を補強し、一部の用語をより包摂的な表現に置き換え、いくつかの現代的な多様性の価値を追加で明記するなど、より具体化した。

• 「身体の大きさ（body size）」と「個人的外見（personal appearance）」という二つの表現を、より包摂的な「身体的特徴（physical characteristics）」に置き換えた
• 「宗教（religion）」を、より包摂的な「思想または宗教（philosophy or religion）」に置き換えた
• 「国籍（nationality）」を、より包摂的な「出身国または社会的背景（national or social origin）」に置き換えた
• 「神経多様性（neurodiversity）」を追加で明記した
• 「言語（language）」を追加で明記し、非英語話者により配慮した
• ジェンダー平等と多様性に関して全体的な文言修正を適用した

  v2.1
  sex characteristics, gender identity and expression, or sexual identity and orientation

  v3.0
  sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation

今回の韓国語翻訳作業で考慮した点

共通の検討事項

敬体の使用

誓約および行動規範を韓国語で書くとき、敬体と常体のどちらを選ぶかは、目指す方向性、組織文化、そして伝えたい態度にかかっている。過去には権威と規律を強調する常体が主流だったが、近年では水平的で尊重し合う文化を強調するため、敬体で書く場合も多い。

過去の議論を見ると、過去に 2.0 版を韓国語に移す際にも最初は敬体が検討されたものの、常体で書き直されたようである。過去の議論とその結論は尊重するが、それでも今回あらためて敬体で翻訳した理由は次のとおりである。

今日のオープンソースコミュニティの文化は、基本的に拘束、厳格さ、強制性をもつ執行などとはやや距離があり、それよりも相互尊重、自発的な参加と貢献などを志向している。今回のコントリビューター・コヴェナント3.0では、とりわけそのような哲学が全体に強く反映されている。今回の改訂で原文が伝えようとした核心的価値と哲学、そしてコミュニティ文化や動向を考慮すると、この文章を韓国語に移す際には敬体が適切だと判断した。同様に敬体を用いている 韓国 Rust ユーザーグループ と PyCon KR 行動規範（PyCon KR CoC）、Kubernetes コミュニティ韓国語行動規範 の事例も参考にした。

不要な受動表現の回避

受動態を頻繁に用いる英語と異なり、韓国語は基本的に受動表現より能動表現を好む言語である。英語原文で受動態が使われていたからといって、これを機械的に受動表現で移すと、いかにも翻訳文らしいやや不自然な文章になり、文法的にも不適切になる。

韓国語でも受動表現をまったく使わないわけではないが、文意を歪めない範囲で、原文では受動態で書かれた表現であっても、韓国語訳ではできるだけ能動表現に移すようにした。

e.g.

• “Encouraged Behaviors”: “장려되는 행동”(X), “장려하는 행동”(O)
• “enforcement actions are carried out in private”: “집행 조치는 비공개로 진행된다“(X), “집행 조치는 비공개로 진행한다“(O)
• “its own established enforcement process”: “자체적으로 확립된 집행 절차”(X), “자체적으로 확립한 집행 절차”(O)
• “the following enforcement ladder may be used”: “다음의 단계적 집행 기준이 사용될 수 있습니다”(X), “다음의 단계적 집행 기준을 사용할 수 있습니다”(O)
• “are provided at”: “에서 제공됩니다“(X), “에서 제공합니다“(O)

辞書的機械的な語の翻訳よりもその語が文章の中で使われる文脈を考慮する

英語と韓国語はかなり距離のある言語であるため、当然ながら単語と単語が正確に一対一で対応するわけではない。辞書上は同じ意味だとされていても、それは同じである。

たとえば、次の箇所での “intimate” は、文脈上 “친밀한” ではなく “성적인” の意味で使われている。

Sexualization. Behaving in a way that would generally be considered inappropriately intimate in the context or purpose of the community.

また、次の箇所で “process” を辞書的に “처리할” と訳すと不自然である。文章の文脈上、ここでの “process” は “추스를” と移すのが適切である。

… give the community members involved time to process the incident.

(표준국어대사전 표제어 중)

추스르다「3」: 일이나 생각 따위를 수습하여 처리하다.

一方で、移しうる固有語表現がぴったり存在しない外来語もある。たとえば “community” の場合、固有語に移すなら “공동체” ほどにもできるが、英語における “community” という語のニュアンスと、韓国語における “공동체” という語のニュアンスにはかなり差があると判断した。できるだけ外来語は固有語に言い換えて書くようにしたが、このように原文の意味やニュアンスを歪めるおそれが大きいと判断した場合には “커뮤니티” のようにそのまま維持した。

このような点を考慮し、辞書的・機械的な語の単純置換作業をするのではなく、原文の意味と文脈に最も近い韓国語表現を選んで翻訳するよう努めた。

そのほか韓国語の語文規範の順守

ハングル正書法や標準語規程など、韓国語の語文規範をできるだけ正確に守るよう努めた。

“서약(Our Pledge)” 段落

小見出し

“Our Pledge” を直訳すると “우리의 맹세” になるが、既存の韓国語訳では “서약” と移されており、文章の自然さを考えても十分に許容範囲だと判断したため、今回も “서약” のまま維持した。

“caste” という語の翻訳

既存の 2.1 版韓国語訳では、これをそのまま “카스트 제도” と訳している。caste という語には 世界各地の精緻に固定化された身分秩序制度 を指す学術的一般名詞としての意味もあるため、必ずしも誤訳とまでは言えないが、そのような詳しい背景情報が与えられていない状況で、日常的に韓国語で “카스트 제도” と言えば、大多数は「マヌ法典などに由来するインドのヒンドゥー教徒特有の身分制」と理解するため、原文の文脈を考慮して “계급” と訳した。ここでの “caste” は、特定の国家（インド）や宗教（ヒンドゥー教）に限定されず、あらゆる種類・形態の身分制とそれに伴う階級を意味すると解釈するのが妥当である。

“성별” 대신 “성” 표현 사용

We are committed to fostering an environment that respects and promotes the dignity, rights, and contributions of all individuals, regardless of … sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation … or other status.

原文が伝えようとしている価値と文脈を考えると、ここでいう “sex”, “gender”, “sexual orientation” などが意味するものは、男女二分法による区別ではないはずである。したがって、男女二分法による区分の意味をほのかに含意する “성별” ではなく “성” という語を用い、人文社会学的に sex, gender, sexuality の三語が持つ意味の差をできるだけ生かして、次のように訳した。

… 생물학적 또는 사회적 성, 성 정체성 또는 성 표현, 성적 지향…

“장려하는 행동(Encouraged Behaviors)” および “제한하는 행동(Restricted Behaviors)” 段落

コロン（:）の削除

With these considerations in mind, we agree to behave mindfully toward each other and act in ways that center our shared values, including:

1. Respecting the purpose of our community, our activities, and our ways of gathering.
2. Engaging kindly and honestly with others. …

英語原文では、完結した一文の後に例示の一覧を並べる目的で上のようにコロンを使う用法がよく見られるが、現代韓国語の語文規範では、コロンの用法は見出しの後に該当項目を挙げたり説明を付けたりする場合など、主として箇条書き調の表現に限定される。したがって、最初から箇条書き形式で書いた文章ならともかく、次のように書くのは非常に不自然であり、機械翻訳や LLM で雑に訳したという印象を与えやすい。個人的には、2.1 版の韓国語訳でもかなり惜しかった点の一つである。

이러한 점을 유념하며, 우리는 서로를 사려 깊게 대하고 우리가 공유하는 다음 가치를 중심으로 행동할 것에 동의합니다:

1. 우리 공동체의 목적, 활동 및 모임 방식을 존중합니다.
2. 친절하고 정직하게 다른 사람들과 소통합니다. …

そのため、韓国語の用法に合わせ、コロンを使っていた部分をそのままコロンで移すのではなく、ピリオド（.）に置き換えて自然な文章になるようにした。

“that would generally be considered inappropriately” という表現の翻訳

ここで “generally” は “일반적으로” と直訳するよりも、文脈上より自然な “대부분의 사람들에게” と訳した。

…대부분의 사람들이 부적절하다고 간주할 만한…

“act on” という表現の翻訳

当初は “act on” を単純に “이용하다” と訳すことも考えたが、文脈上、意図を問わず他人の身上情報または個人的情報をもとに行う あらゆる行為を禁じる内容に近く、これを “이용하다” と訳すと意味を狭めてしまうように思われたため、次のように訳した。

비밀 침해. 타인의 신상 관련 정보 또는 개인적인 정보를 당사자의 허락 없이 공유하거나, 그 정보를 바탕으로 행하는 모든 행위.

“문제 신고(Reporting an Issue)” 段落

• “this Code of Conduct reinforces encouraged behaviors and norms that …”: “본 행동 강령은 …는 권장 행동 방식과 규범을 증진합니다“로 번역
• “in a timely manner”: “적시에”로 번역
• “while prioritizing safety and confidentiality”: “안전과 비밀 유지를 우선시한다는 전제 하에”로 번역
• “In order to honor these values”: “이들 가치를 지키기 위해”로 번역

  (Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

  honor verb
  keep promise 3. honor something (formal) to do what you have agreed or promised to do

“피해 대응 및 교정(Addressing and Repairing Harm)” 段落

• “Addressing”: “대응”으로 번역
• “Repairing”: “교정”으로 번역

Event:, Consequence:, Repair: の翻訳

韓国語に移すのが微妙で、かなり悩んだ箇所である。”사건”, “결과”, “교정” と直訳すると、文章がかなり不自然になる。

自然な文章でありつつ、原文の哲学を可能な限り損なわずに伝えるため悩んだ末、次のように訳した。

• “Event”: “적용 상황” と訳した。
• “Consequence”: “대응 조치” と訳した。
• “Repair”: 当初は “회복 조치” を検討したが、”조치” という表現は、当事者の自発的な省察と改善よりも、他者が介入して執行するというニュアンスがあり、原文の趣旨に反すると考えて退けた。最終的には “교정 노력” と訳した。

“seeking clarification on expectations” という表現の翻訳

“expectations” は “기대 사항” と直訳することもでき、そうしても意味は通るが、より滑らかな文章にするため “준수 사항” と訳した。

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

expectation noun
3. [countable, usually plural] a strong belief about the way something should happen or how somebody should behave

“seeking clarification” は “해명(clarification) 요구(seeking)” と訳すこともできるが、文脈上、修復努力（Repair）項目では問題を起こした人が取るべき望ましい事後行動と態度を記しているため、clarification, seeking をそれぞれ 해명, 요구 と訳すと意味がおかしくなる。ここでは、自ら反省し同じ過ちを繰り返さないために、준수 사항（expectations）を 명확히 확인하고 숙지하기（clarification） 위한 노력（seeking）と訳すのが最も適切だと考えた。

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

seek verb
2. [transitive] to ask somebody for something; to try to obtain or achieve something

clarification noun
[uncountable, countable] (formal)
the act or process of making something clearer or easier to understand

• I am seeking clarification of the regulations.

“cooldown” という表現の翻訳

辞書的には冷却、（本運動後の）クールダウン、鎮静などの意味があり、ここでは文脈上「落ち着く」「頭を冷やす」に最も近い意味で使われている。

ただし、”time-limited cooldown period” を “한시적 진정 기간” と移すと少し不自然なので、今回の韓国語訳では “cooldown period” を “자숙 기간” と訳した。

“time to process the incident” という表現の翻訳

前述のとおり、”해당 일을 추스를 시간” と訳した。

“suspension” および “ban” という表現の翻訳

既存の 2.1 版韓国語訳では “ban” を “제재” と訳していたが、제재 とは下位段階である警告や一時的活動制限など、違反行為に対して取りうるあらゆる措置を包括する意味であるため、何を指すかが曖昧である。そして英単語 “ban” はその意味が停止する、禁止するで明確であるうえ、「（アカウントなどの）永久停止」という表現は韓国語でも日常的によく使う自然な表現なので、あえてこれを避けて意訳する理由もないと考えた。

“suspension” も同様で、停職、停学など「停止」という意味が明確であり、あえて意訳する必要がない。

したがって “Temporary Suspension”, “Permanent Ban” は、それぞれ “일시적 정지”, “영구 정지” と訳した。

“This enforcement ladder is intended as a guideline.” という文の翻訳

“enforcement ladder” という表現は “단계적 집행 기준” と訳した。またこの文は、上述した段階的執行基準が、あくまで複数ある選択肢の一つとして提示されるものであり、コミュニティ管理者の裁量と決定権を保障するという文脈で使われているため、冠詞 “a” を “하나의” と訳した。そこで翻訳文では次のように書いた。

이 단계적 집행 기준은 하나의 기준선으로 마련한 것입니다. 이는 커뮤니티의 최선의 이익에 부합하는 커뮤니티 관리자의 재량권과 판단 권한을 제한하지 않습니다.

おわりに

この種の公益的性格をもつ文書やプロジェクトの多くは、ボランティアやコントリビューターによって複数言語への翻訳作業が進められることが少なくない。しかし残念ながら、韓国語訳の場合はコントリビューターがいなくて翻訳版そのものが存在しなかったり、存在していても機械的に訳したことが見て取れる不自然な文章であったりして、韓国人であるにもかかわらず「いっそ英語で読んでしまおう」と思って英語ページに切り替えた経験が少なからずあった。

今回、韓国語翻訳への貢献を決めて作業しながら、どうせ貢献するなら、読む人が「韓国人の著者が最初から韓国語で書いた文章だ」と言われても違和感を覚えない程度の、質の高い翻訳文を出したいと努めた。原文が込めた哲学と微妙な文脈、特に既存の 2.1 版に比べて今回の 3.0 版ではどのような表現が変わっており、原著者たちがなぜそのような選択をしたのかを理解し、それを訳文に溶け込ませようと考えた。

自然言語の性質上、翻訳というものは、同じ原文を入力として与えられたからといって関数のように同じ出力が出てくるものではない。翻訳者ごとに少しずつ異なる訳が出てくるものであり、これは翻訳者の力量も力量だが、本質的には唯一の定まった正解がない翻訳、ひいては作文という営みの性質に由来する。最近の私は、ほとんどあらゆる作業に AI を補助的に活用しており、今このブログの記事さえ LLM API をつないで複数言語に自動翻訳・公開している。しかし今回のこの作業だけは、本当に気合いを入れてきちんとした、自分にできる最善の翻訳をしたいと思った。一つ一つの表現を自分で何度も見直し、どの表現を使えば原文の意味を最も歪めず、しかも自然に盛り込めるかを考え、その結果として、自分の主観的ではあるが最善の判断と解釈を反映した訳を出した。誰も彼もが AI を活用する今、少なくともこのような誓約や行動規範のような重要文書の翻訳においては、AI に原文をそのまま投げて訳してもらった結果物に対して比較優位があってこそ、翻訳版としての価値があると信じている。少なくとも 12026年3月時点の現在、機械翻訳や LLM では十分に生かしきれない原文の微妙なニュアンスや文脈などを、今回の翻訳版では十全に保存できたと自負している。

12026年3月20日現在、コントリビューター・コヴェナント 3.0 版は、英語原文と今回私が提出するこの韓国語訳を除けば、ベンガル語、ドイツ語、中国本土の中国語のわずか3言語でしか翻訳が完了しておらず、開いている PR の一覧を見ると、翻訳版の草案が PR として提出されてはいるものの、レビューアがいないため最終承認に至っていない言語も多い。3.0 版どころか、いまだに 1.4 版にとどまっている言語もかなり多い。どのような理由であれこの文章を読む韓国語以外の言語話者がいるなら、貢献方法はそれほど複雑ではないので、週末などに1日ほど時間を取って貢献してくれれば、きっと OES とその言語の利用者たちに大きな助けになるだろう。私もこのような翻訳作業に貢献した経験も、行動規範全文を通読したのも今回が初めてだったが、数時間ほど時間をかける価値は十分にある作業だったと思う。韓国は総人口に比べて GitHub などのオープンソースコミュニティで活発に活動する開発者数がかなり多い国に属するが、それだけに、今回翻訳して提出したコントリビューター・コヴェナント 3.0 行動規範の 韓国語訳版 についても、ほかの韓国の方々がレビューに参加し、さらにできれば多くの方々にさまざまな場所で有用に採択・活用してもらえればうれしい。

OES のブログ記事で引用されている ネイサン・シュナイダー（Nathan Schneider）教授 の言葉のとおり、コントリビューター・コヴェナント（Contributor Covenant）は、責任ある透明なコミュニティを構築するうえで不可欠な土台として機能し、実際に対立の解消にも寄与してきた。慣例的に GitHub などで “Add a code of conduct” ボタンを押してテンプレートを貼り付けることが多いだろうが、GitHub が自動提供するテンプレートは、なぜか 2.0 版を最後に更新されていない。3.0 版は、従来の 2.0、2.1 版に比べて大きな変化と改善があったので、せっかくなら 公式ページ を通じて最新版本を採択してみてはどうかと勧めたい。内容も実際にはそれほど長くないので、その過程で一度くらい全文をじっくり読んでみれば、なおさら意味があると思う。コントリビューター・コヴェナント 3.0 行動規範と、今回作業した 韓国語訳版 に多くの関心を寄せてもらえることを願い、ここで筆を置く。

IR資料とは？

IRはInvestor Relationsの略であり、投資家に向けて企業を説明・PRし、関係を構築して投資を呼び込むために必要なあらゆる資料と活動を包括的に指す用語である。IR資料という場合、一般には資金調達のために企業が投資家へ提示する紹介資料を意味する。

IR資料に入れるべき内容

IR資料の目的は投資誘致であるため、投資家の視点から「なぜこの会社に投資すべきか」を説得力をもって示す必要がある。したがって、サービス概要、市場環境、製品/サービス説明、競争環境、実績、事業モデル、今後の成長計画、チーム構成など、事業全体に関わる内容を含めるべきである。

• ピッチデック（Pitch Deck）:
  • 短く強く、幅広い潜在投資家にポジティブな第一印象を残すことが目的
  • 初期段階の資金調達で使用
  • スライド10〜15枚程度で、簡潔かつ視覚的な資料中心で構成
• IRデック（IR Deck）:
  • 会社の深い財務情報と長期戦略を提供
  • ある程度関心を示し始め、意思決定を控えた専門投資家に提供
  • 投資家がより深い評価と判断を下せるようにする
  • スライド20〜30枚程度で、より具体的な財務計画、市場分析、チーム構成、競合分析など詳細情報を提供

ミッション/ビジョン（Mission/Vision）

• 当社が提供しようとする本質的な価値は何か？

会社の核となるアイデンティティと言える部分であり、IR資料の最初に、当社のミッションとビジョンをそれぞれ1文で、簡潔かつ明確に表現するのがよい。

サービス概要

課題（Problem）

• 当該サービスが解決しようとする市場の課題は何か？
• 消費者はその課題をどれほど不便だと感じているか？
• その課題はなぜ重要なのか？
• 課題解決への需要はあるか？ターゲットは誰か？

ソリューション（Solution）

• 先に述べた課題を具体的にどう解決するのか？
• 既存手法と比べて、消費者および最終ユーザーが得られる利点は何か？

投資家が当該分野の専門家でないケースも多いため、開発者の視点ではなく消費者の視点でサービスを説明し、技術的な詳細は後で質問が来た場合などに個別対応するのがよい。

市場規模（Market Size）

市場規模を金額で直接設定すると、算出方法や複数の変数によって結果が大きく変わり得るうえ、反論が出るリスクも比較的大きい。
潜在ユーザー数、取引回数/頻度などの別指標を設定して提示すると、より安全かつ効果的に市場規模を示せる。

• TAM（Total Addressable Market, 全体市場）: すべての競合を排除して世界市場シェア100%を達成するという理想的状況を仮定し、製品・サービスを全世界に提供する場合に理論的に到達可能な最大市場規模
• SAM（Service Available Market, 有効市場）: 地理的・インフラ的・規制的制約を考慮したうえで現実的にサービス提供が可能で、当社が実際に狙う範囲の市場規模
• SOM（Service Obtainable Market, 収益市場）: 競争環境、会社の実行能力、マーケティング戦略などを考慮したとき、SAMの中でも初期に実際に獲得できる市場規模

市場規模を推計する際、全体市場や有効市場の規模については第三者の市場調査資料を引用して具体的な数値・指標を示しつつ、肝心のスタートアップにとって当面重要な収益市場規模については「当該市場でシェアを何%達成すれば売上はいくらになる」という形で説明することが多い。正直に言うと、私も起業準備を始めた頃に社内で最初に作ったIR資料のドラフトでは、このように書いていた。

しかしこのやり方の問題は、投資家の立場からすると「市場の何%を取るか」という計画は信頼しにくい点にある。サービスを出したからといって簡単に市場を獲れるわけでもなく、漠然と当該市場の全構成員を対象にシェア何%を達成すると言っても説得力に欠ける。

狙う全体市場および有効市場が十分大きいことを示すと同時に、初期顧客層（Immediate Market）をどう捉えているか、そしてその後どの顧客層を段階的に追加攻略して収益市場を拡大していくのか、その論理を提示することが重要である。

事業タイミング

• 事業においてタイミングも非常に重要
• なぜ「今」この事業がうまくいき得るのか、なぜ「今」投資すべきなのかを投資家に説明できなければならない
• 技術的実現可能性、人々の行動様式の変化、社会的潮流、環境変化など、今この事業を実行するのに適している理由を提示すべき

製品/サービス説明（Product）

• 製品/サービスの主要な特徴・機能は何か？
• 具体的な動作方式、例は何か？

事業モデル（Business Model）

• どのように収益を得るのか？
• 誰が支払うのか？（最終ユーザーと支払者が常に一致するとは限らないため、実際に売上を発生させる顧客が誰かを明確にすべき）
• どこを課金するのか？価格設定はどうするのか？

競争環境（Competition）

• 主要な競合は誰か？
• 顧客の視点で、他社のサービス/製品に比べて当社のサービス/製品がどの点で優れており、どんな強みがあるか？
• どのサービスを競合サービスと定め、どの顧客を主要ターゲットとするのか？

競合をきちんと分析してこそ、投資家に対して市場状況を把握していることを効果的にアピールできる。

実績および市場参入戦略（Go-to Market Strategy）

• 事業成功において最も重要なKPIは何か？
  • e.g. 注文件数、月間アクティブユーザー（MAU）、月間取扱高 など
• その指標を中心に、どのような実績があったか？
• 会社の主要なマーケティング手段・チャネルは？
• 新規顧客獲得の手段とコストはいくらか？
• *顧客生涯価値（LTV）はいくらか？

*顧客生涯価値（Customer Lifetime Value, LTV）: 1人のユーザーが当該サービスを利用する全期間にわたって、総額いくらの利益をもたらすかを数値化したもの

KPI以外の付随的な指標は除くのがよい。

まだ売上のない超初期フェーズのスタートアップであれば

• 提供したいサービスの損益分岐点を設定して提示
• このとき収益関連指標を盛らず、保守的な観点で現実的に設定すべき
• 収益発生初年度の収益シナリオを提示し、その後数年間の売上計画を添えて、実際に継続成長できる確信を与えるのがよい
  • 1年の短期予測
  • 3年の中期予測
  • 5年の長期予測
• 内容を一目で確認できるよう、グラフや表を積極的に活用
• 仮説検証スライドを含め、なぜそのKPIと売上シナリオを設定したのかを説得力をもって提示し、根拠を強化するのがよい
  • 複数回の実験と仮説検証を通じて、想定売上シナリオに対する堅固な根拠を用意すべき

チーム構成（The Team）

• 全員を紹介するのではなく、代表自身を含め、核心的役割を担う主要メンバー中心に紹介
• 経歴・スキルは2〜3個程度に絞り、ロゴ等を活用して可読性よく提示
• 重要な役割を果たしてくれた/果たしている投資家や顧問がいれば、併せて記載するのもよい

今後の成長計画（Milestones）

• 時期別・フェーズ別に達成したい目標を提示
• 次の投資ラウンドまでの目標を設定するのが一般的（シードならシリーズA前まで、シリーズAならシリーズB前まで）
• 希望調達額と資金使途を提示
• このとき、区分単位を半年以上のように長く取りすぎず、2か月程度の単位で区切って提示

財務計画（Financials）

IRデックの場合、財務計画を含める必要がある。

• 今後3〜5年の財務計画表
• ユニットエコノミクス（Unit Economics）: 顧客単位あたりの収入とコスト
• バーンレート（Burn rate）: スタートアップにおける現金支出（創業費、研究開発費、その他費用など）のペース/比率
• 総収入と総費用
• EBITDAまたはキャッシュフロー計算書 など

• 非現実的な財務計画を提示しないよう注意すべき
• 予想売上は過大評価、必要コストは過小評価しがちなので、予想売上規模の算定は慎重に行うべき
• 必要コストは製品/サービス開発費および運営費などを考慮し、可能な限り正確に見積もる

投資ステージ別に強調すべきポイント

シード

• MVPを開発して市場反応を確認し、事業モデルの妥当性を検証する段階
• 初期仮説と事業モデル検証結果、MVP実験結果とそれに伴う売上を集中的に強調すべき

Pre-A

• 成長可能性を証明し、プロダクト開発・マーケティング・採用などに必要な追加資金を確保すべき段階
• 事業の主要KPIは何か、どのような活動を通じてどれだけ成長しているか、今後の成長可能性についての説明が必要

シリーズA

• 本格的に成長し、企業価値を高めていく段階
• この時点では仮説検証が終わっているべきであるため、事業成果の定量的結果で投資家の信頼を獲得すべき

いくつかのTips

• 最初の5枚は特に力を入れ、第一印象をポジティブにできるようにする
• 1枚目のミッション/ビジョンは最終スライドにもう一度入れるのもよい
• すべての内容は結論ファーストで伝える
• 投資対象は会社であるため、IR資料でもサービス名より会社名を優先する
• IR資料を読む潜在投資家は業界関係者とは限らないため、できるだけ易しい用語で噛み砕いて説明し、やむを得ず専門用語を使う場合は補足説明を付ける
• 市場課題とソリューションは混同せず分ける
• テキストはキーワード中心にし、画像を使う場合はスクリーンショットの多用を避けて可読性を高める
• 正確かつ具体的な数値は表やグラフで記載する
• チーム紹介、希望調達額と資金使途を漏らさないよう注意する
• 投資回収戦略も併せて提示するとよい
• 株主構成比率の計画も、完璧でなくても簡潔に提示する
• 本文に資料を詰め込みすぎず、必要なら別添資料として分ける
• 最終スライドには連絡先（メール、電話番号、氏名）を記載する
• フォントも非常に重要なので、Pretendardなど可読性の高いフォントを使い、崩れないようPDFで用意する

参考資料

企業開示チャネル KIND

https://kind.krx.co.kr/corpgeneral/irschedule.do?method=searchIRScheduleMain&gubun=iRMaterials

• 韓国取引所が運営する企業開示チャネル
• KOSPI、KOSDAQ、KONEXに上場する企業の開示情報を提供
• 上場企業のIR資料を確認でき、最近作成された他社IR資料の構成方法を確認できる

暗号学とは

暗号学（cryptography）とは本質的には、敵対的な行為からプロトコル（protocol）を防御することを目的とする、科学の一分野である。

ここで言うプロトコルとは、1人以上の人間が何かを達成するために従うべき手順のリストである。たとえば、デバイス間でクリップボードを共有したいとしよう。次のような手順は、クリップボード共有のためのプロトコルの一例である。

1. いずれかのデバイスでクリップボードに変更があったら、その内容をコピーしてサーバにアップロードする。
2. サーバは、共有クリップボードに変更があったことを他のデバイスに通知する。
3. 他のデバイスは、その共有クリップボードの内容をサーバからダウンロードする。

ただし、これは良いプロトコルとは言えない。クリップボードの内容を平文のままサーバにアップロードし、またダウンロードする場合、通信の途中で第三者が、あるいはサーバ運営側がその内容を盗み見ることができてしまうからである。ここで、クリップボードの内容を盗み見ようとする敵の存在を考慮し、防御することが暗号学の役割である。

対称鍵暗号

対称鍵暗号化

アリス（Alice）がボブ（Bob）に手紙を送らなければならない状況を考えよう。アリスはボブに機密情報を伝えるため、伝令（messenger）に手紙を持たせて届けるよう命じる。 しかしアリスは伝令を完全には信頼しておらず、伝えるメッセージが、手紙を運ぶ伝令を含めてボブ以外のすべての人に対して秘密に保たれることを望んでいる。

このような状況で使うために昔から発明されていた暗号アルゴリズムが、まさに対称鍵暗号アルゴリズム（symmetric encryption algorithm）である。

プリミティブ（primitive）
プリミティブ（primitive）という単語は、辞書的には「原始的な」「原始的なもの」という意味を持つ。 暗号学でもこのプリミティブという用語がよく使われるが、ここでのプリミティブとは、暗号システムを構成する最小単位の関数やアルゴリズムを意味する。 「基本要素」「基盤となるロジック」といった程度に捉えることができる。

次の2つの関数を提供するあるプリミティブを考えてみよう。

• ENCRYPT: 秘密鍵（secret key）（通常は大きな数）とメッセージ（message）を入力として受け取り、一連の数列を暗号化されたメッセージとして出力する関数
• DECRYPT: ENCRYPT の逆関数で、同じ秘密鍵と暗号化されたメッセージを入力として受け取り、元のメッセージを出力する関数

このような暗号プリミティブを用いて、伝令を含む第三者がアリスのメッセージを読めないよう隠すには、まずアリスとボブが事前に会って、どの秘密鍵を使うかを決めておく必要がある。その後、アリスは ENCRYPT 関数を使い、取り決めた秘密鍵でメッセージを暗号化し、この暗号化されたメッセージを伝令を介してボブに届ける。ボブは同じ秘密鍵を使って DECRYPT 関数を適用し、元のメッセージを得る。

このように秘密鍵を用いて対象を暗号化し、見た目には意味のないノイズと区別がつかないようにする過程は、暗号学においてプロトコルを保護する一般的な方法である。

対称鍵暗号化は、対称鍵暗号（symmetric cryptography）あるいは秘密鍵暗号（secret key cryptography）と呼ばれる、より大きなカテゴリの暗号アルゴリズムに属し、場合によっては鍵が2つ以上になることもある。

ケルクホフスの原則

今日の私たちは、紙の手紙よりはるかに強力な通信手段であるコンピュータとインターネットを使って、ほぼリアルタイムにやり取りできる。しかし、言い換えれば悪意ある「伝令」もまた強力になったということでもある。それはカフェなどの安全でない公共Wi‑Fiかもしれないし、通信事業者（ISP）をはじめインターネットを構成しメッセージを伝達するさまざまな通信機器やサーバ、政府機関、さらにはアルゴリズムを実行している自分自身のデバイスの中に潜んでいるかもしれない。敵はより多くのメッセージをリアルタイムに観察し、気づかれないようナノ秒単位でメッセージを改ざん・盗聴・検閲できる。

長年の試行錯誤を経て、信頼できる安全性を備えるための大原則が導かれた。それは、プリミティブを公開の場で分析しなければならないということである。これと対比される方法論は秘匿による安全性（security by obscurity）と呼ばれ、その限界は明らかであり、今日では廃れている。

この大原則を初めて定式化したのは、11883年にオランダの言語学者かつ暗号研究者であったオーギュスト・ケルクホフス（Auguste Kerckhoffs）であり、ケルクホフスの原則（Kerckhoffs’s principle）と呼ばれる。同じ原則を、アメリカの数学者・計算機科学者・暗号研究者であり情報理論の父であるクロード・シャノンは「敵はシステムを知っている（The enemy knows the system）」、すなわち「システムを設計する際には、そのシステムが敵に把握されると仮定しなければならない」と表現した。これはシャノンの格言（Shannon’s maxim）と呼ばれる。

暗号方式の安全性は鍵の秘匿性のみに依存すべきであり、暗号方式自体が知られても問題があってはならない。むしろAESの例のように積極的に公開し、多くの暗号解析者（cryptanalyst）によって検証されるようにしなければならない。秘密というものは常に漏洩の危険があり、したがって潜在的な故障点となるため、秘密として保持しなければならない部分が小さければ小さいほど、防御側にとって有利である。暗号方式のような大きく複雑なシステム全体を長期間秘密に保つことは非常に難しいが、鍵だけを秘密に保つことは比較的容易だからである。さらに、仮に秘密が漏洩したとしても、暗号方式全体を入れ替えるよりも、漏洩した鍵だけを新しい鍵に差し替えるほうがはるかに簡単である。

非対称鍵暗号

多くのプロトコルは、実際には対称鍵暗号に基づいて動作している。しかしこの方式は、鍵を決めるために参加者2人が最初に一度は直接会わなければならないことを前提としている。そのため、事前に鍵をどのように決定し、安全に共有するかが問題となり、これを鍵配布（key distribution）と呼ぶ。鍵配布問題は長らく難題であったが、11970年代後半に非対称鍵暗号（asymmetric cryptography）あるいは公開鍵暗号（public key cryptography）と呼ばれる暗号アルゴリズムが開発されて、ようやく解決された。

代表的な非対称鍵暗号プリミティブとして、鍵共有（key exchange）、非対称鍵暗号化（asymmetric encryption）、電子署名（digital signature）がある。

鍵共有

鍵共有は概略的には次のように動作する。

1. アリスとボブが、あるパラメータ集合 $G$ を共通に使うことに合意する。
2. アリスとボブが、それぞれが用いる秘密鍵（private key） $a, b$ を決める。
3. アリスとボブは、はじめに合意した共通パラメータ $G$ にそれぞれの秘密鍵 $a$, $b$ を組み合わせて公開鍵（public key） $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$ を計算し、それを公開の場で共有する。
4. アリスはボブの公開鍵 $B = f(G,b)$ と自分の秘密鍵 $a$ を使って $f(B,a) = f(f(G,b),a)$ を計算し、ボブも同様にアリスの公開鍵 $A = f(G,a)$ と自分の秘密鍵 $b$ を使って $f(A,b) = f(f(G,a),b)$ を計算する。
5. ここで $f(f(G,a),b) = f(f(G,b),a)$ という性質を持つ適切な $f$ を用いれば、最終的にアリスとボブは同じ秘密を共有することになる。一方で第三者は $G$ と公開鍵 $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$ を知っているものの、それだけでは $f(A,b)$ を求めることができないため、秘密は保たれる。

通常は、このようにして共有した秘密を対称鍵暗号化の秘密鍵として用い、その後のメッセージのやり取りに利用する。

最初に発表され、かつ最も代表的な鍵共有アルゴリズムは、考案者2人の姓であるディフィー（Diffie）とヘルマン（Hellman）にちなみ命名されたディフィー–ヘルマン鍵共有アルゴリズムである。

しかし、ディフィー–ヘルマン鍵共有にも限界がある。攻撃者が公開鍵共有の段階で、公開鍵 $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$ を途中で傍受し、自分のもの $M = f(G,m)$ に差し替えてアリスとボブに渡す状況を考えよう。この場合、アリスと攻撃者は偽の秘密 $f(M, a) = f(A, m)$ を、ボブと攻撃者は別の偽の秘密 $f(M, b) = f(B, m)$ を共有することになる。こうなると、攻撃者はアリスの前ではボブのふりをし、ボブの前ではアリスのふりをすることができる。このような状況を中間者（man-in-the-middle, MITM）がプロトコルの攻撃に成功したと言う。このため鍵共有は信頼性の問題自体は解決せず、あくまで参加者が多い場合に手続きを単純化する効果を持つにとどまる。

非対称鍵暗号化

ディフィー–ヘルマン鍵共有アルゴリズムの発明の後、すぐに後続の発明がなされた。それが、発明者であるロナルド・リベスト（Ronald Rivest）、アディ・シャミア（Adi Shamir）、レナード・アデルマン（Leonard Adleman）の姓の頭文字を取って命名されたRSAアルゴリズム（RSA algorithm）である。RSAは公開鍵暗号化（非対称鍵暗号化）と電子署名という2つのプリミティブを含み、どちらも非対称鍵暗号の一部である。

非対称鍵暗号化の場合、機密性を確保するためメッセージを暗号化するという基本的な目的は対称鍵暗号化と似ている。しかし、暗号化と復号の両方に同じ共通鍵を用いる対称鍵暗号化とは異なり、非対称鍵暗号化は次のような特徴を持つ。

• 公開鍵と秘密鍵という2種類の鍵で動作する。
• 誰でも公開鍵を使って暗号化できるが、復号できるのは秘密鍵を持つ人だけである。

1. 誰でも中にメッセージを入れて施錠できるが、一度鍵をかけるとボブが持つ鍵（秘密鍵）でしか開けられない開いた箱（公開鍵）が存在する。
2. アリスは送りたいメッセージを箱に入れて鍵をかけ（暗号化し）、ボブに送る。
3. ボブは、鍵のかかった箱（暗号化されたメッセージ）を受け取り、自分の持つ鍵（秘密鍵）で箱を開けてメッセージを取り出す（復号する）。

電子署名

RSAは非対称鍵暗号化だけでなく電子署名も提供する。この電子署名プリミティブは、アリスとボブの間の信頼構築に非常に大きく貢献した。メッセージに署名するときには自分の秘密鍵を用い、他者がその署名の真偽を確認するときには、署名付きメッセージと署名、そして署名者の公開鍵を使って検証する、という形で動作する。

暗号学の効用

暗号学の目的は敵対的な行為からプロトコルを保護することであるから、そのプロトコルが達成しようとする目標が何かによって、暗号学の効用が決まる。ほとんどの暗号プリミティブやプロトコルは、次のうち1つ以上の性質を持つ。

• 機密性（confidentiality）: 見てはいけない人から、情報の一部を隠し保護する。
• 認証（authentication）: 会話相手を識別する（例: 受け取ったメッセージが本当にアリスから送られたものか確認する）。

暗号学エコシステム

flowchart TD
    Alice[暗号研究者]-- プリミティブ発明 -->Primitive(新しいプリミティブの提案)
    Alice-- プロトコル発明 -->Protocol(新しいプロトコルの提案)
    Alice-. コンテスト開催 .->C(アルゴリズムコンテスト)

    David[民間産業界]-. 資金提供 .->Alice
    David-. コンテスト開催 .->C

    Eve[政府機関]-. 資金提供 .->Alice
    Eve-. コンテスト開催 .->C

    Primitive --> t1{"実装可能か？"}
    t1-- はい -->Protocol
    t1-- いいえ -->term1@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Protocol-- コンテスト参加 -->C
    Protocol-- 標準化 -->Standard(標準)
    Protocol-- 特許出願 -->Patent(特許の有効期限切れ)
    Protocol-- 実装 -->Library(ライブラリ)
    
    C-- コンテスト勝利 -->Standard
    C-- 淘汰 -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Standard-- 実装 -->Library
    Standard-- 淘汰 -->term3@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Patent-- 淘汰 -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }
    Patent-- 標準化 -->Standard
    Patent-- 実装 -->Library

    Library-- 標準化 -->Standard
    Library-- セキュリティ破り -->term4@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

Prerequisites

• ベクトルと線形結合
• ベクトル空間、部分空間、そして行列
• 線形従属と線形独立、基底と次元
• 単射、全射

線形変換

ベクトル空間の構造を保存する特別な関数を線形変換（linear transformation）といい、これは純粋数学、応用数学、社会科学、自然科学、そして工学を通じて非常に頻出する重要な概念である。

定義
$\mathbb{V}$ と $\mathbb{W}$ が $F$-ベクトル空間とする。すべての $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\ c \in F$ に対して次の 2 条件を満たす関数 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ を、$\mathbb{V}$ から $\mathbb{W}$ への線形変換（linear transformation）という。

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

$T$ が線形変換であることを簡潔に「$T$ は線形（linear）である」ともいう。線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ は次の 4 性質を満たす。

1. $T$ が線形 $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ が線形 $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ が線形 $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ が線形 $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

ある関数が線形であることを示す際は、通常 2 番目の性質を用いると便利である。

線形代数は幾何でも広く多様に使える。その理由は、多くの重要な幾何変換が線形だからである。とくに主要な 3 つの幾何変換である回転、反射、射影は線形変換に当たる。

次の 2 種類の線形変換はとくに頻出である。

恒等変換と零変換
$F$-ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ について

• 恒等変換（identity transformation）: すべての $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対し $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ と定義される関数 $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$
• 零変換（zero transformation）: すべての $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対し $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ と定義される関数 $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$

このほかにも多様な概念が線形変換に該当する。

線形変換の例

• 回転
• 反射
• 射影
• 転置
• 微分可能な関数の微分
• 連続関数の積分

零空間と像

零空間と像の定義

定義
ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ に対して

• 零空間（null space）または核（kernel）: $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ を元とする集合。$\mathrm{N}(T)$ と表記

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• 値域（range）または像（image）: $T$ の値を元とする $\mathbb{W}$ の部分集合。$\mathrm{R}(T)$ と表記

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

例 ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と恒等変換 $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$、零変換 $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ について次が成り立つ。

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

今後繰り返し重要になるが、線形変換の零空間と像はベクトル空間の部分空間である。

定理 1
ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ に対して、$\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ はそれぞれ $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ の部分空間である。

証明
$\mathbb{V}, \mathbb{W}$ の零ベクトルをそれぞれ $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$ と表す。

$T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$ なので $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$ であり、また $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c \in F$ に対し次が成り立つ。

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$ なので $\mathrm{N}(T)$ は $\mathbb{V}$ の部分空間である。

同様に、$T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$ なので $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$ であり、$\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$ より

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$ なので $\mathrm{R}(T)$ は $\mathbb{W}$ の部分空間である。$\blacksquare$

一方、ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ に対し、$\mathbb{V}$ の基底 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ が分かっているとき、像 $\mathrm{R}(T)$ の生成集合を次のように求められる。

定理 2
ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$、$\mathbb{V}$ の基底 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ に対し次が成り立つ。

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

証明

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

$\mathrm{R}(T)$ は部分空間なので、ベクトル空間、部分空間、そして行列の定理 2により

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

また、

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

$\beta$ は $\mathbb{V}$ の基底なので

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(ただし } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

$T$ は線形なので

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ かつ $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ なので、$\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$。$\blacksquare$

この定理は基底 $\beta$ が無限集合の場合にも成り立つ。

次元定理

零空間と像は非常に重要な部分空間なので、次元にも特別な名称を与える。

ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ に対し、$\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ が有限次元とする。

• 零空間の次元（nullity）: $\mathrm{N}(T)$ の次元。$\mathrm{nullity}(T)$ と表記
• 階数（rank）: $\mathrm{R}(T)$ の次元。$\mathrm{rank}(T)$ と表記

線形変換では零空間の次元が大きくなるほど階数は小さくなり、逆に階数が大きくなるほど零空間の次元は小さくなる。

定理 3: 次元定理（dimension theorem）
ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と線形変換 $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$ に対して、$\mathbb{V}$ が有限次元なら次が成り立つ。

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

証明

$\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$ とし、$\mathrm{N}(T)$ の基底を $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ とする。

「線形従属と線形独立、基底と次元」の系 6-1により、$\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ を拡張して $\mathbb{V}$ の基底 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ を得ることができる。

いま、$S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ が $\mathrm{R}(T)$ の基底であることを示す。まず $1 \leq i \leq k$ では $T(\mathbf{v}_i) = 0$ なので、定理 2 により

すなわち $S$ は $\mathrm{R}(T)$ の生成集合である。ここで交換定理の系 5-2 により、$S$ が線形独立であることを示せば $S$ が $\mathrm{R}(T)$ の基底であることが分かる。

$\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$（ただし $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$）とすると、$T$ が線形なので

したがって、

$\beta$ は $\mathbb{V}$ の基底であるから、$\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ の唯一の解は

であり、これより

すなわち $S$ は線形独立であり、$\mathrm{R}(T)$ の基底である。

線形変換と単射・全射

線形変換において単射（injection）と全射（surjection）は階数や零空間の次元と密接に関係する。

定理 4
ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ に対して

\[T\text{ は単射である} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

定理 5
有限次元ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ の次元が等しいとき、線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ について次の 4 命題は同値である。

1. $T$ は単射である。
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ は全射である。

次元定理と線形変換の性質 1, 3、そして「線形従属と線形独立、基底と次元」の定理 6を用いて、定理 4 と 定理 5 を証明できる。

これら 2 つの定理は、与えられた線形変換が単射または全射かどうかを判定する際に有用である。

無限次元ベクトル空間 $\mathbb{V}$ と線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ については、単射と全射は同値ではない。

また、ある線形変換が単射であれば、場合によっては与えられたベクトル空間の部分集合が線形独立かどうかを判定する際に、次の定理が有用である。

定理 6
ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と単射な線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$、および $\mathbb{V}$ の部分集合 $S$ に対して次が成り立つ。

\[S\text{ が線形独立} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{ が線形独立}.\]

線形変換と基底

線形変換の重要な特徴は、基底に対してどのように作用するかで線形変換が決まる、という点にある。

定理 7
$F$-ベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ と $\mathbb{V}$ の基底 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$、およびベクトル $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$ に対して、次の条件を満たす線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ が一意に存在する。

\[i = 1, 2, \dots, n \text{ に対して } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

証明
$\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対して次の線形結合表現は一意である。

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

線形変換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ を

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

とおく。

i) $i = 1, 2, \dots, n$ に対して $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$。

ii)

もう一つの線形変換 $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ が $i = 1, 2, \dots, n$ に対して $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ を満たすと仮定すると、$\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$ に対して

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

i), ii) により、$i = 1, 2, \dots, n$ に対して $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ となる線形変換は

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

の形で一意である。$\blacksquare$

系 7-1
2 つのベクトル空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ に対し、$\mathbb{V}$ が有限集合の基底 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ をもつとする。2 つの線形変換 $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ が $i = 1, 2, \dots, n$ について $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$ を満たせば $U = T$ である。
すなわち、基底での値が等しければ同じ線形変換である。

Prerequisites

• ベクトルと線形結合
• ベクトル空間、部分空間、そして行列

線形従属と線形独立

あるベクトル空間 $\mathbb{V}$ と部分空間 $\mathbb{W}$ について、$\mathbb{W}$ を生成する可能な限り小さい有限部分集合 $S$ を見つけたいとしよう。

集合 $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ に対し $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$ であるとき、$\mathbb{W}$ を生成する $S$ の真部分集合が存在しないかどうかを判定するにはどうすればよいだろうか。これは、$S$ から取り出したあるベクトルが他のベクトルの線形結合で表せるかどうかを判定する問題に等しい。たとえば、$\mathbf{u}_4$ を残り 3 本のベクトルの線形結合で表すための必要十分条件は、次の条件を満たすスカラー $a_1, a_2, a_3$ が存在することである。

しかし $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ のそれぞれについて毎回このように連立一次方程式を立てて解の存在を確かめるのは煩雑なので、式を少し変形してみよう。

もし $S$ のあるベクトルが他のベクトルの線形結合であれば、上のように零ベクトルを $S$ の線形結合で表すとき、係数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ のうち少なくとも 1 つが $0$ ではない表し方が存在する。この命題の逆もまた成り立ち、係数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ のうち少なくとも 1 つが $0$ でないまま零ベクトルを $S$ の元ベクトルの線形結合として表す方法が存在するなら、$S$ のあるベクトルは他のベクトルの線形結合である。

これを一般化して、次のように線形従属と線形独立を定義する。

定義
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分集合 $S$ について、$a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$ を満たす有限個の互いに異なるベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ と、少なくとも 1 つが $0$ でないスカラー $a_1, a_2, \dots, a_n$ が存在すれば、集合 $S$ およびそのベクトルは線形従属（linearly dependent）であるという。そうでない場合は線形独立（linearly independent）という。

任意のベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ に対し $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$ なら $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$ であり、これを零ベクトルの自明な表現（trivial representation of $\mathbf{0}$）という。

線形独立な集合に関して、次の 3 つの命題はすべてのベクトル空間で常に真である。とくに命題 3は前述のとおり、ある有限集合が線形独立かどうかを判定する際に非常に有用である。

• 命題 1: 空集合は線形独立である。ある集合が線形従属であるためには空集合であってはならない。
• 命題 2: 0 でないベクトル 1 本からなる集合は線形独立である。
• 命題 3: ある集合が線形独立であるための必要十分条件は、$\mathbf{0}$ をその集合に関する線形結合で表す方法が自明な表現しかないことである。

また、次の定理も重要である。

定理 1
$\mathbb{V}$ をベクトル空間とし、$S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$ とする。$S_1$ が線形従属なら $S_2$ も線形従属である。

系 1-1
$\mathbb{V}$ をベクトル空間とし、$S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$ とする。$S_2$ が線形独立なら $S_1$ も線形独立である。

定理 2
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ と線形独立な部分集合 $S$ を考える。$S$ に含まれないベクトル $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ に対し、$S \cup \{\mathbf{v}\}$ が線形従属であるための必要十分条件は $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$ である。

言い換えると、$S$ のどの真部分集合も $S$ と同じ空間を生成できないなら $S$ は線形独立である。

基底と次元

基底

線形独立な $\mathbb{W}$ の生成集合 $S$ には特別な性質がある。すなわち、$\mathbb{W}$ に属するすべてのベクトルは必ず $S$ の線形結合で表せ、その表現は一意である（定理 3）。したがって、あるベクトル空間に対する線形独立な生成集合を特に次のように基底（basis）と定義する。

基底の定義
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ と部分集合 $\beta$ に対し、$\beta$ が線形独立でかつ $\mathbb{V}$ を生成するなら、$\beta$ を $\mathbb{V}$ の基底（basis）という。このとき、$\beta$ のベクトルは $\mathbb{V}$ の基底を成すという。

$\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$ であり、$\emptyset$ は線形独立である。したがって $\emptyset$ は点空間の基底である。

とくに、$F^n$ に対する次の特別な基底を $F^n$ の標準基底（standard basis）という。

標準基底の定義
ベクトル空間 $F^n$ について次のベクトルを考える。

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

このとき、集合 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ は $F^n$ の基底であり、これを $F^n$ の標準基底（standard basis）という。

定理 3
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ と互いに異なる $n$ 個のベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$ に対し、集合 $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ が $\mathbb{V}$ の基底であるための必要十分条件は「任意のベクトル $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ を $\beta$ に属するベクトルの線形結合で表せ、しかもその表現が一意であること」である。すなわち、一意なスカラーの $n$ 順序組 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ に対し、ベクトル $\mathbf{v}$ は次を満たす。

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

定理 3によれば、互いに異なる $n$ 個のベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ がベクトル空間 $\mathbb{V}$ の基底を成す場合、そのベクトル空間の中ではベクトル $\mathbf{v}$ が与えられると、それに対応するスカラーの $n$ 順序組 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ が定まり、逆にスカラーの $n$ 順序組が与えられると、それに対応するベクトル $\mathbf{v}$ を得ることができる。後で可逆性と同型写像について学ぶ際に改めて整理するが、この場合ベクトル空間 $\mathbb{V}$ と $F^n$ は本質的に同じである。

定理 4
有限集合 $S$ について $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$ なら、$S$ の部分集合の中に $\mathbb{V}$ の基底が存在する。すなわち、この場合 $\mathbb{V}$ の基底は有限集合である。

多くのベクトル空間が定理 4の適用対象に該当するが、必ずしもそうとは限らない。基底は有限集合でない場合もある。{: .prompt-tip }

次元

定理 5: 交換定理（replacement theorem）
$n$ 個のベクトルからなる集合 $G$ に対し $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$ とする。$L$ が $m$ 個の線形独立なベクトルからなる $\mathbb{V}$ の部分集合であれば、$m \leq n$ である。さらに、$n-m$ 個のベクトルを要素とし $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$ を満たす集合 $H \subseteq G$ が存在する。

これより、きわめて重要な 2 つの系が得られる。

交換定理の系 5-1
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ が有限集合の基底を含むと仮定すると、$\mathbb{V}$ のすべての基底は有限集合であり、同じ本数のベクトルから成る。

これによれば、$\mathbb{V}$ の基底を成すベクトルの本数は $\mathbb{V}$ の不変な本質的性質であり、これを次元（dimension）という。

次元の定義
基底が有限集合であるベクトル空間を有限次元（finite dimension）といい、このとき基底の要素数 $n$ を当該ベクトル空間の次元（dimension）とし、$\dim(\mathbb{V})$ と表す。有限次元でないベクトル空間は無限次元（infinite dimension）である。

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

ベクトル空間の次元は、どの体の上にあるかによって変わり得る。

• 複素数体 $\mathbb{C}$ 上では、複素数ベクトル空間の次元は 1、基底は $\{1\}$
• 実数体 $\mathbb{R}$ 上では、複素数ベクトル空間の次元は 2、基底は $\{1,i\}$

有限次元ベクトル空間 $\mathbb{V}$ では、$\dim(\mathbb{V})$ より多い本数のベクトルを持つ部分集合は決して線形独立ではあり得ない。

交換定理の系 5-2
$\mathbb{V}$ が次元 $n$ のベクトル空間とする。

1. $\mathbb{V}$ の有限生成集合には必ず $n$ 本以上のベクトルが含まれ、$n$ 本のベクトルからなる $\mathbb{V}$ の生成集合は $\mathbb{V}$ の基底である。
2. 線形独立で $n$ 本のベクトルからなる $\mathbb{V}$ の部分集合は $\mathbb{V}$ の基底である。
3. 線形独立な $\mathbb{V}$ の部分集合は拡張して基底にできる。すなわち、$L \subseteq \mathbb{V}$ が線形独立なら、$\beta \supseteq L$ を満たす $\mathbb{V}$ の基底 $\beta$ が存在する。

部分空間の次元

定理 6
有限次元ベクトル空間 $\mathbb{V}$ に対し、部分空間 $\mathbb{W}$ は有限次元であり、$\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$ である。とくに、$\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.$

系 6-1
有限次元ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分空間 $\mathbb{W}$ に対し、$\mathbb{W}$ の任意の基底を拡張して $\mathbb{V}$ の基底を得ることができる。

定理 6より、$\mathbb{R}^3$ の部分空間の次元は $0,1,2,3$ になり得る。

• 0 次元: 原点（$\mathbf{0}$）のみを含む点空間 $\{\mathbf{0}\}$
• 1 次元: 原点（$\mathbf{0}$）を通る直線
• 2 次元: 原点（$\mathbf{0}$）を含む平面
• 3 次元: ユークリッド 3 次元空間全体

TL;DR

• 行列（matrix）
  • 行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列の成分を $A_{ij}$ または $a_{ij}$ と表す
  • 対角成分（diagonal entry）: $i=j$ の成分 $a_{ij}$
  • 成分 $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ をこの行列の $i$ 番目の行（row）という
    • 行列の各行は $F^n$ のベクトルで表せる
    • さらに、$F^n$ の行ベクトルは $1 \times n$ の別の行列として表せる
  • 成分 $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ をこの行列の $j$ 番目の列（column）という
    • 行列の各列は $F^m$ のベクトルで表せる
    • さらに、$F^m$ の列ベクトルは $m \times 1$ の別の行列として表せる
  • 零行列（zero matrix）: すべての成分が $0$ の行列。$O$ と表す
  • 正方行列（square matrix）: 行数と列数が等しい行列
  • 2 つの $m \times n$ 行列 $A, B$ について、すべての $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ に対して $A_{ij} = B_{ij}$（すなわち対応する成分がすべて一致）なら、2 つの行列は等しい（$A=B$）と定義する
  • 転置行列（transpose matrix）: $m \times n$ 行列 $A$ に対し、$A$ の行と列を入れ替えた $n \times m$ 行列 $A^T$
  • 対称行列（symmetric matrix）: $A^T = A$ を満たす正方行列 $A$
  • 反対称行列（skew-symmetric matrix）: $B^T = -B$ を満たす正方行列 $B$
  • 三角行列（triangular matrix）
    • 上三角行列（upper triangular matrix）: 対角成分の下のすべての成分が $0$（すなわち $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$）の行列。通常 $U$ と表す
    • 下三角行列（lower triangular matrix）: 対角成分の上のすべての成分が $0$（すなわち $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$）の行列。通常 $L$ と表す
  • 対角行列（diagonal matrix）: 対角成分以外のすべての成分が $0$ の正方行列（すなわち $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$ の $n \times n$ 行列）。通常 $D$ と表す
• 代表的なベクトル空間
  • $n$ 個の順序組 $F^n$:
    • 体 $F$ の成分からなるすべての $n$ 個の順序組の集合
    • $F^n$ と表し、$F$-ベクトル空間である
  • 行列空間（matrix space）:
    • 成分が体 $F$ の元であるすべての $m \times n$ 行列の集合
    • $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ と表し、ベクトル空間である
  • 関数空間（function space）:
    • 体 $F$ の空でない集合 $S$ に対し、$S$ から $F$ へのすべての関数の集合
    • $\mathcal{F}(S,F)$ と表し、ベクトル空間である
• 部分空間（subspace）
  • $F$-ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分集合 $\mathbb{W}$ が、$\mathbb{V}$ で定義した和とスカラー乗法を同一に備える $F$-ベクトル空間であるとき、$\mathbb{W}$ を $\mathbb{V}$ の部分空間（subspace）という
  • あらゆるベクトル空間 $\mathbb{V}$ に対し、$\mathbb{V}$ 自身と $\{0\}$ は部分空間であり、とくに $\{0\}$ は零部分空間（zero subspace）という
  • ベクトル空間のある部分集合が零ベクトルを元に持ち、線形結合について閉じていれば（$\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$ なら）、その集合は部分空間である

Prerequisites

• ベクトルと線形結合

ベクトル空間

ベクトルと線形結合でも少し見たように、代数的構造としてのベクトルとベクトル空間の定義は次のとおりである。

定義
体 $F$ 上のベクトル空間（vector space）または線形空間（linear space） $\mathbb{V}$ は、次の 8 条件を満たす 2 つの演算、和とスカラー乗法を持つ集合である。体 $F$ の元をスカラー（scalar）、ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の元をベクトル（vector）という。

• 和（sum）: $\mathbb{V}$ の 2 つの元 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ に対し、一意の元 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ を対応させる演算。このとき $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ を $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ の和という。
• スカラー乗法（scalar multiplication）: 体 $F$ の元 $a$ とベクトル空間 $\mathbb{V}$ の元 $\mathbf{x}$ ごとに一意の元 $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ を対応させる演算。このとき $a\mathbf{x}$ を $\mathbf{x}$ のスカラー倍（scalar multiple）という。

1. すべての $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$（加法の交換法則）
2. すべての $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ に対して $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$（加法の結合法則）
3. すべての $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$ となる $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ が存在する（零ベクトル、加法に関する単位元）
4. 各 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ について、$\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ が存在する（加法に関する逆元）
5. 各 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対して $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$（乗法に関する単位元）
6. すべての $a,b \in F$ とすべての $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対して $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$（スカラー乗法の結合法則）
7. すべての $a \in F$ とすべての $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ に対して $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$（加法に関するスカラー乗法の分配法則 1）
8. すべての $a,b \in F$ とすべての $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ に対して $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$（加法に関するスカラー乗法の分配法則 2）

ベクトル空間は本来「$F$-ベクトル空間 $\mathbb{V}$」と表記すべきだが、ベクトル空間を扱う際、体は大きな争点ではないので混乱の恐れがなければ体 $F$ は省略し「ベクトル空間 $\mathbb{V}$」と書く。

行列空間

行ベクトルと列ベクトル

体 $F$ の成分からなるすべての $n$ 個の順序組の集合を $F^n$ と表す。$u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$, $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$ のとき、和とスカラー積を次のように定義すれば $F^n$ は $F$-ベクトル空間である。

$F^n$ のベクトルは、単独で書くときは通常行ベクトル（row vector） $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ よりも 列ベクトル（column vector）

で表す。

ただし列ベクトル表記は紙幅を取りがちなので、転置を用いて $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$ と表すこともある。

行列と行列空間

一方、$F$ の成分からなる $m \times n$ の行列（matrix）は次のような長方形の配列で、イタリック体の大文字（$A, B, C$ など）で表す。

• 行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列の成分を $A_{ij}$ または $a_{ij}$ と表す。
• すべての $a_{ij}$（$1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$）は $F$ の元である。
• $i=j$ の成分 $a_{ij}$ をこの行列の対角成分（diagonal entry）という。
• 成分 $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ をこの行列の $i$ 番目の行（row）という。行列の各行は $F^n$ のベクトルで表せ、さらに $F^n$ の行ベクトルは $1 \times n$ の別の行列で表せる。
• 成分 $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ をこの行列の $j$ 番目の列（column）という。行列の各列は $F^m$ のベクトルで表せ、さらに $F^m$ の列ベクトルは $m \times 1$ の別の行列で表せる。
• すべての成分が $0$ の $m \times n$ 行列を零行列（zero matrix）といい、$O$ と表す。
• 行数と列数が等しい行列を正方行列（square matrix）という。
• 2 つの $m \times n$ 行列 $A, B$ について、すべての $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ に対し $A_{ij} = B_{ij}$ なら（すなわち対応する成分がすべて一致するなら）、2 つの行列は等しい（$A=B$）と定義する。

成分が体 $F$ の元であるすべての $m \times n$ 行列の集合を $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ と表す。$\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F),\ c \in F$ のとき、和とスカラー乗法を次のように定義すれば $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ はベクトル空間であり、これを行列空間（matrix space）という。

これは $F^n$ と $F^m$ で定義した演算の自然な拡張である。

関数空間

体 $F$ の空でない集合 $S$ に対し、$\mathcal{F}(S,F)$ を $S$ から $F$ へのすべての関数の集合という。$\mathcal{F}(S,F)$ において、すべての $s \in S$ について $f(s) = g(s)$ なら 2 つの関数 $f, g$ は等しい（$f=g$）という。

$f,g \in \mathcal{F}(S,F),\ c \in F,\ s \in S$ のとき、和とスカラー乗法を次のように定義すれば $\mathcal{F}(S,F)$ はベクトル空間であり、これを関数空間（function space）という。

部分空間

定義
$F$-ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分集合 $\mathbb{W}$ が、$\mathbb{V}$ で定義した和とスカラー乗法を同一に備える $F$-ベクトル空間であるとき、$\mathbb{W}$ を $\mathbb{V}$ の部分空間（subspace）という。

任意のベクトル空間 $\mathbb{V}$ に対し、$\mathbb{V}$ 自身と $\{0\}$ は部分空間であり、とくに ${0}$ は零部分空間（zero subspace）という。

ある部分集合が部分空間であるかどうかは、次の定理で確認できる。

定理 1
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ と部分集合 $\mathbb{W}$ について、$\mathbb{W}$ が $\mathbb{V}$ の部分空間であるための必要十分条件は、次の 3 条件を満たすことである。このとき演算は $\mathbb{V}$ で定義したものと同じである。

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

つまり、零ベクトルを元に持ち、線形結合について閉じていれば（$\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$ であれば）部分空間である。

また、次の定理が成り立つ。

定理 2

• ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の任意の部分集合 $S$ の生成空間 $\mathrm{span}(S)$ は、$S$ を含む $\mathbb{V}$ の部分空間である。

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• $S$ を含む $\mathbb{V}$ の部分空間は、必ず $S$ の生成空間を含む。

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

定理 3
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分空間について、それらの任意の共通部分（交わり）は同様に $\mathbb{V}$ の部分空間である。

転置行列、対称行列、反対称行列

$m \times n$ 行列 $A$ の転置行列（transpose matrix） $A^T$ は、$A$ の行と列を入れ替えた $n \times m$ 行列である。

$A^T = A$ を満たす行列 $A$ を対称行列（symmetric matrix）、$B^T = -B$ を満たす行列 $B$ を反対称行列（skew-symmetric matrix）という。対称行列と反対称行列はいずれも正方行列でなければならない。

それぞれ $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$ のすべての対称行列、反対称行列を元とする 2 つの集合 $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ は、$\mathcal{M}_{n \times n}(F)$ の部分空間である。すなわち、$\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ は和とスカラー積について閉じている。

三角行列、対角行列

この 2 種類の行列もとくに重要である。

まず、次の 2 種類の行列をまとめて三角行列（triangular matrix）という。

• 上三角行列（upper triangular matrix）: 対角成分の下のすべての成分が $0$ の行列（すなわち $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$ の行列）。通常 $U$ と表す
• 下三角行列（lower triangular matrix）: 対角成分の上のすべての成分が $0$ の行列（すなわち $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$ の行列）。通常 $L$ と表す

対角成分以外のすべての成分が $0$ の正方行列、すなわち $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$ の $n \times n$ 行列を対角行列（diagonal matrix）といい、通常 $D$ と表す。対角行列は上三角行列であると同時に下三角行列でもある。

上三角行列の集合、下三角行列の集合、対角行列の集合はいずれも $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ の部分空間である。

前提知識

• ベクトルと線形結合

内積

一般の $F$-ベクトル空間における内積（inner product）の定義は次のとおりである。

内積（inner product）と内積空間（inner product space）の定義
$F$-ベクトル空間 $\mathbb{V}$ を考える。$\mathbb{V}$ における内積（inner product） $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ は、$\mathbb{V}$ の任意のベクトル $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ の順序対を $F$ に属するスカラーに対応させる、次の条件を満たす関数として定義する。

任意の $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ と任意の $c \in F$ について

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$（$\overline{\mathbf{z}}$ は $\mathbf{z}$ の複素共役）
4. $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ のとき、$\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ は正である。

内積が与えられた $F$-ベクトル空間 $\mathbb{V}$ を内積空間（inner product space）という。特に $F=\mathbb{C}$ の場合を複素内積空間（complex inner product space）、$F=\mathbb{R}$ の場合を実内積空間（real inner product space）という。

特に次の内積を標準内積（standard inner product）という。標準内積が前述の4条件をすべて満たすことが確かめられる。

標準内積（standard inner product）の定義
$F^n$ の二つのベクトル $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$、$\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ に対して、$F^n$ の標準内積（standard inner product）を次のように定義する。

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

ここで $F=\mathbb{R}$ なら、実数の複素共役は自分自身なので、このときの標準内積は $\sum_{i=1}^n a_i b_i$ となる。特にこの場合の標準内積は $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ の代わりに $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ と表記し、ドット積（dot product）またはスカラー積（scalar product）という。

ドット積（dot product）／スカラー積（scalar product）の定義
$\mathbb{R}^n$ の $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$、$\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ に対して、$\mathbb{R}^n$ のドット積（dot product）またはスカラー積（scalar product）を次のように定義する。

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

ここでいう「スカラー積（scalar product）」はベクトルどうしの演算であり、ベクトルと線形結合で扱ったスカラーとベクトルの間の演算である「スカラー倍（scalar multiplication）」とは別の演算である。英語表現も似ているうえに、大韓数学会の韓国語訳語基準では表記がまったく同一であるため混同しないよう注意しよう。

混同を避けるため、以後は可能なかぎりドット積（dot product）と呼ぶことにする。

ユークリッド空間での内積（inner product）はすなわちドット積（dot product）であるため、文脈上混同の余地がなければドット積を単に内積と呼ぶことも多い。ただし厳密には、内積はドット積を包含するより一般的な概念である。

flowchart TD
    A["内積（Inner Product）"] -->|含む| B["標準内積（Standard Inner Product）"]
    B -->|"F = R（実数体）の場合"| C["ドット積／スカラー積（Dot/Scalar Product）"]

    %% 含有（包含関係）の表記
    C -. 含まれる .-> B
    B -. 含まれる .-> A

ベクトルの長さ／ノルム

$\mathbb{R}^n$ におけるベクトル $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ に対して、$\mathbf{v}$ のユークリッドの長さは次のようにドット積を通じて定義する。

より一般には、任意の内積空間におけるベクトルの長さ（length）またはノルム（norm）を次のように定義する。

一般の内積空間では、ベクトルのノルムについて次の重要な性質が成り立つ。

定理
$F$-内積空間 $\mathbb{V}$ と任意のベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$、スカラー $c \in F$ に対して次が成り立つ。

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. 次の二つが成り立つ。
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. コーシー・シュワルツの不等式（Cauchy-Schwarz inequality）: $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$（等号は $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ のどちらかが他方のスカラー倍のときに成り立つ）
4. 三角不等式（triangle inequality）: $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$（等号は $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ のどちらかが他方のスカラー倍で、かつ両者の向きが同じときに成り立つ）

ベクトル間の角度と単位ベクトル

長さが 1 のベクトルを単位ベクトル（unit vector）という。また、$\mathbb{R}^n$ における二つのベクトル $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$、$\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ に対して $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$ が成り立ち、これから $\mathbf{v}$ と $\mathbf{w}$ の間の角 $\theta$（$0 \leq \theta \leq \pi$）を求めることができる。

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$ の場合、二つのベクトルは垂直（perpendicular）または直交（orthogonal）であるという。

二つのベクトル $\mathbf{v}$ と $\mathbf{w}$ が垂直のとき、

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

これを任意の内積空間へ一般化すると次のようになる。

定義
内積空間 $\mathbb{V}$ を考える。$\mathbb{V}$ のベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ に対して $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$ であれば、二つのベクトルは直交（orthogonal）または垂直（perpendicular）であると定義する。さらに、

1. $\mathbb{V}$ の部分集合 $S$ に対して、$S$ に属する相異なる任意の二つのベクトルが直交するとき、集合 $S$ を直交集合（orthogonal set）という。
2. $\|\mathbf{x}\|=1$ であるベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ を単位ベクトル（unit vector）という。
3. $\mathbb{V}$ の部分集合 $S$ が直交集合で、かつ単位ベクトルのみから成るとき、集合 $S$ を正規直交集合（orthonormal set）という。

集合 $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ が正規直交集合であるための必要十分条件は $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$ である。ベクトルに零でないスカラーを掛けても直交性には影響しない。

零でない任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ は単位ベクトルであり、このように零でないベクトルに長さの逆数を掛けて単位ベクトルを得る操作を正規化（normalizing）という。

TL;DR

• ベクトルの定義
  • 狭い意味のベクトル（ユークリッド・ベクトル）: 大きさと方向を併せ持つ物理量
  • 広い意味、線形代数におけるベクトル: ベクトル空間の元
• ベクトルの表現法
  • 矢印による表現法: ベクトルの大きさは矢印の長さで、方向は矢印の向きで表す。可視化しやすく直観的だが、4 次元以上の高次元ベクトルや非ユークリッド・ベクトルは表現が困難。
  • 成分表示: ベクトルの始点を座標空間の原点に置き、終点の座標でベクトルを表す方法。
• ベクトルの基本演算
  • 和: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • スカラー乗法: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• ベクトルの線形結合
  • 有限個のベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ とスカラー $a_1, a_2, \dots, a_n$ に対して、$\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$ となるベクトル $\mathbf{v}$ を $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ の線形結合（linear combination）という
  • このとき $a_1, a_2, \dots, a_n$ をこの線形結合の係数（coefficient）という

• 生成空間（span）
  • ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の空でない部分集合 $S$ に対して、$S$ のベクトルを用いて作られるすべての線形結合の集合 $\mathrm{span}(S)$
  • $\mathrm{span}(\emptyset) = {0}$ と定義
  • ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分集合 $S$ に対して $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$ なら、$S$ が $\mathbb{V}$ を生成する（generate または span）という

Prerequisites

• 座標平面／座標空間
• 体（field）

ベクトルとは何か？

狭い意味のベクトル：ユークリッド・ベクトル

力、速度、加速度など多くの物理量は大きさだけでなく方向の情報も持つ。このように大きさと方向を併せ持つ物理量をベクトル（vector）という。

上の定義が物理学の力学や高校数学で扱うベクトルの定義である。このように「有向線分の大きさと方向」という幾何学的意味を持ち、物理的直観に基づく狭義のベクトルは、厳密にはユークリッド・ベクトル（Euclidean vector）と呼ばれる。

広い意味のベクトル：ベクトル空間の元

線形代数では、上のユークリッド・ベクトルの定義より広い意味を持つ、より抽象的な代数的構造として次のようにベクトルを定義する。

定義
体 $F$ 上のベクトル空間（vector space）または線形空間（linear space） $\mathbb{V}$ とは、次の 8 条件を満たす 2 つの演算、和とスカラー乗法を持つ集合である。体 $F$ の元をスカラー（scalar）、ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の元をベクトル（vector）という。

• 和（sum）: $\mathbb{V}$ の 2 つの元 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ に対し、一意の元 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ を対応させる演算。このとき $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ を $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ の和という。
• スカラー乗法（scalar multiplication）: 体 $F$ の元 $a$ とベクトル空間 $\mathbb{V}$ の元 $\mathbf{x}$ ごとに一意の元 $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ を対応させる演算。このとき $a\mathbf{x}$ を $\mathbf{x}$ のスカラー倍（scalar multiple）という。

1. すべての $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$（加法の交換法則）
2. すべての $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ に対して $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$（加法の結合法則）
3. すべての $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$ となる $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ が存在する（零ベクトル、加法に関する単位元）
4. 各 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ について、$\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ が存在する（加法に関する逆元）
5. 各 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対して $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$（乗法に関する単位元）
6. すべての $a,b \in F$ とすべての $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ に対して $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$（スカラー乗法の結合法則）
7. すべての $a \in F$ とすべての $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ に対して $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$（加法に関するスカラー乗法の分配法則 1）
8. すべての $a,b \in F$ とすべての $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ に対して $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$（加法に関するスカラー乗法の分配法則 2）

この線形代数におけるベクトルの定義は、前述のユークリッド・ベクトルまで包含する、より広い範囲の定義である。ユークリッド・ベクトルも上の 8 つの性質を満たすことを確認できる。

ベクトルの起源と発展は、力や物体の運動・回転、場といった概念を定量的に記述しようとする物理学の実用的課題と密接に結びついている。自然現象を数学的に表現する物理学的要請により、当初はユークリッド・ベクトルとしてベクトルの概念が提示され、その後、数学がこれらの物理的概念を一般化・理論化する過程で、ベクトル空間・内積・外積などの形式的構造を整備し、現在のベクトルの定義に至った。すなわち、ベクトルは物理学が求め、数学が確立した概念であり、純粋数学だけの産物というより、数学界と物理学界が緊密に交流しながら発展させてきた学際的な産物といえる。

古典力学で扱われてきたユークリッド・ベクトルは、数学的にはより一般化された枠組みで表すことができ、今日の物理学ではユークリッド・ベクトルだけでなく、ベクトル空間・関数空間といった数学で定義されたより抽象的な概念も積極的に活用して物理的意味を与える。ゆえにベクトルに関する二つの定義を単に「物理学的定義」「数学的定義」と捉えるのは適切でない。

ベクトル空間については後で詳しく見ることにし、まずは座標空間上で幾何学的に表現可能な狭義のベクトル、ユークリッド・ベクトルに焦点を当てる。直観的なユークリッド・ベクトルの例を先に押さえておくことは、のちに他のベクトルへ一般化する際にも理解の助けとなる。

ベクトルの表現法

矢印による表現法

幾何学的直観を最もよく生かした、よく見かける表現法である。ベクトルの大きさは矢印の長さで、ベクトルの方向は矢印の向きで表す。

画像の出典

• 作者: ウィキペディアユーザー Nguyenthephuc
• ライセンス: CC BY-SA 3.0

この表現法は直観的ではあるが、4 次元以上の高次元ベクトルに対しては矢印での表現には明確な限界がある。さらに将来的には、そもそも幾何学的に表現しにくい非ユークリッド・ベクトルも扱う必要があるため、後述する成分表示に慣れておくことが望ましい。

成分表示

ベクトルがどこに位置するかに関わらず、大きさと方向が同じであれば同一のベクトルとみなす。したがって、ある座標空間が与えられたとき、ベクトルの始点をその座標空間の原点に固定すると、$n$ 次元ベクトルは $n$ 次元空間上の任意の点に対応し、この場合、終点の座標でベクトルを表すことができる。このような表現法をベクトルの成分表示という。

画像の出典

• 作者: ウィキメディアユーザー Acdx
• ライセンス: CC BY-SA 3.0

ベクトルの基本演算

ベクトルの基本演算は和とスカラー乗法の二つである。すべてのベクトル演算はこの二つの基本演算の組み合わせで表現できる。

ベクトルの和

二つのベクトルの和はやはりベクトルであり、このとき合成ベクトルの成分は、二つのベクトルの対応する成分同士をそれぞれ足したものに等しい。

ベクトルのスカラー乗法

ベクトルは大きさを拡大・縮小でき、これをベクトルに定数（スカラー）を掛けるスカラー乗法という演算で表す。あるベクトルを定数倍した結果は、各成分を定数倍したものに等しい。

画像の出典

• 作者: ウィキペディアユーザー Silly rabbit
• ライセンス: CC BY-SA 3.0

ベクトルの線形結合

微積分学が数 $x$ と関数 $f(x)$ から出発するように、線形代数はベクトル $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ と線形結合 $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$ から出発する。そしてベクトルのあらゆる線形結合は、上の二つの基本演算、和とスカラー乗法の組み合わせで構成される。

有限個のベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ とスカラー $a_1, a_2, \dots, a_n$ に対して、次式を満たすベクトル $\mathbf{v}$ を $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ の線形結合（linear combination）という。

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

このとき、$a_1, a_2, \dots, a_n$ をこの線形結合の係数（coefficient）という。

では、なぜ線形結合が重要なのか。次のような、$m$ 次元空間上の $n$ 個のベクトルが $m \times n$ 行列の $n$ 本の列を成す状況を考えよう。

ここでの要点は次の二つである。

1. あらゆる可能な線形結合 $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots x_n\mathbf{v}_n$ を表してみよ。 それは何を成すか？
2. 望む出力ベクトル $Ax = b$ を作り出す数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ を求めよ。

二つ目の問いへの答えは後で改めて扱うとして、いったん今は一つ目の問いに集中しよう。議論を簡単にするため、$\mathbf{0}$ でない 2 次元（$m=2$）のベクトル 2 本（$n=2$）の場合を例に見てみる。

線形結合 $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

2 次元空間上のベクトル $\mathbf{v}$ は 2 つの成分を持つ。任意のスカラー $c$ に対して、ベクトル $c\mathbf{v}$ は元のベクトル $\mathbf{v}$ と平行で、原点を通る $xy$ 平面上の無限に長い直線を成す。

ここで与えられた二つ目のベクトル $\mathbf{w}$ がこの直線上にない（ベクトル $\mathbf{v}$ と $\mathbf{w}$ が平行でない）なら、ベクトル $d\mathbf{w}$ はもう一方の二本目の直線を成す。さてこの二本の直線を組み合わせると、線形結合 $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ は原点を含む一つの平面を成すことがわかる。

画像の出典

• 作者: ウィキメディアユーザー Svjo
• ライセンス: CC BY-SA 4.0

生成

このようにベクトルの線形結合はすなわちベクトル空間を成し、これを空間の生成（span）という。

定義
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の空でない部分集合 $S$ に対して、$S$ のベクトルを用いて作られるすべての線形結合の集合を $S$ の生成空間（span）といい、$\mathrm{span}(S)$ と表記する。ただし、$\mathrm{span}(\emptyset) = {0}$ と定義する。

定義
ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の部分集合 $S$ に対して $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$ なら、$S$ が $\mathbb{V}$ を生成する（generate または span）という。

まだ部分空間や基底といった概念は見ていないが、今のこの例を思い出せばベクトル空間の概念を理解する助けになる。

KaggleのPandas講座で学んだ内容をここに整理する。
分量が多いため 2 回に分けた。

• 第1編: Lesson 1-3
• 第2編: Lesson 4-6（本文）

Lesson 4. Grouping and Sorting

しばしばデータを分類し、グループごとに集計や操作を行ったり、特定の基準で並べ替える必要がある。

グループ別の分析

groupby()メソッドを使うと、特定の列の値が同じデータ同士をまとめ、その後に各グループ単位での概要確認や操作を行える。

先にvalue_counts() メソッドを見たが、同等の動作は groupby() でも次のように実装できる。

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reviews.groupby('taster_name').size()

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reviews.groupby('taster_name').taster_name.count()

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reviews.groupby('points').price.min()

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points
80      5.0
81      5.0
       ... 
99     44.0
100    80.0
Name: price, Length: 21, dtype: float64

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reviews.groupby(['country']).price.agg([len, min, max])

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countries_reviewed = reviews.groupby(['country', 'province']).description.agg([len])
countries_reviewed

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mi = countries_reviewed.index
type(mi)

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pandas.core.indexes.multi.MultiIndex

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countries_reviewed.reset_index()

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countries_reviewed = countries_reviewed.reset_index()
countries_reviewed.sort_values(by='len')

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countries_reviewed.sort_values(by='len', ascending=False)

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countries_reviewed.sort_index()

1

countries_reviewed.sort_values(by=['country', 'len'])

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reviews.price.dtype

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reviews.dtypes

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country        object
description    object
                ...  
variety        object
winery         object
Length: 13, dtype: object

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reviews.points.astype('float64')

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0         87.0
1         87.0
          ... 
129969    90.0
129970    90.0
Name: points, Length: 129971, dtype: float64

1

reviews.index.dtype

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dtype('int64')

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reviews[pd.isna(reviews.country)]

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reviews.region_2.fillna("Unknown")

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rok_2030_census.province.replace("Gyeonggibuk-do", "Pyeonghwanuri Special Self-Governing Province")

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reviews.rename(columns={'points': 'score'})

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reviews.rename(index={0: 'firstEntry', 1: 'secondEntry'})

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reviews.rename_axis("wines", axis='index').rename_axis("fields", axis='columns')

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>>> s1 = pd.Series(['a', 'b'])
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>>> pd.concat([s1, s2])
0    a
1    b
0    c
1    d
dtype: object

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>>> df1 = pd.DataFrame([['a', 1], ['b', 2]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df1
  letter  number
0      a       1
1      b       2
>>> df2 = pd.DataFrame([['c', 3], ['d', 4]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df2
  letter  number
0      c       3
1      d       4
>>> pd.concat([df1, df2])
  letter  number
0      a       1
1      b       2
0      c       3
1      d       4
>>> df4 = pd.DataFrame([['bird', 'polly'], ['monkey', 'george']],
...                    columns=['animal', 'name'])
>>> df4
   animal    name
0    bird   polly
1  monkey  george
>>> pd.concat([df1, df4], axis=1)
  letter  number  animal    name
0      a       1    bird   polly
1      b       2  monkey  george

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>>> df = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2', 'K3', 'K4', 'K5'],
...                    'A': ['A0', 'A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5']})
>>> df
  key   A
0  K0  A0
1  K1  A1
2  K2  A2
3  K3  A3
4  K4  A4
5  K5  A5
>>> other = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2'],
...                       'B': ['B0', 'B1', 'B2']})
>>> other
  key   B
0  K0  B0
1  K1  B1
2  K2  B2
>>> df.join(other, lsuffix='_caller', rsuffix='_other')
  key_caller   A key_other    B
0         K0  A0        K0   B0
1         K1  A1        K1   B1
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3         K3  A3       NaN  NaN
4         K4  A4       NaN  NaN
5         K5  A5       NaN  NaN

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...(前略)
                    ------------------------------------------------
      Jekyll 4.3.4   Please append `--trace` to the `serve` command 
                     for any additional information or backtrace. 
                    ------------------------------------------------
/Users/yunseo/.gem/ruby/3.2.2/gems/jekyll-polyglot-1.8.1/lib/jekyll/polyglot/
patches/jekyll/site.rb:234:in `relative_url_regex': target of repeat operator 
is not specified: /href="?\/((?:(?!*.gem)(?!*.gemspec)(?!tools)(?!README.md)(
?!LICENSE)(?!*.config.js)(?!rollup.config.js)(?!package*.json)(?!.sass-cache)
(?!.jekyll-cache)(?!gemfiles)(?!Gemfile)(?!Gemfile.lock)(?!node_modules)(?!ve
ndor\/bundle\/)(?!vendor\/cache\/)(?!vendor\/gems\/)(?!vendor\/ruby\/)(?!en\/
)(?!ko\/)(?!es\/)(?!pt-BR\/)(?!ja\/)(?!fr\/)(?!de\/)[^,'"\s\/?.]+\.?)*(?:\/[^
\]\[)("'\s]*)?)"/ (RegexpError)

...(後略)

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exclude:
  - "*.gem"
  - "*.gemspec"
  - docs
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - "*.config.js"
  - package*.json

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    # a regex that matches relative urls in a html document
    # matches href="baseurl/foo/bar-baz" href="/ja/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    # a regex that matches absolute urls in a html document
    # matches href="http://baseurl/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

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    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

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exclude: # https://github.com/untra/polyglot/issues/204 イシューを参考に修正。
  # - "*.gem"
  - jekyll-theme-chirpy.gemspec # - "*.gemspec"
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - purgecss.config.js # - "*.config.js"
  - rollup.config.js
  - package*.json

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  <body>
    {% include sidebar.html lang=lang %}

    <div id="main-wrapper" class="d-flex justify-content-center">
      <div class="container d-flex flex-column px-xxl-5">
        
        (...中略...)

        {% include_cached search-results.html lang=lang %}
      </div>

      <aside aria-label="Scroll to Top">
        <button id="back-to-top" type="button" class="btn btn-lg btn-box-shadow">
          <i class="fas fa-angle-up"></i>
        </button>
      </aside>
    </div>

    (...中略...)

    {% include_cached search-loader.html lang=lang %}
  </body>

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<!-- The Search results -->

<div id="search-result-wrapper" class="d-flex justify-content-center d-none">
  <div class="col-11 content">
    <div id="search-hints">
      {% include_cached trending-tags.html %}
    </div>
    <div id="search-results" class="d-flex flex-wrap justify-content-center text-muted mt-3"></div>
  </div>
</div>

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{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      <div class="post-meta d-flex flex-column flex-sm-row text-muted mt-1 mb-1">
        {categories}
        {tags}
      </div>
    </header>
    <p>{snippet}</p>
  </article>
{% endcapture %}

{% capture not_found %}<p class="mt-5">{{ site.data.locales[include.lang].search.no_results }}</p>{% endcapture %}

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ '/assets/js/data/search.json' | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',
      noResultsText: '{{ not_found }}',
      templateMiddleware: function(prop, value, template) {
        if (prop === 'categories') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div class="me-sm-4"><i class="far fa-folder fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }

        if (prop === 'tags') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div><i class="fa fa-tag fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }
      }
    });
  });
</script>

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layout: compress
swcache: true
---

[
  {% for post in site.posts %}
  {
    "title": {{ post.title | jsonify }},
    "url": {{ post.url | relative_url | jsonify }},
    "categories": {{ post.categories | join: ', ' | jsonify }},
    "tags": {{ post.tags | join: ', ' | jsonify }},
    "date": "{{ post.date }}",
    {% include no-linenos.html content=post.content %}
    {% assign _content = content | strip_html | strip_newlines %}
    "snippet": {{ _content | truncate: 200 | jsonify }},
    "content": {{ _content | jsonify }}
  }{% unless forloop.last %},{% endunless %}
  {% endfor %}
]

stateDiagram
  state "Changes" as CH
  state "Build start" as BLD
  state "Create search.json" as IDX
  state "Static Website" as DEP
  state "In Test" as TST
  state "Search Loader" as SCH
  state "Results" as R
    
  [*] --> CH: Make Changes
  CH --> BLD: Commit & Push origin
  BLD --> IDX: jekyll build
  IDX --> TST: Build Complete
  TST --> CH: Error Detected
  TST --> DEP: Deploy
  DEP --> SCH: Search Input
  SCH --> R: Return Results
  R --> [*]

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{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      <h2><a {% static_href %}href="/{{ site.active_lang }}{url}"{% endstatic_href %}>{title}</a></h2>
      {% else %}
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      {% endif %}

(...中略...)

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    {% assign search_path = '/assets/js/data/search.json' %}
    {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      {% assign search_path = '/' | append: site.active_lang | append: search_path %}
    {% endif %}
    
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ search_path | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',

(...後略)