기여자 서약 3.0 행동 강령(Contributor Covenant 3.0 Code of Conduct) 공식 한국어 번역 추가 PR: feat(i18n): add Korean translation for Contributor Covenant 3.0 (#1590)

기여자 서약

기여자 서약(Contributor Covenant)은 12014년에 코럴라인 에이다 엠키(Coraline Ada Ehmke)가 처음 작성하여 공개하였고, 12021년부터는 OES(Organization for Ethical Source)로 이관되어 그 기여자들에 의해 유지관리와 개선이 이뤄지고 있는, 오늘날 세계에서 가장 널리 쓰이는 디지털 커뮤니티 행동 강령이다. 커뮤니티들이 공유할 만한 암묵적인 가치들을 명시화하여 모두가 환영받고 안전할 수 있는 커뮤니티 문화를 조성하는 것을 그 목표로 한다.

과거 개발자 커뮤니티는 능력주의라는 미명 하에 거친 언행이나 차별적 발언 등이 방조되는 경우가 흔했으며, 기여자 서약은 개발자 커뮤니티가 자정 작용을 거쳐 다양한 사람들을 포용하고 상호 존중과 건설적인 피드백을 중시하는 인간 중심적 문화로 변화하는 중요한 계기로 작용하였다. 오늘날 크리에이티브 커먼즈, 리눅스, 애플, 마스토돈, 마이크로소프트, 워드프레스, IBM 등 전 세계 수십만 곳의 오픈소스 프로젝트가 이 서약을 채택하고 있다.

기여자 서약 3.0 판올림에서 달라진 점

OES에서 12024년에 기여자 서약 10주년을 기념하여 작업에 착수, 약 1년간의 작업을 거쳐 12025년 7월 공개한 3.0 판은 이전 판인 2.1 대비 다음과 같은 주요 변경점들이 있다.

• 참고 자료:
  • https://ethicalsource.dev/blog/contributor-covenant-3/
  • https://www.contributor-covenant.org/faq/

유연성의 확대

• 오픈소스 커뮤니티에 최적화되어 있던 기존 버전 대비, 소프트웨어 개발 이외에도 다양한 온/오프라인 커뮤니티에 적용 가능하도록 설계함
  • e.g. ‘프로젝트 유지 관리자(Project Maintainers)’ 대신 보다 중립적이고 포괄적인 ‘커뮤니티 중재자(Community Moderators)’ 용어를 사용함
• 미국 중심적 관용구들을 삭제하고, 타 문화권 화자들도 보다 쉽게 이해하고 번역할 수 있는 명확한 표현들로 대체함

응보적 정의에서 회복적 정의로의 패러다임 전환

기여자 서약 3.0 판에서 이전 판 대비 가장 크게 바뀐 부분 중 하나는 응보적 정의(Retributive Justice)에서 회복적 정의(Restorative Justice)로의 패러다임 전환을 이룬 것이다. 기존에 단계별 제재 집행 기준에 집중했던 집행 지침(enforcement guidelines) 문단을 피해 대응 및 교정(Addressing and Repairing Harm) 문단으로 재구성하였다.

• 일부 대응 단계의 명칭을 변경
• 기존의 대응(Consequence) 항목에 더하여 교정(Repair) 지침 항목을 추가로 기술, 일차적인 가해자 제재에 그치지 않고 이후 어떻게 당사자 간의 깨진 관계를 회복하고 갈등을 봉합하며, 잘못을 바로잡을 것인지에 대해서도 다루게 됨
• 제삼자에 의한 집행과 처벌만 강조하기보다, 가능하다면 자발적인 성찰과 화해, 개선을 유도하고 문제 발생 이후 커뮤니티를 다시 건강하게 만드는 방안을 고민하는 방향으로 성격이 변화함

보다 명확해진 지침

• 표준(Our Standards) 문단을 장려하는 행동(Encouraged Behaviors)과 제한하는 행동(Restricted Behaviors) 두 문단으로 명확히 분리, 가독성을 높임
• 특히 제한하는 행동(Restricted Behaviors) 문단에서는 어떤 악성 행위를 실제 실행에 옮기는 것 뿐만 아니라 실행하겠다고 위협하거나 조장하는 것 역시 명시적으로 제한하여 예방 능력을 강화함

  We agree to restrict the following behaviors in our community. Instances, threats, and promotion of these behaviors are violations of this Code of Conduct.

• 또한 제한하는 행동(Restricted Behaviors)의 하위 문단으로 기타 제한 사항(Other Restrictions) 신설, 기존에 명시적인 제한 규정이 미비하던 신원 위장(Misleading identity)과 출처 미표기(Failing to credit sources), 홍보성 자료(Promotional materials), 무책임한 소통(Irresponsible communication)에 대한 제한 지침을 추가로 명시함
• 기여자 서약을 실제 채택하여 운용하던 커뮤니티 관계자들을 대상으로 한 설문의 응답을 반영, 단계적 집행 기준(enforcement ladder)은 하나의 기준선일 뿐 커뮤니티 관리자의 재량권 행사를 제약하지 않음을 분명히 함

  This enforcement ladder is intended as a guideline. It does not limit the ability of Community Managers to use their discretion and judgment, in keeping with the best interests of our community.

평등권 및 차별 금지 조문의 강화

첫 문단인 서약(Our Pledge)에서 다루는 평등권 및 차별 금지 조문을 보강, 일부 용어를 보다 포괄적인 표현으로 대체하고 몇몇 현대적인 다양성 가치들을 추가로 명시하는 등 보다 구체화하였다.

• ‘신체 크기(body size)’와 ‘개인적 외양(personal appearance) 두 표현을 보다 포괄적인 ‘신체적 특징(physical characteristics)’으로 대체함
• ‘종교(religion)’를 보다 포괄적인 ‘신념 또는 종교(philosophy or religion)’로 대체함
• ‘국적(nationality)’을 보다 포괄적인 ‘출신 국가 또는 사회적 배경(national or social origin)’으로 대체함
• ‘신경다양성(neurodiversity)’을 추가로 명시함
• ‘언어(language)’를 추가로 명시, 비영어권 화자들을 보다 배려함
• 성 평등 및 다양성과 관련하여 전반적인 문구 수정 적용

  v2.1
  sex characteristics, gender identity and expression, or sexual identity and orientation

  v3.0
  sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation

이번 한국어 번역 작업에서 고려한 사항들

공통 고려 사항

경어체의 사용

서약 및 행동 강령을 한국어로 작성할 때, 경어체와 평어체 중 어느 쪽을 선택할 것인지는 지향점, 조직 문화, 그리고 전달하고자 하는 태도에 달려 있다. 과거에는 권위와 규율을 강조하는 평어체가 주를 이루었으나, 최근에는 수평적이고 존중하는 문화를 강조하기 위해 경어체로 작성하는 경우도 많다.

과거에 있었던 논의 내용을 보면 과거 2.0판을 한국어로 옮길 때도 처음에 경어체를 고려하였다가 평어체로 재작성한 것으로 보인다. 과거에 있었던 논의와 그 결론을 존중하나, 그럼에도 이번에 재차 경어체로 번역한 이유는 다음과 같다.

오늘날 오픈소스 커뮤니티의 문화는 기본적으로 구속, 엄격함, 강제성을 갖는 집행 등과는 다소 거리가 있고, 그보다는 상호 존중, 자발적 참여와 기여 등을 지향한다. 이번 기여자 서약 3.0에서는 특히나 그러한 철학을 전반적으로 강하게 반영하였다. 이번 판올림에서 원문이 전달하고자 한 핵심 가치와 철학, 그리고 커뮤니티 문화와 동향을 고려할 때 해당 글을 한국어로 옮길 때는 경어체가 적절하다고 판단하였다. 마찬가지로 경어체를 사용하는 한국 Rust 사용자 그룹과 파이콘 한국 행동 강령(PyCon KR CoC), 쿠버네티스 커뮤니티 한국어 행동 강령의 사례 역시 참고하였다.

불필요한 피동 표현의 지양

수동태를 자주 사용하는 영어와 달리, 한국어는 기본적으로 피동 표현보다 능동 표현을 선호하는 언어이다. 영어 원문에서 수동태를 사용했다 하여 이를 기계적으로 피동 표현으로 옮기면 번역한 티가 다소 나는 부자연스러운 글이 되며, 문법적으로도 부적절하다.

한국어에서도 피동 표현을 활용하는 경우가 전혀 없는 것은 아니지만, 글의 의미를 왜곡하지 않는 선에서 가급적 원문에서는 수동태로 쓰인 표현이라도 한국어 번역문에서는 능동 표현으로 옮기고자 하였다.

e.g.

• “Encouraged Behaviors”: “장려되는 행동”(X), “장려하는 행동”(O)
• “enforcement actions are carried out in private”: “집행 조치는 비공개로 진행된다“(X), “집행 조치는 비공개로 진행한다“(O)
• “its own established enforcement process”: “자체적으로 확립된 집행 절차”(X), “자체적으로 확립한 집행 절차”(O)
• “the following enforcement ladder may be used”: “다음의 단계적 집행 기준이 사용될 수 있습니다”(X), “다음의 단계적 집행 기준을 사용할 수 있습니다”(O)
• “are provided at”: “에서 제공됩니다“(X), “에서 제공합니다“(O)

사전적, 기계적 단어 번역보다는 해당 단어가 글 안에서 쓰인 맥락을 고려

영어와 한국어는 다소 거리가 먼 언어이기 때문에, 당연히 단어와 단어가 정확히 일대일로 대응하지 않는다. 사전적으로는 같은 의미라고 나와 있다고 하더라도 그러하다.

가령, 다음 부분에서의 “intimate”는 맥락상 “친밀한”이 아니라 “성적인”의 의미로 쓰였다.

Sexualization. Behaving in a way that would generally be considered inappropriately intimate in the context or purpose of the community.

또한, 다음 부분에서 “process”를 사전적으로 “처리할”이라고 번역하면 어색하다. 글의 맥락상 여기서의 “process”는 “추스를”이라 옮기는 것이 적절하다.

… give the community members involved time to process the incident.

(표준국어대사전 표제어 중)

추스르다「3」: 일이나 생각 따위를 수습하여 처리하다.

한편, 옮길 만한 고유어 표현이 마땅치 않은 외래어도 있다. 가령 “community”의 경우, 고유어로 옮기자면 “공동체” 정도로 옮길 수도 있겠으나 영어에서 “community”라는 단어가 갖는 어감과 한국어에서 “공동체”라는 단어가 갖는 어감에 제법 차이가 있다고 판단하였다. 가급적이면 외래어를 고유어로 순화하여 적되, 이처럼 원문의 뜻이나 어감을 왜곡할 우려가 크다고 판단할 시 “커뮤니티”와 같이 그대로 유지하였다.

이러한 점들을 고려하여, 사전적이고 기계적인 단어들의 단순 치환 작업을 하는 것이 아니라 원문의 뜻과 맥락에 가장 가까운 한국어 표현을 골라 번역하고자 하였다.

그 밖에 한국어의 어문 규범 준수

한글 맞춤법과 표준어 규정 등 한국어의 어문 규범을 가능한 정확히 준수하고자 노력하였다.

“서약(Our Pledge)” 문단

소제목

“Our Pledge”를 직역하면 “우리의 맹세”가 되겠으나, 기존 한국어 번역문에서 “서약”으로 옮긴 바 있고 글의 자연스러움을 고려하면 충분히 허용 범위라 판단하므로 이번에도 “서약”으로 유지하였다.

“caste” 용어의 번역

기존 2.1판의 한국어 번역문에서는 이를 그대로 “카스트 제도”라 번역하였다. 카스트(caste)라는 단어가 세계 각지의 정교하게 고착화된 신분 질서 제도를 칭하는 학술적 일반명사로서의 의미도 가지므로 꼭 오역이라고만 보긴 어렵지만, 이러한 자세한 배경 정보가 주어지지 않았을 시 일상에서 한국어로 “카스트 제도”라고 하면 대다수는 “마누 법전 등으로부터 유래한 인도 내 힌두교도 특유의 신분제”로 이해하기 때문에 원문의 맥락을 고려하여 “계급”으로 번역하였다. 여기서의 “caste”는 특정 국가(인도)나 종교(힌두교)로 국한하지 않고 모든 종류, 형태의 신분제와 그에 따른 계급을 의미한다고 해석하는 것이 타당하다.

“성별” 대신 “성” 표현 사용

We are committed to fostering an environment that respects and promotes the dignity, rights, and contributions of all individuals, regardless of … sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation … or other status.

원문에서 전달하고자 하는 가치와 맥락을 고려하면, 여기서 말하는 “sex”, “gender”, “sexual orientation” 등이 의미하는 것이 남녀 이분법에 따른 구별은 아닐 것이다. 따라서 남녀 이분법에 따른 구분의 의미를 은근히 내포하는 “성별” 대신 “성”이라는 단어를 사용하였고, 인문사회학적으로 sex, gender, sexuality 세 용어가 갖는 의미 차이를 가능한 살려서 다음과 같이 번역하였다.

… 생물학적 또는 사회적 성, 성 정체성 또는 성 표현, 성적 지향…

“장려하는 행동(Encouraged Behaviors)” 및 “제한하는 행동(Restricted Behaviors)” 문단

콜론(:) 제거

With these considerations in mind, we agree to behave mindfully toward each other and act in ways that center our shared values, including:

1. Respecting the purpose of our community, our activities, and our ways of gathering.
2. Engaging kindly and honestly with others. …

영어 원문에서는 하나의 완결 문장 뒤에 예시 목록을 나열할 목적으로 위와 같이 콜론을 사용하는 용법이 흔하나, 현대 한국어의 어문 규범은 쌍점의 용법을 표제 다음에 해당 항목을 들거나 설명을 붙일 때 등 주로 개조식 표현으로 제한한다. 따라서 아예 개조식으로 작성한 글이라면 모를까, 다음과 같이 작성하는 것은 매우 어색하며 기계 번역이나 LLM을 이용해 대충 번역하였다는 인상을 주기 쉽다. 개인적으로 2.1 판의 한국어 번역본에서도 많이 아쉬웠던 부분 중 하나이다.

이러한 점을 유념하며, 우리는 서로를 사려 깊게 대하고 우리가 공유하는 다음 가치를 중심으로 행동할 것에 동의합니다:

1. 우리 공동체의 목적, 활동 및 모임 방식을 존중합니다.
2. 친절하고 정직하게 다른 사람들과 소통합니다. …

따라서 한국어의 용법에 맞게, 콜론을 사용한 부분을 그대로 쌍점으로 옮겨 적는 대신 마침표(.)로 바꿔 적어서 자연스러운 글이 되도록 하였다.

“that would generally be considered inappropriately” 표현의 번역

여기서 “generally”를 “일반적으로”라고 직역하기보다는, 맥락상 보다 자연스럽게 “대부분의 사람들에게”로 번역하였다.

…대부분의 사람들이 부적절하다고 간주할 만한…

“act on” 표현의 번역

처음에 “act on”을 단순히 “이용하다”로 번역할까 고민했으나, 맥락상 의도를 불문하고 타인의 신상 정보 또는 개인적인 정보를 바탕으로 행하는 모든 행위를 금한다는 내용에 가깝고 이를 “이용하다”로 번역하면 의미를 축소시키는 것 같아 다음과 같이 번역하였다.

비밀 침해. 타인의 신상 관련 정보 또는 개인적인 정보를 당사자의 허락 없이 공유하거나, 그 정보를 바탕으로 행하는 모든 행위.

“문제 신고(Reporting an Issue)” 문단

• “this Code of Conduct reinforces encouraged behaviors and norms that …”: “본 행동 강령은 …는 권장 행동 방식과 규범을 증진합니다“로 번역
• “in a timely manner”: “적시에”로 번역
• “while prioritizing safety and confidentiality”: “안전과 비밀 유지를 우선시한다는 전제 하에”로 번역
• “In order to honor these values”: “이들 가치를 지키기 위해”로 번역

  (Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

  honor verb
  keep promise 3. honor something (formal) to do what you have agreed or promised to do

“피해 대응 및 교정(Addressing and Repairing Harm)” 문단

• “Addressing”: “대응”으로 번역
• “Repairing”: “교정”으로 번역

Event:, Consequence:, Repair:의 번역

한국어로 옮기기가 애매해서 고민을 좀 했던 부분이다. “사건”, “결과”, “교정”로 직역하면 글이 상당히 어색해진다.

자연스러운 글이 되면서도 원문의 철학을 가능한 온전히 전달하기 위하여 고민한 끝에 다음과 같이 번역하였다.

• “Event”: “적용 상황”으로 번역.
• “Consequence”: “대응 조치”로 번역.
• “Repair”: 처음에는 “회복 조치”를 고려하였으나, “조치”라는 표현은 당사자의 자발적인 성찰과 개선보다는 타자가 개입하여 집행한다는 어감이 있어 원문의 취지에 어긋난다고 보고 기각. 최종적으로는 “교정 노력”으로 번역.

“seeking clarification on expectations” 표현의 번역

“expectations”는 “기대 사항”으로 직역할 수도 있고 이렇게 해도 의미는 통하지만, 좀 더 매끄러운 글을 위하여 “준수 사항”으로 번역하였다.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

expectation noun
3. [countable, usually plural] a strong belief about the way something should happen or how somebody should behave

“seeking clarification”은 “해명(clarification) 요구(seeking)”로 번역할 수도 있지만, 맥락상 교정 노력(Repair) 항목에서는 문제를 일으킨 이가 취해야 할 바람직한 사후 행동과 태도를 기술하고 있으므로 clarification, seeking을 각각 해명, 요구로 번역하면 뜻이 이상해진다. 여기서는 스스로 반성하고 같은 잘못을 되풀이하지 않기 위하여 준수 사항(expectations)을 명확히 확인하고 숙지하기(clarification) 위한 노력(seeking)으로 번역함이 가장 적절하다고 보았다.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

seek verb
2. [transitive] to ask somebody for something; to try to obtain or achieve something

clarification noun
[uncountable, countable] (formal)
the act or process of making something clearer or easier to understand

• I am seeking clarification of the regulations.

“cooldown” 표현의 번역

사전적으로 냉각, (본 운동 이후의) 정리 운동, 진정 등의 뜻이 있고 여기서는 맥락상 진정에 제일 가까운 의미로 사용하였다. “머리 좀 식혀라.”라고 할 때의 “식히다”의 뜻에 제일 가깝다.

다만 “time-limited cooldown period”를 “한시적 진정 기간”이라고 옮기면 좀 어색하여, 이번 한국어 번역에서는 “cooldown period”를 “자숙 기간”으로 번역하였다.

“time to process the incident” 표현의 번역

상술하였듯, “해당 일을 추스를 시간”으로 번역하였다.

“suspension” 및 “ban” 표현의 번역

기존 2.1판의 한국어 번역문에서는 “ban”을 “제재”라 번역하였는데, 제재라 함은 하위 단계인 경고, 일시적 활동 제한 등 위반 행위에 대해 취할 수 있는 모든 조치를 포괄하는 뜻이기에 의미하는 바가 불명확하다. 그리고 영단어 “ban”은 그 뜻이 정지하다, 금지하다 로 명백한 데다 “(계정 등의) 영구 정지”라는 표현은 한국어로도 일상적으로 자주 사용하는 자연스러운 표현이므로 딱히 이를 피해서 의역해야 할 이유도 없다고 본다.

“suspension” 역시 마찬가지로, 정직, 정학 등 “정지”라는 뜻이 분명하며 굳이 의역할 이유가 없다.

따라서 “Temporary Suspension”, “Permanent Ban”은 각각 “일시적 정지”, “영구 정지”로 번역하였다.

“This enforcement ladder is intended as a guideline.” 문장의 번역

“enforcement ladder” 표현은 “단계적 집행 기준”으로 번역하였다. 또한 이 문장은 상술한 단계적 집행 기준이 어디까지나 여러 가능한 선택지 중 하나로 제시하는 것일 뿐, 커뮤니티 관리자의 재량과 결정권을 보장한다는 맥락에서 쓰였으므로 관사 “a”를 “하나의”로 번역하였다. 이에 번역문에서는 다음과 같이 작성하였다.

이 단계적 집행 기준은 하나의 기준선으로 마련한 것입니다. 이는 커뮤니티의 최선의 이익에 부합하는 커뮤니티 관리자의 재량권과 판단 권한을 제한하지 않습니다.

마치며

이러한 류의 공익적인 성격을 갖는 문서 및 프로젝트 중 상당수가 자원봉사자 및 기여자들에 의해 여러 언어로 번역 작업을 진행하곤 한다. 그러나 아쉽게도 한국어 번역의 경우 기여자가 없어서 번역본이 존재하지 않거나, 존재하더라도 기계적으로 번역한 티가 나는 어색한 글인 나머지 한국인임에도 불구하고 ‘차라리 영문으로 읽고 말지’ 하며 영문 페이지로 전환한 경험을 적잖이 한 바 있다.

이번에 한국어 번역 기여를 결심하고 작업하면서, 기왕 기여하기로 했다면 읽는 사람으로 하여금 한국인 저자가 처음부터 한국어로 쓴 글이라 해도 위화감이 없을 만한 수준의 양질의 번역문을 내놓고자 노력하였다. 원문이 담고자 했던 철학과 미묘한 맥락, 특히 기존 2.1판 대비 이번 3.0판에서 달라진 표현들이 무엇이 있으며 원 저자들이 어떠한 이유에서 그러한 선택을 하였을지를 이해하고 녹여내고자 고민하였다.

자연어의 특성상 번역이라는 게, 동일한 원문을 입력으로 받았다고 해서 무슨 함수처럼 동일한 출력이 나오는 것이 아니다. 번역가마다 약간씩은 다른 번역을 내놓게 되며, 이것은 번역가의 실력도 실력이지만 본질적으로 하나의 정해진 정답이라는 게 없는 번역, 나아가 작문의 특성에서 기인한다. 최근 들어 나는 거의 대부분의 작업에 AI를 보조적으로 활용하고 있고, 심지어 지금 이 블로그의 포스트도 LLM API를 연결해서 여러 언어로 자동 번역 및 발행하고 있다. 그러나 이번 이 작업만큼은 정말 각 잡고 제대로 된, 내가 할 수 있는 최선의 번역을 하고자 하였다. 표현 하나하나를 직접 여러 차례 검토하고, 어떤 표현을 쓰는 것이 원문의 뜻을 가장 왜곡 없이 온전하게, 그러면서도 자연스럽게 담아낼 수 있을지에 대해 고민하며, 그 결과 내놓은 내 주관적인, 그러나 최선의 판단과 해석을 반영하였다. 너도나도 AI를 활용하는 지금, 적어도 지금 이런 서약, 행동 강령 같은 중요한 문서의 번역에 있어서는 AI한테 원문 그대로 던져주고 번역해 달라 지시한 결과물 대비 비교 우위가 있어야만 번역본으로서 가치를 갖는다고 믿는다. 적어도 12026년 3월 현 시점 기준, 기계 번역이나 LLM으로는 다 살리지 못하는 원문의 미묘한 어감과 맥락 등을 이번 번역본에서는 온전히 보존하였노라 자부한다.

12026년 3월 20일 현 시점 기준으로 기여자 서약 3.0 판은 영어 원문과 내가 이번에 제출할 이 한국어 번역본을 제외하면 오직 벵골어, 독일어, 대륙 중국어 단 3개 언어로만 번역 완료되어 있고, 열려 있는 PR 목록을 보면 번역본 초안이 PR로 제출되었으나 리뷰어가 없어 최종 승인되지 못하고 있는 상태의 언어들도 많다. 심지어 3.0판은 커녕 아직 1.4판에 머물러 있는 언어들도 상당히 많다. 어떠한 이유로든 이 글을 읽는 한국어 이외 언어의 화자가 있다면, 기여 방법이 별로 복잡하지 않으므로 주말 등 하루쯤 시간 내서 기여해 준다면 분명 OES와 해당 언어 사용자들에게 큰 도움이 될 것이다. 나 역시 이런 번역 작업에 기여한 경험도, 행동 강령 전문을 정독해 본 것도 이번이 처음이었는데, 몇 시간 정도 시간을 들일 만한 가치는 충분했던 작업이었다고 생각한다. 한국이 전체 인구 수 대비 GitHub 등 오픈소스 커뮤니티에서 활발히 활동하는 개발자 수가 상당히 많은 편에 속하는데, 그런 만큼 이번에 번역하여 제출한 기여자 서약 3.0 행동 강령의 한국어 번역본도 여러 다른 한국인 분들이 리뷰에 참여하고, 또 기왕이면 많은 분들이 여러 곳에서 유용하게 채택하고 활용해 준다면 기쁠 것 같다.

OES의 블로그 글에서 인용한 네이선 슈나이더(Nathan Schneider) 교수의 말처럼, 기여자 서약(Contributor Covenant)은 책임감 있고 투명한 커뮤니티를 구축하는 데 있어 필수적인 토대로서 기능하며, 실제로 갈등을 해소하는 데 기여해 왔다. 관례적으로 GitHub 등에서 “Add a code of conduct” 버튼을 눌러서 템플릿을 붙여 넣는 경우가 흔할 텐데, GitHub에서 자동 제공하는 템플릿은 어째서인지 2.0판을 마지막으로 업데이트가 안 되고 있다. 3.0판은 이전 2.0, 2.1판 대비 큰 변화와 개선이 있었으므로 기왕이면 공식 페이지를 통해서 최신 판본을 채택하는 것이 어떨지 권유해 본다. 내용이 막상 그리 길지도 않으니, 그 과정에서 한번쯤 전문을 찬찬히 읽어본다면 더더욱 의미 있을 것이라 생각한다. 기여자 서약 3.0 행동 강령과 이번에 작업한 한국어 번역본에 많은 관심을 가져 주길 바라며, 이만 줄인다.

IR 자료란?

IR은 Investor Relations의 약어로, 투자자들을 대상으로 기업을 설명하고 홍보하며, 관계를 맺고 투자를 유치하는 데 필요한 모든 자료와 활동을 포괄적으로 일컫는 용어이다. IR 자료라고 하면 보통은 투자 유치를 위해 기업이 투자자들에게 소개하는 자료를 의미한다.

IR 자료에 들어가야 할 내용

IR 자료의 목적은 투자 유치이므로, 투자자 입장에서 이 회사에 투자해야 하는 이유가 무엇인지 설득력 있게 제시하는 것이 필요하다. 따라서 서비스 요약, 시장 환경, 제품/서비스 설명, 경쟁 환경, 성과, 사업 모형, 향후 성장 계획, 팀 구성 등 사업 전반적인 내용을 포함해야 한다.

• 피치 덱(Pitch Deck):
  • 짧고 강렬하게, 폭넓은 잠재적 투자자들에게 긍정적인 첫인상을 남기는 것이 목적
  • 초기 단계 투자 유치에서 사용
  • 슬라이드 10-15장 분량으로, 간결하고 시각적인 자료 위주로 구성
• IR 덱(IR Deck):
  • 회사의 심층적인 재무 정보와 장기 전략을 제공
  • 어느 정도 관심을 보이기 시작한, 결정을 앞둔 전문 투자자들에게 제공
  • 투자자들이 더 깊이 있는 평가와 판단을 내릴 수 있도록 함
  • 슬라이드 20-30장 분량으로, 보다 구체적인 재무 계획, 시장 분석, 팀 구성, 경쟁자 분석 등 자세한 정보 제공

미션/비전 (Mission/Vision)

• 당사가 제공하고자 하는 본질적인 가치가 무엇인가?

회사의 핵심 정체성이라고 할 수 있는 부분으로, IR 자료의 제일 첫 부분에 당사의 미션과 비전을 각각 한 문장으로 간결하면서도 명확하게 표현하는 것이 좋다.

서비스 요약

문제 (Problem)

• 해당 서비스가 해결하고자 하는 시중의 문제는 무엇인가?
• 소비자들이 이 문제에 대해 얼마나 불편해하는가?
• 그 문제가 왜 중요한가?
• 문제 해결에 대한 수요가 있는가? 타깃이 누구인가?

솔루션 (Solution)

• 앞서 언급한 문제를 구체적으로 어떻게 해결할 것인가?
• 기존 방식 대비 소비자 및 최종 사용자가 얻는 이점이 무엇인가?

투자자들이 해당 분야에 대한 전문가는 아닌 경우가 많기 때문에 개발자가 아닌 소비자의 입장에서 서비스를 설명하고, 기술적인 세부사항은 추후 질문이 들어오거나 하면 개별적으로 대응하는 것이 좋다.

시장 규모 (Market Size)

시장 규모를 금액으로 직접 설정할 경우, 산출 방식이나 여러 변수들에 따라 결과가 크게 달라질 수 있는 데다가 이견이 제기될 위험도 비교적 크다. 잠재적인 사용자 수, 거래 횟수/빈도 등의 다른 지표를 설정하여 제시하면 보다 안전하게, 효과적으로 시장 규모를 보일 수 있다.

• TAM(Total Addressable Market, 전체 시장): 모든 경쟁사를 배제하고 세계 시장 점유율 100%를 달성한다는 이상적인 상황을 가정, 제품이나 서비스를 전 세계를 대상으로 제공할 때 이론적으로 접근 가능한 시장의 최대 규모
• SAM(Service Available Market, 유효 시장): 지리적, 인프라적, 규제적 제약 조건들을 고려하여 현실적으로 서비스를 제공할 수 있는, 실제로 당사가 추구하는 범위의 시장 규모
• SOM(Service Obtainable Market, 수익시장): 경쟁 상황, 회사의 역량, 마케팅 전략 등을 고려할 때, SAM 안에서도 초기에 실제로 점유할 수 있는 시장 규모

시장 규모를 추산할 때 전체 시장이나 유효 시장의 규모에 대해서는 제삼자의 시장 조사 자료를 인용하여 구체적인 수치와 지표를 제시하면서, 정작 스타트업 입장에서 당장 중요한 수익시장 규모에 대해서는 “해당 시장에서 점유율 몇 %를 달성하면 매출 얼마를 달성할 수 있다”라는 식으로 설명하는 경우가 많다. 솔직히 말해, 나도 창업을 막 준비하면서 처음 내부적으로 작성한 IR자료 초안에서는 이런 식으로 작성했었다.

그러나 이렇게 했을 때의 문제는, 투자자 입장에서 시장의 몇 %를 점유할 것인지에 대한 계획은 신뢰하기가 어렵다는 것이다. 서비스를 출시한다고 쉽게 시장을 점유할 수 있는 것도 아니고, 막연히 해당 시장의 모든 구성원들을 대상으로 점유율 몇 %를 달성하겠다는 것은 설득력이 부족하다.

겨냥한 전체시장 및 유효시장의 크기가 충분히 큼을 보여줌과 동시에, 초기 고객군(Immediate Market)을 어떻게 보고 있고, 이후 어떤 고객군을 단계적으로 추가 공략하여 수익시장을 키워 나갈 것인지에 대한 논리를 제시하는 것이 중요하다.

사업 타이밍

• 사업에서는 타이밍도 매우 중요
• 왜 지금 이 사업이 잘 될 수 있고, 지금 투자해야 하는지 투자자들에게 설명할 수 있어야 함
• 기술적 가능성, 사람들의 행동 양상 변화, 사회적 흐름, 환경적 변화 등 지금 이 사업을 실행하기에 적합한 이유를 제시해야 함

제품/서비스 설명 (Product)

• 제품/서비스의 주요 특징과 기능은 무엇인가?
• 구체적인 작동 방식, 예시는 무엇인가?

사업 모형 (Business Model)

• 돈을 어떻게 벌 것인가?
• 누가 돈을 지불하는가? (최종 사용자와 돈을 지불하는 고객이 항상 일치하지는 않으므로, 실질적으로 매출을 발생시키는 고객이 누구인지 명확히 해야 함)
• 어떤 부분을 과금할 것인가? 가격 책정은 어떻게 할 것인가?

경쟁 환경 (Competition)

• 주요 경쟁자는 누구인가?
• 고객 입장에서 타사 서비스 및 제품 대비 당사 서비스 및 제품이 어떤 면에서 뛰어나고 장점이 있는가?
• 어떤 서비스를 경쟁 서비스로 정하고, 어떤 고객을 주요 타깃으로 할 것인가?

경쟁자를 제대로 분석해야 투자자들에게 시장 현황을 잘 파악하고 있음을 효과적으로 어필할 수 있다.

성과 및 시장 진출 전략 (Go-to Market Strategy)

• 사업의 성공에 있어 가장 중요한 핵심 지표가 무엇인가?
  • e.g. 주문 건수, 월간활성사용자(MAU), 월간 거래대금 등
• 해당 지표를 중심으로, 어떤 성과가 있었는가?
• 회사의 주요 마케팅 수단 및 채널은?
• 신규 고객 유치 수단과 비용은 얼마인가?
• *고객 생애 가치(LTV)는 얼마인가?

*고객 생애 가치(Customer Lifetime Value, LTV): 한 사용자가 해당 서비스를 이용하는 전 기간 동안 총 얼마의 이익을 가져다주는가를 수치화한 것

핵심 지표 외의 부수적인 지표는 제외하는 것이 좋다.

아직 매출이 없는 극초기 단계 스타트업이라면

• 제공하고자 하는 서비스의 손익분기점을 설정하여 제시
• 이때 수익 관련 지표를 부풀리지 않고, 보수적인 관점에서 현실적으로 설정해야 함
• 수익 발생 첫 해의 수익 시나리오를 제시하고, 향후 몇 년 간의 매출 계획을 덧붙여서 실제로 꾸준히 성장할 수 있다는 확신을 주는 게 좋음
  • 1년 단기 예측
  • 3년 중기 예측
  • 5년 장기 예측
• 내용을 한눈에 확인 가능하도록 그래프와 표를 적극적으로 활용
• 가설 검증 장표를 포함하여, 어떠한 이유로 핵심 지표와 매출 시나리오를 설정했는지를 설득력 있게 제시함으로써 근거를 강화하는 것이 좋음
  • 여러 번의 실험과 가설 검증을 통해 예상 매출 시나리오에 대한 탄탄한 근거를 마련해야 함

팀 구성 (The Team)

• 모두를 소개하기보다는, 대표 자신을 포함하여 핵심적인 역할을 수행하는 주요 팀원 위주로 소개
• 경력, 기술은 2-3개 내외로 로고 등을 활용해 가독성 좋게 제시
• 핵심적인 역할을 해 줬거나 해 주고 있는 투자자, 고문이 있다면 같이 포함하는 것도 좋음

향후 성장 계획 (Milestones)

• 시기별, 단계별로 달성하고자 하는 목표 제시
• 다음 투자 단계 전까지의 목표를 설정하는 게 일반적임 (시드라면 시리즈A 전까지, 시리즈A라면 시리즈B 전까지)
• 희망 투자 금액과 사용 계획 제시
• 이때 구분 단위를 반 년 이상으로 너무 길게 잡기보다, 2개월 정도의 단위로 끊어서 제시

재무 계획 (Financials)

IR 덱의 경우 재무 계획을 포함해야 한다.

• 향후 3-5년간의 재무계획표
• 단위 경제: 사업의 고객 단위당 수입과 비용
• 경비지출속도(Burn rate): 신생 기업에서 현금으로 지출한 창업비용, 연구개발비, 기타 비용의 비율
• 총 수입과 비용
• EBITDA 또는 현금흐름표 등

• 너무 비현실적인 재무 계획을 제시하지 않도록 주의해야 함
• 예상 매출액은 과대평가, 소요 비용은 과소평가하는 경우가 잦으므로 예상 매출규모 산정 시 신중해야 함
• 소요 비용은 제품/서비스 개발비, 그리고 운영비 등을 고려하여 가능한 정확히 추산

투자 단계별 강조해야 하는 지점

시드

• MVP를 개발하고 시장 반응 확인, 사업 모델의 타당성을 검증하는 단계
• 초기 가설과 사업 모델 검증 결과, MVP 실험 결과와 그에 따른 매출을 집중적으로 강조해야 함

Pre-A

• 성장 잠재력을 입증하고 제품 개발, 마케팅, 채용 등에 필요한 추가 자금을 확보해야 하는 단계
• 사업의 핵심 지표가 무엇이며, 어떤 활동을 통해 얼마나 잘 성장하고 있는지, 향후 성장 가능성에 대한 설명 필요

시리즈A

• 본격적으로 성장하며 기업 가치를 높이는 단계
• 이때는 가설 검증은 끝났어야 하는 시점이므로, 사업 성과에 대한 정량적인 결과로 투자자의 신뢰를 확보해야 함

몇 가지 팁들

• 처음 다섯 장은 특히 공을 들여서, 첫 인상을 긍정적으로 남길 수 있도록 해야 함
• 첫 장의 미션/비전은 마지막 장에 다시 한 번 넣는 것도 좋음
• 모든 내용은 두괄식으로 전달
• 투자의 대상은 회사이므로, IR자료에서도 서비스명보다 회사명이 우선임
• IR 자료를 읽는 잠재적인 투자자들은 업계 종사자가 아닐 수 있으므로, 가급적 쉬운 용어들 위주로 풀어서 설명하고 불가피하게 전문 용어 사용 시에는 설명을 덧붙일 것
• 시장문제와 솔루션은 혼용하지 말고 분리할 것
• 텍스트는 키워드 위주로 사용, 이미지 사용 시 캡처 이미지는 지양하여 가독성 높이기
• 정확하고 구체적인 수치 표나 그래프로 기재하기
• 팀원 소개, 희망 투자금액과 사용 계획을 누락하지 않도록 유의해야 함
• 투자금 회수 전략도 함께 제시하면 좋음
• 주주를 어떤 비율로 구성할 것인지에 대한 계획도 완벽하진 않더라도 간략하게나마 제시할 것
• 본문에 너무 많은 자료를 넣지 말고, 필요하다면 별첨 자료로 분리하기
• 마지막 슬라이드에는 연락처(이메일, 전화번호, 이름) 기재
• 글꼴도 상당히 중요하므로 Pretendard 등 가독성 좋은 글꼴을 사용하고, 깨지는 일 없도록 PDF로 준비

참고 자료

기업공시채널 KIND

https://kind.krx.co.kr/corpgeneral/irschedule.do?method=searchIRScheduleMain&gubun=iRMaterials

• 한국거래소에서 운영하는 기업공시 채널
• KOSPI, KOSDAQ, KONEX에 상장한 기업들의 공시 정보 제공
• 상장사들의 IR 자료를 확인할 수 있어, 최근 제작된 다른 IR 자료들의 구성 방식을 확인할 수 있음

암호학이란

암호학(cryptography)은 본질적으로, 적대 행위로부터 프로토콜(protocol)을 방어하는 것을 목표로 하는 과학의 한 하위 분야이다.

여기서 프로토콜이라 함은 한 명 이상의 사람이 무언가를 달성하기 위하여 따라야 하는 단계의 목록인데, 가령 기기 간 클립보드 공유를 하고 싶다고 할 때 다음은 클립보드 공유를 위한 프로토콜에 해당한다.

1. 어느 한 기기에서 클립보드에 변경사항이 있을 시, 해당 클립보드 내용을 복사하여 서버에 업로드한다.
2. 서버에서는 공유 클립보드에 변경사항이 발생하였음을 나머지 기기들에 알린다.
3. 나머지 기기들에서는 해당 공유된 클립보드 내용을 서버로부터 다운로드한다.

다만 이는 좋은 프로토콜이 아닌데, 클립보드 내용을 평문 그대로 서버에 올리고 또 다운로드할 경우 통신 과정에서 중간에 누군가가, 혹은 해당 서버 측이 클립보드 내용을 훔쳐볼 수 있기 때문이다. 여기서 클립보드 내용을 훔쳐보려는 적의 존재를 고려하여 방어하는 것이 암호학의 역할이다.

대칭 암호학

대칭 암호화

앨리스(Alice)가 밥(Bob)에게 편지를 보내야 하는 상황을 생각하자. 앨리스는 밥에게 기밀 정보를 전하기 위해 전령(messenger)에게 편지를 들고 가 전하도록 명령한다. 그러나 앨리스는 전령을 완전히 믿지 못하며, 전달하는 메시지가 편지를 들고 가는 전령을 포함해 밥을 제외한 모든 사람에게 비밀로 유지되기를 원한다.

이러한 상황에 사용하기 위해 오래전에 발명된 암호학적 알고리즘이 바로 대칭 암호화 알고리즘(symmetric encryption algorithm)이다.

프리미티브(primitive)
프리미티브(primitive)라는 단어는 사전적으로는 ‘원시적인’, ‘원시적인 것’의 뜻을 가진다. 그런데 암호학에서도 이 프리미티브라는 용어를 자주 사용하는데, 여기서의 프리미티브란 암호학 시스템을 구성하는 가장 작은 단위의 함수나 알고리즘을 의미한다. ‘기본 요소’, ‘기반 논리’ 정도로 생각할 수 있다.

다음의 두 가지 함수를 제공하는 어떤 프리미티브를 생각해 보자.

• ENCRYPT: 비밀 키(secret key)(보통 큰 수)와 메시지(message)를 입력받아, 일련의 숫자열을 암호화된 메시지로 출력
• DECRYPT: ENCRYPT의 역함수로, 동일한 비밀 키와 암호화된 메시지를 입력받아 원본 메시지를 출력

이와 같은 암호 프리미티브를 사용하여 전령을 비롯한 제삼자가 앨리스의 메시지를 읽지 못하도록 숨기려면, 먼저 앨리스와 밥이 사전에 만나 어떤 비밀 키를 사용할지 정해야 한다. 이후에 앨리스는 ENCRYPT 함수를 사용하여 약속한 비밀 키로 메시지를 암호화할 수 있으며, 이 암호화한 메시지를 전령을 통해 밥에게 전달한다. 그러면 밥은 같은 비밀 키를 사용하여 DECRYPT 함수로 원본 메시지를 얻는다.

이처럼 비밀 키를 사용하여 대상을 암호화, 겉보기에는 무의미한 노이즈와 구별할 수 없도록 만드는 과정은 암호학에서 프로토콜을 보호하는 일반적인 방법이다.

대칭 암호화는 대칭 암호학(symmetric cryptography) 또는 비밀 키 암호학(secret key cryptography)이라는 더 큰 범주의 암호학 알고리즘에 속하며, 경우에 따라서는 키가 둘 이상일 수도 있다.

케르크호프스의 원칙

오늘날 우리는 종이 편지보다 훨씬 강력한, 컴퓨터와 인터넷이라는 통신수단을 이용해 거의 실시간으로 소통할 수 있다. 그러나 이는 바꿔 말하면 악의적인 전령도 더 강력해졌다는 의미인데, 카페 등의 안전하지 않은 공용 Wi-Fi일 수도 있고, 통신사업자(ISP)를 비롯해 인터넷을 구성하고 메시지를 전달하는 다양한 통신장비 및 서버, 정부기관, 심지어는 알고리즘을 실행하는 본인의 기기 안에 있을 수도 있다. 적들은 더 많은 메시지를 실시간으로 관찰하고, 눈치채지 못하게 메시지를 나노초 단위로 위변조하거나 감청, 검열할 수 있다.

암호학의 오랜 시행착오 과정에서 나온 신뢰할 수 있는 보안을 갖추기 위한 대원칙이 있는데, 프리미티브를 공개적으로 분석해야 한다는 것이다. 이와 대비되는 방법론은 모호함에 의한 보안(security by obscurity)이라 할 수 있으며, 한계가 명확하여 오늘날에는 사장되었다.

해당 대원칙은 11883년에 네덜란드의 언어학자이자 암호학자였던 오귀스트 케르크호프스(Auguste Kerckhoffs)가 처음 정립한 것으로, 케르크호프스의 원칙(Kerckhoffs’s principle)이라고 한다. 같은 원칙을 미국의 수학자, 컴퓨터과학자, 암호학자이자 정보이론의 아버지인 클로드 섀넌은 “적은 시스템을 알고 있다(The enemy knows the system)”, 즉 “어떤 시스템을 설계할 때는 그 시스템을 적이 파악할 것이라 가정해야 한다”라고도 표현했으며, 이는 섀넌의 격언(Shannon’s maxim)이라고 한다.

암호체계의 보안성은 키의 비밀성에만 의존해야 하며, 암호체계 자체는 알려지더라도 문제가 없어야 하고 오히려 적극적으로 공개하여서 AES의 사례와 같이 많은 암호 분석가(cryptanalyst)들이 검증할 수 있도록 하여야 한다. 비밀이라는 것은 늘 유출될 위험이 있고 따라서 잠재적인 실패 지점이기에, 비밀로 유지해야 하는 부분이 작으면 작을수록 방어자 입장에서 유리하다. 암호 체계와 같이 크고 복잡한 시스템 전체를 장기간 비밀로 유지하는 것은 대단히 어려우나, 키만 비밀로 유지하는 것은 비교적 쉽기 때문이다. 게다가 설령 비밀이 유출되더라도, 전체 암호 체계를 교체하는 것보다 유출된 키만 새로운 키로 교체하는 것이 훨씬 간단하다.

비대칭 암호학

많은 프로토콜이 실제로 대칭 암호학 기반으로 작동하나, 이런 방식은 키를 결정하기 위해 양 참가자가 처음 한 번은 따로 만나야 한다는 것을 전제한다. 따라서 사전에 키를 어떻게 결정하고 안전하게 공유할 것인지가 문제가 되는데, 이 문제를 키 배포(key distribution)라 한다. 키 배포 문제는 오랜 시간 난제였으며, 11970년대 후반에 비대칭 암호학(asymmetric cryptography) 또는 공개 키 암호학(public key cryptography)이라 불리는 암호학 알고리즘이 개발되면서 비로소 해결된다.

대표적인 비대칭 암호학 프리미티브로 키 교환(key exchange)과 비대칭 암호화(asymmetric encryption), 디지털 서명(digital signature)이 있다.

키 교환

키 교환은 개략적으로 다음과 같이 동작한다.

1. 앨리스와 밥이 어떤 한 매개변수 집합 $G$를 공통으로 사용하기로 합의
2. 앨리스와 밥이 각자 사용할 비밀 키(private key) $a, b$를 결정
3. 앨리스와 밥은 처음에 사용하기로 한 공통 매개변수 $G$에, 각자의 비밀 키 $a$, $b$를 결합하여 공개 키(public key) $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$를 계산한 후, 이를 공개적으로 공유
4. 앨리스는 밥의 공개 키 $B = f(G,b)$와 자신의 비밀 키 $a$를 사용해 $f(B,a) = f(f(G,b),a)$를, 밥은 마찬가지로 앨리스의 공개 키 $A = f(G,a)$와 자신의 비밀 키 $b$를 사용해 $f(A,b) = f(f(G,a),b)$를 계산
5. 여기서 $f(f(G,a),b) = f(f(G,b),a)$인 성질을 갖는 적절한 $f$를 사용한다면, 최종적으로 앨리스와 밥은 같은 비밀을 공유하게 되며, 제삼자는 $G$와 공개키 $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$를 알지만 이것만으로는 $f(A,b)$를 알아낼 수 없으므로 비밀을 유지할 수 있음

보통은 이렇게 공유한 비밀을 대칭 암호화의 비밀 키로 사용하여 추후 다른 메시지들을 교환하는 식으로 활용한다.

최초로 발표된, 그리고 가장 대표적인 키 교환 알고리즘은 작성자 두 사람의 성 디피(Diffie)와 헬먼(Hellman)을 따서 명명한 디피-헬먼 키 교환 알고리즘이다.

그러나 디피-헬먼 키 교환도 한계가 있다. 공격자가 공개 키 교환 단계에서 공개 키 $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$를 중간에 가로챈 후 자신의 것 $M = f(G,m)$으로 바꿔서 앨리스와 밥에게 전달하는 상황을 생각해 보자. 이 경우 앨리스와 공격자는 가짜 비밀 $f(M, a) = f(A, m)$를, 밥과 공격자는 또다른 가짜 비밀 $f(M, b) = f(B, m)$을 공유한다. 이렇게 되면 공격자가 앨리스에게는 밥 행세를, 밥에게는 앨리스 행세를 할 수 있게 된다. 이런 상황을 두고 중간자(man-in-the-middle, MITM)가 프로토콜을 성공적으로 공격했다고 한다. 이 때문에 키 교환은 신뢰 문제를 해결하지는 못하며, 다만 참가자가 많을 때 절차를 단순화하는 효과가 있다.

비대칭 암호화

디피-헬먼 키 교환 알고리즘 발명 이후 빠르게 후속 발명이 이뤄졌는데, 발명자인 로널드 리베스트(Ronald Rivest), 아디 샤미르(Adi Shamir), 레너드 애들먼(Leonard Adleman)의 성을 따서 명명된 RSA 알고리즘(RSA algorithm)이다. RSA는 공개 키 암호화(비대칭 암호화)와 전자서명이라는 두 가지 프리미티브를 포함하며, 둘 다 비대칭 암호학의 일부이다.

비대칭 암호화의 경우, 기밀성을 확보하기 위해 메시지를 암호화한다는 기본 목적은 대칭 암호화와 유사하다. 그러나 동일한 대칭 키를 암호화와 복호화 둘 다에 활용하는 대칭 암호화와는 달리, 비대칭 암호화는 다음과 같은 특성을 가진다.

• 두 가지 키, 공개 키와 비밀 키로 작동
• 누구나 공개 키로 암호화할 수 있지만, 복호화는 비밀 키를 가진 사람만 가능

1. 누구나 안에 메시지를 넣고 잠글 수 있으나, 일단 한 번 잠기면 밥이 가진 열쇠(비밀키)로만 열 수 있는 열린 상자(공개키)가 존재
2. 앨리스는 전하려는 메시지를 상자에 넣고 잠근 후(암호화한 후), 밥에게 전달
3. 밥은 잠긴 상자(암호화된 메시지)를 받은 후, 자기가 가진 열쇠(비밀키)로 상자를 열어 메시지를 꺼냄(복호화함)

전자서명

RSA는 비대칭 암호화뿐만 아니라 전자서명도 제공하는데, 이 전자서명 프리미티브는 앨리스와 밥 사이의 신뢰 구축에 대단히 큰 도움이 되었다. 메시지에 서명할 때에는 본인의 비밀 키를 사용하며, 다른 사람이 해당 서명의 진위 여부를 확인할 때에는 서명된 메시지와 서명, 그리고 서명인의 공개 키를 사용하여 검증하는 식으로 동작한다.

암호학의 효용

암호학의 목표는 적대 행위로부터 프로토콜을 보호하는 것이므로, 해당 프로토콜이 달성하려는 목표가 무엇인지가 암호학의 효용을 결정한다. 대부분의 암호학 프리미티브와 프로토콜은 다음 중 하나 이상의 속성을 지닌다.

• 기밀성(confidentiality): 정보를 보면 안 될 사람에 대해 일부 정보를 가리고 보호
• 인증(authentication): 대화 상대를 식별(e.g. 받은 메시지가 정말로 앨리스가 보낸 것인지 확인)

암호학 생태계

flowchart TD
    Alice[암호학 연구자]-- 프리미티브 발명 -->Primitive(새로운 프리미티브 제안)
    Alice-- 프로토콜 발명 -->Protocol(새로운 프로토콜 제안)
    Alice-. 대회 개최 .->C(알고리즘 대회)

    David[민간 산업계]-. 자금 지원 .->Alice
    David-. 대회 개최 .->C

    Eve[정부기관]-. 자금 지원 .->Alice
    Eve-. 대회 개최 .->C

    Primitive --> t1{"구현 가능한가?"}
    t1-- 예 -->Protocol
    t1-- 아니오 -->term1@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Protocol-- 대회 참가 -->C
    Protocol-- 표준화 -->Standard(표준)
    Protocol-- 특허 출원 -->Patent(특허 만료)
    Protocol-- 구현 -->Library(라이브러리)
    
    C-- 대회 승리 -->Standard
    C-- 도태 -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Standard-- 구현 -->Library
    Standard-- 도태 -->term3@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Patent-- 도태 -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }
    Patent-- 표준화 -->Standard
    Patent-- 구현 -->Library

    Library-- 표준화 -->Standard
    Library-- 보안 뚫림 -->term4@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

Prerequisites

• 벡터와 선형결합
• 벡터공간, 부분공간, 그리고 행렬
• 선형 종속과 선형 독립, 기저와 차원
• 일대일함수, 전사함수

선형변환

벡터공간의 구조를 보존하는 특별한 함수를 선형변환(linear transformation)이라 하며, 이는 순수수학, 응용수학, 사회과학, 자연과학, 그리고 공학을 통틀어 매우 자주 등장하는 중요한 개념이다.

정의
$\mathbb{V}$와 $\mathbb{W}$가 $F$-벡터공간이라 하자. 모든 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\ c \in F$에 대하여 다음의 두 조건을 만족하는 함수 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$를 $\mathbb{V}$에서 $\mathbb{W}$로 가는 선형변환(linear transformation)이라 한다.

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

$T$가 선형변환이라는 말을 간단히 줄여 $T$는 선형(linear)이라고도 표현한다. 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$는 다음의 네 성질을 만족한다.

1. $T$가 선형 $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$가 선형 $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$가 선형 $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$가 선형 $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

어떤 함수가 선형임을 보일 때 보통 2번째 성질을 사용하면 편리하다.

선형대수학은 기하학에서도 폭넓고 다양하게 사용할 수 있는데, 그 이유는 많은 중요한 기하 변환들이 선형이기 때문이다. 특히 주요한 세 가지 기하 변환인 회전, 대칭, 사영이 선형변환에 해당한다.

다음의 두 가지 선형변환이 특히 자주 등장한다.

항등변환과 영변환
$F$-벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$에 대하여

• 항등변환(identity transformation): 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$라 정의되는 함수 $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$
• 영변환(zero transformation): 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$이라 정의되는 함수 $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$

이 외에도 다양한 개념들이 선형변환에 해당한다.

선형변환의 예시

• 회전
• 대칭
• 사영
• 전치
• 미분가능한 함수의 미분
• 연속함수의 적분

영공간과 상

영공간과 상의 정의

정의
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여

• 영공간(null space) 또는 핵(kernel): $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$인 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$를 원소로 가지는 집합, $\mathrm{N}(T)$라 표기함

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• 치역(range) 또는 상(image): $T$의 함숫값을 원소로 가지는 $\mathbb{W}$의 부분집합, $\mathrm{R}(T)$라 표기함

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. 벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 항등변환 $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$, 영변환 $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대해 다음이 성립한다.

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

앞으로 계속해서 중요하게 나올 내용인데, 선형변환의 영공간과 상은 벡터공간의 부분공간이다.

정리 1
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여 $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$는 각각 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$의 부분공간이다.

증명
$\mathbb{V}, \mathbb{W}$의 영벡터를 각각 $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$라 표기하자.

$T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$이므로 $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$이며, 또한 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c \in F$에 대하여 다음이 성립한다.

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$이므로 $\mathrm{N}(T)$는 $\mathbb{V}$의 부분공간이다.

마찬가지로, $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$이므로 $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$이며, $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$이므로

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$이므로 $\mathrm{R}(T)$는 $\mathbb{W}$의 부분공간이다. $\blacksquare$

한편, 벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여 $\mathbb{V}$의 기저 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$을 알 경우, 상 $\mathrm{R}(T)$의 생성집합을 다음과 같이 찾을 수 있다.

정리 2
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, $\mathbb{V}$의 기저 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$에 대하여 다음이 성립한다.

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

증명

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

$\mathrm{R}(T)$가 부분공간이므로, 벡터공간, 부분공간, 그리고 행렬의 정리 2에 의해

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

또한,

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

$\beta$가 $\mathbb{V}$의 기저이므로

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(단, } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

$T$는 선형이므로

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$이고 동시에 $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$이므로, $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

이 정리는 기저 $\beta$가 무한집합일 때에도 성립한다.

차원정리

영공간과 상은 매우 중요한 부분공간이므로, 차원에도 이름을 붙여 특별하게 다룬다.

벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여 $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$가 유한차원이라 하자.

• 영공간의 차원(nullity): $\mathrm{N}(T)$의 차원, $\mathrm{nullity}(T)$라 표기함
• 계수(rank): $\mathrm{R}(T)$의 차원, $\mathrm{rank}(T)$라 표기함

선형변환에서 영공간의 차원이 커질수록 계수는 작아지고, 반대로 계수가 커질수록 영공간의 차원은 작아진다.

정리 3: 차원정리(dimension theorem)
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$에 대하여 $\mathbb{V}$가 유한차원이면 다음이 성립한다.

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

증명

$\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$라 하고, $\mathrm{N}(T)$의 기저를 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$라 하자.

“선형 종속과 선형 독립, 기저와 차원”의 따름정리 6-1에 따라, $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$를 확장하여 $\mathbb{V}$의 기저 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$을 얻을 수 있다.

이제, $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$이 $\mathrm{R}(T)$의 기저임을 보일 것이다. 우선 $1 \leq i \leq k$일 때 $T(\mathbf{v}_i) = 0$이므로, 정리 2에 의해

즉, $S$는 $\mathrm{R}(T)$의 생성집합이다. 이제 대체정리의 따름정리 5-2에 따라, $S$가 선형독립임을 보이면 $S$가 $\mathrm{R}(T)$의 기저임을 증명할 수 있다.

$\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (단, $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$)라 하면, $T$가 선형이므로

따라서,

$\beta$가 $\mathbb{V}$의 기저이니, $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$의 유일한 해는

이고, 이로부터

즉, $S$는 선형독립이며, $\mathrm{R}(T)$의 기저이다.

선형변환과 일대일함수, 전사함수

선형변환에서 일대일함수(injection)와 전사함수(surjection)는 계수, 영공간의 차원과 밀접한 관련이 있다.

정리 4
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여

\[T\text{는 일대일함수이다.} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

정리 5
유한차원 벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$의 차원이 같을 때, 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여 다음 네 명제는 동치이다.

1. $T$는 일대일함수이다.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$는 전사함수이다.

차원정리와 선형변환의 성질 1, 3, 그리고 “선형 종속과 선형 독립, 기저와 차원”의 정리 6을 이용하여 정리 4와 정리 5를 증명할 수 있다.

이 두 정리는 주어진 선형변환이 일대일함수 또는 전사함수인지 판별할 때 유용하다.

무한차원 벡터공간 $\mathbb{V}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$에 대해서는, 단사와 전사는 동치가 아니다.

또한 어떤 선형변환이 일대일함수라면, 경우에 따라선 주어진 벡터공간의 부분집합이 선형독립인지를 판별할 때 다음의 정리가 유용할 수 있다.

정리 6
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 일대일함수인 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, 그리고 $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 다음이 성립한다.

\[S\text{가 선형독립이다.} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{가 선형독립이다.}\]

선형변환과 기저

선형변환의 중요한 특성은, 기저에 따라 선형변환이 어떻게 행동하는지가 결정된다는 것이다.

정리 7
$F$-벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 $\mathbb{V}$의 기저 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, 그리고 벡터 $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$에 대하여 다음 조건을 만족하는 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$가 유일하게 존재한다.

\[i = 1, 2, \dots, n \text{에 대하여 } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

증명
$\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 다음 선형결합 표현은 유일하다.

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$를

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

로 놓자.

i) $i = 1, 2, \dots, n$에 대하여 $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii)

또다른 선형변환 $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$가 $i = 1, 2, \dots, n$에 대하여 $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$를 만족한다고 가정하면, $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$에 대하여

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

i), ii)에 의해, $i = 1, 2, \dots, n$에 대하여 $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$인 선형변환은

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

로 유일하다. $\blacksquare$

따름정리 7-1
두 벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$에 대하여 $\mathbb{V}$가 유한집합인 기저 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$을 포함한다고 할 때, 두 선형변환 $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$가 $i = 1, 2, \dots, n$에 대해 $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$를 만족하면 $U = T$이다.
즉, 기저에서 함숫값이 같으면 같은 선형변환이다.

Prerequisites

• 벡터와 선형결합
• 벡터공간, 부분공간, 그리고 행렬

선형 종속과 선형 독립

어떤 벡터공간 $\mathbb{V}$와 부분공간 $\mathbb{W}$에 대해, $\mathbb{W}$를 생성하는 가능한 작은 유한 부분집합 $S$를 찾고 싶다고 하자.

집합 $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$에 대하여 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$라 할 때, $\mathbb{W}$를 생성하는 $S$의 진부분집합이 존재하지는 않는지 판별하려면 어떻게 해야 할까? 이는 $S$에서 꺼낸 한 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현 가능한지 판별하는 문제와 같다. 예를 들어, $\mathbf{u}_4$를 나머지 세 벡터의 선형결합으로 표현하기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 스칼라 $a_1, a_2, a_3$가 존재하는 것이다.

하지만 $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ 각각에 대해 매번 이런 식으로 연립일차방정식을 세워서 해가 존재하는지 확인하려면 번거로우므로, 식을 살짝 변경해 보자.

만약 $S$의 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형결합이면, 위와 같이 영벡터를 $S$의 선형결합으로 표현할 때 계수 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 중 하나 이상이 $0$이 아닌 표현이 존재한다. 이 명제의 역 또한 참으로, 계수 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 중 하나 이상이 $0$이 아니면서 영벡터를 $S$의 원소 벡터들의 선형결합으로 표현하는 방법이 존재한다면 $S$의 어떤 벡터는 다른 벡터들의 선형결합이다.

이를 일반화하여, 다음과 같이 선형종속과 선형독립을 정의한다.

정의
벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$와 적어도 하나가 $0$이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n$이 존재하면 집합 $S$ 및 그 벡터들은 선형종속(linearly dependent)이라 한다. 그렇지 않은 경우는 선형독립(linearly independent)이라 한다.

임의의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$에 대하여 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$이면 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$이며, 이를 영벡터의 자명한 표현(trivial representation of $\mathbf{0}$)이라 한다.

선형독립인 집합에 대한 다음의 세 명제가 모든 벡터공간에서 항상 참이다. 특히 명제 3은 앞서 본 것처럼 어떤 유한집합이 선형독립인지 판정할 때 매우 유용하다.

• 명제 1: 공집합은 선형독립이다. 어떤 집합이 선형종속이기 위해서는 공집합이 아니어야 한다.
• 명제 2: 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 선형독립이다.
• 명제 3: 어떤 집합이 선형독립이기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{0}$을 주어진 집합에 대한 선형결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것이다.

또한 다음의 정리들도 중요하다.

정리 1
$\mathbb{V}$가 벡터공간이고 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$일 때, $S_1$이 선형종속이면 $S_2$도 선형종속이다.

따름정리 1-1
$\mathbb{V}$가 벡터공간이고 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$일 때, $S_2$가 선형독립이면 $S_1$도 선형독립이다.

정리 2
벡터공간 $\mathbb{V}$ 그리고 선형독립인 부분집합 $S$를 생각하자. $S$에 포함되지 않는 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$에 대해, $S \cup \{\mathbf{v}\}$가 선형종속이기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$이다.

바꿔 말해, $S$의 어떤 진부분집합도 $S$와 같은 공간을 생성하지 못한다면 $S$는 선형독립이다.

기저와 차원

기저

선형독립인 $\mathbb{W}$의 생성집합 $S$에는 특별한 성질이 있는데, $\mathbb{W}$에 속한 모든 벡터는 반드시 $S$의 선형결합으로 표현할 수 있고, 그 표현은 유일하다(정리 3). 따라서, 어떤 벡터공간에 대한 선형독립인 생성집합을 특별히 다음과 같이 기저(basis)라고 정의한다.

기저의 정의
벡터공간 $\mathbb{V}$와 부분집합 $\beta$에 대하여, $\beta$가 선형독립이고 $\mathbb{V}$를 생성하면 $\beta$를 $\mathbb{V}$의 기저(basis)라고 한다. 이때, $\beta$의 벡터는 $\mathbb{V}$의 기저를 형성한다고 한다.

$\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$이고, $\emptyset$은 선형독립이다. 따라서 $\emptyset$은 점공간의 기저이다.

특히, $F^n$에 대한 다음의 특별한 기저를 $F^n$의 표준기저(standard basis)라 한다.

표준기저의 정의
벡터공간 $F^n$에 대하여 다음 벡터들을 생각하자.

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

이때, 집합 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$은 $F^n$의 기저이며, 이를 $F^n$의 표준기저(standard basis)라 한다.

정리 3
벡터공간 $\mathbb{V}$와 서로 다른 $n$개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$에 대하여, 집합 $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$이 $\mathbb{V}$의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 ‘임의의 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$를 $\beta$에 속한 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현이 유일할 것’이다. 즉, 유일한 스칼라 $n$순서쌍 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$에 대하여 벡터 $\mathbf{v}$는 다음과 같아야 한다.

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

정리 3에 따르면, 서로 다른 $n$개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$가 벡터공간 $\mathbb{V}$의 기저를 형성할 경우 해당 벡터공간 안에서는 벡터 $\mathbf{v}$가 주어지면 그에 대응하는 스칼라 $n$순서쌍 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$이 결정되고, 반대로 스칼라 $n$순서쌍이 주어지면 그에 대응하는 벡터 $\mathbf{v}$를 얻을 수 있다. 나중에 가역성과 동형사상에 대해 공부할 때 다시 정리하겠지만, 이 경우 벡터공간 $\mathbb{V}$와 $F^n$은 본질적으로 같다.

정리 4
유한집합 $S$에 대해 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$이면, $S$의 부분집합 중 $\mathbb{V}$의 기저가 존재한다. 즉, 이 경우 $\mathbb{V}$의 기저는 유한집합이다.

벡터공간의 상당수가 정리 4의 적용 대상에 해당하지만, 반드시 그런 것은 아니다. 기저는 유한집합이 아닐 수도 있다.

차원

정리 5: 대체정리(replacement theorem)
$n$개의 벡터로 이루어진 집합 $G$에 대해 $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$라 하자. $L$이 $m$개의 선형독립인 벡터들로 이루어진 $\mathbb{V}$의 부분집합이면, $m\leq n$이다. 또한, $n-m$개의 벡터를 원소로 가지며 $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$인 집합 $H \subseteq G$가 존재한다.

이로부터, 매우 중요한 2개의 따름정리를 얻는다.

대체정리의 따름정리 5-1
벡터공간 $\mathbb{V}$가 유한집합인 기저를 포함한다고 가정할 때, $\mathbb{V}$의 모든 기저는 유한집합이며 같은 개수의 벡터로 이루어져 있다.

이에 따르면 $\mathbb{V}$의 기저를 형성하는 벡터의 개수는 $\mathbb{V}$의 변치 않는 본질적인 성질이며, 이를 차원(dimension)이라 한다.

차원의 정의
기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimension)이라 하며, 이때 기저의 원소 개수 $n$을 주어진 벡터공간의 차원(dimension)이라 하고 $\dim(\mathbb{V})$라 표기한다. 유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원(infinite dimension)이다.

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

벡터공간은 어느 체 위에 있는지에 따라 차원이 달라질 수 있다.

• 복소수체 $\mathbb{C}$에서 복소수 벡터공간의 차원은 $1$, 기저는 $\{1\}$
• 실수체 $\mathbb{R}$에서 복소수 벡터공간의 차원은 $2$, 기저는 $\{1,i\}$

유한차원 벡터공간 $\mathbb{V}$에서 $\dim(\mathbb{V})$보다 더 많은 개수의 벡터를 가지는 부분집합은 절대 선형독립일 수 없다.

대체정리의 따름정리 5-2
$\mathbb{V}$가 차원이 $n$인 벡터공간이라 하자.

1. $\mathbb{V}$의 유한 생성집합에는 반드시 $n$개 이상의 벡터가 있으며, $n$개의 벡터로 이루어진 $\mathbb{V}$의 생성집합은 $\mathbb{V}$의 기저이다.
2. 선형독립이고 $n$개의 벡터로 이루어진 $\mathbb{V}$의 부분집합은 $\mathbb{V}$의 기저이다.
3. 선형독립인 $\mathbb{V}$의 부분집합을 확장하여 기저를 만들 수 있다. 즉, $L \subseteq \mathbb{V}$이 선형독립이면 $\beta \supseteq L$인 $\mathbb{V}$의 기저 $\beta$가 존재한다.

부분공간의 차원

정리 6
유한차원 벡터공간 $\mathbb{V}$에 대하여 부분공간 $\mathbb{W}$는 유한차원이고, $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$이다. 특히, $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.$

따름정리 6-1
유한차원 벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분공간 $\mathbb{W}$에 대해, $\mathbb{W}$의 임의의 기저를 확장하여 $\mathbb{V}$의 기저를 얻을 수 있다.

정리 6에 따라, $\mathbb{R}^3$의 부분공간의 차원은 $0,1,2,3$이 될 수 있다.

• 0차원: 원점($\mathbf{0}$)만을 포함하는 점공간 $\{\mathbf{0}\}$
• 1차원: 원점($\mathbf{0}$)을 지나는 직선
• 2차원: 원점($\mathbf{0}$)을 포함하는 평면
• 3차원: 유클리드 3차원 공간 전체

TL;DR

• 행렬(matrix)
  • 행렬 $A$의 $i$행 $j$열 성분을 $A_{ij}$ 또는 $a_{ij}$로 표기함
  • 대각성분(diagonal entry): $i=j$인 성분 $a_{ij}$
  • 성분 $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$을 이 행렬의 $i$번째 행(row)이라 함
    • 행렬의 각 행은 $F^n$의 벡터로 나타낼 수 있음
    • 더 나아가, $F^n$의 행벡터를 $1 \times n$의 또다른 행렬로 나타낼 수 있음
  • 성분 $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$를 이 행렬의 $j$번째 열(column)이라 함
    • 행렬의 각 열은 $F^m$의 벡터로 나타낼 수 있음
    • 더 나아가, $F^m$의 열벡터를 $m \times 1$의 또다른 행렬로 나타낼 수 있음
  • 영행렬(zero matrix): 모든 성분이 $0$인 행렬, $O$로 표기함
  • 정사각행렬(square matrix): 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬
  • 두 $m \times n$ 행렬 $A, B$에서 모든 $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$에 대하여 $A_{ij} = B_{ij}$이면(즉, 대응하는 성분이 모두 일치하면) 두 행렬이 같다($A=B$)고 정의함
  • 전치행렬(transpose matrix): $m \times n$ 행렬 $A$에 대해, $A$의 행과 열을 뒤바꾼 $n \times m$ 행렬 $A^T$을 전치행렬이라고 함
  • 대칭행렬(symmetric matrix): $A^T = A$인 정사각행렬 $A$
  • 반대칭행렬(skew-symmetric matrix): $B^T = -B$인 정사각행렬 $B$
  • 삼각행렬(triangular matrix)
    • 상삼각행렬(upper triangular matrix): 대각성분 아래의 모든 성분이 $0$인 행렬(즉, $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$인 행렬), 보통 $U$로 표기
    • 하삼각행렬(lower triangular matrix): 대각성분 위의 모든 성분이 $0$인 행렬(즉, $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$인 행렬), 보통 $L$로 표기
  • 대각행렬(diagonal matrix): 대각성분을 제외한 모든 성분이 $0$인 정사각행렬(즉, $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$인 $n \times n$ 행렬), 보통 $D$로 표기
• 대표적인 벡터공간들
  • n 순서쌍 $F^n$:
    • 체 $F$에서 성분을 가져온 모든 $n$ 순서쌍의 집합
    • $F^n$이라 표기하며, $F$-벡터공간임
  • 행렬공간(matrix space):
    • 성분이 체 $F$의 원소인 모든 $m \times n$ 행렬의 집합
    • $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$라 표기하며, 벡터공간임
  • 함수공간(function space):
    • 체 $F$의 공집합이 아닌 집합 $S$에 대해, $S$에서 $F$로 가는 모든 함수의 집합
    • $\mathcal{F}(S,F)$라 표기하며, 벡터공간임
• 부분공간(subspace)
  • $F$-벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분집합 $\mathbb{W}$가 $\mathbb{V}$에서 정의한 합과 스칼라배를 동일하게 가지는 $F$-벡터공간일 때, $\mathbb{W}$는 $\mathbb{V}$의 부분공간(subspace)이라 정의함
  • 모든 벡터공간 $\mathbb{V}$에 대해 $\mathbb{V}$ 자기 자신과 $\{0\}$은 부분공간이며, 특히 $\{0\}$은 점 부분공간(zero subspace)이라 함
  • 벡터공간의 어떤 부분집합이 영벡터를 원소로 가지며 선형결합에 대해 닫혀 있으면($\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$이면), 그 집합은 부분공간임

Prerequisites

• 벡터와 선형결합

벡터공간

벡터와 선형결합에서도 잠깐 보았듯, 대수적 구조로서의 벡터와 벡터공간의 정의는 다음과 같다.

정의
체 $F$에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) $\mathbb{V}$는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라배를 가지는 집합이다. 체 $F$의 원소를 스칼라(scalar), 벡터공간 $\mathbb{V}$의 원소를 벡터(vector)라 한다.

• 합(sum): $\mathbb{V}$의 두 원소 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$에 대하여 유일한 원소 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$를 대응하는 연산이다. 이때 $\mathbf{x} + \mathbf{y}$를 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$의 합이라 한다.
• 스칼라배(scalar multiplication): 체 $F$의 원소 $a$와 벡터공간 $\mathbb{V}$의 원소 $\mathbf{x}$마다 유일한 원소 $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$를 대응하는 연산이다. 이때 $a\mathbf{x}$를 $\mathbf{x}$의 스칼라배(scalar multiple)라 한다.

1. 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$이다. (덧셈에 대한 교환법칙)
2. 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$에 대하여 $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$이다. (덧셈에 대한 결합법칙)
3. 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$인 $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$가 존재한다. (영벡터, 덧셈에 대한 항등원)
4. 각 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$마다 $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$인 $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$가 존재한다. (덧셈에 대한 역원)
5. 각 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$이다. (곱셈에 대한 항등원)
6. 모든 $a,b \in F$와 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$이다. (스칼라배에 대한 결합법칙)
7. 모든 $a \in F$와 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$에 대하여 $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$이다. (덧셈에 대한 스칼라배의 분배법칙 1)
8. 모든 $a,b \in F$와 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$에 대하여 $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$이다. (덧셈에 대한 스칼라배의 분배법칙 2)

벡터공간은 정확하게는 ‘$F$-벡터공간 $\mathbb{V}$’라 표기해야 하나, 벡터공간을 다룰 때 체는 크게 중요한 요소는 아니므로 혼란의 여지가 없으면 체 $F$는 생략하고 ‘벡터공간 $\mathbb{V}$’라 적는다.

행렬공간

행벡터와 열벡터

체 $F$에서 성분을 가져온 모든 $n$ 순서쌍의 집합을 $F^n$이라 표기한다. $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$, $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$일 때, 합과 스칼라곱을 다음과 같이 정의하면 $F^n$은 $F$-벡터공간이다.

$F^n$의 벡터는 단독으로 쓸 때는 보통 행벡터(row vector) $(a_1, a_2, \dots, a_n)$보다는 열벡터(column vector)

로 표현한다.

다만 이렇게 열벡터로 표기할 때 공간을 많이 차지하다 보니, 전치를 써서 $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$로 나타내기도 한다.

행렬과 행렬공간

한편, $F$에서 성분을 가져온 $m \times n$ 행렬(matrix)은 다음과 같은 직사각형 모양의 배열로, 이탤릭 대문자($A, B, C$ 등)로 나타낸다.

• 행렬 $A$의 $i$행 $j$열 성분을 $A_{ij}$ 또는 $a_{ij}$로 표기한다.
• 모든 $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$)는 $F$의 원소이다.
• $i=j$인 성분 $a_{ij}$를 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)이라 한다.
• 성분 $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$을 이 행렬의 $i$번째 행(row)이라 한다. 행렬의 각 행은 $F^n$의 벡터로 나타낼 수 있으며, 더 나아가 $F^n$의 행벡터를 $1 \times n$의 또다른 행렬로 나타낼 수 있다.
• 성분 $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$를 이 행렬의 $j$번째 열(column)이라 한다. 행렬의 각 열은 $F^m$의 벡터로 나타낼 수 있으며, 더 나아가 $F^m$의 열벡터를 $m \times 1$의 또다른 행렬로 나타낼 수 있다.
• 모든 성분이 $0$인 $m \times n$ 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 $O$로 표기한다.
• 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)이라 한다.
• 두 $m \times n$ 행렬 $A, B$에서 모든 $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$에 대하여 $A_{ij} = B_{ij}$이면(즉, 대응하는 성분이 모두 일치하면) 두 행렬이 같다($A=B$)고 정의한다.

성분이 체 $F$의 원소인 모든 $m \times n$ 행렬의 집합을 $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$라 표기한다. $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F),\ c \in F$일 때, 합과 스칼라배를 다음과 같이 정의하면 $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$는 벡터공간이며, 이를 행렬공간(matrix space)이라고 한다.

이는 $F^n$과 $F^m$에서 정의한 연산을 자연스럽게 확장한 것이다.

함수공간

체 $F$의 공집합이 아닌 집합 $S$에 대해, $\mathcal{F}(S,F)$는 $S$에서 $F$로 가는 모든 함수의 집합이다. $\mathcal{F}(S,F)$에서 모든 $s \in S$에 대하여 $f(s) = g(s)$일 때 두 함수 $f, g$는 같다($f=g$)고 한다.

$f,g \in \mathcal{F}(S,F),\ c \in F,\ s \in S$일 때, 합과 스칼라배를 다음과 같이 정의하면 $\mathcal{F}(S,F)$는 벡터공간이며, 이를 함수공간(function space)이라고 한다.

부분공간

정의
$F$-벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분집합 $\mathbb{W}$가 $\mathbb{V}$에서 정의한 합과 스칼라배를 동일하게 가지는 $F$-벡터공간일 때, $\mathbb{W}$는 $\mathbb{V}$의 부분공간(subspace)이라 한다.

모든 벡터공간 $\mathbb{V}$에 대해 $\mathbb{V}$ 자기 자신과 $\{0\}$은 부분공간이며, 특히 $\{0\}$은 점 부분공간(zero subspace)이라 한다.

어떤 부분집합이 부분공간인지는 다음 정리를 이용해 확인할 수 있다.

정리 1
벡터공간 $\mathbb{V}$와 부분집합 $\mathbb{W}$에 대해, $\mathbb{W}$가 $\mathbb{V}$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 3가지 조건을 만족하는 것이다. 이때 연산은 $\mathbb{V}$에서 정의한 것과 같다.

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

간단히 말해, 영벡터를 원소로 가지며 선형결합에 대해 닫혀 있으면($\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$이면) 부분공간이다.

또한 다음의 정리들이 성립한다.

정리 2

• 벡터공간 $\mathbb{V}$의 임의의 부분집합 $S$의 생성공간 $\mathrm{span}(S)$는 $S$를 포함하는 $\mathbb{V}$의 부분공간이다.

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• $S$를 포함하는 $\mathbb{V}$의 부분공간은 반드시 $S$의 생성공간을 포함한다.

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

정리 3
벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분공간들에 대해, 이 부분공간들의 임의의 교집합은 마찬가지로 $\mathbb{V}$의 부분공간이다.

전치행렬, 대칭행렬, 반대칭행렬

$m \times n$ 행렬 $A$의 전치행렬(transpose matrix) $A^T$는 $A$의 행과 열을 뒤바꾼 $n \times m$ 행렬이다.

$A^T = A$인 행렬 $A$를 대칭행렬(symmetric matrix), $B^T = -B$인 행렬 $B$를 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이라 한다. 대칭행렬과 반대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다.

각각 $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$의 모든 대칭행렬, 반대칭행렬을 원소로 하는 두 집합 $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$는 $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$의 부분공간이다. 즉, $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$는 합과 스칼라곱에 대해 닫혀 있다.

삼각행렬, 대각행렬

이 두 종류의 행렬도 특히 중요하다.

우선, 다음 두 종류의 행렬을 묶어 삼각행렬(triangular matrix)이라 한다.

• 상삼각행렬(upper triangular matrix): 대각성분 아래의 모든 성분이 $0$인 행렬(즉, $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$인 행렬), 보통 $U$로 표기
• 하삼각행렬(lower triangular matrix): 대각성분 위의 모든 성분이 $0$인 행렬(즉, $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$인 행렬), 보통 $L$로 표기

대각성분을 제외한 모든 성분이 $0$인 정사각행렬, 즉 $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$인 $n \times n$ 행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라 하며 보통 $D$로 표기한다. 대각행렬은 상삼각행렬인 동시에 하삼각행렬이다.

상삼각행렬의 집합, 하삼각행렬의 집합, 대각행렬의 집합은 모두 $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$의 부분공간이다.

Prerequisites

• 벡터와 선형결합

내적

일반적인 $F$-벡터공간에서의 내적(inner product)의 정의는 다음과 같다.

내적(inner product)과 내적공간(inner product space)의 정의
$F$-벡터공간 $\mathbb{V}$를 생각하자. $\mathbb{V}$에서의 내적(inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$는 $\mathbb{V}$의 임의의 벡터 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$의 순서쌍을 $F$에 속한 스칼라에 대응시키는, 다음 조건을 만족하는 함수로 정의한다.

임의의 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$와 임의의 $c \in F$에 대하여

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ ($\overline{\mathbf{z}}$는 $\mathbf{z}$의 복소 켤레)
4. $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$일 때, $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$는 양수이다.

내적이 주어진 $F$-벡터공간 $\mathbb{V}$를 내적공간(inner product space)이라 한다. 특히 $F=\mathbb{C}$인 경우 복소내적공간(complex inner product space), $F=\mathbb{R}$인 경우 실내적공간(real inner product space)이라 한다.

특히 다음의 내적을 표준 내적(standard inner product)이라고 한다. 표준 내적이 앞선 내적의 조건 4가지를 모두 만족함을 확인할 수 있다.

표준 내적(standard inner product)의 정의
$F^n$의 두 벡터 $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$에 대하여, $F^n$의 표준 내적(standard inner product)을 다음과 같이 정의한다.

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

여기서 $F=\mathbb{R}$이면, 실수의 켤레복소수는 자기 자신이기 때문에 이때의 표준 내적은 $\sum_{i=1}^n a_i b_i$가 된다. 특별히 이 경우의 표준 내적을 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ 대신 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$로 표기하고, 점곱(dot product) 또는 스칼라곱(scalar product)이라고 한다.

점곱(dot product)/스칼라곱(scalar product)의 정의
$\mathbb{R}^n$의 $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$에 대하여, $\mathbb{R}^n$의 점곱(dot product) 또는 스칼라곱(scalar product)을 다음과 같이 정의한다.

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

여기서 말하는 ‘스칼라곱(scalar product)’은 벡터와 벡터 간의 연산으로, 벡터와 선형결합에서 다뤘던 스칼라와 벡터 간 연산인 ‘스칼라배(scalar multiplication)’과는 별개의 연산이다. 영문 표현도 비슷한 편인 데다, 대한수학회 기준 한국어 번역 표현은 아예 동일하기 때문에 혼동하지 않도록 주의하자.

혼동을 방지하기 위해, 앞으로는 가급적 점곱(dot product)으로 지칭하겠다.

유클리드 공간에서의 내적(inner product)이 곧 점곱(dot product)이므로, 맥락상 혼동의 여지가 없다면 점곱을 그냥 내적이라고 표현하는 경우도 흔하다. 다만 엄밀히는 내적이 점곱을 포함하는 더 일반적인 개념이다.

flowchart TD
    A["내적(Inner Product)"] -->|포함함| B["표준 내적(Standard Inner Product)"]
    B -->|"F = R(실수체)인 경우"| C["점곱/스칼라곱(Dot/Scalar Product)"]

    %% 포함(포함 관계) 표기
    C -. 포함됨 .-> B
    B -. 포함됨 .-> A

벡터의 길이/노름

$\mathbb{R}^n$에서의 벡터 $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$에 대하여 $\mathbf{v}$의 유클리드 길이는 다음과 같이 점곱을 통해 정의한다.

보다 일반적으로는, 임의의 내적공간에서의 벡터의 길이(length) 또는 노름(norm)을 다음과 같이 정의한다.

일반적인 내적공간에서, 벡터의 노름에 대해 다음의 중요한 성질들이 성립한다.

정리
$F$-내적공간 $\mathbb{V}$와 임의의 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$, 스칼라 $c \in F$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. 다음의 둘이 성립한다.
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (등호는 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 둘 중 하나가 다른 하나의 상수배일 때 성립)
4. 삼각 부등식(triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (등호는 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 둘 중 하나가 다른 하나의 상수배이고, 둘의 방향이 같을 때 성립)

벡터들 사이의 각과 단위벡터

길이가 $1$인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 또한 $\mathbb{R}^n$에서의 두 벡터 $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$에 대하여 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$가 성립하며, 이로부터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$ 사이의 각 $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$)를 구할 수 있다.

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$인 경우, 두 벡터는 수직(perpendicular) 또는 직교(orthogonal)한다고 한다.

두 벡터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 수직인 경우,

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

이를 임의의 내적공간으로 일반화하면 다음과 같다.

정의
내적공간 $\mathbb{V}$를 생각하자. $\mathbb{V}$의 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$에 대하여 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$이면 두 벡터는 직교(orthogonal) 또는 수직(perpendicular)이라고 정의한다. 또한,

1. $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $S$에 속하는 서로 다른 임의의 두 벡터가 직교할 때, 집합 $S$를 직교집합(orthogonal set)이라 한다.
2. $\|\mathbf{x}\|=1$인 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$를 단위벡터(unit vector)라 한다.
3. $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$가 직교집합이고 단위벡터로만 이루어져 있을 때, 집합 $S$를 정규직교집합(orthonormal set)이라 한다.

집합 $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$가 정규직교집합이기 위한 필요충분조건은 $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$이다. 벡터에 영이 아닌 스칼라를 곱해도 직교성에 영향을 주지 않는다.

영이 아닌 임의의 벡터 $\mathbf{x}$에 대하여 $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$는 단위벡터이며, 이렇게 영이 아닌 벡터에 길이의 역수만큼의 스칼라를 곱하여 단위벡터를 얻는 과정을 정규화(normalizing)라 한다.

TL;DR

• 벡터의 정의
  • 좁은 의미의 벡터(유클리드 벡터): 크기와 방향을 함께 갖는 물리량
  • 넓은 의미의, 선형대수학에서의 벡터: 벡터공간의 원소
• 벡터의 표현법
  • 화살표 표현법: 벡터의 크기는 화살표의 길이로, 벡터의 방향은 화살표의 방향으로 나타냄. 시각화하기 용이하고 직관적이라는 장점이 있으나, 4차원 이상의 고차원 벡터나 비유클리드 벡터는 표현하기 곤란함.
  • 성분 표현법: 벡터의 시점을 좌표공간의 원점으로 놓고, 종점의 좌표로 벡터를 표현하는 방법.
• 벡터의 기본 연산
  • 합: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • 스칼라 곱: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• 벡터의 선형 결합
  • 유한 개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$과 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n$에 대하여, $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$인 벡터 $\mathbf{v}$를 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$의 선형 결합(linear combination)이라고 함
  • 이때 $a_1, a_2, \dots, a_n$을 이 선형 결합의 계수(coefficient)라고 함
• 생성공간
  • 벡터공간 $\mathbb{V}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에 대하여, $S$의 벡터를 사용하여 만든 모든 선형결합의 집합 $\mathrm{span}(S)$
  • $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$으로 정의
  • 벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$이면 $S$가 $\mathbb{V}$를 생성한다(generate 또는 span)고 함

Prerequisites

• 좌표평면/좌표공간
• 체(field)

벡터란 무엇인가?

좁은 의미의 벡터: 유클리드 벡터

힘, 속도, 가속도 등 많은 물리량은 크기뿐만 아니라 방향 정보를 함께 가진다. 이처럼 크기와 방향을 모두 가진 물리량을 벡터(vector)라고 한다.

위의 정의가 물리학의 역학이나 고등학교 수준 수학에서 다루던 벡터의 정의이다. 이와 같이 ‘유향선분의 크기와 방향’이라는 기하학적인 의미를 지닌, 물리적 직관에 기반한 좁은 의미의 벡터를 엄밀히는 유클리드 벡터(Euclidean vector)라고 한다.

넓은 의미의 벡터: 벡터 공간의 원소

선형대수학에서는 위의 유클리드 벡터의 정의보다 넓은 의미를 지닌, 보다 추상적인 대수적 구조로서 벡터를 다음과 같이 정의한다.

정의
체 $F$에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) $\mathbb{V}$는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라배를 가지는 집합이다. 체 $F$의 원소를 스칼라(scalar), 벡터공간 $\mathbb{V}$의 원소를 벡터(vector)라 한다.

• 합(sum): $\mathbb{V}$의 두 원소 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$에 대하여 유일한 원소 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$를 대응하는 연산이다. 이때 $\mathbf{x} + \mathbf{y}$를 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$의 합이라 한다.
• 스칼라배(scalar multiplication): 체 $F$의 원소 $a$와 벡터공간 $\mathbb{V}$의 원소 $\mathbf{x}$마다 유일한 원소 $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$를 대응하는 연산이다. 이때 $a\mathbf{x}$를 $\mathbf{x}$의 스칼라배(scalar multiple)라 한다.

1. 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$이다. (덧셈에 대한 교환법칙)
2. 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$에 대하여 $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$이다. (덧셈에 대한 결합법칙)
3. 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$인 $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$가 존재한다. (영벡터, 덧셈에 대한 항등원)
4. 각 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$마다 $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$인 $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$가 존재한다. (덧셈에 대한 역원)
5. 각 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$이다. (곱셈에 대한 항등원)
6. 모든 $a,b \in F$와 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$이다. (스칼라배에 대한 결합법칙)
7. 모든 $a \in F$와 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$에 대하여 $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$이다. (덧셈에 대한 스칼라배의 분배법칙 1)
8. 모든 $a,b \in F$와 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$에 대하여 $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$이다. (덧셈에 대한 스칼라배의 분배법칙 2)

이러한 선형대수학에서의 벡터의 정의는 앞서 언급한 유클리드 벡터까지 포괄하는 보다 넓은 범위의 정의이다. 유클리드 벡터도 위의 8가지 성질을 만족함을 확인할 수 있다.

벡터의 기원과 발전 과정은 물리학에서 제기한 여러 실용적인 문제들, 가령 힘이나 물체의 운동, 회전, 장과 같은 개념들을 정량적으로 기술하려는 시도와 밀접하게 연관되어 있다. 자연현상을 수학적으로 표현하기 위한 물리학적 필요에 의해 처음에 유클리드 벡터로 벡터의 개념이 처음 제시되었고, 이후 수학이 이러한 물리적 개념을 일반화하고 이론화하는 과정에서 벡터 공간, 내적, 외적 등의 형식적 구조를 정립하여 지금의 벡터의 정의를 이루게 된다. 즉 벡터는 물리학이 요구하고 수학이 정립한 개념으로, 순수 수학만의 산물이라기보다는 수학계와 물리학계가 긴밀히 교류하며 발전시켜 온 학제 간 산물이라 할 수 있다.

고전적인 역학에서 다루던 유클리드 벡터는 수학적으로 보다 일반화된 틀로 표현할 수 있으며, 오늘날 물리학에서는 유클리드 벡터뿐만 아니라 벡터 공간, 함수 공간 등 수학에서 정의한 보다 추상적인 개념들도 적극적으로 활용하여 물리적인 의미를 부여한다. 따라서 벡터에 대한 두 정의를 단순히 ‘물리학적 정의’, ‘수학적 정의’로 이해하는 것은 부적절하다.

벡터공간에 대해서는 나중에 더 알아보기로 하고, 우선은 좌표공간 상에서 기하학적으로 표현 가능한 좁은 의미의 벡터, 유클리드 벡터에 집중한다. 직관적인 유클리드 벡터의 예시를 먼저 살펴보는 것은 추후 그 외의 다른 벡터들로 일반화할 때에도 이해에 도움이 된다.

벡터의 표현법

화살표 표현법

기하학적인 직관을 가장 잘 살린, 흔히 볼 수 있는 표현법이다. 벡터의 크기는 화살표의 길이로, 벡터의 방향은 화살표의 방향으로 나타낸다.

이미지 출처

• 저작자: 위키피디아 유저 Nguyenthephuc
• 라이선스: CC BY-SA 3.0

이러한 표현법은 직관적이긴 하나, 4차원 이상의 고차원 벡터에 대해서는 이러한 화살표 표현법은 한계가 명확하다. 뿐만 아니라, 나중에 가서는 애초에 기하학적으로 표현하기 곤란한 비유클리드 벡터들도 다뤄야 하기 때문에 후술할 성분 표현법에 익숙해질 필요가 있다.

성분 표현법

벡터가 어디에 위치했는지와 무관하게 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터로 생각한다. 따라서 어떤 좌표공간이 주어졌을 때, 벡터의 시점을 해당 좌표공간의 원점으로 고정하면 $n$차원 벡터는 $n$차원 공간상의 임의의 점에 대응하며, 이 경우 종점의 좌표로 벡터를 표현할 수 있다. 이와 같은 표현법을 벡터의 성분 표현법이라고 한다.

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• 저작자: 위키미디어 유저 Acdx
• 라이선스: CC BY-SA 3.0

벡터의 기본 연산

벡터의 기본 연산은 합과 스칼라배 두 가지이다. 모든 벡터 연산은 이 두 가지 기본 연산의 조합으로 표현할 수 있다.

벡터의 합

두 벡터의 합은 마찬가지로 벡터이며, 이때 합성벡터의 성분들은 두 벡터의 성분들끼리 각각 더한 것과 같다.

벡터의 스칼라배

벡터는 크기를 확대하거나 축소할 수 있으며, 이를 벡터에 상수(스칼라)를 곱하는 스칼라배라는 연산으로 나타낸다. 어떤 벡터에 스칼라배를 한 결과물은 각각의 성분에 스칼라배를 한 것과 같다.

이미지 출처

• 저작자: 위키피디아 유저 Silly rabbit
• 라이선스: CC BY-SA 3.0

벡터의 선형 결합

미적분학이 수 $x$와 함수 $f(x)$로부터 출발하듯, 선형대수학은 벡터 $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$와 선형 결합 $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$로부터 출발한다. 그리고 벡터들의 모든 선형 결합은 위의 두 기본 연산, 합과 스칼라배의 조합으로 구성된다.

유한 개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$과 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n$에 대하여 다음을 만족하는 벡터 $\mathbf{v}$는 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$의 선형 결합(linear combination)이라 한다.

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

이때, $a_1, a_2, \dots, a_n$을 이 선형 결합의 계수(coefficient)라고 한다.

그렇다면 이러한 선형 결합이 왜 중요한가? 다음과 같이 $m$차원 공간 상의 벡터 $n$개가 $m \times n$ 행렬의 $n$개 열을 이루는 상황을 생각해 보자.

여기서 핵심은 다음의 두 가지이다.

1. 모든 가능한 선형 결합 $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots x_n\mathbf{v}_n$을 표현해 보라. 무엇을 이루는가?
2. 원하는 출력 벡터 $Ax = b$를 만들어 내는 수 $x_1, x_2, \dots, x_n$을 찾아라.

두 번째 질문에 대한 답은 나중에 다시 알아볼 것이며, 일단 지금은 첫 번째 질문에 집중하자. 논의를 간단하게 하기 위해, $\mathbf{0}$이 아닌 2차원($m=2$) 벡터 2개($n=2$)의 경우를 예시로 살펴보자.

선형 결합 $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

2차원 공간 상의 벡터 $\mathbf{v}$는 2개의 성분을 가진다. 모든 스칼라 $c$에 대하여, 벡터 $c\mathbf{v}$는 원래의 벡터 $\mathbf{v}$와 평행하고 원점을 지나는 $xy$ 평면 상의 무한히 긴 직선을 이룬다.

여기서 주어진 두 번째 벡터 $\mathbf{w}$가 이 직선 위에 있지 않다면(벡터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 평행하지 않다면), 벡터 $d\mathbf{w}$는 또다른 두 번째 직선을 이룬다. 이제 이 두 직선을 조합해 보면, 선형 결합 $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$는 원점을 포함하는 하나의 평면을 이룬다는 것을 알 수 있다.

이미지 출처

• 저작자: 위키미디어 유저 Svjo
• 라이선스: CC BY-SA 4.0

생성

이처럼 벡터들의 선형 결합은 곧 벡터공간을 이루며, 이를 공간 생성(span)이라고 한다.

정의
벡터공간 $\mathbb{V}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에 대하여, $S$의 벡터를 사용하여 만든 모든 선형결합의 집합을 $S$의 생성공간(span)이라 하며 $\mathrm{span}(S)$라 표기한다. 단, $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$으로 정의한다.

정의
벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$이면 $S$가 $\mathbb{V}$를 생성한다(generate 또는 span)고 한다.

아직 부분공간, 기저와 같은 개념들은 알아보지 않았으나, 지금의 이 예시를 떠올리면 벡터공간의 개념을 이해하는 데 도움이 된다.

Kaggle의 Pandas 교육과정을 통해 공부한 내용을 여기에 정리한다.
분량이 제법 되기 때문에 2편으로 분리하였다.

• 1편: Lesson 1-3
• 2편: Lesson 4-6 (본문)

Lesson 4. Grouping and Sorting

종종 데이터를 분류하고 집단별로 어떤 조작을 가해야 하거나, 특정 기준에 따라 정렬해야 할 때가 있다.

집단별 분석

groupby() 메서드를 사용하면 특정 열의 값이 같은 데이터끼리 묶고, 이후 각 집단별로 개요 확인 또는 조작을 수행할 수 있다.

앞서 value_counts() 메서드를 알아보았는데, 동일한 동작을 groupby() 메서드로는 다음과 같이 구현할 수 있다.

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reviews.groupby('taster_name').size()

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reviews.groupby('taster_name').taster_name.count()

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reviews.groupby('points').price.min()

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points
80      5.0
81      5.0
       ... 
99     44.0
100    80.0
Name: price, Length: 21, dtype: float64

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reviews.groupby(['country', 'province']).apply(lambda df: df.loc[df.points.idxmax()])

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reviews.groupby(['country']).price.agg([len, min, max])

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countries_reviewed = reviews.groupby(['country', 'province']).description.agg([len])
countries_reviewed

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mi = countries_reviewed.index
type(mi)

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pandas.core.indexes.multi.MultiIndex

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countries_reviewed.reset_index()

1
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countries_reviewed = countries_reviewed.reset_index()
countries_reviewed.sort_values(by='len')

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countries_reviewed.sort_values(by='len', ascending=False)

1

countries_reviewed.sort_index()

1

countries_reviewed.sort_values(by=['country', 'len'])

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reviews.price.dtype

1

dtype('float64')

1

reviews.dtypes

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country        object
description    object
                ...  
variety        object
winery         object
Length: 13, dtype: object

1

reviews.points.astype('float64')

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0         87.0
1         87.0
          ... 
129969    90.0
129970    90.0
Name: points, Length: 129971, dtype: float64

1

reviews.index.dtype

1

dtype('int64')

1

reviews[pd.isna(reviews.country)]

1

reviews.region_2.fillna("Unknown")

1

rok_2030_census.province.replace("Gyeonggibuk-do", "Pyeonghwanuri Special Self-Governing Province")

1

reviews.rename(columns={'points': 'score'})

1

reviews.rename(index={0: 'firstEntry', 1: 'secondEntry'})

1

reviews.rename_axis("wines", axis='index').rename_axis("fields", axis='columns')

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>>> s1 = pd.Series(['a', 'b'])
>>> s2 = pd.Series(['c', 'd'])
>>> pd.concat([s1, s2])
0    a
1    b
0    c
1    d
dtype: object

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>>> df1 = pd.DataFrame([['a', 1], ['b', 2]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df1
  letter  number
0      a       1
1      b       2
>>> df2 = pd.DataFrame([['c', 3], ['d', 4]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df2
  letter  number
0      c       3
1      d       4
>>> pd.concat([df1, df2])
  letter  number
0      a       1
1      b       2
0      c       3
1      d       4
>>> df4 = pd.DataFrame([['bird', 'polly'], ['monkey', 'george']],
...                    columns=['animal', 'name'])
>>> df4
   animal    name
0    bird   polly
1  monkey  george
>>> pd.concat([df1, df4], axis=1)
  letter  number  animal    name
0      a       1    bird   polly
1      b       2  monkey  george

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>>> df = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2', 'K3', 'K4', 'K5'],
...                    'A': ['A0', 'A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5']})
>>> df
  key   A
0  K0  A0
1  K1  A1
2  K2  A2
3  K3  A3
4  K4  A4
5  K5  A5
>>> other = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2'],
...                       'B': ['B0', 'B1', 'B2']})
>>> other
  key   B
0  K0  B0
1  K1  B1
2  K2  B2
>>> df.join(other, lsuffix='_caller', rsuffix='_other')
  key_caller   A key_other    B
0         K0  A0        K0   B0
1         K1  A1        K1   B1
2         K2  A2        K2   B2
3         K3  A3       NaN  NaN
4         K4  A4       NaN  NaN
5         K5  A5       NaN  NaN

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...(전략)
                    ------------------------------------------------
      Jekyll 4.3.4   Please append `--trace` to the `serve` command 
                     for any additional information or backtrace. 
                    ------------------------------------------------
/Users/yunseo/.gem/ruby/3.2.2/gems/jekyll-polyglot-1.8.1/lib/jekyll/polyglot/
patches/jekyll/site.rb:234:in `relative_url_regex': target of repeat operator 
is not specified: /href="?\/((?:(?!*.gem)(?!*.gemspec)(?!tools)(?!README.md)(
?!LICENSE)(?!*.config.js)(?!rollup.config.js)(?!package*.json)(?!.sass-cache)
(?!.jekyll-cache)(?!gemfiles)(?!Gemfile)(?!Gemfile.lock)(?!node_modules)(?!ve
ndor\/bundle\/)(?!vendor\/cache\/)(?!vendor\/gems\/)(?!vendor\/ruby\/)(?!en\/
)(?!ko\/)(?!es\/)(?!pt-BR\/)(?!ja\/)(?!fr\/)(?!de\/)[^,'"\s\/?.]+\.?)*(?:\/[^
\]\[)("'\s]*)?)"/ (RegexpError)

...(후략)

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exclude:
  - "*.gem"
  - "*.gemspec"
  - docs
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - "*.config.js"
  - package*.json

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    # a regex that matches relative urls in a html document
    # matches href="baseurl/foo/bar-baz" href="/ko/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    # a regex that matches absolute urls in a html document
    # matches href="http://baseurl/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

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    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

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exclude: # https://github.com/untra/polyglot/issues/204 이슈 참고하여 수정.
  # - "*.gem"
  - jekyll-theme-chirpy.gemspec # - "*.gemspec"
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - purgecss.config.js # - "*.config.js"
  - rollup.config.js
  - package*.json

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  <body>
    {% include sidebar.html lang=lang %}

    <div id="main-wrapper" class="d-flex justify-content-center">
      <div class="container d-flex flex-column px-xxl-5">
        
        (...중략...)

        {% include_cached search-results.html lang=lang %}
      </div>

      <aside aria-label="Scroll to Top">
        <button id="back-to-top" type="button" class="btn btn-lg btn-box-shadow">
          <i class="fas fa-angle-up"></i>
        </button>
      </aside>
    </div>

    (...중략...)

    {% include_cached search-loader.html lang=lang %}
  </body>

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<!-- The Search results -->

<div id="search-result-wrapper" class="d-flex justify-content-center d-none">
  <div class="col-11 content">
    <div id="search-hints">
      {% include_cached trending-tags.html %}
    </div>
    <div id="search-results" class="d-flex flex-wrap justify-content-center text-muted mt-3"></div>
  </div>
</div>

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{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      <div class="post-meta d-flex flex-column flex-sm-row text-muted mt-1 mb-1">
        {categories}
        {tags}
      </div>
    </header>
    <p>{snippet}</p>
  </article>
{% endcapture %}

{% capture not_found %}<p class="mt-5">{{ site.data.locales[include.lang].search.no_results }}</p>{% endcapture %}

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ '/assets/js/data/search.json' | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',
      noResultsText: '{{ not_found }}',
      templateMiddleware: function(prop, value, template) {
        if (prop === 'categories') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div class="me-sm-4"><i class="far fa-folder fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }

        if (prop === 'tags') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div><i class="fa fa-tag fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }
      }
    });
  });
</script>

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---
layout: compress
swcache: true
---

[
  {% for post in site.posts %}
  {
    "title": {{ post.title | jsonify }},
    "url": {{ post.url | relative_url | jsonify }},
    "categories": {{ post.categories | join: ', ' | jsonify }},
    "tags": {{ post.tags | join: ', ' | jsonify }},
    "date": "{{ post.date }}",
    {% include no-linenos.html content=post.content %}
    {% assign _content = content | strip_html | strip_newlines %}
    "snippet": {{ _content | truncate: 200 | jsonify }},
    "content": {{ _content | jsonify }}
  }{% unless forloop.last %},{% endunless %}
  {% endfor %}
]

stateDiagram
  state "Changes" as CH
  state "Build start" as BLD
  state "Create search.json" as IDX
  state "Static Website" as DEP
  state "In Test" as TST
  state "Search Loader" as SCH
  state "Results" as R
    
  [*] --> CH: Make Changes
  CH --> BLD: Commit & Push origin
  BLD --> IDX: jekyll build
  IDX --> TST: Build Complete
  TST --> CH: Error Detected
  TST --> DEP: Deploy
  DEP --> SCH: Search Input
  SCH --> R: Return Results
  R --> [*]

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{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      <h2><a {% static_href %}href="/{{ site.active_lang }}{url}"{% endstatic_href %}>{title}</a></h2>
      {% else %}
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      {% endif %}

(...중략...)

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    {% assign search_path = '/assets/js/data/search.json' %}
    {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      {% assign search_path = '/' | append: site.active_lang | append: search_path %}
    {% endif %}
    
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ search_path | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',

(...후략)