내적과 노름

Prerequisites

• 벡터와 선형결합

내적

일반적인 $F$-벡터공간에서의 내적(inner product)의 정의는 다음과 같다.

내적(inner product)과 내적공간(inner product space)의 정의
$F$-벡터공간 $\mathbb{V}$를 생각하자. $\mathbb{V}$에서의 내적(inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$는 $\mathbb{V}$의 임의의 벡터 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$의 순서쌍을 $F$에 속한 스칼라에 대응시키는, 다음 조건을 만족하는 함수로 정의한다.

임의의 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$와 임의의 $c \in F$에 대하여

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ ($\overline{\mathbf{z}}$는 $\mathbf{z}$의 복소 켤레)
4. $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$일 때, $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$는 양수이다.

내적이 주어진 $F$-벡터공간 $\mathbb{V}$를 내적공간(inner product space)이라 한다. 특히 $F=\mathbb{C}$인 경우 복소내적공간(complex inner product space), $F=\mathbb{R}$인 경우 실내적공간(real inner product space)이라 한다.

특히 다음의 내적을 표준 내적(standard inner product)이라고 한다. 표준 내적이 앞선 내적의 조건 4가지를 모두 만족함을 확인할 수 있다.

표준 내적(standard inner product)의 정의
$F^n$의 두 벡터 $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$에 대하여, $F^n$의 표준 내적(standard inner product)을 다음과 같이 정의한다.

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

여기서 $F=\mathbb{R}$이면, 실수의 켤레복소수는 자기 자신이기 때문에 이때의 표준 내적은 $\sum_{i=1}^n a_i b_i$가 된다. 특별히 이 경우의 표준 내적을 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ 대신 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$로 표기하고, 점곱(dot product) 또는 스칼라곱(scalar product)이라고 한다.

점곱(dot product)/스칼라곱(scalar product)의 정의
$\mathbb{R}^n$의 $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$에 대하여, $\mathbb{R}^n$의 점곱(dot product) 또는 스칼라곱(scalar product)을 다음과 같이 정의한다.

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

여기서 말하는 ‘스칼라곱(scalar product)’은 벡터와 벡터 간의 연산으로, 벡터와 선형결합에서 다뤘던 스칼라와 벡터 간 연산인 ‘스칼라배(scalar multiplication)’과는 별개의 연산이다. 영문 표현도 비슷한 편인 데다, 대한수학회 기준 한국어 번역 표현은 아예 동일하기 때문에 혼동하지 않도록 주의하자.

혼동을 방지하기 위해, 앞으로는 가급적 점곱(dot product)으로 지칭하겠다.

유클리드 공간에서의 내적(inner product)이 곧 점곱(dot product)이므로, 맥락상 혼동의 여지가 없다면 점곱을 그냥 내적이라고 표현하는 경우도 흔하다. 다만 엄밀히는 내적이 점곱을 포함하는 더 일반적인 개념이다.

flowchart TD
    A["내적(Inner Product)"] -->|포함함| B["표준 내적(Standard Inner Product)"]
    B -->|"F = R(실수체)인 경우"| C["점곱/스칼라곱(Dot/Scalar Product)"]

    %% 포함(포함 관계) 표기
    C -. 포함됨 .-> B
    B -. 포함됨 .-> A

벡터의 길이/노름

$\mathbb{R}^n$에서의 벡터 $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$에 대하여 $\mathbf{v}$의 유클리드 길이는 다음과 같이 점곱을 통해 정의한다.

\[\| \mathbf{v} \| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \left[ \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \right]^{1/2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\]

보다 일반적으로는, 임의의 내적공간에서의 벡터의 길이(length) 또는 노름(norm)을 다음과 같이 정의한다.

\[\| \mathbf{x} \| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}\]

일반적인 내적공간에서, 벡터의 노름에 대해 다음의 중요한 성질들이 성립한다.

정리
$F$-내적공간 $\mathbb{V}$와 임의의 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$, 스칼라 $c \in F$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. 다음의 둘이 성립한다.
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (등호는 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 둘 중 하나가 다른 하나의 상수배일 때 성립)
4. 삼각 부등식(triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (등호는 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 둘 중 하나가 다른 하나의 상수배이고, 둘의 방향이 같을 때 성립)

벡터들 사이의 각과 단위벡터

길이가 $1$인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 또한 $\mathbb{R}^n$에서의 두 벡터 $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$에 대하여 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$가 성립하며, 이로부터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$ 사이의 각 $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$)를 구할 수 있다.

\[\theta = \arccos{\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\|}}\]

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$인 경우, 두 벡터는 수직(perpendicular) 또는 직교(orthogonal)한다고 한다.

두 벡터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 수직인 경우,

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

이를 임의의 내적공간으로 일반화하면 다음과 같다.

정의
내적공간 $\mathbb{V}$를 생각하자. $\mathbb{V}$의 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$에 대하여 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$이면 두 벡터는 직교(orthogonal) 또는 수직(perpendicular)이라고 정의한다. 또한,

1. $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $S$에 속하는 서로 다른 임의의 두 벡터가 직교할 때, 집합 $S$를 직교집합(orthogonal set)이라 한다.
2. $\|\mathbf{x}\|=1$인 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$를 단위벡터(unit vector)라 한다.
3. $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$가 직교집합이고 단위벡터로만 이루어져 있을 때, 집합 $S$를 정규직교집합(orthonormal set)이라 한다.

집합 $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$가 정규직교집합이기 위한 필요충분조건은 $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$이다. 벡터에 영이 아닌 스칼라를 곱해도 직교성에 영향을 주지 않는다.

영이 아닌 임의의 벡터 $\mathbf{x}$에 대하여 $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$는 단위벡터이며, 이렇게 영이 아닌 벡터에 길이의 역수만큼의 스칼라를 곱하여 단위벡터를 얻는 과정을 정규화(normalizing)라 한다.