선형 종속과 선형 독립, 기저와 차원

Prerequisites

• 벡터와 선형결합
• 벡터공간, 부분공간, 그리고 행렬

선형 종속과 선형 독립

어떤 벡터공간 $\mathbb{V}$와 부분공간 $\mathbb{W}$에 대해, $\mathbb{W}$를 생성하는 가능한 작은 유한 부분집합 $S$를 찾고 싶다고 하자.

집합 $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$에 대하여 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$라 할 때, $\mathbb{W}$를 생성하는 $S$의 진부분집합이 존재하지는 않는지 판별하려면 어떻게 해야 할까? 이는 $S$에서 꺼낸 한 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현 가능한지 판별하는 문제와 같다. 예를 들어, $\mathbf{u}_4$를 나머지 세 벡터의 선형결합으로 표현하기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 스칼라 $a_1, a_2, a_3$가 존재하는 것이다.

\[\mathbf{u}_4 = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3\]

하지만 $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ 각각에 대해 매번 이런 식으로 연립일차방정식을 세워서 해가 존재하는지 확인하려면 번거로우므로, 식을 살짝 변경해 보자.

\[a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \mathbf{0}\]

만약 $S$의 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형결합이면, 위와 같이 영벡터를 $S$의 선형결합으로 표현할 때 계수 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 중 하나 이상이 $0$이 아닌 표현이 존재한다. 이 명제의 역 또한 참으로, 계수 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 중 하나 이상이 $0$이 아니면서 영벡터를 $S$의 원소 벡터들의 선형결합으로 표현하는 방법이 존재한다면 $S$의 어떤 벡터는 다른 벡터들의 선형결합이다.

이를 일반화하여, 다음과 같이 선형종속과 선형독립을 정의한다.

정의
벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$와 적어도 하나가 $0$이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, \dots, a_n$이 존재하면 집합 $S$ 및 그 벡터들은 선형종속(linearly dependent)이라 한다. 그렇지 않은 경우는 선형독립(linearly independent)이라 한다.

임의의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$에 대하여 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$이면 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$이며, 이를 영벡터의 자명한 표현(trivial representation of $\mathbf{0}$)이라 한다.

선형독립인 집합에 대한 다음의 세 명제가 모든 벡터공간에서 항상 참이다. 특히 명제 3은 앞서 본 것처럼 어떤 유한집합이 선형독립인지 판정할 때 매우 유용하다.

• 명제 1: 공집합은 선형독립이다. 어떤 집합이 선형종속이기 위해서는 공집합이 아니어야 한다.
• 명제 2: 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 선형독립이다.
• 명제 3: 어떤 집합이 선형독립이기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{0}$을 주어진 집합에 대한 선형결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것이다.

또한 다음의 정리들도 중요하다.

정리 1
$\mathbb{V}$가 벡터공간이고 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$일 때, $S_1$이 선형종속이면 $S_2$도 선형종속이다.

따름정리 1-1
$\mathbb{V}$가 벡터공간이고 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$일 때, $S_2$가 선형독립이면 $S_1$도 선형독립이다.

정리 2
벡터공간 $\mathbb{V}$ 그리고 선형독립인 부분집합 $S$를 생각하자. $S$에 포함되지 않는 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$에 대해, $S \cup \{\mathbf{v}\}$가 선형종속이기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$이다.

바꿔 말해, $S$의 어떤 진부분집합도 $S$와 같은 공간을 생성하지 못한다면 $S$는 선형독립이다.

기저와 차원

기저

선형독립인 $\mathbb{W}$의 생성집합 $S$에는 특별한 성질이 있는데, $\mathbb{W}$에 속한 모든 벡터는 반드시 $S$의 선형결합으로 표현할 수 있고, 그 표현은 유일하다(정리 3). 따라서, 어떤 벡터공간에 대한 선형독립인 생성집합을 특별히 다음과 같이 기저(basis)라고 정의한다.

기저의 정의
벡터공간 $\mathbb{V}$와 부분집합 $\beta$에 대하여, $\beta$가 선형독립이고 $\mathbb{V}$를 생성하면 $\beta$를 $\mathbb{V}$의 기저(basis)라고 한다. 이때, $\beta$의 벡터는 $\mathbb{V}$의 기저를 형성한다고 한다.

$\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$이고, $\emptyset$은 선형독립이다. 따라서 $\emptyset$은 점공간의 기저이다.

특히, $F^n$에 대한 다음의 특별한 기저를 $F^n$의 표준기저(standard basis)라 한다.

표준기저의 정의
벡터공간 $F^n$에 대하여 다음 벡터들을 생각하자.

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

이때, 집합 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$은 $F^n$의 기저이며, 이를 $F^n$의 표준기저(standard basis)라 한다.

정리 3
벡터공간 $\mathbb{V}$와 서로 다른 $n$개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$에 대하여, 집합 $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$이 $\mathbb{V}$의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 ‘임의의 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$를 $\beta$에 속한 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현이 유일할 것’이다. 즉, 유일한 스칼라 $n$순서쌍 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$에 대하여 벡터 $\mathbf{v}$는 다음과 같아야 한다.

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

정리 3에 따르면, 서로 다른 $n$개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$가 벡터공간 $\mathbb{V}$의 기저를 형성할 경우 해당 벡터공간 안에서는 벡터 $\mathbf{v}$가 주어지면 그에 대응하는 스칼라 $n$순서쌍 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$이 결정되고, 반대로 스칼라 $n$순서쌍이 주어지면 그에 대응하는 벡터 $\mathbf{v}$를 얻을 수 있다. 나중에 가역성과 동형사상에 대해 공부할 때 다시 정리하겠지만, 이 경우 벡터공간 $\mathbb{V}$와 $F^n$은 본질적으로 같다.

정리 4
유한집합 $S$에 대해 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$이면, $S$의 부분집합 중 $\mathbb{V}$의 기저가 존재한다. 즉, 이 경우 $\mathbb{V}$의 기저는 유한집합이다.

벡터공간의 상당수가 정리 4의 적용 대상에 해당하지만, 반드시 그런 것은 아니다. 기저는 유한집합이 아닐 수도 있다.

차원

정리 5: 대체정리(replacement theorem)
$n$개의 벡터로 이루어진 집합 $G$에 대해 $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$라 하자. $L$이 $m$개의 선형독립인 벡터들로 이루어진 $\mathbb{V}$의 부분집합이면, $m\leq n$이다. 또한, $n-m$개의 벡터를 원소로 가지며 $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$인 집합 $H \subseteq G$가 존재한다.

이로부터, 매우 중요한 2개의 따름정리를 얻는다.

대체정리의 따름정리 5-1
벡터공간 $\mathbb{V}$가 유한집합인 기저를 포함한다고 가정할 때, $\mathbb{V}$의 모든 기저는 유한집합이며 같은 개수의 벡터로 이루어져 있다.

이에 따르면 $\mathbb{V}$의 기저를 형성하는 벡터의 개수는 $\mathbb{V}$의 변치 않는 본질적인 성질이며, 이를 차원(dimension)이라 한다.

차원의 정의
기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimension)이라 하며, 이때 기저의 원소 개수 $n$을 주어진 벡터공간의 차원(dimension)이라 하고 $\dim(\mathbb{V})$라 표기한다. 유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원(infinite dimension)이다.

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

벡터공간은 어느 체 위에 있는지에 따라 차원이 달라질 수 있다.

• 복소수체 $\mathbb{C}$에서 복소수 벡터공간의 차원은 $1$, 기저는 $\{1\}$
• 실수체 $\mathbb{R}$에서 복소수 벡터공간의 차원은 $2$, 기저는 $\{1,i\}$

유한차원 벡터공간 $\mathbb{V}$에서 $\dim(\mathbb{V})$보다 더 많은 개수의 벡터를 가지는 부분집합은 절대 선형독립일 수 없다.

대체정리의 따름정리 5-2
$\mathbb{V}$가 차원이 $n$인 벡터공간이라 하자.

1. $\mathbb{V}$의 유한 생성집합에는 반드시 $n$개 이상의 벡터가 있으며, $n$개의 벡터로 이루어진 $\mathbb{V}$의 생성집합은 $\mathbb{V}$의 기저이다.
2. 선형독립이고 $n$개의 벡터로 이루어진 $\mathbb{V}$의 부분집합은 $\mathbb{V}$의 기저이다.
3. 선형독립인 $\mathbb{V}$의 부분집합을 확장하여 기저를 만들 수 있다. 즉, $L \subseteq \mathbb{V}$이 선형독립이면 $\beta \supseteq L$인 $\mathbb{V}$의 기저 $\beta$가 존재한다.

부분공간의 차원

정리 6
유한차원 벡터공간 $\mathbb{V}$에 대하여 부분공간 $\mathbb{W}$는 유한차원이고, $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$이다. 특히, $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.$

따름정리 6-1
유한차원 벡터공간 $\mathbb{V}$의 부분공간 $\mathbb{W}$에 대해, $\mathbb{W}$의 임의의 기저를 확장하여 $\mathbb{V}$의 기저를 얻을 수 있다.

정리 6에 따라, $\mathbb{R}^3$의 부분공간의 차원은 $0,1,2,3$이 될 수 있다.

• 0차원: 원점($\mathbf{0}$)만을 포함하는 점공간 $\{\mathbf{0}\}$
• 1차원: 원점($\mathbf{0}$)을 지나는 직선
• 2차원: 원점($\mathbf{0}$)을 포함하는 평면
• 3차원: 유클리드 3차원 공간 전체