선형변환, 영공간, 상

Prerequisites

• 벡터와 선형결합
• 벡터공간, 부분공간, 그리고 행렬
• 선형 종속과 선형 독립, 기저와 차원
• 일대일함수, 전사함수

선형변환

벡터공간의 구조를 보존하는 특별한 함수를 선형변환(linear transformation)이라 하며, 이는 순수수학, 응용수학, 사회과학, 자연과학, 그리고 공학을 통틀어 매우 자주 등장하는 중요한 개념이다.

정의
$\mathbb{V}$와 $\mathbb{W}$가 $F$-벡터공간이라 하자. 모든 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\ c \in F$에 대하여 다음의 두 조건을 만족하는 함수 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$를 $\mathbb{V}$에서 $\mathbb{W}$로 가는 선형변환(linear transformation)이라 한다.

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

$T$가 선형변환이라는 말을 간단히 줄여 $T$는 선형(linear)이라고도 표현한다. 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$는 다음의 네 성질을 만족한다.

1. $T$가 선형 $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$가 선형 $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$가 선형 $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$가 선형 $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

어떤 함수가 선형임을 보일 때 보통 2번째 성질을 사용하면 편리하다.

선형대수학은 기하학에서도 폭넓고 다양하게 사용할 수 있는데, 그 이유는 많은 중요한 기하 변환들이 선형이기 때문이다. 특히 주요한 세 가지 기하 변환인 회전, 대칭, 사영이 선형변환에 해당한다.

다음의 두 가지 선형변환이 특히 자주 등장한다.

항등변환과 영변환
$F$-벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$에 대하여

• 항등변환(identity transformation): 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$라 정의되는 함수 $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$
• 영변환(zero transformation): 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$이라 정의되는 함수 $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$

이 외에도 다양한 개념들이 선형변환에 해당한다.

선형변환의 예시

• 회전
• 대칭
• 사영
• 전치
• 미분가능한 함수의 미분
• 연속함수의 적분

영공간과 상

영공간과 상의 정의

정의
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여

• 영공간(null space) 또는 핵(kernel): $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$인 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$를 원소로 가지는 집합, $\mathrm{N}(T)$라 표기함

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• 치역(range) 또는 상(image): $T$의 함숫값을 원소로 가지는 $\mathbb{W}$의 부분집합, $\mathrm{R}(T)$라 표기함

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. 벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 항등변환 $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$, 영변환 $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대해 다음이 성립한다.

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

앞으로 계속해서 중요하게 나올 내용인데, 선형변환의 영공간과 상은 벡터공간의 부분공간이다.

정리 1
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여 $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$는 각각 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$의 부분공간이다.

증명
$\mathbb{V}, \mathbb{W}$의 영벡터를 각각 $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$라 표기하자.

$T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$이므로 $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$이며, 또한 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c \in F$에 대하여 다음이 성립한다.

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$이므로 $\mathrm{N}(T)$는 $\mathbb{V}$의 부분공간이다.

마찬가지로, $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$이므로 $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$이며, $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$이므로

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$이므로 $\mathrm{R}(T)$는 $\mathbb{W}$의 부분공간이다. $\blacksquare$

한편, 벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여 $\mathbb{V}$의 기저 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$을 알 경우, 상 $\mathrm{R}(T)$의 생성집합을 다음과 같이 찾을 수 있다.

정리 2
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, $\mathbb{V}$의 기저 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$에 대하여 다음이 성립한다.

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

증명

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

$\mathrm{R}(T)$가 부분공간이므로, 벡터공간, 부분공간, 그리고 행렬의 정리 2에 의해

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

또한,

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

$\beta$가 $\mathbb{V}$의 기저이므로

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(단, } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

$T$는 선형이므로

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$이고 동시에 $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$이므로, $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

이 정리는 기저 $\beta$가 무한집합일 때에도 성립한다.

차원정리

영공간과 상은 매우 중요한 부분공간이므로, 차원에도 이름을 붙여 특별하게 다룬다.

벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여 $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$가 유한차원이라 하자.

• 영공간의 차원(nullity): $\mathrm{N}(T)$의 차원, $\mathrm{nullity}(T)$라 표기함
• 계수(rank): $\mathrm{R}(T)$의 차원, $\mathrm{rank}(T)$라 표기함

선형변환에서 영공간의 차원이 커질수록 계수는 작아지고, 반대로 계수가 커질수록 영공간의 차원은 작아진다.

정리 3: 차원정리(dimension theorem)
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$에 대하여 $\mathbb{V}$가 유한차원이면 다음이 성립한다.

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

증명

$\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$라 하고, $\mathrm{N}(T)$의 기저를 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$라 하자.

“선형 종속과 선형 독립, 기저와 차원”의 따름정리 6-1에 따라, $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$를 확장하여 $\mathbb{V}$의 기저 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$을 얻을 수 있다.

이제, $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$이 $\mathrm{R}(T)$의 기저임을 보일 것이다. 우선 $1 \leq i \leq k$일 때 $T(\mathbf{v}_i) = 0$이므로, 정리 2에 의해

\[\begin{align*} \mathrm{R}(T) &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(S). \end{align*}\]

즉, $S$는 $\mathrm{R}(T)$의 생성집합이다. 이제 대체정리의 따름정리 5-2에 따라, $S$가 선형독립임을 보이면 $S$가 $\mathrm{R}(T)$의 기저임을 증명할 수 있다.

$\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (단, $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$)라 하면, $T$가 선형이므로

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \Leftrightarrow T\left(\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \in \mathrm{N}(T).\]

따라서,

\[\begin{align*} &\exists c_1, c_2, \dots, c_k \in F, \\ &\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i \\ \Leftrightarrow &\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0. \end{align*}\]

$\beta$가 $\mathbb{V}$의 기저이니, $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$의 유일한 해는

\[c_1 = c_2 = \cdots = c_k = b_{k+1} = b_{k+2} = \cdots = b_n = 0\]

이고, 이로부터

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad b_i = 0.\]

즉, $S$는 선형독립이며, $\mathrm{R}(T)$의 기저이다.

\[\therefore \mathrm{rank}(T) = n - k = \dim{\mathbb{V}} - \mathrm{nullity}(T). \blacksquare\]

선형변환과 일대일함수, 전사함수

선형변환에서 일대일함수(injection)와 전사함수(surjection)는 계수, 영공간의 차원과 밀접한 관련이 있다.

정리 4
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여

\[T\text{는 일대일함수이다.} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

정리 5
유한차원 벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$의 차원이 같을 때, 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$에 대하여 다음 네 명제는 동치이다.

1. $T$는 일대일함수이다.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$는 전사함수이다.

차원정리와 선형변환의 성질 1, 3, 그리고 “선형 종속과 선형 독립, 기저와 차원”의 정리 6을 이용하여 정리 4와 정리 5를 증명할 수 있다.

이 두 정리는 주어진 선형변환이 일대일함수 또는 전사함수인지 판별할 때 유용하다.

무한차원 벡터공간 $\mathbb{V}$와 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$에 대해서는, 단사와 전사는 동치가 아니다.

또한 어떤 선형변환이 일대일함수라면, 경우에 따라선 주어진 벡터공간의 부분집합이 선형독립인지를 판별할 때 다음의 정리가 유용할 수 있다.

정리 6
벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 일대일함수인 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, 그리고 $\mathbb{V}$의 부분집합 $S$에 대하여 다음이 성립한다.

\[S\text{가 선형독립이다.} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{가 선형독립이다.}\]

선형변환과 기저

선형변환의 중요한 특성은, 기저에 따라 선형변환이 어떻게 행동하는지가 결정된다는 것이다.

정리 7
$F$-벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$와 $\mathbb{V}$의 기저 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, 그리고 벡터 $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$에 대하여 다음 조건을 만족하는 선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$가 유일하게 존재한다.

\[i = 1, 2, \dots, n \text{에 대하여 } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

증명
$\mathbf{x} \in \mathbb{V}$에 대하여 다음 선형결합 표현은 유일하다.

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

선형변환 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$를

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

로 놓자.

i) $i = 1, 2, \dots, n$에 대하여 $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii)

또다른 선형변환 $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$가 $i = 1, 2, \dots, n$에 대하여 $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$를 만족한다고 가정하면, $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$에 대하여

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

i), ii)에 의해, $i = 1, 2, \dots, n$에 대하여 $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$인 선형변환은

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

로 유일하다. $\blacksquare$

따름정리 7-1
두 벡터공간 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$에 대하여 $\mathbb{V}$가 유한집합인 기저 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$을 포함한다고 할 때, 두 선형변환 $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$가 $i = 1, 2, \dots, n$에 대해 $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$를 만족하면 $U = T$이다.
즉, 기저에서 함숫값이 같으면 같은 선형변환이다.