PR dodający oficjalne koreańskie tłumaczenie Contributor Covenant 3.0 Code of Conduct: feat(i18n): add Korean translation for Contributor Covenant 3.0 (#1590)

Contributor Covenant

Contributor Covenant to najpowszechniej używany dziś na świecie kodeks postępowania dla społeczności cyfrowych. Po raz pierwszy został opracowany i opublikowany w 12014 roku przez Coraline Ada Ehmke, a od 12021 roku jest rozwijany, utrzymywany i udoskonalany przez OES (Organization for Ethical Source) oraz jego współtwórców. Jego celem jest wyraźne nazwanie domyślnych wartości, które społeczności mogą wspólnie podzielać, aby budować kulturę wspólnoty, w której każdy czuje się mile widziany i bezpieczny.

W przeszłości w społecznościach programistycznych często tolerowano agresywny język czy dyskryminujące wypowiedzi pod szyldem merytokracji, a Contributor Covenant odegrał ważną rolę jako punkt zwrotny w przemianie tych społeczności ku bardziej ludzkiemu modelowi kultury, który stawia na inkluzywność, wzajemny szacunek i konstruktywną informację zwrotną. Dziś kodeks ten został przyjęty przez setki tysięcy projektów open source na całym świecie, w tym przez Creative Commons, Linux, Apple, Mastodon, Microsoft, WordPress, IBM i wiele innych.

Co zmieniło się w aktualizacji Contributor Covenant 3.0

Wersja 3.0, nad którą OES rozpoczęło prace w 12024 roku z okazji 10-lecia Contributor Covenant i którą opublikowano w lipcu 12025 roku po około roku prac, w porównaniu z poprzednią wersją 2.1 wprowadza następujące główne zmiany.

• Materiały referencyjne:
  • https://ethicalsource.dev/blog/contributor-covenant-3/
  • https://www.contributor-covenant.org/faq/

Większa elastyczność

• W porównaniu z wcześniejszą wersją zoptymalizowaną pod kątem społeczności open source, nowa wersja została zaprojektowana tak, by można ją było stosować także w rozmaitych społecznościach online i offline, nie tylko w obszarze tworzenia oprogramowania
  • np. zamiast „프로젝트 유지 관리자(Project Maintainers)” użyto bardziej neutralnego i inkluzywnego określenia „커뮤니티 중재자(Community Moderators)”
• Usunięto idiomy charakterystyczne dla amerykańskiego kontekstu kulturowego i zastąpiono je bardziej jednoznacznymi sformułowaniami, które użytkownikom z innych kręgów kulturowych łatwiej zrozumieć i przetłumaczyć

Zmiana paradygmatu: od sprawiedliwości retrybutywnej do naprawczej

Jedną z największych zmian w Contributor Covenant 3.0 względem wcześniejszej wersji jest przejście od sprawiedliwości retrybutywnej (Retributive Justice) do sprawiedliwości naprawczej (Restorative Justice). Sekcja wytycznych egzekwowania (enforcement guidelines), która wcześniej koncentrowała się na kolejnych poziomach sankcji, została przebudowana w sekcję Reagowanie na szkody i ich naprawianie (Addressing and Repairing Harm).

• Zmieniono nazwy części etapów reakcji
• Oprócz dotychczasowych pozycji dotyczących konsekwencji (Consequence) dodano również wskazówki dotyczące naprawy (Repair), dzięki czemu dokument nie ogranicza się już do sankcjonowania sprawcy, lecz obejmuje też to, jak po zdarzeniu odbudowywać naruszone relacje między stronami, łagodzić konflikt i naprawiać wyrządzone szkody
• Zamiast kłaść nacisk wyłącznie na egzekwowanie i karanie przez osoby trzecie, dokument przesuwa się w stronę zachęcania — tam, gdzie to możliwe — do dobrowolnej refleksji, pojednania i poprawy oraz do namysłu nad tym, jak po incydencie przywrócić społeczności zdrowe funkcjonowanie

Jaśniejsze wytyczne

• Sekcja Standardy (Our Standards) została wyraźnie podzielona na dwie części: Zachowania promowane (Encouraged Behaviors) i Zachowania ograniczane (Restricted Behaviors), co poprawiło czytelność
• W szczególności sekcja Zachowania ograniczane (Restricted Behaviors) wyraźnie zakazuje nie tylko faktycznego podejmowania określonych szkodliwych działań, lecz także grożenia nimi lub ich promowania, wzmacniając tym samym zdolność do zapobiegania

  Zgadzamy się ograniczać w naszej społeczności następujące zachowania. Przejawy tych zachowań, groźby ich podjęcia oraz ich promowanie stanowią naruszenie niniejszego kodeksu postępowania.

• Dodano też nową podsekcję Inne ograniczenia (Other Restrictions) w ramach Zachowań ograniczanych (Restricted Behaviors), w której dodatkowo doprecyzowano zasady dotyczące takich obszarów, jak podszywanie się pod inną tożsamość (Misleading identity), niepodawanie źródeł (Failing to credit sources), materiały promocyjne (Promotional materials) oraz nieodpowiedzialna komunikacja (Irresponsible communication), wcześniej niewystarczająco jasno uregulowanych
• Uwzględniono odpowiedzi z ankiety przeprowadzonej wśród osób realnie stosujących Contributor Covenant w swoich społecznościach i wyraźnie zaznaczono, że stopniowy model egzekwowania (enforcement ladder) stanowi jedynie punkt odniesienia i nie ogranicza uznaniowości osób zarządzających społecznością

  Ta drabina egzekwowania ma służyć jako wskazówka. Nie ogranicza ona zdolności Community Managers do korzystania z własnego uznania i osądu zgodnie z najlepiej pojętym interesem naszej społeczności.

Wzmocnienie zapisów o równości i zakazie dyskryminacji

W pierwszej sekcji, Przyrzeczenie (Our Pledge), doprecyzowano i wzmocniono postanowienia dotyczące prawa do równości i zakazu dyskryminacji: część terminów zastąpiono bardziej inkluzywnymi wyrażeniami, a także dodano niektóre współczesne wartości związane z różnorodnością.

• Wyrażenia „rozmiar ciała (body size)” i „wygląd osobisty (personal appearance)” zastąpiono szerszym określeniem „cechy fizyczne (physical characteristics)”
• „religię (religion)” zastąpiono bardziej pojemnym „przekonania lub religia (philosophy or religion)”
• „narodowość (nationality)” zastąpiono bardziej pojemnym „pochodzenie narodowe lub społeczne (national or social origin)”
• Dodatkowo wyraźnie wymieniono „neuroróżnorodność (neurodiversity)”
• Dodano także „język (language)”, by lepiej uwzględnić osoby nieanglojęzyczne
• Wprowadzono też ogólne zmiany w sformułowaniach dotyczących równości i różnorodności płciowej

  v2.1
  cechy płciowe, tożsamość i ekspresja płciowa albo tożsamość i orientacja seksualna

  v3.0
  płeć biologiczna lub społeczna, tożsamość lub ekspresja płciowa, orientacja seksualna

Kwestie uwzględnione przy tym koreańskim przekładzie

Uwagi ogólne

Użycie form grzecznościowych

Przy redagowaniu przyrzeczenia i kodeksu postępowania po koreańsku wybór między formą grzecznościową a formą neutralną zależy od przyjętego kierunku, kultury organizacyjnej oraz postawy, jaką chce się przekazać. Dawniej dominowała forma neutralna, podkreślająca autorytet i dyscyplinę, ale ostatnio coraz częściej spotyka się formę grzecznościową, gdy celem jest zaakcentowanie kultury horyzontalnej i opartej na szacunku.

Jeśli spojrzeć na dawne dyskusje, wydaje się, że przy tłumaczeniu wersji 2.0 na koreański początkowo rozważano formę grzecznościową, ale ostatecznie przeredagowano tekst do formy neutralnej. Szanuję tamtą dyskusję i jej wnioski, a mimo to tym razem ponownie zdecydowałem się na tłumaczenie w formie grzecznościowej z następujących powodów.

Dzisiejsza kultura społeczności open source jest z natury dość odległa od rygoru, surowości i egzekwowania przymusu, a dużo bliższa wzajemnemu szacunkowi, dobrowolnemu uczestnictwu i wkładowi. W tej wersji Contributor Covenant 3.0 filozofia ta została szczególnie mocno odzwierciedlona w całym tekście. Biorąc pod uwagę podstawowe wartości i filozofię, które oryginał chciał przekazać w tej aktualizacji, a także kulturę i tendencje panujące w społecznościach, uznałem, że w przekładzie na koreański odpowiedniejsza będzie forma grzecznościowa. Korzystałem też z przykładów takich jak koreańska grupa użytkowników Rust, PyCon KR CoC oraz koreańska wersja kodeksu postępowania społeczności Kubernetes, które również stosują formę grzecznościową.

Unikanie zbędnych konstrukcji biernych

W przeciwieństwie do angielskiego, który często posługuje się stroną bierną, koreański zasadniczo preferuje konstrukcje czynne. Jeśli bierne formy z angielskiego oryginału mechanicznie przenosi się do koreańskiego jako konstrukcje bierne, powstaje tekst, który brzmi nienaturalnie i zdradza, że jest tłumaczeniem, a do tego bywa niepoprawny gramatycznie.

Nie znaczy to oczywiście, że w koreańskim w ogóle nie używa się strony biernej, ale tam, gdzie nie zniekształcało to sensu tekstu, starałem się możliwie często przekładać wyrażenia bierne z oryginału na formy czynne w koreańskim przekładzie.

np.

• “Encouraged Behaviors”: “장려되는 행동”(X), “장려하는 행동”(O)
• “enforcement actions are carried out in private”: “집행 조치는 비공개로 진행된다“(X), “집행 조치는 비공개로 진행한다“(O)
• “its own established enforcement process”: “자체적으로 확립된 집행 절차”(X), “자체적으로 확립한 집행 절차”(O)
• “the following enforcement ladder may be used”: “다음의 단계적 집행 기준이 사용될 수 있습니다”(X), “다음의 단계적 집행 기준을 사용할 수 있습니다”(O)
• “are provided at”: “에서 제공됩니다“(X), “에서 제공합니다“(O)

Uwzględnianie kontekstu, w jakim dane słowo zostało użyte w tekście, zamiast słownikowego i mechanicznego przekładu słów

Ponieważ angielski i koreański są językami dość odległymi, słowa w naturalny sposób nie odpowiadają sobie dokładnie w relacji jeden do jednego. Tak jest nawet wtedy, gdy słownik podaje je jako znaczeniowo równoważne.

Na przykład w poniższym fragmencie “intimate” w danym kontekście nie znaczy “친밀한”, lecz raczej “성적인”.

Sexualization. Behaving in a way that would generally be considered inappropriately intimate in the context or purpose of the community.

Ponadto w kolejnym fragmencie słownikowy przekład “process” jako “처리할” brzmi niezręcznie. W kontekście tego tekstu właściwsze jest oddanie go jako “추스를”.

… give the community members involved time to process the incident.

(표준국어대사전 표제어 중)

추스르다「3」: 일이나 생각 따위를 수습하여 처리하다.

Z drugiej strony są też zapożyczenia, dla których trudno znaleźć odpowiedni rodzimy odpowiednik. Na przykład w przypadku “community” można by użyć słowa “공동체”, ale uznałem, że wydźwięk angielskiego “community” i koreańskiego “공동체” dość wyraźnie się różni. Dlatego starałem się co do zasady zastępować zapożyczenia rodzimymi odpowiednikami, lecz w sytuacjach, gdy istniało duże ryzyko zniekształcenia sensu lub tonu oryginału, zostawiałem formy takie jak “커뮤니티”.

Z tych powodów nie chciałem wykonywać prostego, słownikowego i mechanicznego podstawiania wyrazów, lecz dobierać takie wyrażenia koreańskie, które są najbliższe sensowi i kontekstowi oryginału.

Ponadto: przestrzeganie norm językowych języka koreańskiego

Starałem się możliwie dokładnie przestrzegać norm języka koreańskiego, takich jak zasady ortografii hangul i normy języka standardowego.

Sekcja “서약(Our Pledge)”

Śródtytuł

Dosłowne tłumaczenie “Our Pledge” dawałoby “우리의 맹세”, ale ponieważ w dotychczasowym koreańskim przekładzie użyto formy “서약”, a pod względem naturalności tekstu mieści się ona w pełni w dopuszczalnym zakresie, tym razem również pozostawiłem “서약”.

Tłumaczenie terminu “caste”

W dotychczasowym koreańskim przekładzie wersji 2.1 oddano to dosłownie jako “카스트 제도”. Choć słowo caste może funkcjonować także jako akademicki rzeczownik pospolity oznaczający szczegółowo utrwalone systemy hierarchii stanowej w różnych częściach świata, więc nie da się tego uznać po prostu za błąd, to bez takiego szerszego tła większość osób rozumie w codziennym koreańskim “카스트 제도” jako “specyficzny dla hinduistów w Indiach system stanowy wywodzący się m.in. z Praw Manu”. Dlatego, uwzględniając kontekst oryginału, przetłumaczyłem to jako “계급”. W tym miejscu “caste” należy rozumieć jako odnoszące się nie do konkretnego państwa (Indii) czy religii (hinduizmu), lecz do wszelkiego rodzaju systemów statusowych i wynikających z nich klas.

Użycie wyrażenia “성” zamiast “성별”

We are committed to fostering an environment that respects and promotes the dignity, rights, and contributions of all individuals, regardless of … sex or gender, gender identity or expression, sexual orientation … or other status.

Biorąc pod uwagę wartości i kontekst, które oryginał próbuje przekazać, “sex”, “gender” i “sexual orientation” nie odnoszą się tu zapewne do rozróżnienia opartego na binarnym podziale na mężczyzn i kobiety. Dlatego zamiast “성별”, które subtelnie implikuje taki binarny podział, użyłem słowa “성”, a zarazem starałem się możliwie zachować rozróżnienia znaczeniowe między sex, gender i sexuality w humanistyce oraz naukach społecznych, tłumacząc ten fragment następująco.

… 생물학적 또는 사회적 성, 성 정체성 또는 성 표현, 성적 지향…

Sekcje “장려하는 행동(Encouraged Behaviors)” i “제한하는 행동(Restricted Behaviors)”

Usunięcie dwukropka (:)

With these considerations in mind, we agree to behave mindfully toward each other and act in ways that center our shared values, including:

1. Respecting the purpose of our community, our activities, and our ways of gathering.
2. Engaging kindly and honestly with others. …

W angielskim oryginale często spotyka się użycie dwukropka po pełnym zdaniu po to, by wyliczyć przykłady, jak powyżej. Jednak współczesne normy koreańskie ograniczają użycie dwukropka głównie do stylu wyliczeniowego, np. przy podawaniu haseł i odpowiadających im elementów albo objaśnień. Dlatego, o ile cały tekst nie został napisany w formie punktowej, zapis taki jak poniżej jest bardzo nienaturalny i łatwo sprawia wrażenie pobieżnego tłumaczenia maszynowego albo wykonanego przy użyciu LLM.

이러한 점을 유념하며, 우리는 서로를 사려 깊게 대하고 우리가 공유하는 다음 가치를 중심으로 행동할 것에 동의합니다:

1. 우리 공동체의 목적, 활동 및 모임 방식을 존중합니다.
2. 친절하고 정직하게 다른 사람들과 소통합니다. …

Dlatego, zgodnie z koreańskim użyciem, nie przepisywałem tego miejsca mechanicznie z dwukropkiem, lecz zastąpiłem go kropką (.), aby tekst brzmiał naturalnie.

Tłumaczenie wyrażenia “that would generally be considered inappropriately”

Tutaj zamiast przekładać “generally” dosłownie jako “일반적으로”, uznałem, że w tym kontekście naturalniejsze będzie oddanie go jako “대부분의 사람들에게”.

…대부분의 사람들이 부적절하다고 간주할 만한…

Tłumaczenie wyrażenia “act on”

Początkowo zastanawiałem się, czy nie przetłumaczyć “act on” po prostu jako “이용하다”, ale w kontekście chodzi raczej o zakaz wszelkich działań podejmowanych — niezależnie od intencji — na podstawie czyichś danych identyfikacyjnych lub prywatnych informacji. Uznałem więc, że tłumaczenie tego jako “이용하다” zbyt zawęża znaczenie, i oddałem to następująco.

비밀 침해. 타인의 신상 관련 정보 또는 개인적인 정보를 당사자의 허락 없이 공유하거나, 그 정보를 바탕으로 행하는 모든 행위.

Sekcja “문제 신고(Reporting an Issue)”

• “this Code of Conduct reinforces encouraged behaviors and norms that …”: przetłumaczone jako “본 행동 강령은 …는 권장 행동 방식과 규범을 증진합니다”
• “in a timely manner”: przetłumaczone jako “적시에”
• “while prioritizing safety and confidentiality”: przetłumaczone jako “안전과 비밀 유지를 우선시한다는 전제 하에”
• “In order to honor these values”: przetłumaczone jako “이들 가치를 지키기 위해”

  (Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

  honor verb
  keep promise 3. honor something (formal) to do what you have agreed or promised to do

Sekcja “피해 대응 및 교정(Addressing and Repairing Harm)”

• “Addressing”: przetłumaczone jako “대응”
• “Repairing”: przetłumaczone jako “교정”

Tłumaczenie Event:, Consequence:, Repair:

Był to fragment, nad którym długo się zastanawiałem, bo w koreańskim trudno oddać go naturalnie. Dosłowne tłumaczenia jako “사건”, “결과”, “교정” sprawiają, że tekst brzmi dość niezręcznie.

Po namyśle nad tym, jak możliwie najpełniej oddać filozofię oryginału, a jednocześnie zachować naturalność tekstu, zdecydowałem się na następujące przekłady.

• “Event”: przetłumaczone jako “적용 상황”
• “Consequence”: przetłumaczone jako “대응 조치”
• “Repair”: początkowo rozważałem “회복 조치”, ale uznałem, że słowo “조치” sugeruje bardziej interwencję i egzekwowanie przez kogoś z zewnątrz niż dobrowolną refleksję i poprawę ze strony samej osoby, co rozmija się z intencją oryginału. Ostatecznie więc przetłumaczyłem to jako “교정 노력”

Tłumaczenie wyrażenia “seeking clarification on expectations”

“expectations” można przetłumaczyć dosłownie jako “기대 사항” i sens byłby zrozumiały, ale dla płynniejszego brzmienia tekstu oddałem to jako “준수 사항”.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

expectation noun
3. [countable, usually plural] a strong belief about the way something should happen or how somebody should behave

“seeking clarification” można by oddać jako żądanie wyjaśnień, ale w kontekście pozycji Repair chodzi o pożądane działania i postawę po incydencie ze strony osoby, która problem spowodowała. Gdyby więc przetłumaczyć clarification i seeking odpowiednio jako wyjaśnienie i żądanie, sens robi się dziwny. Uznałem, że najwłaściwiej będzie oddać to jako wysiłek mający na celu jasne potwierdzenie i przyswojenie zasad, których należy przestrzegać, po to, by dana osoba mogła się zreflektować i nie powtórzyć tego samego błędu.

(Oxford Learner’s Dictionaries 표제어 중)

seek verb
2. [transitive] to ask somebody for something; to try to obtain or achieve something

clarification noun
[uncountable, countable] (formal)
the act or process of making something clearer or easier to understand

• I am seeking clarification of the regulations.

Tłumaczenie wyrażenia “cooldown”

Słownikowo może ono oznaczać chłodzenie, wyciszenie po ćwiczeniach albo uspokojenie; tutaj najbliższe kontekstowi jest właśnie uspokojenie. Chodzi o znaczenie najbliższe temu, co wyraża koreańskie “머리 좀 식혀라.”

Jednak “time-limited cooldown period” brzmi po koreańsku dość niezręcznie jako “한시적 진정 기간”, dlatego w tym przekładzie “cooldown period” oddałem jako “자숙 기간”.

Tłumaczenie wyrażenia “time to process the incident”

Jak wspomniano wyżej, przetłumaczyłem to jako “해당 일을 추스를 시간”.

Tłumaczenie wyrażeń “suspension” i “ban”

W dotychczasowym koreańskim przekładzie wersji 2.1 “ban” przetłumaczono jako “제재”, ale “제재” jest pojęciem nadrzędnym obejmującym wszelkie środki podejmowane wobec naruszeń, także na niższych etapach, takich jak ostrzeżenie czy czasowe ograniczenie aktywności, więc znaczenie staje się niejednoznaczne. Poza tym angielskie “ban” ma jasne znaczenie: zakazać, trwale zablokować, a wyrażenie odpowiadające “(계정 등의) 영구 정지” jest w koreańskim całkowicie naturalne i powszechnie używane, więc nie widziałem powodu, by koniecznie je omijać parafrazą.

To samo dotyczy “suspension”, które również jasno oznacza zawieszenie lub wstrzymanie i nie wymaga sztucznej parafrazy.

Dlatego “Temporary Suspension” i “Permanent Ban” przetłumaczyłem odpowiednio jako “일시적 정지” i “영구 정지”.

Tłumaczenie zdania “This enforcement ladder is intended as a guideline.”

Wyrażenie “enforcement ladder” przetłumaczyłem jako “단계적 집행 기준”. Ponadto zdanie to zostało użyte w kontekście podkreślenia, że wspomniane wyżej etapy egzekwowania są tylko jedną z możliwych opcji, a zarazem mają gwarantować uznaniowość i decyzyjność osób zarządzających społecznością, dlatego rodzajnik “a” oddałem jako “하나의”. W przekładzie brzmi to następująco.

이 단계적 집행 기준은 하나의 기준선으로 마련한 것입니다. 이는 커뮤니티의 최선의 이익에 부합하는 커뮤니티 관리자의 재량권과 판단 권한을 제한하지 않습니다.

Na zakończenie

Wiele dokumentów i projektów o takim prospołecznym charakterze bywa tłumaczonych na różne języki przez wolontariuszy i współtwórców. Niestety, w przypadku tłumaczeń na koreański nierzadko albo w ogóle brakuje tłumacza i przekład nie powstaje, albo istniejąca wersja brzmi nienaturalnie, jakby była wykonana mechanicznie — do tego stopnia, że jako Koreańczyk nieraz miałem ochotę pomyśleć: „już lepiej przeczytam to po angielsku”, i przełączyć się na stronę angielską.

Kiedy tym razem zdecydowałem się wnieść wkład w koreańskie tłumaczenie, uznałem, że skoro już mam to zrobić, powinienem przygotować przekład na tyle dobry, by czytelnik nie odczuwał dysonansu nawet wtedy, gdyby uznał, że tekst od początku został napisany po koreańsku przez koreańskiego autora. Starałem się zrozumieć i oddać filozofię oraz subtelny kontekst oryginału, zwłaszcza to, jakie sformułowania zmieniły się w wersji 3.0 względem 2.1 i z jakich powodów autorzy oryginału dokonali właśnie takich wyborów.

Ze względu na naturę języka tłumaczenie nie działa tak, że ten sam tekst wejściowy zawsze daje identyczny wynik jak jakaś funkcja. Różni tłumacze przygotują nieco różne przekłady, a wynika to nie tylko z poziomu umiejętności, lecz z samej istoty tłumaczenia, a szerzej — pisania, w którym nie istnieje jedna jedyna poprawna odpowiedź. Ostatnio niemal we wszystkich swoich pracach pomocniczo korzystam z AI, a nawet wpisy na tym blogu automatycznie tłumaczę i publikuję w wielu językach, podłączając API modeli LLM. Jednak akurat w tym przypadku naprawdę chciałem przygotować przekład dopracowany i możliwie najlepszy, na jaki mnie stać. Wielokrotnie samodzielnie weryfikowałem każde sformułowanie i zastanawiałem się, jak najwierniej, a zarazem naturalnie oddać sens oryginału. W efekcie przedkładam tu rezultat mojej subiektywnej, ale najlepszej możliwej oceny i interpretacji. Dziś, gdy wszyscy korzystają z AI, uważam, że przynajmniej w przypadku tłumaczeń ważnych dokumentów, takich jak przyrzeczenia czy kodeksy postępowania, przekład ma wartość tylko wtedy, gdy oferuje wyraźną przewagę nad wynikiem uzyskanym przez po prostu wrzucenie oryginału do AI z poleceniem „przetłumacz to”. Przynajmniej na obecnym etapie, tj. w marcu 12026 roku, mogę z przekonaniem powiedzieć, że w tym przekładzie udało się w pełni zachować subtelny ton i kontekst oryginału, których tłumaczenie maszynowe czy LLM nie potrafią jeszcze całkowicie uchwycić.

Na dzień 20 marca 12026 roku Contributor Covenant 3.0, poza angielskim oryginałem i koreańskim przekładem, który właśnie złożyłem, został w pełni przetłumaczony tylko na trzy języki: bengalski, niemiecki i chiński kontynentalny, a jeśli spojrzeć na listę otwartych PR-ów, widać też wiele języków, dla których szkice tłumaczeń zostały już zgłoszone w PR-ach, ale nie zostały ostatecznie zatwierdzone z powodu braku recenzentów. Co więcej, wiele wersji językowych nie dotarło jeszcze nawet do 3.0, a nadal pozostaje przy 1.4. Jeśli z jakiegokolwiek powodu czyta to ktoś, kto posługuje się innym językiem niż koreański, to ponieważ sam proces włączenia się w tłumaczenie nie jest szczególnie skomplikowany, byłoby ogromną pomocą dla OES i użytkowników danego języka, gdyby poświęcił na to choć jeden dzień weekendu i dołożył swoją cegiełkę. Dla mnie również był to pierwszy raz, kiedy wniosłem wkład w taki projekt tłumaczeniowy i przeczytałem cały kodeks postępowania od początku do końca, ale uważam, że było to zadanie zdecydowanie warte kilku godzin czasu. Korea należy do krajów, w których — względem liczby ludności — liczba programistów aktywnie działających w społecznościach open source, takich jak GitHub, jest dość wysoka. Tym bardziej byłbym rad, gdyby koreańska wersja kodeksu postępowania Contributor Covenant 3.0, którą tym razem przetłumaczyłem i zgłosiłem, została zrecenzowana także przez innych Koreańczyków, a najlepiej również szeroko przyjęta i praktycznie wykorzystywana w wielu miejscach.

Jak powiedział profesor Nathan Schneider, cytowany we wpisie na blogu OES, Contributor Covenant stanowi niezbędny fundament budowania odpowiedzialnych i przejrzystych społeczności, a w praktyce faktycznie przyczyniał się do rozwiązywania konfliktów. Zwyczajowo na GitHubie i w podobnych miejscach często po prostu naciska się przycisk „Add a code of conduct” i wkleja gotowy szablon, ale z jakiegoś powodu szablon automatycznie udostępniany przez GitHub nie jest aktualizowany od wersji 2.0. Ponieważ wersja 3.0 przynosi duże zmiany i ulepszenia względem 2.0 i 2.1, chciałbym zachęcić, by — jeśli to możliwe — przyjmować najnowszą wersję przez oficjalną stronę. Sam tekst wcale nie jest tak długi, więc tym bardziej warto przy tej okazji choć raz spokojnie przeczytać go w całości. Kończę więc z nadzieją, że Contributor Covenant 3.0 Code of Conduct i przygotowany tym razem koreański przekład spotkają się z dużym zainteresowaniem.

Czym są materiały IR?

IR to skrót od Investor Relations — termin obejmujący wszystkie materiały i działania potrzebne do przedstawienia i promowania firmy inwestorom, budowania relacji oraz pozyskania inwestycji. Mówiąc o „materiałach IR”, najczęściej ma się na myśli dokumenty, którymi firma przedstawia się inwestorom w celu pozyskania finansowania.

Co powinno znaleźć się w materiałach IR

Ponieważ celem materiałów IR jest pozyskanie inwestycji, trzeba z perspektywy inwestora przekonująco pokazać, dlaczego warto zainwestować właśnie w tę spółkę. Dlatego materiały powinny obejmować całościowy obraz biznesu: podsumowanie usługi, otoczenie rynkowe, opis produktu/usługi, krajobraz konkurencyjny, wyniki, model biznesowy, plany wzrostu, zespół itd.

• Pitch deck:
  • Celem jest zostawienie krótkiego i mocnego oraz pozytywnego pierwszego wrażenia u szerokiego grona potencjalnych inwestorów
  • Używany na wczesnym etapie pozyskiwania finansowania
  • Zwykle 10–15 slajdów: zwięźle, z naciskiem na warstwę wizualną
• IR deck:
  • Dostarcza pogłębionych informacji finansowych i długoterminowej strategii spółki
  • Dla profesjonalnych inwestorów, którzy zaczęli wykazywać zainteresowanie i są przed podjęciem decyzji
  • Pozwala inwestorom przeprowadzić głębszą ocenę i wyrobić sobie zdanie
  • Zwykle 20–30 slajdów: bardziej szczegółowe informacje, m.in. plan finansowy, analiza rynku, zespół, analiza konkurencji

Misja / wizja (Mission/Vision)

• Jaka jest fundamentalna wartość, którą firma chce dostarczyć?

To część, którą można uznać za rdzeń tożsamości firmy. Warto umieścić misję i wizję na samym początku materiałów IR i ująć każdą z nich zwięźle, ale jednoznacznie — po jednym zdaniu.

Podsumowanie usługi

Problem (Problem)

• Jaki problem rynkowy ta usługa chce rozwiązać?
• Jak bardzo konsumenci odczuwają z tym problemem dyskomfort?
• Dlaczego ten problem jest ważny?
• Czy istnieje popyt na rozwiązanie? Kto jest targetem?

Rozwiązanie (Solution)

• Jak konkretnie zamierzacie rozwiązać wspomniany problem?
• Jakie korzyści zyskuje konsument i użytkownik końcowy w porównaniu z dotychczasowymi sposobami?

Inwestorzy często nie są ekspertami w danej dziedzinie, dlatego warto opisywać usługę z perspektywy konsumenta, a nie dewelopera. Szczegóły techniczne najlepiej zostawić na później — np. gdy pojawią się dodatkowe pytania.

Wielkość rynku (Market Size)

Jeśli bezpośrednio określa się wielkość rynku w pieniądzu, wynik może znacząco się różnić w zależności od metody wyliczenia i wielu zmiennych, a ryzyko sporów co do założeń jest relatywnie wysokie. Bezpieczniej i często skuteczniej jest pokazać wielkość rynku za pomocą innych wskaźników, np. liczby potencjalnych użytkowników czy liczby/częstotliwości transakcji.

• TAM (Total Addressable Market, cały rynek): maksymalna teoretycznie dostępna wielkość rynku przy założeniu idealnego scenariusza, w którym wykluczamy wszystkich konkurentów i osiągamy 100% udziału globalnie; dotyczy sytuacji, gdy produkt/usługa jest oferowany(a) na całym świecie
• SAM (Service Available Market, rynek dostępny): realnie osiągalna wielkość rynku w zakresie, który firma faktycznie adresuje, przy uwzględnieniu ograniczeń geograficznych, infrastrukturalnych i regulacyjnych
• SOM (Service Obtainable Market, rynek osiągalny / „do zdobycia”): wielkość rynku, którą realnie można zdobyć na początku nawet w ramach SAM, biorąc pod uwagę konkurencję, możliwości firmy, strategię marketingową itd.

Przy szacowaniu wielkości rynku często wygląda to tak, że dla TAM lub SAM podaje się konkretne liczby i wskaźniki, cytując zewnętrzne raporty rynkowe, natomiast kluczowy z perspektywy startupu SOM opisuje się w stylu: „jeśli zdobędziemy X% udziału w tym rynku, osiągniemy Y przychodu”. Szczerze mówiąc, gdy dopiero przygotowywałem się do założenia firmy, w pierwszym wewnętrznym szkicu materiałów IR też pisałem w ten sposób.

Problem w tym, że z perspektywy inwestora takie plany dotyczące „ile % rynku zdobędziemy” są trudne do uznania za wiarygodne. Samo wypuszczenie usługi nie oznacza, że łatwo przejmie się rynek, a ogólne stwierdzenie, że zdobędzie się kilka procent „wśród wszystkich uczestników rynku”, ma niską siłę perswazyjną.

Kluczowe jest, aby jednocześnie pokazać, że docelowy TAM i SAM są wystarczająco duże, oraz przedstawić logikę: jak definiujecie wczesną grupę klientów (Immediate Market), a następnie jakie kolejne segmenty klientów będziecie etapami „dobudowywać”, aby zwiększać SOM.

Timing biznesu

• W biznesie timing ma ogromne znaczenie
• Trzeba umieć wyjaśnić inwestorom, dlaczego właśnie teraz ten biznes może się udać i dlaczego warto inwestować właśnie teraz
• Należy przedstawić powody, dla których to dobry moment na realizację: możliwości technologiczne, zmiany zachowań ludzi, trendy społeczne, zmiany środowiskowe itd.

Opis produktu/usługi (Product)

• Jakie są kluczowe cechy i funkcje produktu/usługi?
• Jaki jest konkretny sposób działania, jakie są przykłady użycia?

Model biznesowy (Business Model)

• Jak będziecie zarabiać?
• Kto płaci? (Ponieważ użytkownik końcowy nie zawsze jest tym, kto płaci, trzeba jasno wskazać, kto realnie generuje przychód)
• Za co będziecie pobierać opłaty? Jak będzie wyglądać pricing?

Konkurencja (Competition)

• Kim są główni konkurenci?
• Z perspektywy klienta: pod jakim względem nasza usługa/produkt jest lepsza i ma przewagę nad ofertą konkurencji?
• Które usługi uznajecie za konkurencyjne i jakich klientów wybieracie jako główny target?

Rzetelna analiza konkurencji pomaga skutecznie pokazać inwestorom, że dobrze rozumiecie sytuację rynkową.

Wyniki i strategia wejścia na rynek (Go-to Market Strategy)

• Jaki jest najważniejszy kluczowy wskaźnik sukcesu dla tego biznesu?
  • np. liczba zamówień, miesięczna liczba aktywnych użytkowników (MAU), miesięczna wartość transakcji itd.
• Jakie wyniki osiągnęliście, koncentrując się na tym wskaźniku?
• Jakie są główne narzędzia i kanały marketingowe spółki?
• Jakie są metody pozyskiwania nowych klientów i jaki jest ich koszt?
• *Jaka jest wartość życiowa klienta (LTV)?

*Wartość życiowa klienta (Customer Lifetime Value, LTV): liczbowy wskaźnik tego, ile łącznego zysku przynosi jeden użytkownik przez cały okres korzystania z usługi.

Warto pominąć poboczne metryki niezwiązane bezpośrednio z kluczowym wskaźnikiem.

Jeśli to ultra-wczesny startup bez przychodów

• Wyznaczcie i pokażcie próg rentowności
• Nie „pompować” wskaźników przychodowych; ustawiać je realistycznie z konserwatywnej perspektywy
• Przedstawić scenariusz przychodów w pierwszym roku ich pojawienia się oraz dołączyć plan sprzedażowy na kolejne lata, aby zbudować przekonanie, że wzrost może być stabilny
  • prognoza krótkoterminowa: 1 rok
  • prognoza średnioterminowa: 3 lata
  • prognoza długoterminowa: 5 lat
• Aktywnie wykorzystywać wykresy i tabele, aby dało się wszystko szybko ogarnąć wzrokiem
• Warto uwzględnić slajdy weryfikacji hipotez, by przekonująco pokazać, dlaczego przyjęto takie, a nie inne KPI i scenariusze przychodowe, oraz wzmocnić uzasadnienie
  • Należy przygotować mocne podstawy prognoz poprzez wielokrotne eksperymenty i weryfikację hipotez

Zespół (The Team)

• Zamiast przedstawiać wszystkich, lepiej zaprezentować głównie kluczowych członków zespołu (w tym CEO), którzy pełnią najważniejsze role
• Doświadczenie i kompetencje: 2–3 najważniejsze punkty; warto używać logotypów itp., aby poprawić czytelność
• Jeśli są inwestorzy lub doradcy, którzy odegrali/odgrywają kluczową rolę, warto ich również uwzględnić

Plany wzrostu (Milestones)

• Przedstawić cele do osiągnięcia w czasie (wg etapów i okresów)
• Zwykle wyznacza się cele do kolejnej rundy (np. seed → do Series A, Series A → do Series B)
• Podać oczekiwaną kwotę inwestycji i plan wykorzystania środków
• Lepiej nie brać zbyt długich interwałów (np. pół roku lub dłużej), tylko dzielić na krótsze odcinki, rzędu ok. 2 miesięcy

Plan finansowy (Financials)

W przypadku IR decka plan finansowy powinien się znaleźć.

• Tabela planu finansowego na kolejne 3–5 lat
• Unit economics: przychód i koszt w przeliczeniu na jednostkę (np. na klienta)
• Burn rate: tempo spalania gotówki w młodej firmie, czyli relacja wydatków (koszty założenia, R&D i inne) ponoszonych w gotówce
• Łączne przychody i koszty
• EBITDA albo rachunek przepływów pieniężnych (cash flow) itd.

• Uważać, aby nie przedstawiać zbyt nierealistycznych planów finansowych
• Często zdarza się zawyżać prognozowane przychody i zaniżać koszty, więc przy szacowaniu skali przychodów trzeba zachować ostrożność
• Koszty należy możliwie dokładnie oszacować, uwzględniając koszty rozwoju produktu/usługi oraz koszty operacyjne

Na co kłaść nacisk na poszczególnych etapach finansowania

Seed

• Etap budowy MVP, sprawdzenia reakcji rynku i weryfikacji sensowności modelu biznesowego
• Należy mocno akcentować wstępne hipotezy, wyniki ich weryfikacji, wyniki eksperymentów z MVP oraz wynikające z nich przychody

Pre-A

• Etap, w którym trzeba udowodnić potencjał wzrostu i zabezpieczyć dodatkowy kapitał na rozwój produktu, marketing, rekrutację itd.
• Potrzebne wyjaśnienie: jakie są kluczowe wskaźniki biznesu, jakimi działaniami i jak skutecznie rośnie firma oraz jakie są perspektywy dalszego wzrostu

Series A

• Etap, na którym firma rośnie na poważnie i zwiększa swoją wycenę
• Ponieważ w tym momencie weryfikacja hipotez powinna być już zakończona, trzeba budować zaufanie inwestora poprzez ilościowe (mierzalne) wyniki biznesowe

Kilka wskazówek

• W pierwszych pięciu slajdach warto szczególnie się przyłożyć, aby zostawić pozytywne pierwsze wrażenie
• Misję/wizję z pierwszego slajdu można powtórzyć jeszcze raz na ostatnim slajdzie
• Wszystko przekazywać konkluzją na początku (najpierw sedno)
• Przedmiotem inwestycji jest firma, więc także w materiałach IR nazwa spółki jest ważniejsza niż nazwa usługi
• Potencjalni inwestorzy czytający materiały IR mogą nie być osobami z branży — warto więc używać możliwie prostych sformułowań, a gdy nie da się uniknąć terminów specjalistycznych, dopisać krótkie wyjaśnienie
• Nie mieszać problemu rynkowego z rozwiązaniem — rozdzielić je
• Tekst opierać na słowach-kluczach; przy obrazach unikać zrzutów ekranu, by poprawić czytelność
• Podawać dokładne i konkretne liczby w tabelach lub na wykresach
• Uważać, aby nie pominąć prezentacji zespołu, oczekiwanej kwoty inwestycji oraz planu wykorzystania środków
• Dobrze jest pokazać również strategię wyjścia dla inwestorów (exit)
• Nawet jeśli nie jest to dopięte na 100%, warto choć z grubsza pokazać plan docelowej struktury udziałowców (w jakich proporcjach)
• Nie upychać zbyt wielu materiałów w treści; jeśli trzeba, przenieść je do załączników
• Na ostatnim slajdzie umieścić dane kontaktowe (e-mail, numer telefonu, imię i nazwisko)
• Font ma duże znaczenie, więc użyj czytelnego kroju pisma, np. Pretendard, i przygotuj wszystko w PDF, aby uniknąć problemów z „rozjechaniem” się czcionek

Materiały referencyjne

Kanał publikacji raportów spółek KIND

https://kind.krx.co.kr/corpgeneral/irschedule.do?method=searchIRScheduleMain&gubun=iRMaterials

• Kanał publikacji raportów spółek prowadzony przez Korea Exchange
• Dostarcza informacje raportowe dla spółek notowanych na KOSPI, KOSDAQ i KONEX
• Pozwala przeglądać materiały IR spółek giełdowych, dzięki czemu można sprawdzić, jak są zbudowane inne, niedawno przygotowane materiały IR

Czym jest kryptografia

Kryptografia (cryptography) jest w istocie poddziedziną nauki, której celem jest obrona protokołów (protocols) przed działaniami przeciwnika.

Protokół to lista kroków, które jedna lub więcej osób musi wykonać, aby coś osiągnąć. Na przykład, jeśli chcemy współdzielić schowek między urządzeniami, to poniższe kroki stanowią protokół współdzielenia schowka:

1. Gdy na jednym z urządzeń nastąpi zmiana w schowku, kopiuje ono zawartość schowka i przesyła ją na serwer.
2. Serwer informuje pozostałe urządzenia, że w udostępnionym schowku zaszła zmiana.
3. Pozostałe urządzenia pobierają z serwera zawartość udostępnionego schowka.

Nie jest to jednak dobry protokół, ponieważ jeśli wyślemy na serwer treść schowka w postaci jawnej i tak samo ją pobierzemy, to w trakcie komunikacji ktoś po drodze (albo nawet sam serwer) może podejrzeć zawartość schowka. Uwzględnienie istnienia wroga, który chce podejrzeć tę zawartość, oraz obrona przed nim — to właśnie rola kryptografii.

Kryptografia symetryczna

Szyfrowanie symetryczne

Rozważmy sytuację, w której Alice ma wysłać list do Boba. Alice, aby przekazać Bobowi poufne informacje, poleca posłańcowi (messenger), by zaniósł list. Jednak Alice nie ufa posłańcowi w pełni i chce, aby przekazywana wiadomość pozostała tajna dla wszystkich oprócz Boba — włącznie z posłańcem niosącym list.

Algorytmem kryptograficznym wynalezionym dawno temu do użycia w takiej sytuacji jest algorytm szyfrowania symetrycznego (symmetric encryption algorithm).

Prymityw (primitive)
Słowo primitive w słowniku oznacza „prymitywny”, „pierwotny”. W kryptografii również często używa się terminu prymityw, gdzie oznacza on najmniejszy „klocek” systemu kryptograficznego: funkcję lub algorytm. Można o tym myśleć jako o „elemencie bazowym” albo „logice fundamentowej”.

Rozważmy pewien prymityw, który udostępnia dwie funkcje:

• ENCRYPT: przyjmuje klucz tajny (secret key) (zwykle dużą liczbę) oraz wiadomość (message), a na wyjściu zwraca ciąg liczb jako zaszyfrowaną wiadomość
• DECRYPT: funkcja odwrotna do ENCRYPT; przyjmuje ten sam klucz tajny oraz zaszyfrowaną wiadomość i zwraca wiadomość oryginalną

Aby, używając takiego prymitywu, ukryć wiadomość Alice przed posłańcem i innymi osobami trzecimi, Alice i Bob muszą najpierw spotkać się wcześniej i ustalić, jakiego klucza tajnego użyją. Następnie Alice może użyć funkcji ENCRYPT, aby zaszyfrować wiadomość umówionym kluczem, i przekazać zaszyfrowaną wiadomość Bobowi przez posłańca. Bob używa tego samego klucza tajnego oraz funkcji DECRYPT, aby odzyskać wiadomość oryginalną.

Proces szyfrowania obiektu przy użyciu klucza tajnego — tak aby na pierwszy rzut oka nie dało się go odróżnić od bezsensownego szumu — jest w kryptografii typową metodą ochrony protokołów.

Szyfrowanie symetryczne należy do szerszej klasy algorytmów zwanej kryptografią symetryczną (symmetric cryptography) lub kryptografią klucza tajnego (secret key cryptography); w zależności od przypadku kluczy może być nawet więcej niż jeden.

Zasada Kerckhoffsa

Dziś potrafimy komunikować się niemal w czasie rzeczywistym, używając znacznie potężniejszych niż papierowe listy środków — komputerów i internetu. Ale to oznacza też, że „złośliwy posłaniec” również stał się potężniejszy: może to być niezabezpieczone publiczne Wi‑Fi w kawiarni, operator (ISP), rozmaite urządzenia i serwery telekomunikacyjne współtworzące internet i przenoszące wiadomości, instytucje rządowe, a nawet nasze własne urządzenie, na którym uruchamiany jest algorytm. Przeciwnicy mogą obserwować więcej wiadomości w czasie rzeczywistym i — niezauważalnie — fałszować je, podsłuchiwać lub cenzurować z rozdzielczością nanosekund.

W długim procesie prób i błędów kryptografii wypracowano nadrzędną zasadę zapewniającą wiarygodne bezpieczeństwo: prymitywy należy analizować publicznie. Podejściem przeciwnym jest tzw. bezpieczeństwo przez niejawność (security by obscurity), które ma wyraźne ograniczenia i dziś jest w praktyce zarzucone.

Zasadę tę po raz pierwszy sformułował w 11883 roku niderlandzki językoznawca i kryptograf Auguste Kerckhoffs, i nazywa się ją zasadą Kerckhoffsa (Kerckhoffs’s principle). Tę samą ideę amerykański matematyk, informatyk i kryptograf — ojciec teorii informacji — Claude Shannon ujął jako „The enemy knows the system”, tj. „projektując system, należy zakładać, że przeciwnik pozna system”. To sformułowanie bywa nazywane maksymą Shannona (Shannon’s maxim).

Bezpieczeństwo systemu kryptograficznego powinno zależeć wyłącznie od tajności klucza; sam system nie powinien sprawiać problemu nawet wtedy, gdy jest znany, a wręcz powinien być aktywnie ujawniany, aby — jak w przypadku AES — wielu kryptoanalityków (cryptanalysts) mogło go weryfikować. Tajemnica zawsze może wyciec, a więc jest potencjalnym punktem awarii; z perspektywy obrońcy im mniejsza część systemu musi pozostać tajna, tym lepiej. Utrzymanie w tajemnicy przez długi czas całego dużego i złożonego systemu (jak system kryptograficzny) jest niezwykle trudne, natomiast utrzymanie w tajemnicy samego klucza jest względnie proste. Co więcej, nawet jeśli tajemnica wycieknie, znacznie łatwiej jest wymienić ujawniony klucz na nowy niż wymieniać cały system kryptograficzny.

Kryptografia asymetryczna

Wiele protokołów faktycznie działa w oparciu o kryptografię symetryczną, ale takie podejście zakłada, że aby ustalić klucz, uczestnicy muszą co najmniej raz na początku spotkać się osobno. Pojawia się więc problem, jak klucz ustalić i bezpiecznie współdzielić zawczasu — nazywa się to dystrybucją klucza (key distribution). Problem dystrybucji klucza przez długi czas był trudny i dopiero pod koniec lat 11970., wraz z opracowaniem algorytmów zwanych kryptografią asymetryczną (asymmetric cryptography) lub kryptografią klucza publicznego (public key cryptography), został rozwiązany.

Do reprezentatywnych prymitywów kryptografii asymetrycznej należą wymiana kluczy (key exchange), szyfrowanie asymetryczne (asymmetric encryption) oraz podpis cyfrowy (digital signature).

Wymiana kluczy

Wymiana kluczy w przybliżeniu działa następująco:

1. Alice i Bob uzgadniają, że będą wspólnie używać pewnego zestawu parametrów $G$
2. Alice i Bob wybierają swoje klucze prywatne (private keys) $a, b$
3. Alice i Bob łączą wspólne parametry $G$ ze swoimi kluczami prywatnymi $a$, $b$, aby obliczyć klucze publiczne (public keys) $A = f(G,a)$, $B = f(G,b)$, po czym udostępniają je publicznie
4. Alice używa publicznego klucza Boba $B = f(G,b)$ oraz własnego klucza prywatnego $a$, aby obliczyć $f(B,a) = f(f(G,b),a)$; Bob analogicznie używa publicznego klucza Alice $A = f(G,a)$ oraz własnego klucza prywatnego $b$, aby obliczyć $f(A,b) = f(f(G,a),b)$
5. Jeśli użyjemy odpowiedniej funkcji $f$ mającej własność $f(f(G,a),b) = f(f(G,b),a)$, to ostatecznie Alice i Bob będą współdzielić ten sam sekret, a osoba trzecia, mimo że zna $G$ i klucze publiczne $A = f(G,a)$ oraz $B = f(G,b)$, nie będzie w stanie z tego wywnioskować $f(A,b)$, więc sekret pozostanie tajny

Zwykle tak współdzielony sekret wykorzystuje się później jako klucz tajny do szyfrowania symetrycznego przy wymianie kolejnych wiadomości.

Pierwszym opublikowanym i najbardziej reprezentatywnym algorytmem wymiany kluczy jest algorytm Diffiego–Hellmana (Diffie-Hellman key exchange), nazwany od nazwisk dwóch autorów: Diffie i Hellman.

Jednak wymiana kluczy Diffiego–Hellmana ma też ograniczenia. Rozważmy sytuację, w której atakujący przechwytuje w kroku wymiany kluczy publicznych klucze $A = f(G,a)$ i $B = f(G,b)$, po czym podmienia je na własny $M = f(G,m)$ i przekazuje Alice oraz Bobowi. Wtedy Alice i atakujący współdzielą fałszywy sekret $f(M, a) = f(A, m)$, a Bob i atakujący współdzielą inny fałszywy sekret $f(M, b) = f(B, m)$. W efekcie atakujący może podszyć się pod Boba wobec Alice i pod Alice wobec Boba. Taką sytuację opisuje się stwierdzeniem, że atakujący typu man-in-the-middle (MITM) skutecznie zaatakował protokół. Z tego powodu wymiana kluczy nie rozwiązuje problemu zaufania, a jedynie upraszcza procedurę, gdy uczestników jest wielu.

Szyfrowanie asymetryczne

Po wynalezieniu algorytmu wymiany kluczy Diffiego–Hellmana szybko pojawił się kolejny przełom: algorytm RSA (RSA algorithm), nazwany od nazwisk wynalazców — Ronald Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman. RSA obejmuje dwa prymitywy: szyfrowanie kluczem publicznym (szyfrowanie asymetryczne) oraz podpis cyfrowy; oba należą do kryptografii asymetrycznej.

W przypadku szyfrowania asymetrycznego podstawowy cel — szyfrowanie wiadomości w celu zapewnienia poufności — jest podobny do szyfrowania symetrycznego. Jednak w odróżnieniu od szyfrowania symetrycznego, w którym ten sam klucz symetryczny służy zarówno do szyfrowania, jak i do deszyfrowania, szyfrowanie asymetryczne ma następujące cechy:

• działa na dwóch kluczach: kluczu publicznym i kluczu prywatnym
• każdy może zaszyfrować kluczem publicznym, ale odszyfrować może tylko posiadacz klucza prywatnego

1. Istnieje otwarte pudełko (klucz publiczny), do którego każdy może włożyć wiadomość i je zamknąć, ale gdy zostanie zamknięte, otworzyć je można wyłącznie kluczem (kluczem prywatnym), który ma Bob
2. Alice wkłada wiadomość do pudełka i je zamyka (szyfruje), po czym przekazuje Bobowi
3. Bob otrzymuje zamknięte pudełko (zaszyfrowaną wiadomość) i otwiera je swoim kluczem (kluczem prywatnym), wyjmując wiadomość (odszyfrowuje)

Podpis cyfrowy

RSA zapewnia nie tylko szyfrowanie asymetryczne, ale również podpis cyfrowy — prymityw, który okazał się ogromnie pomocny w budowaniu zaufania między Alice i Bobem. Do podpisywania wiadomości używa się własnego klucza prywatnego, a weryfikacja autentyczności podpisu odbywa się przez sprawdzenie podpisanej wiadomości, podpisu oraz klucza publicznego podpisującego.

Po co kryptografia?

Skoro celem kryptografii jest ochrona protokołów przed działaniami przeciwnika, to o tym, na ile jest ona „użyteczna”, decyduje cel, jaki dany protokół ma osiągnąć. Większość prymitywów i protokołów kryptograficznych ma co najmniej jedną z poniższych własności:

• poufność (confidentiality): ukrywanie i ochrona informacji przed osobami, które nie powinny ich widzieć
• uwierzytelnianie (authentication): identyfikacja rozmówcy (np. sprawdzenie, czy otrzymana wiadomość naprawdę została wysłana przez Alice)

Ekosystem kryptografii

flowchart TD
    Alice[Badacz kryptografii]-- wynalazek prymitywu -->Primitive(Propozycja nowego prymitywu)
    Alice-- wynalazek protokołu -->Protocol(Propozycja nowego protokołu)
    Alice-. organizacja konkursu .->C(Konkurs algorytmiczny)

    David[Przemysł prywatny]-. finansowanie .->Alice
    David-. organizacja konkursu .->C

    Eve[Agencje rządowe]-. finansowanie .->Alice
    Eve-. organizacja konkursu .->C

    Primitive --> t1{"Czy da się zaimplementować?"}
    t1-- tak -->Protocol
    t1-- nie -->term1@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Protocol-- udział w konkursie -->C
    Protocol-- standaryzacja -->Standard(Standard)
    Protocol-- zgłoszenie patentowe -->Patent(Wygaśnięcie patentu)
    Protocol-- implementacja -->Library(Biblioteka)
    
    C-- wygrana w konkursie -->Standard
    C-- odpadnięcie -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Standard-- implementacja -->Library
    Standard-- odpadnięcie -->term3@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

    Patent-- odpadnięcie -->term2@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }
    Patent-- standaryzacja -->Standard
    Patent-- implementacja -->Library

    Library-- standaryzacja -->Standard
    Library-- złamanie bezpieczeństwa -->term4@{ shape: framed-circle, label: "Stop" }

Prerequisites

• Wektory i kombinacje liniowe
• Przestrzenie wektorowe, podprzestrzenie i macierze
• Zależność liniowa i niezależność liniowa, baza i wymiar
• funkcja injektywna, funkcja surjektywna

Przekształcenia liniowe

Szczególną funkcję, która zachowuje strukturę przestrzeni wektorowej, nazywamy przekształceniem liniowym (linear transformation). Jest to kluczowe pojęcie, bardzo często pojawiające się w czystej matematyce, matematyce stosowanej, naukach społecznych, przyrodniczych oraz w inżynierii.

Definicja
Niech $\mathbb{V}$ oraz $\mathbb{W}$ będą $F$-przestrzeniami wektorowymi. Funkcję $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ nazywamy przekształceniem liniowym (linear transformation) z $\mathbb{V}$ do $\mathbb{W}$, jeśli dla wszystkich $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ oraz $c \in F$ spełnione są dwa warunki:

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Stwierdzenie, że $T$ jest przekształceniem liniowym, skraca się często do „$T$ jest liniowe (linear)”. Przekształcenie liniowe $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ spełnia następujące cztery własności.

1. $T$ jest liniowe $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ jest liniowe $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ jest liniowe $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ jest liniowe $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Przy wykazywaniu liniowości danej funkcji zazwyczaj najwygodniej jest użyć własności 2.

Algebrę liniową można szeroko i różnorodnie stosować także w geometrii, ponieważ wiele ważnych przekształceń geometrycznych jest liniowych. W szczególności trzy kluczowe przekształcenia geometryczne — obrót, symetria, rzut — są przekształceniami liniowymi.

Szczególnie często pojawiają się dwa następujące przekształcenia liniowe.

Przekształcenie identycznościowe i przekształcenie zerowe
Dla $F$-przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• przekształcenie identycznościowe (identity transformation): funkcja $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ zdefiniowana przez $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ dla wszystkich $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$
• przekształcenie zerowe (zero transformation): funkcja $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ zdefiniowana przez $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ dla wszystkich $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$

Poza tym wiele innych pojęć również jest przykładami przekształceń liniowych.

Przykłady przekształceń liniowych

• obrót
• symetria
• rzut
• transpozycja
• pochodna funkcji różniczkowalnej
• całka funkcji ciągłej

Jądro i obraz

Definicje jądra i obrazu

Definicja
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• jądro (kernel), czyli przestrzeń zerowa (null space): zbiór tych $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, dla których $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$; oznaczamy $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• zbiór wartości (range), czyli obraz (image): podzbiór $\mathbb{W}$ złożony z wartości funkcji $T$; oznaczamy $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia identycznościowego $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ i przekształcenia zerowego $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ zachodzi:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

To będzie pojawiać się dalej wielokrotnie: jądro i obraz przekształcenia liniowego są podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej.

Twierdzenie 1
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ zbiory $\mathrm{N}(T)$ i $\mathrm{R}(T)$ są odpowiednio podprzestrzeniami $\mathbb{V}$ i $\mathbb{W}$.

Dowód
Oznaczmy wektory zerowe $\mathbb{V}$ oraz $\mathbb{W}$ odpowiednio przez $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$.

Ponieważ $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, mamy $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. Ponadto dla $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ oraz $c \in F$ zachodzi:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$, więc $\mathrm{N}(T)$ jest podprzestrzenią $\mathbb{V}$.

Analogicznie, ponieważ $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, mamy $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$ oraz $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$, więc

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$, więc $\mathrm{R}(T)$ jest podprzestrzenią $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

Z kolei dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ i przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, jeśli znamy bazę $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ przestrzeni $\mathbb{V}$, to zbiór generujący obrazu $\mathrm{R}(T)$ można znaleźć następująco.

Twierdzenie 2
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ i bazy $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ przestrzeni $\mathbb{V}$ zachodzi:

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Dowód

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Ponieważ $\mathrm{R}(T)$ jest podprzestrzenią, na mocy Twierdzenia 2 z tekstu Przestrzenie wektorowe, podprzestrzenie i macierze mamy

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

Ponadto,

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Ponieważ $\beta$ jest bazą $\mathbb{V}$,

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(gdzie } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

A ponieważ $T$ jest liniowe,

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ i jednocześnie $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$, zatem $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Twierdzenie to pozostaje prawdziwe także wtedy, gdy baza $\beta$ jest zbiorem nieskończonym.

Twierdzenie o rządzie i defekcie

Ponieważ jądro i obraz są bardzo ważnymi podprzestrzeniami, wyróżnia się także ich wymiary specjalnymi nazwami.

Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ załóżmy, że $\mathrm{N}(T)$ i $\mathrm{R}(T)$ są skończenie wymiarowe.

• wymiar jądra (nullity): wymiar $\mathrm{N}(T)$, oznaczany $\mathrm{nullity}(T)$
• rząd (rank): wymiar $\mathrm{R}(T)$, oznaczany $\mathrm{rank}(T)$

W przekształceniu liniowym, im większy jest wymiar jądra, tym mniejszy jest rząd; i odwrotnie, im większy jest rząd, tym mniejszy jest wymiar jądra.

Twierdzenie 3: twierdzenie o wymiarze (dimension theorem)
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$, jeśli $\mathbb{V}$ jest skończenie wymiarowa, to zachodzi:

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Dowód

Niech $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$ oraz niech bazą $\mathrm{N}(T)$ będzie $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$.

Zgodnie z Wnioskiem 6-1 z tekstu „Zależność liniowa i niezależność liniowa, baza i wymiar”, zbiór $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ można rozszerzyć do bazy $\mathbb{V}$, tj. otrzymać bazę $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$.

Pokażemy teraz, że $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ jest bazą $\mathrm{R}(T)$. Ponieważ dla $1 \leq i \leq k$ mamy $T(\mathbf{v}_i) = 0$, z Twierdzenia 2 wynika:

Zatem $S$ jest zbiorem generującym $\mathrm{R}(T)$. Teraz, na mocy Wniosku 5-2 z twierdzenia o zastępowaniu, jeśli pokażemy, że $S$ jest liniowo niezależny, to udowodnimy, że $S$ jest bazą $\mathrm{R}(T)$.

Załóżmy, że $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (gdzie $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$). Ponieważ $T$ jest liniowe,

Stąd

Ponieważ $\beta$ jest bazą $\mathbb{V}$, jedynym rozwiązaniem równania $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ jest

a zatem

Czyli $S$ jest liniowo niezależny i jest bazą $\mathrm{R}(T)$.

Przekształcenia liniowe a iniekcje i surjekcje

W przypadku przekształceń liniowych własności bycia iniekcją (injection) i surjekcją (surjection) są ściśle powiązane z rzędem i wymiarem jądra.

Twierdzenie 4
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

\[T\text{ jest iniekcją.} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Twierdzenie 5
Jeżeli skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ mają ten sam wymiar, to dla przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ następujące cztery zdania są równoważne:

1. $T$ jest iniekcją.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ jest surjekcją.

Korzystając z twierdzenia o wymiarze, własności 1 i 3 przekształceń liniowych oraz Twierdzenia 6 z tekstu „Zależność liniowa i niezależność liniowa, baza i wymiar”, można udowodnić Twierdzenie 4 i Twierdzenie 5.

Te dwa twierdzenia są przydatne przy rozstrzyganiu, czy dane przekształcenie liniowe jest iniekcją albo surjekcją.

Dla nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ i przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ iniektywność i surjektywność nie są równoważne.

Ponadto, jeśli pewne przekształcenie liniowe jest iniekcją, to w zależności od sytuacji przydatne może być następujące twierdzenie do sprawdzania, czy dany podzbiór przestrzeni jest liniowo niezależny.

Twierdzenie 6
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz iniektywnego przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ i podzbioru $S \subseteq \mathbb{V}$ zachodzi:

\[S\text{ jest liniowo niezależny.} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{ jest liniowo niezależny.}\]

Przekształcenia liniowe a baza

Ważną cechą przekształceń liniowych jest to, że ich „zachowanie” jest wyznaczone przez wartości na bazie.

Twierdzenie 7
Dla $F$-przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, bazy $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ przestrzeni $\mathbb{V}$ oraz wektorów $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$ istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ spełniające warunek:

\[i = 1, 2, \dots, n \text{ oraz } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

Dowód
Dla $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ następujące przedstawienie jako kombinacja liniowa jest jednoznaczne:

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

Zdefiniujmy przekształcenie liniowe $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ przez

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

i) Dla $i = 1, 2, \dots, n$ mamy $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii)

Jeśli założymy, że inne przekształcenie liniowe $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ spełnia $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ dla $i = 1, 2, \dots, n$, to dla $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$ zachodzi

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i).\] \[\therefore U = T.\]

Z punktów i), ii) wynika, że przekształcenie liniowe spełniające $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ dla $i = 1, 2, \dots, n$ jest jedyne i ma postać

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

$\blacksquare$

Wniosek 7-1
Dla dwóch przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ załóżmy, że $\mathbb{V}$ zawiera skończoną bazę $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$. Jeśli dwa przekształcenia liniowe $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ spełniają $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$ dla $i = 1, 2, \dots, n$, to $U = T$.
Innymi słowy, jeśli wartości funkcji są takie same na bazie, to jest to to samo przekształcenie liniowe.

Wymagania wstępne

• Wektory i kombinacje liniowe
• Przestrzenie wektorowe, podprzestrzenie i macierze

Zależność liniowa i niezależność liniowa

Dla pewnej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ oraz podprzestrzeni $\mathbb{W}$ załóżmy, że chcemy znaleźć możliwie mały skończony podzbiór $S$, który generuje (rozpina) $\mathbb{W}$.

Jeśli dla zbioru $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ zachodzi $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$, to jak rozstrzygnąć, czy nie istnieje właściwy podzbiór $S$, który również generuje $\mathbb{W}$? Jest to to samo, co problem sprawdzenia, czy jeden z wektorów wybranych z $S$ da się wyrazić jako kombinację liniową pozostałych. Na przykład, warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby wyrazić $\mathbf{u}_4$ jako kombinację liniową pozostałych trzech wektorów, jest istnienie skalarów $a_1, a_2, a_3$ spełniających:

Jednak za każdym razem konstruowanie układu równań liniowych osobno dla $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ i sprawdzanie, czy istnieje rozwiązanie, jest uciążliwe, więc nieco przekształćmy równanie.

Jeżeli pewien wektor z $S$ jest kombinacją liniową pozostałych wektorów, to wówczas przy zapisie wektora zerowego jako kombinacji liniowej elementów $S$ istnieje reprezentacja, w której co najmniej jeden współczynnik spośród $a_1, a_2, a_3, a_4$ jest różny od $0$. Odwrotność tego stwierdzenia również jest prawdziwa: jeśli istnieje sposób wyrażenia wektora zerowego jako kombinacji liniowej wektorów należących do $S$, w którym co najmniej jeden ze współczynników $a_1, a_2, a_3, a_4$ jest różny od $0$, to pewien wektor z $S$ jest kombinacją liniową pozostałych.

Uogólniając, definiujemy następująco zależność liniową i niezależność liniową.

Definicja
Dla podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$, jeżeli istnieje skończona liczba parami różnych wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ oraz skalary $a_1, a_2, \dots, a_n$, z których co najmniej jeden jest różny od $0$, takie że $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$, to zbiór $S$ (i jego wektory) nazywa się liniowo zależnym (linearly dependent). W przeciwnym razie nazywa się go liniowo niezależnym (linearly independent).

Dla dowolnych wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$, jeśli $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$, to $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$; nazywamy to trywialnym przedstawieniem (trivial representation of $\mathbf{0}$) wektora zerowego.

Poniższe trzy stwierdzenia o zbiorach liniowo niezależnych są zawsze prawdziwe w każdej przestrzeni wektorowej. W szczególności Stwierdzenie 3, jak widzieliśmy, jest bardzo użyteczne przy sprawdzaniu, czy dany zbiór skończony jest liniowo niezależny.

• Stwierdzenie 1: Zbiór pusty jest liniowo niezależny. Aby zbiór był liniowo zależny, nie może być pusty.
• Stwierdzenie 2: Zbiór złożony z jednego niezerowego wektora jest liniowo niezależny.
• Stwierdzenie 3: Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby dany zbiór był liniowo niezależny, jest to, że jedynym sposobem wyrażenia $\mathbf{0}$ jako kombinacji liniowej tego zbioru jest przedstawienie trywialne.

Ważne są również następujące twierdzenia.

Twierdzenie 1
Niech $\mathbb{V}$ będzie przestrzenią wektorową oraz $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Jeśli $S_1$ jest liniowo zależny, to $S_2$ również jest liniowo zależny.

Wniosek 1-1
Niech $\mathbb{V}$ będzie przestrzenią wektorową oraz $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Jeśli $S_2$ jest liniowo niezależny, to $S_1$ również jest liniowo niezależny.

Twierdzenie 2
Rozważmy przestrzeń wektorową $\mathbb{V}$ oraz liniowo niezależny podzbiór $S$. Dla wektora $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$, który nie należy do $S$, warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby $S \cup \{\mathbf{v}\}$ było liniowo zależne, jest $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$.

Innymi słowy, jeśli żaden właściwy podzbiór $S$ nie jest w stanie wygenerować tej samej przestrzeni co $S$, to $S$ jest liniowo niezależny.

Baza i wymiar

Baza

Zbiór generujący $S$ podprzestrzeni $\mathbb{W}$, który jest liniowo niezależny, ma szczególną własność: każdy wektor należący do $\mathbb{W}$ można koniecznie wyrazić jako kombinację liniową wektorów z $S$, a ponadto to przedstawienie jest jednoznaczne (Twierdzenie 3). Dlatego liniowo niezależny zbiór generujący danej przestrzeni wektorowej definiuje się szczególnie jako bazę (basis).

Definicja bazy
Dla przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ i jej podzbioru $\beta$, jeśli $\beta$ jest liniowo niezależny i generuje $\mathbb{V}$, to $\beta$ nazywa się bazą (basis) przestrzeni $\mathbb{V}$. Mówimy wtedy, że wektory z $\beta$ tworzą bazę $\mathbb{V}$.

$\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$, a $\emptyset$ jest liniowo niezależny. Zatem $\emptyset$ jest bazą przestrzeni punktowej.

W szczególności następującą szczególną bazę przestrzeni $F^n$ nazywa się bazą standardową (standard basis).

Definicja bazy standardowej
Dla przestrzeni wektorowej $F^n$ rozważmy następujące wektory.

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

Wtedy zbiór $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ jest bazą $F^n$ i nazywa się go bazą standardową (standard basis) przestrzeni $F^n$.

Twierdzenie 3
Dla przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ oraz $n$ parami różnych wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$, zbiór $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ jest bazą $\mathbb{V}$ wtedy i tylko wtedy, gdy „dowolny wektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z $\beta$, a przedstawienie to jest jednoznaczne”. To znaczy, dla jedynej uporządkowanej $n$-ki skalarów $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ wektor $\mathbf{v}$ musi spełniać:

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

Z Twierdzenia 3 wynika, że jeśli $n$ parami różnych wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ tworzy bazę przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$, to w tej przestrzeni, dla danego wektora $\mathbf{v}$, jednoznacznie wyznaczona jest odpowiadająca mu uporządkowana $n$-ka skalarów $(a_1, a_2, \dots, a_n)$; i odwrotnie, jeśli dana jest uporządkowana $n$-ka skalarów, można odzyskać odpowiadający jej wektor $\mathbf{v}$. Później uporządkujemy to ponownie przy nauce o odwracalności i izomorfizmach, ale w tym przypadku przestrzenie $\mathbb{V}$ oraz $F^n$ są w istocie takie same.

Twierdzenie 4
Jeśli dla zbioru skończonego $S$ zachodzi $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, to wśród podzbiorów $S$ istnieje baza przestrzeni $\mathbb{V}$. To znaczy, w tym przypadku baza $\mathbb{V}$ jest zbiorem skończonym.

Wiele przestrzeni wektorowych spełnia założenia Twierdzenia 4, ale nie jest to konieczne. Baza nie musi być zbiorem skończonym.

Wymiar

Twierdzenie 5: twierdzenie o zastępowaniu (replacement theorem)
Niech $G$ będzie zbiorem złożonym z $n$ wektorów oraz $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$. Jeśli $L$ jest podzbiorem $\mathbb{V}$ złożonym z $m$ liniowo niezależnych wektorów, to $m\leq n$. Ponadto istnieje zbiór $H \subseteq G$ mający $n-m$ wektorów taki, że $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$.

Stąd otrzymujemy dwa bardzo ważne wnioski.

Wniosek 5-1 z twierdzenia o zastępowaniu
Zakładając, że przestrzeń wektorowa $\mathbb{V}$ zawiera bazę będącą zbiorem skończonym, każda baza $\mathbb{V}$ jest zbiorem skończonym i wszystkie bazy mają tę samą liczbę wektorów.

Zatem liczba wektorów tworzących bazę $\mathbb{V}$ jest niezmienną, istotną własnością $\mathbb{V}$ i nazywa się ją wymiarem (dimension).

Definicja wymiaru
Przestrzeń wektorową, której baza jest zbiorem skończonym, nazywa się skończenie wymiarową (finite dimension). Wtedy liczbę elementów bazy $n$ nazywa się wymiarem (dimension) danej przestrzeni wektorowej i oznacza $\dim(\mathbb{V})$. Przestrzeń wektorowa, która nie jest skończenie wymiarowa, jest nieskończenie wymiarowa (infinite dimension).

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

Wymiar przestrzeni wektorowej może zależeć od tego, nad jakim ciałem jest rozważana.

• Nad ciałem liczb zespolonych $\mathbb{C}$ wymiar przestrzeni wektorowej liczb zespolonych wynosi $1$, a bazą jest $\{1\}$
• Nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ wymiar przestrzeni wektorowej liczb zespolonych wynosi $2$, a bazą jest $\{1,i\}$

W skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ każdy podzbiór zawierający więcej wektorów niż $\dim(\mathbb{V})$ nie może być liniowo niezależny.

Wniosek 5-2 z twierdzenia o zastępowaniu
Niech $\mathbb{V}$ będzie przestrzenią wektorową o wymiarze $n$.

1. Każdy skończony zbiór generujący $\mathbb{V}$ musi zawierać co najmniej $n$ wektorów, a zbiór generujący $\mathbb{V}$ składający się z $n$ wektorów jest bazą $\mathbb{V}$.
2. Podzbiór $\mathbb{V}$ złożony z $n$ wektorów, który jest liniowo niezależny, jest bazą $\mathbb{V}$.
3. Każdy liniowo niezależny podzbiór $\mathbb{V}$ można rozszerzyć do bazy. To znaczy, jeśli $L \subseteq \mathbb{V}$ jest liniowo niezależny, to istnieje baza $\beta$ przestrzeni $\mathbb{V}$ taka, że $\beta \supseteq L$.

Wymiar podprzestrzeni

Twierdzenie 6
Dla skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ podprzestrzeń $\mathbb{W}$ jest skończenie wymiarowa oraz $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$. W szczególności, $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.$

Wniosek 6-1
Dla podprzestrzeni $\mathbb{W}$ skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ dowolną bazę $\mathbb{W}$ można rozszerzyć do bazy $\mathbb{V}$.

Z Twierdzenia 6 wynika, że wymiar podprzestrzeni $\mathbb{R}^3$ może wynosić $0,1,2,3$.

• wymiar 0: przestrzeń punktowa $\{\mathbf{0}\}$ zawierająca wyłącznie początek układu współrzędnych ($\mathbf{0}$)
• wymiar 1: prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ($\mathbf{0}$)
• wymiar 2: płaszczyzna zawierająca początek układu współrzędnych ($\mathbf{0}$)
• wymiar 3: cała euklidesowa przestrzeń trójwymiarowa

TL;DR

• macierz (matrix)
  • element w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie macierzy $A$ zapisujemy jako $A_{ij}$ lub $a_{ij}$
  • element diagonalny (diagonal entry): element $a_{ij}$ taki, że $i=j$
  • elementy $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ nazywamy $i$-tym wierszem (row) tej macierzy
    • każdy wiersz macierzy można przedstawić jako wektor z $F^n$
    • ponadto, wektor wierszowy z $F^n$ można przedstawić jako inną macierz rozmiaru $1 \times n$
  • elementy $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ nazywamy $j$-tą kolumną (column) tej macierzy
    • każdą kolumnę macierzy można przedstawić jako wektor z $F^m$
    • ponadto, wektor kolumnowy z $F^m$ można przedstawić jako inną macierz rozmiaru $m \times 1$
  • macierz zerowa (zero matrix): macierz, której wszystkie elementy są równe $0$; oznaczamy ją przez $O$
  • macierz kwadratowa (square matrix): macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn
  • dla dwóch macierzy $m \times n$ $A, B$: jeśli dla wszystkich $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ zachodzi $A_{ij} = B_{ij}$ (tj. wszystkie odpowiadające sobie elementy są identyczne), to definiujemy, że macierze są równe ($A=B$)
  • macierz transponowana (transpose matrix): dla macierzy $m \times n$ $A$ macierzą transponowaną nazywamy macierz $A^T$ rozmiaru $n \times m$, otrzymaną przez zamianę wierszy z kolumnami
  • macierz symetryczna (symmetric matrix): macierz kwadratowa $A$ taka, że $A^T = A$
  • macierz antysymetryczna (skew-symmetric matrix): macierz kwadratowa $B$ taka, że $B^T = -B$
  • macierz trójkątna (triangular matrix)
    • macierz górnotrójkątna (upper triangular matrix): macierz, w której wszystkie elementy pod przekątną są równe $0$ (tj. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$); zwykle oznaczana przez $U$
    • macierz dolnotrójkątna (lower triangular matrix): macierz, w której wszystkie elementy nad przekątną są równe $0$ (tj. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$); zwykle oznaczana przez $L$
  • macierz diagonalna (diagonal matrix): macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poza przekątną są równe $0$ (tj. $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$ dla macierzy $n \times n$); zwykle oznaczana przez $D$
• reprezentatywne przestrzenie wektorowe
  • $n$-tki $F^n$:
    • zbiór wszystkich $n$-tek, których składowe należą do ciała $F$
    • oznaczamy przez $F^n$; jest to przestrzeń wektorowa nad $F$
  • przestrzeń macierzy (matrix space):
    • zbiór wszystkich macierzy $m \times n$, których elementy należą do ciała $F$
    • oznaczamy przez $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$; jest to przestrzeń wektorowa
  • przestrzeń funkcji (function space):
    • dla niepustego zbioru $S$ oraz ciała $F$: zbiór wszystkich funkcji z $S$ do $F$
    • oznaczamy przez $\mathcal{F}(S,F)$; jest to przestrzeń wektorowa
• podprzestrzeń (subspace)
  • jeśli podzbiór $\mathbb{W}$ przestrzeni wektorowej nad $F$, $\mathbb{V}$, jest przestrzenią wektorową nad $F$ z tym samym dodawaniem i mnożeniem przez skalar co w $\mathbb{V}$, to $\mathbb{W}$ nazywamy podprzestrzenią (subspace) $\mathbb{V}$
  • dla każdej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$: sama $\mathbb{V}$ oraz $\{0\}$ są podprzestrzeniami; w szczególności $\{0\}$ nazywamy podprzestrzenią zerową (zero subspace)
  • jeśli pewien podzbiór przestrzeni wektorowej zawiera wektor zerowy i jest domknięty na kombinacje liniowe (tj. $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), to jest on podprzestrzenią

Prerequisites

• Wektory i kombinacje liniowe

Przestrzeń wektorowa

Jak krótko widzieliśmy już w tekście Wektory i kombinacje liniowe, definicje wektora i przestrzeni wektorowej jako struktury algebraicznej są następujące.

Definicja
Przestrzeń wektorowa (vector space) lub przestrzeń liniowa (linear space) $\mathbb{V}$ nad ciałem $F$ jest zbiorem wyposażonym w dwa działania, dodawanie oraz mnożenie przez skalar, spełniające poniższe 8 warunków. Elementy ciała $F$ nazywamy skalarami (scalar), a elementy przestrzeni $\mathbb{V}$ — wektorami (vector).

• Suma (sum): dla dwóch elementów $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ jest to działanie przyporządkowujące jednoznacznie element $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Element $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ nazywamy sumą $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$.
• Mnożenie przez skalar (scalar multiplication): dla elementu $a \in F$ i elementu $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ jest to działanie przyporządkowujące jednoznacznie element $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Element $a\mathbf{x}$ nazywamy wielokrotnością skalarną (scalar multiple) wektora $\mathbf{x}$.

1. Dla wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (przemienność dodawania)
2. Dla wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (łączność dodawania)
3. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ istnieje $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ takie, że $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (wektor zerowy, element neutralny dodawania)
4. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ istnieje $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ takie, że $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (element przeciwny względem dodawania)
5. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zachodzi $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (element neutralny mnożenia)
6. Dla wszystkich $a,b \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (łączność mnożenia przez skalar)
7. Dla wszystkich $a \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (rozdzielność 1 mnożenia przez skalar względem dodawania)
8. Dla wszystkich $a,b \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (rozdzielność 2 mnożenia przez skalar względem dodawania)

Ściśle mówiąc, należy pisać „przestrzeń wektorowa $\mathbb{V}$ nad $F$”, jednak przy omawianiu przestrzeni wektorowych ciało zwykle nie jest kluczowym elementem, więc jeśli nie ma ryzyka nieporozumienia, pomijamy ciało $F$ i piszemy po prostu „przestrzeń wektorowa $\mathbb{V}$”.

Przestrzeń macierzy

Wektory wierszowe i wektory kolumnowe

Zbiór wszystkich $n$-tek o elementach z ciała $F$ oznaczamy przez $F^n$. Dla $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$, $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$ definiujemy dodawanie i mnożenie przez skalar następująco; wtedy $F^n$ jest przestrzenią wektorową nad $F$.

Wektory z $F^n$ zapisuje się zwykle nie jako wektory wierszowe (row vector) $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, lecz jako wektory kolumnowe (column vector)

.

Ponieważ taki zapis kolumnowy zajmuje dużo miejsca, czasem stosuje się transpozycję i zapisuje jako $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$.

Macierze i przestrzeń macierzy

Z kolei macierz $m \times n$ o elementach z ciała $F$ to prostokątna tablica postaci poniżej; zapisujemy ją kursywą wielką literą ($A, B, C$ itd.).

• element w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie macierzy $A$ zapisujemy jako $A_{ij}$ lub $a_{ij}$.
• wszystkie $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) są elementami $F$.
• element $a_{ij}$ taki, że $i=j$, nazywamy elementem diagonalnym (diagonal entry) tej macierzy.
• elementy $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ nazywamy $i$-tym wierszem (row) tej macierzy. Każdy wiersz macierzy można przedstawić jako wektor z $F^n$; ponadto wektor wierszowy z $F^n$ można przedstawić jako inną macierz rozmiaru $1 \times n$.
• elementy $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ nazywamy $j$-tą kolumną (column) tej macierzy. Każdą kolumnę macierzy można przedstawić jako wektor z $F^m$; ponadto wektor kolumnowy z $F^m$ można przedstawić jako inną macierz rozmiaru $m \times 1$.
• macierz $m \times n$, której wszystkie elementy są równe $0$, nazywamy macierzą zerową (zero matrix) i oznaczamy przez $O$.
• macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn, nazywamy macierzą kwadratową (square matrix).
• dla dwóch macierzy $m \times n$ $A, B$: jeśli dla wszystkich $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ zachodzi $A_{ij} = B_{ij}$ (tj. wszystkie odpowiadające sobie elementy są identyczne), to definiujemy, że macierze są równe ($A=B$).

Zbiór wszystkich macierzy $m \times n$ o elementach z ciała $F$ oznaczamy przez $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$. Dla $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ oraz $c \in F$, jeśli dodawanie i mnożenie przez skalar zdefiniujemy następująco, to $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ jest przestrzenią wektorową; nazywamy ją przestrzenią macierzy (matrix space).

Jest to naturalne rozszerzenie działań zdefiniowanych w $F^n$ oraz $F^m$.

Przestrzeń funkcji

Dla niepustego zbioru $S$ oraz ciała $F$, $\mathcal{F}(S,F)$ jest zbiorem wszystkich funkcji z $S$ do $F$. W $\mathcal{F}(S,F)$, jeśli dla każdego $s \in S$ zachodzi $f(s) = g(s)$, to mówimy, że funkcje $f, g$ są równe ($f=g$).

Dla $f,g \in \mathcal{F}(S,F)$, $c \in F$, $s \in S$ definiujemy dodawanie i mnożenie przez skalar następująco; wtedy $\mathcal{F}(S,F)$ jest przestrzenią wektorową i nazywamy ją przestrzenią funkcji (function space).

Podprzestrzeń

Definicja
Jeśli podzbiór $\mathbb{W}$ przestrzeni wektorowej nad $F$, $\mathbb{V}$, jest przestrzenią wektorową nad $F$ z tym samym dodawaniem i mnożeniem przez skalar co w $\mathbb{V}$, to $\mathbb{W}$ nazywamy podprzestrzenią (subspace) $\mathbb{V}$.

Dla każdej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$: sama $\mathbb{V}$ oraz $\{0\}$ są podprzestrzeniami; w szczególności $\{0\}$ nazywamy podprzestrzenią zerową (zero subspace).

To, czy dany podzbiór jest podprzestrzenią, można sprawdzić za pomocą następującego twierdzenia.

Twierdzenie 1
Dla przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ i jej podzbioru $\mathbb{W}$ warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by $\mathbb{W}$ była podprzestrzenią $\mathbb{V}$, jest spełnienie poniższych 3 warunków. Działania są takie same jak te zdefiniowane w $\mathbb{V}$.

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

Krótko mówiąc: jeśli zbiór zawiera wektor zerowy i jest domknięty na kombinacje liniowe (tj. $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), to jest podprzestrzenią.

Ponadto zachodzą następujące twierdzenia.

Twierdzenie 2

• Rozpiętość $\mathrm{span}(S)$ dowolnego podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ jest podprzestrzenią $\mathbb{V}$ zawierającą $S$.

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• Każda podprzestrzeń $\mathbb{V}$ zawierająca $S$ musi zawierać rozpiętość $S$.

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

Twierdzenie 3
Dla dowolnej rodziny podprzestrzeni przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ ich dowolne przecięcie jest również podprzestrzenią $\mathbb{V}$.

Macierz transponowana, macierz symetryczna, macierz antysymetryczna

Dla macierzy $m \times n$ $A$ jej macierz transponowana (transpose matrix) $A^T$ jest macierzą $n \times m$ otrzymaną przez zamianę wierszy z kolumnami.

Macierz $A$ spełniającą $A^T = A$ nazywamy macierzą symetryczną (symmetric matrix), a macierz $B$ spełniającą $B^T = -B$ — macierzą antysymetryczną (skew-symmetric matrix). Macierze symetryczne i antysymetryczne muszą być macierzami kwadratowymi.

Dwa zbiory $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$, których elementami są odpowiednio wszystkie macierze symetryczne oraz wszystkie macierze antysymetryczne z $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$, są podprzestrzeniami $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$. To znaczy: $\mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2$ są domknięte względem dodawania i mnożenia przez skalar.

Macierze trójkątne, macierze diagonalne

Te dwa typy macierzy są również szczególnie ważne.

Najpierw następujące dwa typy macierzy łącznie nazywamy macierzami trójkątnymi (triangular matrix).

• macierz górnotrójkątna (upper triangular matrix): macierz, w której wszystkie elementy pod przekątną są równe $0$ (tj. $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$); zwykle oznaczana przez $U$
• macierz dolnotrójkątna (lower triangular matrix): macierz, w której wszystkie elementy nad przekątną są równe $0$ (tj. $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$); zwykle oznaczana przez $L$

Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy poza przekątną są równe $0$, tzn. macierz $n \times n$ spełniającą $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$, nazywamy macierzą diagonalną (diagonal matrix) i zwykle oznaczamy przez $D$. Macierz diagonalna jest jednocześnie macierzą górnotrójkątną i dolnotrójkątną.

Zbiór macierzy górnotrójkątnych, zbiór macierzy dolnotrójkątnych oraz zbiór macierzy diagonalnych są podprzestrzeniami $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$.

Wymagania wstępne

• Wektory i kombinacje liniowe

Iloczyn wewnętrzny

Definicja iloczynu wewnętrznego (inner product) w ogólnej $F$-przestrzeni wektorowej jest następująca.

Definicja iloczynu wewnętrznego (inner product) i przestrzeni z iloczynem wewnętrznym (inner product space)
Rozważmy $F$-przestrzeń wektorową $\mathbb{V}$. Iloczyn wewnętrzny (inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ na $\mathbb{V}$ definiuje się jako funkcję, która każdej uporządkowanej parze dowolnych wektorów $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$ z $\mathbb{V}$ przyporządkowuje skalar należący do $F$ i spełnia następujące warunki.

Dla dowolnych $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ oraz dowolnego $c \in F$ zachodzi:

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ ($\overline{\mathbf{z}}$ to sprzężenie zespolone liczby $\mathbf{z}$)
4. Gdy $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, to $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ jest dodatnie.

$F$-przestrzeń wektorową $\mathbb{V}$ wyposażoną w iloczyn wewnętrzny nazywa się przestrzenią z iloczynem wewnętrznym (inner product space). W szczególności, gdy $F=\mathbb{C}$, mówimy o zespolonej przestrzeni z iloczynem wewnętrznym (complex inner product space), a gdy $F=\mathbb{R}$ — o rzeczywistej przestrzeni z iloczynem wewnętrznym (real inner product space).

W szczególności poniższy iloczyn wewnętrzny nazywa się standardowym iloczynem wewnętrznym (standard inner product). Można sprawdzić, że spełnia on wszystkie cztery warunki z powyższej definicji.

Definicja standardowego iloczynu wewnętrznego (standard inner product)
Dla dwóch wektorów $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ oraz $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ w $F^n$ definiujemy standardowy iloczyn wewnętrzny (standard inner product) na $F^n$ następująco:

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Gdy $F=\mathbb{R}$, sprzężenie zespolone liczby rzeczywistej jest równe jej samej, więc standardowy iloczyn wewnętrzny ma wówczas postać $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. W tym szczególnym przypadku standardowy iloczyn wewnętrzny zapisuje się często nie jako $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$, lecz jako $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$, i nazywa iloczynem skalarnym (dot product) lub iloczynem skalarnym (scalar product).

Definicja iloczynu skalarnego (dot product)/iloczynu skalarnego (scalar product)
Dla $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ oraz $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ w $\mathbb{R}^n$ definiujemy iloczyn skalarny (dot product) lub iloczyn skalarny (scalar product) na $\mathbb{R}^n$ następująco:

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Wspomniany tu „iloczyn skalarny (scalar product)” jest działaniem między wektorami i jest czymś innym niż „mnożenie skalarne (scalar multiplication)” (działanie skalar–wektor) omawiane w Wektory i kombinacje liniowe. Ponieważ angielskie nazwy są do siebie dość podobne, a do tego w standardzie tłumaczeń przyjętym przez Koreańskie Towarzystwo Matematyczne oba terminy są w języku koreańskim identyczne, trzeba uważać, by ich nie pomylić.

Aby uniknąć nieporozumień, dalej będę możliwie konsekwentnie używać określenia iloczyn skalarny (dot product).

Ponieważ w przestrzeni euklidesowej iloczyn wewnętrzny (inner product) jest tym samym co iloczyn skalarny (dot product), często — jeśli z kontekstu nie wynika ryzyko pomyłki — iloczyn skalarny nazywa się po prostu iloczynem wewnętrznym. Ściśle rzecz biorąc, iloczyn wewnętrzny jest jednak pojęciem bardziej ogólnym, obejmującym iloczyn skalarny jako szczególny przypadek.

flowchart TD
    A["Iloczyn wewnętrzny (Inner Product)"] -->|zawiera| B["Standardowy iloczyn wewnętrzny (Standard Inner Product)"]
    B -->|"F = R (ciało liczb rzeczywistych)"| C["Iloczyn skalarny (Dot/Scalar Product)"]

    %% 포함(포함 관계) 표기
    C -. zawarte .-> B
    B -. zawarte .-> A

Długość/norma wektora

Dla wektora $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ w $\mathbb{R}^n$ długość euklidesową wektora $\mathbf{v}$ definiuje się za pomocą iloczynu skalarnego następująco:

Bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni z iloczynem wewnętrznym długość (length) lub normę (norm) wektora definiuje się następująco:

W ogólnej przestrzeni z iloczynem wewnętrznym dla normy wektora zachodzą następujące ważne własności.

Twierdzenie
Dla $F$-przestrzeni z iloczynem wewnętrznym $\mathbb{V}$, dowolnych wektorów $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ oraz skalaru $c \in F$ zachodzi:

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Zachodzą dwa fakty:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Nierówność Cauchy’ego-Schwarza (Cauchy-Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (równość zachodzi, gdy jeden z wektorów $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$ jest stałą wielokrotnością drugiego)
4. Nierówność trójkąta (triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (równość zachodzi, gdy jeden z wektorów $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$ jest stałą wielokrotnością drugiego oraz mają ten sam zwrot)

Kąt między wektorami i wektor jednostkowy

Wektor o długości $1$ nazywa się wektorem jednostkowym (unit vector). Ponadto dla dwóch wektorów $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ oraz $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ w $\mathbb{R}^n$ zachodzi zależność $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, skąd można wyznaczyć kąt $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) między $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$.

Jeśli $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, to dwa wektory są prostopadłe (perpendicular) lub ortogonalne (orthogonal).

Gdy dwa wektory $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$ są prostopadłe,

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

Uogólnienie tego na dowolną przestrzeń z iloczynem wewnętrznym wygląda następująco.

Definicja
Rozważmy przestrzeń z iloczynem wewnętrznym $\mathbb{V}$. Dla wektorów $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ z $\mathbb{V}$, jeśli $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$, to definiujemy, że dwa wektory są ortogonalne (orthogonal) lub prostopadłe (perpendicular). Ponadto:

1. Dla podzbioru $S$ przestrzeni $\mathbb{V}$, jeśli dowolne dwa różne wektory należące do $S$ są ortogonalne, to zbiór $S$ nazywa się zbiorem ortogonalnym (orthogonal set).
2. Wektor $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ spełniający $\|\mathbf{x}\|=1$ nazywa się wektorem jednostkowym (unit vector).
3. Jeśli podzbiór $S$ przestrzeni $\mathbb{V}$ jest zbiorem ortogonalnym i składa się wyłącznie z wektorów jednostkowych, to zbiór $S$ nazywa się zbiorem ortonormalnym (orthonormal set).

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by zbiór $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ był zbiorem ortonormalnym, jest $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Pomnożenie wektora przez niezerowy skalar nie wpływa na ortogonalność.

Dla dowolnego niezerowego wektora $\mathbf{x}$, wektor $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ jest wektorem jednostkowym. Proces otrzymywania wektora jednostkowego poprzez pomnożenie niezerowego wektora przez skalar równy odwrotności jego długości nazywa się normalizacją (normalizing).

TL;DR

• Definicja wektora
  • Wektor w wąskim sensie (wektor euklidesowy): wielkość fizyczna mająca jednocześnie moduł i kierunek
  • Wektor w szerokim sensie, w algebrze liniowej: element przestrzeni wektorowej
• Sposoby zapisu wektora
  • Zapis strzałkowy: moduł wektora przedstawia długość strzałki, a kierunek wektora — kierunek strzałki. Zaletą jest łatwa wizualizacja i intuicyjność, jednak trudno w ten sposób przedstawiać wektory wysokowymiarowe (≥4) lub nieeuklidesowe.
  • Zapis współrzędnych (składowych): ustawiamy początek wektora w początku układu współrzędnych i opisujemy wektor współrzędnymi punktu końcowego.
• Podstawowe działania na wektorach
  • Suma: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • Iloczyn przez skalar: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• Kombinacja liniowa wektorów
  • Dla skończonej liczby wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ oraz skalarów $a_1, a_2, \dots, a_n$ wektor $\mathbf{v}$ spełniający $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$ nazywamy kombinacją liniową (linear combination) wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$
  • Wtedy $a_1, a_2, \dots, a_n$ nazywamy współczynnikami (coefficient) tej kombinacji liniowej
• Rozpiętość
  • Dla niepustego podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$: zbiór wszystkich kombinacji liniowych utworzonych z wektorów z $S$, oznaczany $\mathrm{span}(S)$
  • Definiujemy $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$
  • Jeśli dla podzbioru $S \subset \mathbb{V}$ zachodzi $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, to mówimy, że $S$ generuje (generate lub span) przestrzeń $\mathbb{V}$

Prerequisites

• płaszczyzna/ przestrzeń współrzędnych
• ciało (field)

Czym jest wektor?

Wektor w wąskim sensie: wektor euklidesowy

Siła, prędkość, przyspieszenie i wiele innych wielkości fizycznych ma nie tylko moduł, lecz także informację o kierunku. Taką wielkość fizyczną mającą zarówno moduł, jak i kierunek nazywa się wektorem (vector).

Powyższa definicja to definicja wektora znana z mechaniki w fizyce lub z matematyki na poziomie szkoły średniej. Wektor w wąskim sensie — mający geometryczne znaczenie „długości i kierunku zorientowanego odcinka” oraz oparty na fizycznej intuicji — nazywa się ściślej wektorem euklidesowym (Euclidean vector).

Wektor w szerokim sensie: element przestrzeni wektorowej

W algebrze liniowej wektor definiuje się jako bardziej abstrakcyjną strukturę algebraiczną o szerszym znaczeniu niż powyższy wektor euklidesowy:

Definicja
Przestrzeń wektorowa (vector space) lub przestrzeń liniowa (linear space) $\mathbb{V}$ nad ciałem $F$ jest zbiorem wyposażonym w dwa działania, dodawanie oraz mnożenie przez skalar, spełniające poniższe 8 warunków. Elementy ciała $F$ nazywamy skalarami (scalar), a elementy przestrzeni $\mathbb{V}$ — wektorami (vector).

• Suma (sum): dla dwóch elementów $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ jest to działanie przyporządkowujące jednoznacznie element $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Element $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ nazywamy sumą $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$.
• Mnożenie przez skalar (scalar multiplication): dla elementu $a \in F$ i elementu $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ jest to działanie przyporządkowujące jednoznacznie element $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Element $a\mathbf{x}$ nazywamy wielokrotnością skalarną (scalar multiple) wektora $\mathbf{x}$.

1. Dla wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (przemienność dodawania)
2. Dla wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (łączność dodawania)
3. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ istnieje $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ takie, że $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (wektor zerowy, element neutralny dodawania)
4. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ istnieje $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ takie, że $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (element przeciwny względem dodawania)
5. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zachodzi $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (element neutralny mnożenia)
6. Dla wszystkich $a,b \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (łączność mnożenia przez skalar)
7. Dla wszystkich $a \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (rozdzielność 1 mnożenia przez skalar względem dodawania)
8. Dla wszystkich $a,b \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (rozdzielność 2 mnożenia przez skalar względem dodawania)

Taka definicja wektora w algebrze liniowej jest definicją o szerszym zakresie, obejmującą również wspomniany wcześniej wektor euklidesowy. Można sprawdzić, że wektor euklidesowy także spełnia powyższe 8 własności.

Geneza i rozwój pojęcia wektora są ściśle związane z różnymi praktycznymi problemami stawianymi przez fizykę — próbami ilościowego opisu takich pojęć jak siła, ruch ciała, obrót czy pole. Z potrzeby fizycznej, by matematycznie opisywać zjawiska przyrodnicze, początkowo zaproponowano pojęcie wektora jako wektora euklidesowego. Następnie matematyka uogólniała i formalizowała te idee, ustanawiając struktury takie jak przestrzenie wektorowe, iloczyn skalarny i wektorowy, co doprowadziło do współczesnej definicji wektora. Innymi słowy, wektor to pojęcie „wymagane przez fizykę i ugruntowane przez matematykę” — produkt interdyscyplinarny rozwijany przez ścisłą współpracę matematyków i fizyków, a nie wyłącznie wytwór czystej matematyki.

Wektory euklidesowe używane w klasycznej mechanice można matematycznie opisać w bardziej uogólnionych ramach. Współczesna fizyka aktywnie wykorzystuje nie tylko wektory euklidesowe, lecz także bardziej abstrakcyjne pojęcia zdefiniowane w matematyce, takie jak przestrzenie wektorowe czy przestrzenie funkcji, nadając im interpretację fizyczną. Dlatego niewłaściwe jest rozumienie tych dwóch definicji wyłącznie jako „definicji fizycznej” i „definicji matematycznej”.

O przestrzeniach wektorowych powiemy więcej później; na razie skupimy się na wąskim sensie wektora — wektorach euklidesowych, które da się geometrycznie przedstawić w przestrzeni współrzędnych. Najpierw warto zobaczyć intuicyjne przykłady wektorów euklidesowych, bo ułatwia to późniejsze uogólnienia na inne rodzaje wektorów.

Sposoby zapisu wektora

Zapis strzałkowy

To najczęściej spotykany zapis, najlepiej oddający intuicję geometryczną. Moduł wektora przedstawia się jako długość strzałki, a kierunek wektora — jako kierunek strzałki.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikipedii Nguyenthephuc
• licencja: CC BY-SA 3.0

Taki zapis jest intuicyjny, jednak dla wektorów wysokowymiarowych (co najmniej 4-wymiarowych) ma oczywiste ograniczenia. Co więcej, później trzeba będzie rozważać także wektory nieeuklidesowe, których nie da się wygodnie przedstawić geometrycznie, dlatego warto oswoić się z omówionym niżej zapisem współrzędnych.

Zapis współrzędnych (składowych)

Wektory o takim samym module i kierunku uznaje się za identyczne, niezależnie od tego, gdzie „leżą”. Zatem, gdy dana jest przestrzeń współrzędnych, jeśli umocujemy początek wektora w początku układu, to wektor $n$-wymiarowy odpowiada dowolnemu punktowi w przestrzeni $n$-wymiarowej, a wtedy wektor można opisać współrzędnymi punktu końcowego. Taki zapis nazywamy zapisem współrzędnych (składowych) wektora.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikimedia Acdx
• licencja: CC BY-SA 3.0

Podstawowe działania na wektorach

Podstawowe działania na wektorach to dwa: suma oraz mnożenie przez skalar. Wszystkie operacje wektorowe da się wyrazić jako złożenie tych dwóch podstawowych działań.

Suma wektorów

Suma dwóch wektorów jest również wektorem, a składowe wektora wynikowego są sumami odpowiednich składowych.

Mnożenie wektora przez skalar

Wektor można „powiększać” lub „pomniejszać”; opisuje to działanie mnożenia wektora przez stałą (skalar). Wynik mnożenia przez skalar odpowiada mnożeniu każdej składowej przez ten skalar.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikipedii Silly rabbit
• licencja: CC BY-SA 3.0

Kombinacje liniowe wektorów

Tak jak analiza matematyczna startuje od liczby $x$ i funkcji $f(x)$, tak algebra liniowa startuje od wektorów $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ oraz kombinacji liniowych postaci $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$. Wszystkie kombinacje liniowe wektorów są zbudowane jako złożenie dwóch podstawowych działań: sumy i mnożenia przez skalar.

Dla skończonej liczby wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ oraz skalarów $a_1, a_2, \dots, a_n$ wektor $\mathbf{v}$ spełniający

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

nazywamy kombinacją liniową (linear combination) wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$.

Wtedy $a_1, a_2, \dots, a_n$ nazywamy współczynnikami (coefficient) tej kombinacji liniowej.

Dlaczego takie kombinacje liniowe są ważne? Rozważmy sytuację, w której $n$ wektorów w $m$-wymiarowej przestrzeni tworzy $n$ kolumn macierzy $m \times n$.

Kluczowe są tu dwa punkty:

1. Opisz wszystkie możliwe kombinacje liniowe $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots x_n\mathbf{v}_n$. Co tworzą?
2. Znajdź liczby $x_1, x_2, \dots, x_n$, które wytworzą żądany wektor wyjściowy $Ax = b$.

Do odpowiedzi na drugie pytanie wrócimy później, a teraz skupmy się na pierwszym. Aby uprościć rozważania, rozpatrzmy przykład dwóch niezerowych wektorów dwuwymiarowych ($m=2$) w liczbie dwóch ($n=2$).

Kombinacja liniowa $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

Wektor $\mathbf{v}$ w przestrzeni 2D ma dwie składowe. Dla każdego skalara $c$ wektor $c\mathbf{v}$ jest równoległy do $\mathbf{v}$ i wyznacza w płaszczyźnie $xy$ nieskończenie długą prostą przechodzącą przez początek układu.

Jeżeli drugi dany wektor $\mathbf{w}$ nie leży na tej prostej (tj. wektory $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$ nie są równoległe), to wektor $d\mathbf{w}$ wyznacza drugą prostą. Gdy połączymy te dwie proste, widać, że kombinacja liniowa $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ wyznacza pewną płaszczyznę zawierającą początek układu.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikimedia Svjo
• licencja: CC BY-SA 4.0

Rozpinanie

W ten sposób kombinacje liniowe wektorów tworzą przestrzeń wektorową; nazywa się to rozpinaniem (span).

Definicja
Dla niepustego podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ zbiór wszystkich kombinacji liniowych utworzonych z wektorów z $S$ nazywamy rozpiętością (span) zbioru $S$ i oznaczamy $\mathrm{span}(S)$. Ponadto definiujemy $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$.

Definicja
Dla podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$, jeśli $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, to mówimy, że $S$ generuje (generate lub span) przestrzeń $\mathbb{V}$.

Nie omawialiśmy jeszcze pojęć takich jak podprzestrzeń czy baza, jednak przywołanie tego przykładu pomaga w zrozumieniu samej idei przestrzeni wektorowej.

Poniżej porządkuję notatki z nauki na kursie Kaggle Pandas.
Ponieważ materiału jest całkiem sporo, podzieliłem go na 2 części.

• Część 1: lekcje 1–3
• Część 2: lekcje 4–6 (ten wpis)

Lekcja 4. Grupowanie i sortowanie

Czasem trzeba sklasyfikować dane i wykonać pewne operacje osobno dla każdej grupy, albo posortować je według określonego kryterium.

Analiza grupowa

Metoda groupby() pozwala grupować rekordy o tych samych wartościach w wybranej kolumnie, a następnie dla każdej grupy wykonać podgląd lub przekształcenia.

Wcześniej omawialiśmy metodę value_counts(); to samo działanie da się zrealizować metodą groupby() w następujący sposób:

1

reviews.groupby('taster_name').size()

1

reviews.groupby('taster_name').taster_name.count()

1

reviews.groupby('points').price.min()

1
2
3
4
5
6
7

points
80      5.0
81      5.0
       ... 
99     44.0
100    80.0
Name: price, Length: 21, dtype: float64

1

reviews.groupby(['country', 'province']).apply(lambda df: df.loc[df.points.idxmax()])

1

reviews.groupby(['country']).price.agg([len, min, max])

1
2

countries_reviewed = reviews.groupby(['country', 'province']).description.agg([len])
countries_reviewed

1
2

mi = countries_reviewed.index
type(mi)

1

pandas.core.indexes.multi.MultiIndex

1

countries_reviewed.reset_index()

1
2

countries_reviewed = countries_reviewed.reset_index()
countries_reviewed.sort_values(by='len')

1

countries_reviewed.sort_values(by='len', ascending=False)

1

countries_reviewed.sort_index()

1

countries_reviewed.sort_values(by=['country', 'len'])

1

reviews.price.dtype

1

dtype('float64')

1

reviews.dtypes

1
2
3
4
5
6

country        object
description    object
                ...  
variety        object
winery         object
Length: 13, dtype: object

1

reviews.points.astype('float64')

1
2
3
4
5
6

0         87.0
1         87.0
          ... 
129969    90.0
129970    90.0
Name: points, Length: 129971, dtype: float64

1

reviews.index.dtype

1

dtype('int64')

1

reviews[pd.isna(reviews.country)]

1

reviews.region_2.fillna("Unknown")

1

rok_2030_census.province.replace("Gyeonggibuk-do", "Pyeonghwanuri Special Self-Governing Province")

1

reviews.rename(columns={'points': 'score'})

1

reviews.rename(index={0: 'firstEntry', 1: 'secondEntry'})

1

reviews.rename_axis("wines", axis='index').rename_axis("fields", axis='columns')

1
2
3
4
5
6
7
8

>>> s1 = pd.Series(['a', 'b'])
>>> s2 = pd.Series(['c', 'd'])
>>> pd.concat([s1, s2])
0    a
1    b
0    c
1    d
dtype: object

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

>>> df1 = pd.DataFrame([['a', 1], ['b', 2]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df1
  letter  number
0      a       1
1      b       2
>>> df2 = pd.DataFrame([['c', 3], ['d', 4]],
...                    columns=['letter', 'number'])
>>> df2
  letter  number
0      c       3
1      d       4
>>> pd.concat([df1, df2])
  letter  number
0      a       1
1      b       2
0      c       3
1      d       4
>>> df4 = pd.DataFrame([['bird', 'polly'], ['monkey', 'george']],
...                    columns=['animal', 'name'])
>>> df4
   animal    name
0    bird   polly
1  monkey  george
>>> pd.concat([df1, df4], axis=1)
  letter  number  animal    name
0      a       1    bird   polly
1      b       2  monkey  george

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

>>> df = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2', 'K3', 'K4', 'K5'],
...                    'A': ['A0', 'A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5']})
>>> df
  key   A
0  K0  A0
1  K1  A1
2  K2  A2
3  K3  A3
4  K4  A4
5  K5  A5
>>> other = pd.DataFrame({'key': ['K0', 'K1', 'K2'],
...                       'B': ['B0', 'B1', 'B2']})
>>> other
  key   B
0  K0  B0
1  K1  B1
2  K2  B2
>>> df.join(other, lsuffix='_caller', rsuffix='_other')
  key_caller   A key_other    B
0         K0  A0        K0   B0
1         K1  A1        K1   B1
2         K2  A2        K2   B2
3         K3  A3       NaN  NaN
4         K4  A4       NaN  NaN
5         K5  A5       NaN  NaN

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

...(pominięto)
                    ------------------------------------------------
      Jekyll 4.3.4   Please append `--trace` to the `serve` command 
                     for any additional information or backtrace. 
                    ------------------------------------------------
/Users/yunseo/.gem/ruby/3.2.2/gems/jekyll-polyglot-1.8.1/lib/jekyll/polyglot/
patches/jekyll/site.rb:234:in `relative_url_regex': target of repeat operator 
is not specified: /href="?\/((?:(?!*.gem)(?!*.gemspec)(?!tools)(?!README.md)(
?!LICENSE)(?!*.config.js)(?!rollup.config.js)(?!package*.json)(?!.sass-cache)
(?!.jekyll-cache)(?!gemfiles)(?!Gemfile)(?!Gemfile.lock)(?!node_modules)(?!ve
ndor\/bundle\/)(?!vendor\/cache\/)(?!vendor\/gems\/)(?!vendor\/ruby\/)(?!en\/
)(?!ko\/)(?!es\/)(?!pt-BR\/)(?!ja\/)(?!fr\/)(?!de\/)[^,'"\s\/?.]+\.?)*(?:\/[^
\]\[)("'\s]*)?)"/ (RegexpError)

...(pominięto)

1
2
3
4
5
6
7
8
9

exclude:
  - "*.gem"
  - "*.gemspec"
  - docs
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - "*.config.js"
  - package*.json

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

    # a regex that matches relative urls in a html document
    # matches href="baseurl/foo/bar-baz" href="/pl/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    # a regex that matches absolute urls in a html document
    # matches href="http://baseurl/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

1
2
3
4
5
6
7
8
9

exclude: # Zmodyfikowane w oparciu o issue https://github.com/untra/polyglot/issues/204
  # - "*.gem"
  - jekyll-theme-chirpy.gemspec # - "*.gemspec"
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - purgecss.config.js # - "*.config.js"
  - rollup.config.js
  - package*.json

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

  <body>
    {% include sidebar.html lang=lang %}

    <div id="main-wrapper" class="d-flex justify-content-center">
      <div class="container d-flex flex-column px-xxl-5">
        
        (...pominięto...)

        {% include_cached search-results.html lang=lang %}
      </div>

      <aside aria-label="Scroll to Top">
        <button id="back-to-top" type="button" class="btn btn-lg btn-box-shadow">
          <i class="fas fa-angle-up"></i>
        </button>
      </aside>
    </div>

    (...pominięto...)

    {% include_cached search-loader.html lang=lang %}
  </body>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

<!-- The Search results -->

<div id="search-result-wrapper" class="d-flex justify-content-center d-none">
  <div class="col-11 content">
    <div id="search-hints">
      {% include_cached trending-tags.html %}
    </div>
    <div id="search-results" class="d-flex flex-wrap justify-content-center text-muted mt-3"></div>
  </div>
</div>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      <div class="post-meta d-flex flex-column flex-sm-row text-muted mt-1 mb-1">
        {categories}
        {tags}
      </div>
    </header>
    <p>{snippet}</p>
  </article>
{% endcapture %}

{% capture not_found %}<p class="mt-5">{{ site.data.locales[include.lang].search.no_results }}</p>{% endcapture %}

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ '/assets/js/data/search.json' | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',
      noResultsText: '{{ not_found }}',
      templateMiddleware: function(prop, value, template) {
        if (prop === 'categories') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div class="me-sm-4"><i class="far fa-folder fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }

        if (prop === 'tags') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div><i class="fa fa-tag fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }
      }
    });
  });
</script>

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

---
layout: compress
swcache: true
---

[
  {% for post in site.posts %}
  {
    "title": {{ post.title | jsonify }},
    "url": {{ post.url | relative_url | jsonify }},
    "categories": {{ post.categories | join: ', ' | jsonify }},
    "tags": {{ post.tags | join: ', ' | jsonify }},
    "date": "{{ post.date }}",
    {% include no-linenos.html content=post.content %}
    {% assign _content = content | strip_html | strip_newlines %}
    "snippet": {{ _content | truncate: 200 | jsonify }},
    "content": {{ _content | jsonify }}
  }{% unless forloop.last %},{% endunless %}
  {% endfor %}
]

stateDiagram
  state "Changes" as CH
  state "Build start" as BLD
  state "Create search.json" as IDX
  state "Static Website" as DEP
  state "In Test" as TST
  state "Search Loader" as SCH
  state "Results" as R
    
  [*] --> CH: Make Changes
  CH --> BLD: Commit & Push origin
  BLD --> IDX: jekyll build
  IDX --> TST: Build Complete
  TST --> CH: Error Detected
  TST --> DEP: Deploy
  DEP --> SCH: Search Input
  SCH --> R: Return Results
  R --> [*]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      <h2><a {% static_href %}href="/{{ site.active_lang }}{url}"{% endstatic_href %}>{title}</a></h2>
      {% else %}
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      {% endif %}

(...pominięto...)

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    {% assign search_path = '/assets/js/data/search.json' %}
    {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      {% assign search_path = '/' | append: site.active_lang | append: search_path %}
    {% endif %}
    
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ search_path | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',

(...pominięto)