Podstawowe pojęcia modelowania (Modeling)

Modelowanie (Modeling)

• model (model): sformalizowanie rozwiązywanego problemu inżynierskiego w postaci wyrażeń matematycznych z użyciem zmiennych, funkcji, równań itp.
• modelowanie matematyczne (mathematical modeling) lub modelowanie (modeling): proces zbudowania modelu, matematycznego rozwiązania go oraz interpretacji wyniku

flowchart LR
	title([Modelowanie])
	A[Układ fizyczny] --> B[Model matematyczny]
	B[Model matematyczny] --> C[Rozwiązanie matematyczne]
	C[Rozwiązanie matematyczne] --> D[Interpretacja fizyczna]

Ponieważ wiele pojęć fizycznych, takich jak prędkość czy przyspieszenie, jest pochodnymi, model często ma postać równania zawierającego pochodne funkcji niewiadomej, czyli równania różniczkowego (differential equation).

Równania różniczkowe zwyczajne (ODE) i cząstkowe (PDE)

Równanie różniczkowe zwyczajne (ODE)

Równanie różniczkowe zwyczajne (ordinary differential equation; ODE): równanie zawierające $n$-tą pochodną funkcji niewiadomej

Przykłady:

\[y' = \cos x\] \[y'' + 9y = e^{-2x}\] \[y'y''' - \frac{3}{2}y'^{2} = 0\]

Równanie różniczkowe cząstkowe (PDE)

Równanie różniczkowe cząstkowe (partial differential equation; PDE): równanie zawierające pochodne cząstkowe funkcji niewiadomej zależnej od co najmniej dwóch zmiennych

Przykład:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

Rozwiązanie (Solution)

Jeśli funkcja $h(x)$ jest określona i różniczkowalna na pewnym otwartym przedziale $(a, b)$, a po podstawieniu $y \mapsto h$ oraz $y’ \mapsto h’$ dane równanie różniczkowe zwyczajne staje się tożsamością, to funkcję

\[y = h(x)\]

nazywa się rozwiązaniem (solution) danego równania różniczkowego zwyczajnego na przedziale $(a, b)$, a wykres funkcji $h$ nazywa się krzywą rozwiązań (solution curve).

Przykłady:

\[y'=\cos x \Leftrightarrow y=\sin x+c\] \[y'=0.2y \Leftrightarrow y=ce^{0.2t}\]

Takie rozwiązanie zawierające dowolną stałą $c$ nazywa się rozwiązaniem ogólnym (general solution) równania różniczkowego zwyczajnego.

Geometrycznie rozwiązanie ogólne równania różniczkowego zwyczajnego jest zbiorem nieskończenie wielu krzywych rozwiązań; każdej wartości stałej $c$ odpowiada jedna krzywa. Wybierając konkretną stałą $c$, otrzymujemy rozwiązanie szczególne (particular solution).

Problem początkowy (Initial Value Problem)

Aby otrzymać rozwiązanie szczególne danego problemu, trzeba wyznaczyć wartość dowolnej stałej $c$. W wielu przypadkach można to zrobić poprzez warunek początkowy (initial condition), np. $y(x_{0})=y_{0}$ lub $y(t_{0})=y_{0}$ (nawet jeśli zmienna niezależna nie jest czasem albo $t_{0}\neq0$, nadal używa się określenia „warunek początkowy”). Równanie różniczkowe zwyczajne wraz z warunkiem początkowym nazywa się problemem początkowym (initial value problem).

Przykład:

\[y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}\]

Przykład modelowania: wykładniczy rozpad substancji promieniotwórczej

Dana jest ilość substancji promieniotwórczej równa 0.5 g. Wyznacz ilość pozostałą po czasie $t$.

Z doświadczenia wynika, że substancja promieniotwórcza w każdej chwili rozpada się z szybkością proporcjonalną do aktualnej ilości, a więc maleje (zanika) w czasie.

1. Ustalenie modelu matematycznego

Niech $y(t)$ oznacza ilość substancji pozostałą w chwili $t$. Ponieważ $y’(t)$ jest proporcjonalne do $y(t)$, otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

\[\frac {dy}{dt} = -ky\]

(gdzie $k>0$ jest stałą).

Znamy też warunek początkowy $y(0)=0.5$. Zatem model matematyczny można sformułować jako następujący problem początkowy:

\[\frac {dy}{dt} = -ky, \qquad y(0)=0.5\]

2. Rozwiązanie matematyczne

Rozwiązanie ogólne wcześniej ułożonego równania różniczkowego zwyczajnego jest następujące (zob. metoda rozdzielania zmiennych).

\[y(t)=ce^{-kt}\]

Ponieważ $y(0)=c$, z warunku początkowego otrzymujemy $y(0)=c=0.5$. Zatem poszukiwane rozwiązanie szczególne ma postać

\[y(t)=0.5e^{-kt} \quad(k>0)\]

3. Interpretacja fizyczna rozwiązania

Otrzymane rozwiązanie opisuje ilość substancji promieniotwórczej w dowolnej chwili $t$. Ilość ta startuje od wartości początkowej 0.5 (g) i maleje w czasie; gdy $t \to \infty$, granica $y$ wynosi $0$.