Równanie Bernoulliego (Bernoulli Equation)
Omawiamy równanie Bernoulliego oraz metodę rozwiązywania jego szczególnego przypadku — równania logistycznego.
Równanie Bernoulliego (Bernoulli Equation)
\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ jest dowolną liczbą rzeczywistą)} \tag{1}\]Równanie Bernoulliego (1) jest liniowe dla $a=0$ lub $a=1$, a w pozostałych przypadkach jest nieliniowe. Można je jednak sprowadzić do postaci liniowej, wykonując poniższe kroki.
Niech
\[u(x)=[y(x)]^{1-a}\]a po zróżniczkowaniu i podstawieniu $y’$ z (1) otrzymujemy
\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]Ponieważ w prawej stronie $y^{1-a}=u$, dostajemy następujące liniowe równanie różniczkowe zwyczajne:
\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]Przykład: równanie logistyczne (Logistic Equation)
Rozwiąż równanie logistyczne (szczególną postać równania Bernoulliego).
\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]Rozwiązanie
Zapiszmy (3) w postaci (1):
\[y'-Ay=-By^2\]Ponieważ $a=2$, mamy $u=y^{1-a}=y^{-1}$. Różniczkując $u$ i podstawiając $y’$ z (3), otrzymujemy
\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]Ostatni wyraz to $-Ay^{-1}=-Au$, zatem dostajemy liniowe równanie różniczkowe zwyczajne
\[u'+Au=B\]Korzystając ze wzoru na rozwiązanie z wpisu Niejednorodne liniowe równanie różniczkowe zwyczajne, możemy znaleźć następujące rozwiązanie ogólne:
\[u=ce^{-At}+B/A\]Ponieważ $u=1/y$, stąd rozwiązanie ogólne równania (3) wynosi
\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]je otrzymujemy.